九年级上学期期中考试数学试题
湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
武汉市硚口区2024~2025学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是2.已知m，n是一元二次方程x2-4x-2＝0的两个实数根，则m+n的值是A.-4B.-2C.2D.43.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则正确的旋转方式是A.绕点D逆时针旋转135°B.绕点O顺时针旋转45°C.绕点O逆时针旋转90°D.绕点B逆时针旋转135°4.将抛物线y＝-2（x-3）2+1平移后得到抛物线y＝-2x2，正确的平移方式是A.向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度B.向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度C.向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度D.向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度8.关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A.m＜4B.m≤4C.m＜-4D.m＞46.如图，⊙P经过点O（0，0），交y轴于点B，若P（-5，-3），则点B的纵坐标是A.-10B.-8C.-6D.-47.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载:今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出.问户高、广、邪各几何？译文是:今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺;竖放，竿比门高长出2尺;斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x 尺，则下列正确的方程是A.（x-4）2+（x-2）2＝x 2B.（x+4）2＝x 2+（x-2）2C.（x-4）2＝x 2+（x+2）2D.（x+4）2＝x 2+（x+2）28.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ，在水管的顶端A 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，且最高高度为92m ，水柱落地处离池中心5m ，则水管OA 的长是A.94m B.198m C.52m D.218m 9.如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，得到△ADE ，连接BD ，BE.若∠BED ＝80°，∠ADB ＝60°，则∠CBE 的大小是A.10°B.15°C.20°D.25°10.已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点在抛物线y ＝ax 2-2a 2x 上（常数a ≠0），若对于x 1＝3a ， 3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，则a 的值不可能是A.-92B.-72C.23D.12二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置.11.已知点P （2025，m ）与点Q （n ，-2024）关于原点O 中心对称，则m 的值是.12.将一元二次方程2x 2+1＝5x 化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是.13.点P （4，5）绕点O （0，0）顺时针旋转90°后，得到对应点的坐标是_____.14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x （元），每天获得利润y （元），则y 与x 的函数关系式是_____15.如图,正方形ABCD 的边长为2,BE ＝AB,BF 平分∠EBC 交AE 的延长线于F ，交CD 于M.当M 为CD 的中点时，AE 的长是_____.16.抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数）经过点（-2，0），且c＜0.下列四个结论:① 4a-2b+c ＝0;② 当x ＜-2时，y ＞0;③ 若点（1，1），（2，t ）均在抛物线上，则t ＞83;④ 不等式t （at+b ）≥a+b 对任意的实数t 都成立，则4a +b +c 4c -5a ＜16.其中正确的结论是______（填写序号）.三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.（木题满分8分）解方程:x 2+3x+1＝0.18.（本题满分8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点C 的对应点E 落在AB 上.（1）若AC ＝6，BC ＝8，求BE 的长.（2）连接BD ，在△ABC 中，添加与角相关的一个条件，使△ABD 是等边三角形.（不需要说明理由）19.（本题满分8分）如图,在等腰△ABC 中,AB ＝AC,⊙A 交BC 于D,E 两点,半径AF ⊥BC 于H.（1）求证:BD ＝CE;（2）若DE ＝8，FH ＝2，求⊙A 的半径.如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形ABCD花圃，墙长为6米，其中边AD大于或等于墙长，中间用篱笆隔开.设BC的长为x米， AB的长为y米，矩形ABCD花圃的面积为s米2.（1）直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围;（2）当BC的长为多少时，矩形ABCD花圃的面积最大？最大面积为多少？21.（本题满分8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.（1）在图1中，D在线段BC上，先画@ABCE，再在AB上画点F，使DF∥AC;（2）在图2中，先画△ABC的高CH，再在射线CH上画点P，使∠APC＝∠ABC.图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载:曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米.以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x-15）2+k的一部分.（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为9米.①求抛物线的解析式（不用写出x的取值范围）;②石块能否飞越防御墙.（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（不包括端点B，C），直接写出a的取值范围.23.（本题满分10分）问题情境CD是等边△ABC的中线，点P在线段CD上运动（不包括端点C，D），将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上，探究∠APE的大小.记∠CAP＝α.问题探究（1）如图1，将问题特殊化，当a＝30°时，直接写出∠APE的大小;是定值.（2）如图2，将问题一般化，当0°＜α＜30°时，求证:AC-CECF（3）问题拓展当30°＜α＜60°时，若PC＝23EC，直接写出AP的值.AC图2x2+c交x轴于A（-4，0），B两点，交y轴于点C.如图1，抛物线y＝-14（1）直接写出直线BC和抛物线的解析式;（2）设直线y＝m与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线CB交于点F，若DF＝3EF，求m的值;（3）如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线x＝t（t≠4）分别交直线BM，BN，x轴于P，Q，G三点，若PG-QG＝2，求t的值.。
河北省廊坊市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)
