湖北省恩施州巴东县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题

湖北省恩施州巴东县2020-2021学年九年级下学期期中数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．tan45o的值为（ ）

A ．

1

2

B ．1

C ．

2

D

2．用配方法解一元二次方程：2690x x --=，下列变形正确的是（ ） A ．()2

30x += B ．()2

30x -=

C ．()2

318x +=

D ．()2

318x -=

3．抛物线y ＝﹣3

4

（x ﹣2）2+2的顶点坐标为（ ） A ．(﹣2，2)

B ．(2，﹣2)

C ．(-2，﹣2)

D ．(2，2)

4．一张矩形纸片在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（ ） A ．正方形

B ．平行四边形

C ．矩形

D ．等边三角形

5．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF ：1，则△DEF 与△ABC 的面积比为（ ）

A ．1：2

B ．2：1

C ：1

D ．1

7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ，AC B 的度数为（ ） A ．30°

B ．60°

C ．45°

D ．75°

8，则该圆的内接正六边形的边心距是（）

A ．2

B ．1

C D ．

2

9．已知点A(x 1，y 1)，B( x 2，y 2)在反比例函数y ＝1

x

的图象上，若x 1＜x 2，且x 1x 2＞0，那么y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2

B ．y 2＞y 1

C ．y 1＜y 2

D ．y 2＜y 1

10．如图，在边长为1的正方形网格中，B 、C 、F 为格点，则sinC 的值为（ ）

A ．

2

B C ．1 D ．

12

11．CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且CD ⊥AB ，垂足为点P ．若CD ＝4，OP ＝1，AB 的值为（ ）

A ．3

B ．5

C D ．

12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象交x 轴于A(﹣2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC ．以下结论：①a b

c

+＞0：②ac ＝b ﹣1；③4a+c ＞0；④b≠2．其中正确的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

13．点O 为正方形ABCD 对角线的交点，若正方形以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则正方形ABCD 旋转的最小角度是_____． 14．如图，已知点A 、B 分别在反比例函数1y (x 0)x =>，4

y (x 0)x

=->的图象上，且OA OB ⊥，则

OB

OA

的值为______．

15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB ＝_____．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P、Q同时由A、B 两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动，其速度均为2cm/s，_____s后，△PCQ 的面积是△ABC面积的一半．

三、解答题

17．（1﹣（﹣sin30°）﹣1﹣|1﹣4tan60°|

（2）先化简，后求值：

2

a

a1

﹣1﹣a．其中，a＝3﹣2cos60°．

18．（1）如图1，矩形ABCD是由两个边长为1的正方形构成．请你剪两刀后拼成一个与矩形ABCD面积相等的正方形．

（2）如图2，矩形EFGH的长FG为6，宽EF为4，用剪刀剪两次，然后将其拼接成一个与矩形EFGH面积相等的正方形，画出裁剪线及拼接后的图形，简要说明裁剪线是如何确定的．如果你没有想到好方法，不用急，请沉着应对．细读下列数学事实或许对你解决有帮助．

（3）如图3，在⊙O中，MN为直径，PQ⊥MN，垂足为点Q，交⊙O于点P，连结PM、PN．易证明PQ2＝MQ?NQ．此结论可直接运用．

19．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．

20．如图，直线y＝ax﹣a与双曲线y＝k

x

（k＞0）交于A、B两点，与x轴交于点D，

与y轴交于点E，AC⊥y轴，垂足为点C．已知S△ACD＝2，B(﹣1，m)

（1）直接写出a与k的值．

（2）求△ABC的面积．

21．如图，两座建筑物的水平距离CD＝60m，从点B测得点A的俯角∠MBA为30°，测得点C的俯角∠MBC为38°．求这两座建筑物的高度．参考数据：sin38°＝0.62，

cos38°≈0.79，tan38°＝0.78≈1.73≈1.41．

22．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积．

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的3

8

，求出此时通道的宽．

（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

23．如图，AC为⊙O的直径，MN为⊙O的切线，点D为切点，连结AD．直线MN 与直线AC交于点B，过点A作AE⊥MN，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠EAB．

（2）求证：AD2＝AG?AB．

（3）若AE＝BE＝BC的长．

24．如图1，抛物线y＝﹣1

2

x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，4)，

在x轴上有一动点D9(m，0)（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，

（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．

（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a

＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+1

2

D′B的最小值．

参考答案

1．B 【详解】

解：根据特殊角的三角函数值可得tan45o=1， 故选B ． 【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值． 2．D 【分析】

把常数项-9移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方． 【详解】

解：2690x x --=，

269x x -=，

26918x x -+=，

()

2

318x -=．

故选：D ． 【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程．选择用配方法解一元二次方程时，最好是方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．D 【分析】 根据抛物线y ＝﹣3

4

（x ﹣2）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】 ∵抛物线y ＝﹣

3

4

（x ﹣2）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，2）， 故选：D ． 【点睛】

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．D

【分析】

根据平行投影的性质求解可得．

【详解】

一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形，

故选：D．

【点睛】

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．

5．A

【解析】

试题解析：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，

∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是，，，主视图是它们中一个，

∴主视图不可能是．

故选A.

6．A

【分析】

根据相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．

【详解】

∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF：1，

∴△ABC与△DEF：1，

∴△DEF与△ABC的周长比为1，

∴△DEF 与△ABC 的面积比1：2． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，要注意两三角形相似，求相似比时要注意两三角形的书写顺序． 7．B 【分析】

求出∠B 的正切值，根据特殊锐角的三角函数值，即可得到∠B 的度数． 【详解】

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ，AC

∴tanB ＝

AC

BC ∴∠B ＝60°， 故选：B ． 8．B 【解析】 【分析】

根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】

，

×sin60°1， 故选：B ． 【点睛】

本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 9．A

【分析】

根据k的值判断此函数图象所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【详解】

∵反比例函数y＝1

x

的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，

∵x1x2＞0，

∴点A（x1，y1），B（x2，y2）两点位于同一象限，

∵x1＜x2，

∴y1＞y2．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．10．A

【分析】

利用网格得出∠C是特殊的锐角，即∠C＝45°，进而可求出其正弦值．

【详解】

根据网格的性质，可得∠C＝45°，

∴sinC＝sin45°＝

2

，

故选：A．

【点睛】

考查锐角三角函数的意义，特殊锐角三角函数值，掌握锐角三角函数的意义，记住特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．

11．D

【分析】

根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．

【详解】

∵CD⊥AB，CD＝4，

∴CP＝2，

连接OC，

∵OP＝1，

∴OC

∴AB＝2OC＝

故选：D．

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

12．C

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】

抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴左侧，a、b同号，因此b＞0，与y轴交点在负半轴，

因此c＜0，因此a b

c

+

＜0，故①不正确；

抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点C的坐标为（0，c），又OB＝OC，因此点B（﹣c，0），代入y＝ax2+bx+c得，ac2﹣bc+c＝0，即，ac＝b﹣1，因此②正确；

把A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得，4a﹣2b+c＝0，即4a+c＝2b，又b＞0，因此4a+c＞0，故③正确；

由ac＝b﹣1，4a+c＝2b，若b＝2，则ac＝1，4a+c＝4，解得c＝2＞0，与题意不符，因此b≠2，故④正确；

因此正确的有②③④，

故选：C．

【点睛】

考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．

13．90°

【分析】

求出正方形的旋转角的度数，再根据旋转对称图形的性质解答． 【详解】

∵正方形ABCD 的旋转角＝360°÷4＝90°， ∴至少旋转90度才能与原图形重合． 故答案为：90°． 【点睛】

本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 14．2 【分析】

作AC y ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到OAC

1S 2

=

，OBD

S 2=，再证明Rt AOC ∽Rt OBD ，然后利用相似三角

形的性质得到OA OB 的值，即可得出OB

OA

． 【详解】

解：作AC y ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ，如图，

点A 、B 分别在反比例函数1y (x 0)x =

>，4

y (x 0)x

=->的图象上， OAC

11

S

122∴=?=， OBD 1

S 422

=?-=，

OA OB ⊥， AOB 90∠∴=?