河北省2025届九年级期中综合评估数学上册全部注意事项：共8页．总分120分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（ ）A ．C （哆）音符B ．D （来）音符C ．E （咪）音符D ．以上都不对2．根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C 在以的长为半径的（）A ．内B ．外C ．上D ．以上都不对3．如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列数中能使成立的的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．抛物线如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D．以上都不对AB A e ABC △DEF △O BC EF =ABC DEF ≅△△OA OB =//AB DE()220x -=x 2y ax bx c =++0a >0b >0c >6．如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．淇淇作点关于原点的对称点时错看成了作轴的对称点，作得的点与正确点之间的距离为4，则的值为（ ）A ．4B ．2C ．D ．±28．如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ）A ．6B ．4C ．3D ．29．已知关于的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，若将的值在的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根10．如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．CB AB CB 31BCA ∠= A AB A 59 119 120 121(),6a x a 4±ABCDEF O e P BC OA OP AOPB 1S 2S 21S S =x 250x x c -+=0c t =c 0t AB M N BC a =¼MN b a b <a b=C ．D ．无法比较与11．在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为（）A．B ．C ．D ．112．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是__________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”）14．如图，该图案绕其中心至少旋转__________度后能与原图案完全重合．15．定义新运算：．若方程的两个根为和，则__________．16．如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点逆时针旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．连接，则与的位置关系为__________，若，则矩形的面积为__________．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）a b >a b1323122y ax c =+OABC A B C B y 22a c +m n m n mn =++★2320x x ++=1x 2x 121x x +=★ABCD 8BC =AB BC >AB O e ABCD B A BC D '''C D ''O e E A B 'O e F OE OE BC '8BF =ABCD17．（本小题满分8分）解方程：（1）．（2）．18．（本小题满分8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，是格点三角形，为格点（网格线的交点）．（1）画出关于点对称的．（2）将（1）中的绕点顺时针旋转得到，画出．19．（本小题满分8分）“记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部河北省非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为A—河北梆子，B—吴桥杂技，C—衡水内画，D—杨氏太极拳．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台．（1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”）（2）补全下列表格，并求出淇淇选择“A—河北梆子”和“C—衡水内画”两个短视频观看的概率．A B C DA CA DAB AB CB DBC AC DCD AD BD20．（本小题满分8分）图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，．图1 图2（1）求证：为的切线．（2）若，，求的长．223x x-=()()21310x x+-+=ABC△OABC△O111A B C△111A B C△1C90221A B C△221A B C△AB Oe C D DO AE⊥E CE12∠∠=CE Oe10cmOD=260∠= OE21．（本小题满分9分）中秋节期间某超市销售一款进价为20元/盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量y （单位：盒）与销售单价x （单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系．（2）当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？22．（本小题满分9分）情景 七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动．操作 制作七巧板：将一个边长为10cm 的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点O 与点D 重合（图1），然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图2），这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图2）．（1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点O 顺时针至少旋转__________°能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形__________与__________也能通过平移与旋转重合．（2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积．探究 用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义．（3）如，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则__________．图323．（本小题满分10分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，．（1）求抛物线的解析式．()402535y x x =-+≤≤ABCD BD ABD △OB S =阴影区域2cm 23y ax x c =++x ()4,0A y ()0,4C P PA AC（2）如图1，连接，当时，求的面积．（3）如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标;若不能，请说明理由．图1 图224．（本小题满分12分）如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，．图1 图2（1）如图1，当经过点时，__________．（2）在（1）的条件下，求证：．（3）如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为．②当时，求的长;②直接写出旋转过程中的最大值．PC //PC AB PCA △P PD x ⊥D AC E AC PAD △P AB O e C O e OQP ABC ≅△△OQ BC G 6AC =8BC =OP C PC =BG CG =OQP △O (OP OB OP BC H PQ M BC d OP AB ⊥BH d河北省2025届九年级期中综合评估数学参考答案1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．D 10．A 11．A12．D 提示：由题意可知点，四边形为正方形，点．将点代入中，得．，．，，，的最小值为4．故答案为D ．13．随机 14．90 15．016．平行 80 提示：如图，延长交于点．与相切，．四边形为矩形，，，．矩形绕点逆时针旋转所得到的矩形为，，，，()0,B c OABC ∴,22c c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,22c c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭2y ax c =+224c ac c =+0c < 2ac ∴=-()20a c +≥ 2220a ac c ∴++≥2224a c ac ∴+≥-=22a c ∴+EO BF M C D '' O e 90OEC ∠∴=' A BC D '''//A B C D '''∴EM A B ∴⊥'142BM FM BF ∴=== ABCD B A BC D '''90C C ∠∠∴==' AB CD =8BC BC ='=四边形为矩形，．设，则．，，解得，，矩形的面积为．17．解：（1），，，…………2分，，．…………4分（2），，…………6分，，．…………8分18．解：（1）如图，即所求．…………4分（2）如图，即所求．…………8分19．解：（1）不可能．…………3分（2）补全表格如下：AB C D ABA CA DA BAB CB DB CAC BC DCD AD BD CD ∴EMBC '8ME BC ='∴=OB OE x ==8OM x =-222OM BM OB += ()22284x x ∴-+=5x =10AB CD ∴==∴ABCD 10880⨯=223x x -=22131x x -+=+()214x -=12x -=±13x ∴=21x =-()()21310x x +-+=()()1130x x ++-=()()120x x +-=11x ∴=-22x =111A B C △221A B C △…………6分由表格可知，共有12种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，所以淇淇选择“A 一河北梆子”和“C 一衡水内画”两个短视频观看的概率．…………8分20．解：（1）如图，连接．，．…………1分，，…………2分．，，，，…………4分为的切线．…………5分（2），，，…………6分，…………7分．…………8分21．解：（1）由题意得…………2分．…………4分（2）对称轴，在范围内，，当时，取最大值，…………7分21=126P =OC OD OC = D OCD ∠∠∴=DO AE ⊥ 90AED ∠∴= 290D ∠∠∴+= 12∠∠= 190OCD ∠∠∴+= 90OCE ∠∴= OC CE ∴⊥CE ∴O e 260∠=12∠∠=1260CEA ∠∠∠∴=== 30OEC AED CEA ∠∠∠∴=-= 2220cm OE OC OD ∴===()20w x y=-⋅()()2040x x =--+260800x x =-+-()603021x =-=⨯-2535x ≤≤10-< ∴30x =w此时（元）．答：当这款月饼的销售单价是30元时，这款月饼的销售利润最大，最大利润是100元．…………9分22．解：（1）90；③，⑤．…………2分（2）四边形为正方形，，．…………3分，，，…………5分．…………7分（3）25．…………9分23．解：（1）将点与点代入，得…………2分解得抛物线的解析式为．…………3分（2），．…………3分将代入中，得，解得（舍去），，…………5分点，，．…………6分（3）由题意可设直线的解析式为，2306030800100w =-+⨯-= ABCD 90AOB ∠∴= AO BO =222AO BO AB += 22100BO ∴=BO ∴=OB ∴()225cm 2π=()4,0A ()0,4C 23y ax x c =++16120,4,a c c ++=⎧⎨=⎩1,4,a c =-⎧⎨=⎩∴234y x x =-++//PC AB 4p c y y ∴==4P y =234y x x =-++2344x x -++=10x =23x =∴()3,4P 3PC ∴=1134622PCA P S PC y ∴=⋅=⨯⨯=△AC 4y kx =+将点代入上式，得，解得，直线的解析式为．…………7分设点，则点的坐标为．，，，…………9分整理得，解得，（舍去），点．…………10分24．解：（1）1．…………2分（2）证明：，．，，，．…………4分为的直径，，，，．…………6分（3）①如图1，连接．图1由（2）知，，，．()4,0A 044k =+1k =-∴AC 4y x =-+()2,34P m m m -++E (),4m m -+PEA DEA S S = △△PE DE ∴=()23444m m m m ∴-++--+=-+2540m m -+=11m =24m =∴()1,6P OQP ABC ≅ △△COG A ∠∠∴=OA OC = OCA A ∠∠∴=COG OCA ∠∠∴=//OG AC ∴AB O e 90ACB ∠∴= 90OGB ACB ∠∠∴== OG BC ∴⊥BG CG ∴=AH 90C ∠=OA OB = OH AB ⊥AH BH ∴=设，则，．…………8分在中，，即，解得，即．…………10分②．…………12分提示：如图2，连接交于点．图2由题意可知，当时，取最大值，此时，．，，，，，，，，．为的中点，，，．BH x =AH x =8CH x =-Rt CHA △222CH AC AH +=()22286x x -+=254x =254BH=3-OM BC N OM BC ⊥d BN CN =142BN BC ∴==90C ∠= 6AC =8BC=10AB ∴==152OB AB ∴==3ON ∴==OQP ABC ≅ △△6OP AC ∴==8PQ BC ==M PQ 142PM PQ ∴==OM ∴==3d MN ∴==。
湖北省荆州市监利市2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
2023～2024学年度上学期期中考试九年级数学试题注意事项：1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．3．在答题卡上答题，选择题要用2B 铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．★祝考试顺利★一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将紫荆花图案绕中心旋转n 度后能与原来的图案互相重合，则n 的最小值为（）A ．45B ．72C ．30D ．603．关于x 的方程230x x c -+=的一个根是2，则c 的值是（）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数()243y x =---，若y随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（）A ．4x <-B ．4x <C ．4x >-D ．4x >5．用配方法解一元二次方程2430x x --=时，方程变形正确的是（）A ．()221x -=B ．()224x -=C ．()227x -=D ．()225x -=6．关于x 的一元二次方程2210ax x --=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．1a >-B ．1a ≥-且0a ≠C ．1a ≥-D ．1a >-且0a ≠7．已知拋物线()21y a x k =+-与x 轴交于点()()4,0,,0A B m ，则,A B 两点之间的距离是（）A ．4B ．6C ．8D ．108．已知O 的弦16AB =，点C 是弦AB 的中点，作射线OC 交O 于点D ，若4CD =，则O 的半径长是（）A ．12B ．10C ．8D ．169．若二次函数22y x x c =+-的自变量和函数值如下表所示，那么方程220x x c +-=的一个近似根是（）x2-1-01y1-2-1-2A ．1.4-B ．0.5-C ．0.4D ．1.310．如图，一段抛物线()()404y xx x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3;A ⋅⋅⋅，如此进行下去，若()2023,P m 是其中某段抛物线上一点，则m 的值为（）A ．3-B ．3C ．6-D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点()3,2-关于原点对称的点的坐标为______．12．已知O 的直径10cm,CD AB =是O 的弦，且AB CD ⊥，垂足为M ，若8cm AB =，则OM 的长为______cm ．13．把抛物线23y x =-先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．14．已知12,x x 是关于x 的方程220x bx c +-=的两个实数根，且12123,2x x x x +=-⋅=，则b c 的值是______．15．如图是一座抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面的宽度为4米；那么当水位下降1米时，水面的宽度为______米．（第15题图）16．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为2120m 的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为15m ），另外三面用29m 长的木板材料新建板墙．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个3m 宽的门，为了方便学生取车，施工方决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图），使得停放自行车的面积为264m ，那么小路的宽度为______米．（第16题图）三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题满分8分）解方程：（1）2410x x --=（2）()()23430x x -+-=18．（本题满分8分）如图，CD 是O 的直径，弦AB 与CD 相交于点,E C 为劣弧AB 的中点，若2,8CE AB ==，（1）求O 的半径；（2）求弦AD 的长．19．（本题满分8分）如图，在方格网中已知格点ABC △，用无刻度直尺按要求画图．（1）在方格网中画出ABC △关于点A 对称的图形ADE △；（2）在方格网中画出ABC △以B 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的图形MBN △．20．（本题满分8分）已知关于x 的一元二次方程2430x x c -++=有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为1-，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且11c αβ+=，求c 的值．21．（本题满分8分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量约为25万辆，2022年出口量约为64万辆．（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量约为多少万辆？22．（本题满分10分）在ABC △中，90,BAC AB AC ∠=︒=．图1图2（1）如图1，D 为BC 边上一点（不与点,B C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ．求证：90BCE ∠=︒；（2）如图2，D 为ABC △外一点，且45ADC ∠=︒，仍将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接,,EC ED BD ．若9,3BD CD ==，求AD 的长．23．（本题满分10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数．