AOC BOD 90∠∠∴+=?， AOC DBO ∠∠∴=， Rt AOC ∴∽Rt OBD ，

2AOC OBD

1

S OA 2()S

OB 2

∴==， OA 1OB 2∴

=． OB 2OA

∴= 故答案为2． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k

y (k x

=

为常数，k 0)≠的图象是双曲线，图象上的点()x,y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =

． 15．45° 【分析】

根据勾股定理得到AC

，求得

AC CE ＝CD

AC

，根据相似三角形的性质得到

∠ADB ＝∠CAE ，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】

∵AC

，CD ＝1

，CE ＝2，

∴AC CE

＝2，CD

AC ＝2

，

∴

AC CE ＝CD

AC

， ∵∠ACD ＝∠ECA ， ∴△ACD ∽△ECA ， ∴∠ADB ＝∠CAE ，

∴∠ADB+∠AEB ＝∠AEB+∠CAE ＝∠ACB ＝45°， 故答案为：45°． 【点睛】

本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，求得△ACD ∽△ECA 是解题的关键． 16．1

设xs 后，△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，根据三角形的面积公式结合△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】

设xs 后，△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半． 依题意，得：

12（6﹣2x ）（8﹣2x ）＝12×1

2

×

6×8， 整理，得：x 2﹣7x+6＝0，

解得：x 1＝1，x 2＝6（不合题意，舍去）． 故答案为：1． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

17．（1）3﹣（2）1

1

a -，【分析】

（1）先利用特殊角的三角函数值得到原式＝﹣（﹣12

）﹣1

﹣|1﹣，然后根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算； （2）先通分得到原式＝1

1

a -，再根据特殊角的三角函数值计算出a 的值，然后把a 的值代入计算即可． 【详解】

（1）原式＝12

）﹣1

﹣|1﹣

＝2）+1﹣

＝﹣

＝3﹣；

（2）原式＝2(1)(1)

1

a a a a -+--

＝

1

1

a -，

当a ＝3﹣

3＝

本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了实数运算．

18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）如图1所示，分别沿AE，DE各剪一刀，即可拼成与原矩形面积相等的正方形AEDF；（2）如图2﹣1，延长GF至M，使MF＝EF＝4，作以MG为直径的圆，延长FE交圆于点??可知NF2＝MF?GF＝EF?GF＝24，如图2﹣2，以F为圆心，FN为半N，由NFM GFN

径作圆，交矩形EH边于点Q，过G作GK⊥FQ于点K，沿FQ，GK剪开后可拼成正方形KGPO，且S正方形KGPO＝24．

【详解】

（1）如图1所示，分别沿AE，DE各剪一刀，即可拼成与原矩形面积相等的正方形AEDF；

（2）如图2﹣1，延长GF至M，使MF＝EF＝4，作以MG为直径的圆，延长FE交圆于点N，

∴∠MNG=90°

∴∠GNF+∠MNF=90°, ∵∠NFM=90°,

∴∠NMF+∠MNF=90°, ∴∠NMF=∠GNF,

又∠NFM=∠NFG,

∴NFM GFN

??