其售价、月销售量、月销售利润w （元）的三组对应值如下表：售价x （元/件）150160180月销售量y件14012080月销售利润w 元420048004800注：月销售利润月销售量（售价进价）（1）根据上述信息求：①y关于x 的函数解析式；②当x 是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m 元/件()0m >，物价部门规定该商品的售价不得超过165元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是4620元，求m 值．24．（本题满分12分）如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()5,0A -和B 两点，与y轴交于点()0,5C ．图1图2（1）求该抛物线的函数表达式；（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作//P D y 轴交AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线,y y ''与原抛物线相交于点M ，点N 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使以点,A M ，,N H 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．2023～2024学年度上学期期中考试九年级数学试题参考答案（请各位教师在阅卷前先做题审答案）一、选择题1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D8．B9．C10．A二、填空题11．()3,2-12．313．()2321y x =-+-（一般式231213y xx =---）14．1-15．16．2三、解答题17．解：（1）1,4,1a b c ==-=- ()()2Δ441120∴=--⨯⨯-=422x ∴==1222x x ∴==（2）()()23430x x -+-= ()()310x x ∴-+=30,10x x ∴-=+=123,1x x ∴==-18．解：（1）连AOCD 是O 的直径，C 为劣弧AB 的中点1,42CD AB AE AB ∴⊥==设O 的半径为，则,2AO r OE r ==-在Rt AOE △中，222AO AE OE =+，即()22242r r =+-解得5r =即O 的半径为5（2）8,4,DE CD CE AE CD AB=-==⊥AD ∴==19．解：（1）如图，ADE △即为所求；（2）如图，MBN △即为所求；20．解：（1）设另一个实数根为m ，根据题意得14m -+=5m ∴=即另一个实数根为5（2）根据题意得，4,3c αβαβ+==+1143c c αβαβαβ+∴+===+解得4c =-或1当4c =-时，Δ2050=>当1c =时，Δ0=（舍）综上可得，c 的值为4-．21．解：（1）设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是x ，根据题意得()225164x +=解得120.6, 2.6x x ==-（舍）答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是60%．（2）()6410.6102.4+=答：预计2023年我国新能源汽车出口量约为102.4万辆．22．（1）证明：由旋转的性质得，90,BAC DAE AE AD∠=∠==︒BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE∠=∠AB AC = ()BAD CAE SAS ∴≌△△ABD ACE ∴∠=∠90,BAC AB AC ∠=︒= 45ABD ACB ACE ∴∠=∠=∠=︒90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒（2）解：由旋转的性质得，90,BAC DAE AE AD∠=∠==︒BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE∠=∠AB AC = ()BAD CAE SAS ∴≌△△9BD CE ∴==90,DAE AE AD ∠=︒= 45ADE AED ∴∠=∠=︒45ADC ∠=︒ 90EDC ADE ADC ∴∠=∠+∠=︒2262DE CE CD ∴-=6AD ∴=23．解：（1）①设y kx b =+，把150,140x y ==和160,120x y ==代入解析式得150140160120k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2440k b =-⎧⎨=⎩y ∴关于x 的函数解析式为2440y x =-+②由题意可得，每件商品的进件为1504200140120-÷=元()()21202440268052800w x x x x ∴=--+=-+-∴当1702bx a=-=时，w 有最大值，最大值是5000当x 是170时，月销售利润最大，最大利润是5000元（2）由题意可得，()()()212024402680252800440w x m x x m x m=---+=-++--∴当17022b mx a =-=+时，w 有最大值0m > 1701702m ∴+>20a =-< ∴当165x ≤时，w 随x 的增大而增大∴当165x =时，w 取最大值4620即()()1651203304404620m ---+=解得3m =24．解：（1）解：将()5,0A-和()0,5C 代入2y x bx c =-++得25505b c c --+=⎧⎨=⎩解得4,5b c =-=∴抛物线的函数表达式为245y xx =--+（2）设AC 的解析式为y kx b =+，将()5,0A -和()0,5C 代入y kx b =+解得1,5k b AC ==∴的解析式为5y x =+ 点P 在抛物线上，//P D y 轴交AC 于点D ∴设()2,45P m m m --+，则()2,5,5Dm m PD m m +=--，其中50m -<<由二次函数的性质可得，当52m =-时，PD 的最大值为254此时点P 的坐标是535,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）点H 的坐标为()3,0.3--或()1,4.4-或()7,2-或()7,3-．其他解法，正确即可．平移后函数解析式为()222491227y x x x =-+++=---，与原函数交点()4,5M -；①以A M 为边，当90AMN ∠=︒时，设()13,Hy -，在Rt AMH △中由勾股定理可求得10.3y =-②以A M 为边，当90MAN ∠=︒时，设()21,H y -，在Rt AMH △中由勾股定理可求得24.4y =③以A M 为对角线，当90AHM ∠=︒时，设()37,H y -，在Rt AMH △中由勾股定理可求得32y =或3。
江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（ ）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（ ）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（ ）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。
山东济南天桥区2024—2025学年九年级数学第一学期期中考试试题(含答案)
2024~2025学年度第一学期九年级期中数学考试试题（满分150分时间120分钟）一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.中国空间站犹如一颗美丽的流星，飞过有着4500多年历史的金字塔上空，使中国现代文明和埃及古代文明完成了一次跨时空的对话．宇航员在空间站利用对地望远镜看到的金字塔的图形为( )A. B. C. D.2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB=8，BC=12，EF=9，则DE的长为（）A.5B.6C.7D.8（第2题图）（第3题图）3.如图，△ABC∽△DAC，∠B=35°，∠D=115°，则∠BAD的度数为（）A.115°B.125°C.150°D.155°4.已知x=1是一元二次方程x2+ax+2=0的一个解，则a的值是（）A.-3B.-1C.0D.35.下列说法中，正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.菱形的对角线相等且互相平分D.菱形的对角线互相垂直且平分6.雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2023年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2025年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为( )A.36(1+x)2=25B.36(1-x)2=25C.25(1+x)2=36D.36(1-2x)=257."敬老爱老"是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A、B、C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )A.19B.16C.13D.128.验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A.150B.200C.250D.300D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线CP 交AB 于点E ，连接DE ．以下结论不正确的是（ ）A.∠BCE=36°B.BC=AEC.BE AC =√5﹣12D.S△AEC S △BEC=√5+12 10.如图，已知点A 在反比例函数y=kx (x<0）上，点B 、C 在x 轴上，使得∠ABC=90°,点D 在线段AC 上，也在反比例函数的图象上，且满足2CD=3AD,，连接DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为6，则k的值为（ ）A.-5B.-6C.-7D.-8二.填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.设a b =23，那么a+b b= .12.如果方程x 2-3x+m=0有两个相等的实数根，那么m 的值是 .13.为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为 件。