∴NF MF GF NF

=

即NF2＝MF?GF＝EF?GF＝24，

∴S正方形＝S矩形＝24，

如图2﹣2，以F为圆心，FN为半径作圆，交矩形EH边于点Q，过G作GK⊥FQ于点K，沿FQ，GK剪开后可拼成正方形KGPO，且S正方形KGPO＝24．

【点睛】

本题考查了圆的有关性质，矩形的性质，正方形的性质等，解题关键是熟知任何一个矩形都可能剪拼成一个正方形．

19．（1）全班学生总人数为40人；（2）补全图形见解析；（3）全是B类学生的概率为1

6

．

【分析】

（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；

（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形；

（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【详解】

（1）全班学生总人数为1025%40÷=（人)； （2）

C 类人数为()4010246-+=，

C ∴类所占百分比为

6100%15%40?=，B 类百分比为24

100%60%40

?=， 补全图形如下：

（3）列表如下：

由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B 类的有2种情况， 所以全是B 类学生的概率为21

126

=． 【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比 20．（1）a ＝2，k ＝4；（2）6

【分析】

（1）由知S △ACD ＝2，可得矩形OMAC 的面积为4，进而确定k 的值，从而确定反比例函数的关系式，把点B 坐标代入可求出m 的值，确定点B 的坐标，代入一次函数的关系式确定a 的值；

（2）一次函数、反比例函数的关系式联立方程组求出解即可确定点A 的坐标，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】

（1）过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，

则S 矩形OMAC ＝2S △ACD ＝4＝k ， ∴反比例函数的关系式为y ＝

4x

， 把x ＝﹣1代入得y ＝﹣4，因此点B （﹣1，﹣4），代入y ＝ax ﹣a 得，﹣4＝﹣a ﹣a ， 解得，a ＝2， 答：a ＝2，k ＝4； （2）由题意得，

422

y x y x ?=?

?

?=-?，解得，1122x y =??=?，2214x y =-??=-?， ∴A （2，2）， ∴S △ABC ＝1

2

×2×（2+4）＝6． 【点睛】

考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，

将点的坐

标转化为三角形的底和高是解决问题的关键．

21．这两座建筑物的高度分别为AC＝12.2m，BD＝46.8m 【分析】

构造直角三角形，利用锐角三角函数，求出BD，BN即可．【详解】

过点A作AN⊥BD，垂足为N，

∵∠MBA＝30°，∠MBC＝38°，

∴∠BAN＝30°，∠BCD＝38°，

在Rt△BDC中，BD＝tan38°×CD≈0.78×60＝46.8m，

在Rt△BAN中，BN＝tan30°×CD≈1.73

3

×60＝34.6m，

∴AC＝ND＝BD﹣BN＝46.8﹣34.6＝12.2m，

答：这两座建筑物的高度分别为AC＝12.2m，BD＝46.8m．

【点睛】

考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形，利用三角函数的意义求出边长是正确解答的关键．

22．（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）以通道的宽为5米；（3）当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．

【分析】

（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；

（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的3

8

，列出方程进行计算即可；

（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．

【详解】

（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400．

（2）当通道所占面积是整个长方形空地面积的3

8

，即花圃所占面积是整个长方形空地面积

的5

8

，则4a2﹣200a+2400=60×40×

5

8

，

解方程得：a1=5，a2=45（不符合题意，舍去）

即此时通道宽为5米；

（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）即此时花圃面积最少为800（平方米）．

根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，

将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有1200m=48000，解得：m=40

∴y1=40x且有

80048000

{

120062000

k b

k b

+=

+=

，

解得：

35

{

20000

k

b

=

=

，

∴y2=35x+20000．

∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，

∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a

∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920

解得a1=2，a2=48（舍去）．

答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．

【点睛】

考核知识点：一次函数，一元二次方程应用.

23．（1）见解析；（2）见解析；（3

【分析】

（1）如图1，连接OD，证OD∥AE，推出∠EAD＝∠ADO，再证∠OAD＝∠ADO，可得∠EAD＝∠OAD，即可得出结论；

（2）如图2，连接GD，GC，证△GDA∽△DBA，即可得出结论；

（3）利用勾股定理求出AB的长，证△BDO∽△BEA，设⊙O的半径为r，利用相似三角形