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
重庆南开中学2024-2025学年度上学期期中考试初2025届数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.17−的相反数是( )．A.17− B.17C. −7D. 7【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 0的相反数是0．【详解】解：17−的相反数是17，故选：B．2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A. 蒸馏烧瓶B. 烧杯C. 圆底烧瓶D. 分液漏斗【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可．【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选C ．3. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 240b ac −<D. 0c >【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a 、b 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数确定∆的符号，由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，即可得出答案．【详解】解：A 、∵抛物线的开口向上，∴0a >，故此选项符合题意；B 、∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a−>， ∵0a >，∴0b <，故此选项不符合题意；C 、∵抛物线与x 轴的两个交点，∴240b ac ∆=−>，故此选项不符合题意；D 、∵抛物线与y 轴的交点在负半轴上，∴0c <，故此选项不符合题意；故选：A ．4. 将ABC 沿BC 方向平移至DEF ，点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，使得:5:3BC EC =，则ABC 与GEC 的周长之比为（ ）A. 2:3B. 2:5C. 5:3D. 3:5【答案】C【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质得到AB GE ∥，从而可得到ABC GEC △∽△，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：∵ABC 沿BC 方向平移至DEF ，∴AB DE ∥，即AB GE ∥，∴A EGC ∠=∠,B GEC ∠=∠,∴ABC GEC △∽△，∴ABC 与GEC 的周长之比:5:3BCEC =， 故选：C ．5. 中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA 年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排28场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x 名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）A. ()128x x −=B. ()128x x +=C. ()11282x x +=D. ()11282x x −= 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设一共有x 名选手参加组内循环赛，则每个队参加()1x −场比赛，则共有()112x x −场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：()11282x x −=， 故选：D ．6. 估计+）A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．【详解】解：++，3<<∵67∴9310+<故选：D．7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（）A. 42B. 52C. 46D. 58【答案】B【解析】【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．×+=个小圆圈，【详解】第①个图形中一共有16410×+=个小圆圈，第②个图形中一共有26416×+=个小圆圈，第③个图形中一共有36422…，∴第n 个图形中一共有()64n +个小圆圈，∴第⑧个图形中小圆圈的个数是86452×+=，故选：B ．8. 如图，AB 是O 的直径，AE 、CE 、CB 为O 的弦，132AO =，12AE =，则sin BCE ∠=（ ）A. 512B. 1312C. 513D. 125【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，求一个角的正弦值，勾股定理；根据AB 是O 的直径，得出90AEB ∠=°，再运用勾股定理算出5BE ，再结合 EBEB =，则BCE BAE ∠=∠，所以5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==，即可作答． 【详解】解：连接BE ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠=°， ∵132AO =， ∴13AB =，在Rt ABE △中，5BE ，∵ EBEB =，∴BCE BAE ∠=∠， ∴5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==， 故选：C ． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，E 为正方形内的一点，连接BE ，CE ，使得CB CE =，延长BE 与ECD ∠的角平分线交于点F ．若BEC α∠=，连接OF ，则FOD ∠的度数为（ ）A. 290α−°B. 1452α°+C. 1902α°−D. 245α−°【答案】A【解析】 【分析】连接DF ，先证明∴()SAS CEF CDF ≌，得到CEF CDF ∠=∠，从而得180CDF CEF α∠=∠=°−，继而90BFD ∠=°，然后利用直角 三角形的性质，得出OF OB =，从而有45OFB OBF α∠=∠=−°，然后由三角形外角的性质可求解．【详解】解：连接DF ，如图，∵正方形ABCD∴BC CD =，45CBD CDB ∠=∠=°，∵CB CE =∴CE CD =，CBE BEC α∠=∠=， ∴45DBE α∠=−°，∵CF 是ECD ∠角平分线∴ECF DCF ∠=∠ ∵CF CF =，ECF DCF ∠=∠，CE CD =， ∴()SAS CEF CDF ≌∴CEF CDF ∠=∠，∴180CDF CEF α∠=∠=°−∴18045135BDFCDF CDB αα∠=∠−∠=°−−°=°− ∴1354590BDF DBE αα∠+∠=°−+−°=° ∴90BFD ∠=°∵O 是对角线BD 的中点，∴OF OB =∴45OFB OBF α∠=∠=−° ∴4545290FOD OFB OBF ααα∠=∠+∠=−°+−°=−° 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明90BFD ∠=°是解题的关键．10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差“绝佳操作”．例如：对于m ，n ，p 作“绝佳操作”，得到m n m p n p −+−+−．下列说法：①对2，4−，5作“绝佳操作”结果是18；②对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有8种；③对22a ，66a −，42a 作“绝佳操作”的结果为28，则a的值为1−或1−；其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：①()242545−−+−+−−的的18=，故①正确；②当m n p >>时，则22m n m p n p m n m p n p m p −+−+−=−+−+−=−，当m p n >>时，则22m n m p n p m n m p n p m n −+−+−=−+−−+=−，当n m p >>时，则22m n m p n p m n m p n p n p −+−+−=−++−+−=−， 当n p m >>时，则22m n m p n p m n m p n p n m −+−+−=−+−++−=− 当p m n >>时，则22m n m p n p m n m p n p p n −+−+−=−−+−+=−当p n m >>时，则22m n m p n p m n m p n p p m −+−+−=−+−+−+=− ∴对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误；③当226642a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=，化简得：2260a a −−=，解得：1a =+1a =−； 当224266a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：2340a a −−=，解得：4a =（舍去）或1a =−；当266242a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：6828a −=，解得：6a =（舍去）； 当266422a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：23100a a −+=，∵()234110310∆=−−××=−<∴无解；当242266a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：8a −=，解得：8a =−（舍去）， 当242662a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：4828a −+=，解得：5a =−（舍去），综上，a 的值为11−，故③错误；∴只有①正确，共1个，二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题．．卡．中对应的横线上． 11. 计算：()01tan3012−°−−=________． 【答案】12##0.5 【解析】【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幂，负整理指数幂，特殊角的三角函数，解题的关键是掌握分负整数指数幂、零指数幂的规定，熟记特殊锐角的三角函数值．【详解】解：()01tan3012−°−−112 =−−112=− 12=． 故答案为：12． 12. 正八边形每个外角的度数为_____．【答案】45°##45度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是360°求解即可．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数是：360845°÷=°．故答案为：45°．13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：用A 、 B 、C 、D 分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：41164=． 14. 如图，点A 在反比例函数()0k yk x=≠图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，若ABO 的面积为2，则k =________．【答案】4【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是122k =，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知：221AOB S k == ， 又反比例函数的图象位于第一象限，0k >，则4k =．故答案为：4．15. 若二次函数232y x x =−+过点(),3m ，则代数式2262023m m −+=________． 【答案】2025【解析】【分析】本题考查的是抛物线的性质．掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．由于抛物线经过点(),3m ，则231m m −=，把2262023m m −+整理后整体代入即可． 【详解】∵二次函数232y x x =−+过点(),3m ， ∴2323m m −+=， ∴231m m −=，∴()222620232320232120232025m m m m −+=−+=×+=． 故答案为：2025．16. 关于x 的一元一次不等式组()341221x x x x m − ≤−+≥−+至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13222m y y−=−−−的解为非负整数，则符合条件的整数m 的值之和为________． 【答案】2 【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m 的取值范围25<≤m ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得22m y −=，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答．【详解】解：()341221x x x x m − ≤−+≥−+①② 解①得：2x ≤， 解②得：23m x −≥， ∴223m x −≤≤， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴213m −≤， 解得：5m ≤；13222m y y−=−−−， 去分母得：1243m y −=−+， 解得：2my =， ∵分式方程的解为非负整数，且2y ≠ ∴0m ≥且4m ≠的偶数， 又∵5m ≤ ∴2m =，0∴符合条件的整数m 的值之和为202+=． 故答案：2．17. 如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，点E 为AB 中点，将矩形沿着EF 所在的直线翻折至矩形ABCD 所在的平面，点B ，C 的对应点分别是B ′，C ′，B E ′与CD 交于点G ，使得CF GF =，连接AB ′，B F ′，AF ，若25B G GF ′=，则GF =________；AB F S ′= ________．【答案】 ①. 5 ②. 985【解析】【分析】过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形，根据矩形的性质，结合折叠的性质可得4GH B C ′′==，GF GE =，令5GF CF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==，可知3HF C F C H a ′′=−=，根据勾股定理即可求解，则2B G ′=，7BE B E ′==，令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，再证明B OG B AE ′′△∽△，DOA MOB ′△∽△，结合相似三角形的性质求得2855B M AD ′==，由1122AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅△△△，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD 中，4AD BC ==，AB CD =，90B C D ∠==∠=°，AB CD ∥，则BEF DFE ∠=∠，由折叠可知，BE B E ′=，CF C F ′=，4BC B C ′′==，90C C ′∠=∠=°，90EB C B ′∠=∠=°，BEF B EF ′∠=∠，则B EF DFE ′∠=∠， ∴GF GE =，为过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形， ∴4GHB C ′′==，B G C H ′′=， ∵25B G GF ′=，CF GF =，令5GFCF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==， ∴3HF C F C H a ′′=−=，由勾股定理可得：222GH GF HF =−，即：()()222453a a =−，解得：1a =，∴5GF =，则2B G ′=，7BEB E ′==， 令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，∵点E 是AB 的中点，∴7AE BE ==，即14ABCD ==， ∵AB CD ∥，∴B OG B AE ′′△∽△，B G B O GF OA ′′==∴OG B GAE B E ′=′，即277OG =， ∴2OG =，∴7OF OG GF =+=，则2OD CD OF CF =−−=， ∵DOA MOB ′∠=∠ ∴DOA MOB ′△∽△，∴25B M B O AD OA ′′==，则2855B M AD ′==， ∴1118987422255AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅=××+=， 故答案为：5，985． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．18. 一个四位数M 各数位上的数字均不为0，若将M 的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N ，则称N 为M 的“翻折数”，规定()11M NF M +=．例如：1235的“翻折数”为5321，()12355321123559611F +==，则()2678F =________；若()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数，59x ≤≤，18y ≤≤），M 的“翻折数”N 能被17整除，则()F M 的最大值为________． 【答案】 ①. 1040 ②. 757 【解析】【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据()11M NF M +=代入求解()2678F 即可；首先表示出s 和t 的“翻折数”，然后求出3153x y ++的取值范围，进而分类讨论求得x ，y 的值，然后代入()11M NF M +=求解即可． 【详解】根据题意可得，()267887622678104011F +==；∵()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数59x ≤≤，18y ≤≤）， ∴M 的千位数字为6，百位数字为210x −，十位数字为1y +，个位数字为1， ∴M 的“翻折数”N 为()()10001001102106y x +++−+201001006x y =++()175593153x y x y =+++++，∵59x ≤≤，18y ≤≤， ∴333153150x y ≤++≤， ∵M 的“翻折数”N 能被17整除， ∴3153x y ++能被17整除， ∵x ，y 都是整数， ∴3153x y ++是整数，∴431533x y +=+，51，68，85，102，119，136，∴当431533x y +=+时，x ，y 无整数解， 当131535x y +=+时，13x y = = （舍去）或62x y = =，当831536x y +=+时，x ，y 无整数解， 当531538x y +=+时，x ，y 无整数解， 当2315310x y +=+时，36x y == （舍去）或85x y = = ，当9315311x y +=+时，x ，y 无整数解， 当6315313x y +=+时，x ，y 无整数解，∴当62x y = =时，()5001200610216231M =+×+×+=，1326N =，()6231132668711F M +==， 当85x y = =时，()5001200810516661M =+×+×+=，1666N =，()6661166675711F M +==， ∴()F M 的最大值为757， 故答案为：1040，757．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()22()m m n m n +−+（2）2214123a a a a −+÷ +【答案】（1）2n −； （2）321a a +−． 【解析】【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则．（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】解：()22()m m n m n +−+2222(2)m mn m mn n =+−++22222m mn m mn n =+−−− 2n =−；【小问2详解】解：2214123a a a a −+÷ + 2221413a a a a a+−÷+ ()()()321·2121a a a a a a ++=+− 321a a +=−． 20. 为了全面了解学生对校史的掌握情况，公能学校开展了校史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分为四组：A ．90100x <≤；B ．8090x <≤；C ．7080x <≤；D ．6070x <≤；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：68，76，78，79，84，85，86，86，86，86， 88，89，89，91，91，94，94，95，95，100．八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． 七、八年级所抽学生的校史知识竞赛成绩统计表年级 七年级 八年级 平均数8787中位数 87 b众数 a92根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________；b =________；m =________；（2）根据以上数据分析，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生对校史的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）公能学校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加此次校史知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的成绩优秀(90)x >的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；87；40（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）415 【解析】【分析】（1）根据众数和中位数定义求a 、b 值，先求出B 组人数占的百分比为35%，即可由%110%15%35%m =−−−求出m 值；（2）根据两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，可得出结论； （3）用各年级的总人数乘以年级的优秀率，再相加，列式计算即可求解. 【小问1详解】解：在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数86a =； ∵八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． ∴B 组人数占的百分比为：7100%35%20×=， ∵C 组人数占的百分比为15%，D 组人数占的百分比为10%， ∴A 组人数占的百分比为%110%15%35%40%m =−−−=，即40m =． ∴八年级20名学生竞赛成绩的中位数在B 组，的∴把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，89，故中位数8789872b +=， 故答案：86；87；40． 【小问2详解】解：八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：750060040%20×+× 175240+415=（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数大约是415人．【点睛】本题考查众数，中位数，统计表，扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．21. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD ，分别取BC ，CD 的中点M ，N ，连接AM ，DN 交于点E ，过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P ．则四边形BPDN 是平行四边形．（1）用尺规完成以下基本作图：过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P （只保留作图痕迹）．（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形BPDN 是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥．又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴12DM CD =，12CN BC =，∴ ① ，在ADM 与DCN 中，为AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()ADM DCN SAS ≌．∴ ② ．又∵90CDN ADN ∠+∠=°，∴90DAM ADN ∠+∠=°，∴90AED ∠=°，又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°，∴ ③ ．又∵DP BN ∥ ∴四边形BPDN 是平行四边形．进一步思考，智慧小组发现任取BC ，CD 的上点N ，M （M 不与C ，D 重合），DM CN =，连接AM ，DN ，过B 作AM 的垂线，交AD 于点P ，则四边形BPDN 是 ④ ．【答案】（1）见解析 （2）DM CN =；DAM CDN ∠=∠；∥BP DN ；进一步思考：四边形BPDN 是平行四边形 【解析】【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；（2）先证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠．从而证得90AQP AED ∠=∠=°，即可得到∥BP DN ．又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论；进一步思考：证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠，再证明∥BP DN ，又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论． 【小问1详解】解：如图所示，BP 就是所求作的经过点B 垂直于AM 于Q ，交AD 于P 的直线，【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴12DM CD =，12CN BC =， ∴DM CN =，在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 进一步思考：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了2m 元，“开心果半角”单价降低了m 元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求m 的值．【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x “开心果羊角”的单价为y 元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】解：设“流沙羊角”的单价为x 元，“开心果羊角”的单价为y 元，根据题意，得37254x y x y +=+= ， 解得：2017x y = =， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得960750 1.220217m m=×−−， 解得：2m =，经检验，2m =是方程的解且符合题意， ∴m 的值为2．23. 如图1，在菱形ABCD 中，5AB =，8BD =，动点P 从点A 出发，沿着A B C −−的路线运动，到达C 点停止，过点P 作PQ BD ∥交菱形的另一边于点Q ．设动点P 行驶的路程为x ，点P 、Q 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质；（3）函数11y x b 2=+与函数y 只有一个交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ ； （2）作图见解析，当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小； （3）50b −≤<或112b =． 【解析】【分析】（1）分点P 在AAAA 上和点P 在BC 上两种情况讨论，利用相似三角形的判定及性质构造等量关系，即可得到答案；（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；（3）结合函数图象，将()5,8、()0,0和()10,0代入11y x b 2=+，分别求出b 的值，即可得出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图，点P 在AAAA 上时，05x ≤≤，∵PQ BD ∥， ∴APQ ABD ∽，∴AP PQ AB BD =即58x y=， ∴85y x =， ∵5AB =，如图，点P 在BC 上时，∵四边形ABCD 是菱形， ∴5BC AB ==， ∴10PC x =−，当点P 在BC 上时，510x <≤， ∵PQ BD ∥， ∴CPQ CBD ∽，∴CP PQ CB BD =即1058x y −=， ∴8165y x =−+，综上可知，y 关于x 的函数表达式为()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ 【小问2详解】解：由（1）所得关系式可知，x0 5 8 10 y83.2函数图象如下：性质：当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】解：如图，由图象可知，函数11y x b 2=+的图象在3l 和2l 之间时，与函数y 只有一个交点， 将()5,8代入11y x b 2=+，得：1852b =×+，解得：112b =， 将()0,0代入11y x b 2=+，得：0b =， 将()10,0代入11y x b 2=+，得：5b =−， ∴b 的取值范围为50b −≤<或112b =．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质，求一次函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．24. 如图，M 为沙坪坝区物流中心，N ，P ，Q 为三个菜鸟驿站，N 在M 的正南方向4.3km 处，Q 在M 的正东方向，P 在Q 的南偏西37°方向2.5km 处，N 在P 南偏西64°方向．（sin370.60°≈，cos370.80°≈，tan370.75°≈，sin640.90°≈，cos640.44°≈，tan64 2.05°≈）（1）求驿站P ，驿站N 之间的距离（结果精确到0.1km ）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M 出发，以30km/h 的速度沿着M N P Q ———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N ，P 两个驿站各停留6min 存放快递，请计算说明派送员能否在40min 内到达驿站Q ？【答案】（1）5.2km （2）能，理由见解析 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键．（1）过点P 作PA MN ⊥于A ，PB MQ ⊥于B ，先解Rt PBQ △，求得2km PB =，再证明2km AM PB ==，从而得出 2.3km AN =，然后解Rt PAN △，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与40min 比较即可得出答案． 【小问1详解】解：过点P 作PA MN ⊥于A ，PBMQ ⊥于B ，如图，根据题意，得37BPQ PQD ∠=∠=°，64PNA NPC ∠=∠=°， 4.3km MN =， 2.5km PQ =， 在Rt PBQ △中，∵cos PB BPQ PQ∠=， ∴()cos 2.5cos37 2.50.802km PBPQ BPQ =⋅∠=×°≈×=， ∵PA MN ⊥，PBMQ ⊥，90NMQ ∠=°，∴四边形AMBP 是矩形， ∴2km AM PB ==，∴()4.32 2.3km AN MN AM =−=−=，在Rt PAN △中，∵cos PNA ∠∴()2.3 2.3 5.2km cos cos 640.44ANPNPNA ==≈≈∠°，答：驿站P ，驿站N 之间的距离约为5.2km ． 【小问2详解】解：∵30km/h 0.5km/min =，∴()()4.3 5.2 2.50.56236min ++÷+×=， ∵36min<40min ，∴派送员能在40min 内到达驿站Q ．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =−+与抛物线()230y ax x a =−+≠交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，直线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，过P 作PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，求PQ AQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）PQ AQ 的最大值的条件下，连接BP ，将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上，M 是新抛物线上一动点，当MAB BPQ ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）2134y x x =−−+（2）PQ AQ +的最大值为4，()2,4P −（3）点M 的坐标为()2,2或 【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出点()2,0A ，再把()2,0A 代入23y ax x =−+，求出a 值即可；（2）延长PQ 交y 轴于D ，证明OAC DAQ ∽，得AC OC AQ DQ =1DQ =，求得DQ AQ =，再设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x−+ ，则211242PQ x x =−−+，112QD x =−+，所以()21244PQ AQ PQ QD PD x +=+==−++，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为2114y x x =−++，再分两种情况：当点M 在直线AB 上方时，当点M 在直线AB 下方时，分别求解即可． 【小问1详解】解：对于直线112y x =−+， 令0y =，则1102x −+=，解得：2x =， ∴()2,0A ，把()2,0A 代入23y ax x =−+，得0423a −+， 解得：14a =−， ∴抛物线的表达式2134y x x =−−+． 【小问2详解】解：延长PQ 交y 轴于D ，对于直线112y x =−+， 令0x =，则1y =， ∴CC (0,1)， ∵()2,0A∴AC ==∵PQ y ∥轴，即QD OC ∥， ∴OAC DAQ ∽∴AC OC AQ DQ =1DQ=，∴DQ AQ =， 设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x −+，∴2211113124242PQ x x x x x=−−+−−+=−−+，112QD x =−+∴()221132444PQ AQ PQ QD PD x x x =+==−−+=−++ ∵104−< ∴当2x =−时，PQ AQ +的最大值为4； ∴()2,4P −． 【小问3详解】解：联立，2134112y x x y x =−−+=−+， 解得：1143x y =− = ，2220x y = = ，∴()4,3B −，由（2）知，在PQ AQ +的最大值的条件下，抛物线的顶点为点()2,4P −，对称为直线PQ ， 当2x =−时，则()12122y =−×−+=， ∴()2,2Q −， 则2PQ =，PB QB∴BPQ BQP ∠=∠， ∵将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上， ∴点Q 平移后与点A 重合， ∵()2,2Q −，()2,0A ，∴抛物线沿射线BA 方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴抛物线顶点()2,4P −平移后到点()2,2P ′，点()4,3B −平移后到点()0,1B ′，即B ′与C 重合，∴BPQ B P A ′′ ≌，抛物线平移后的解析式为()221122144y x x x =−−+=−++，∴BPQ B P A ′′∠=∠， ∵()0,1B ′，()2,2P ′，∴P B =′=′∵()0,1B ′，()2,0A ，∴AB ′=，∴P B AB ′′′=， ∴B AP B P A ′′′′∠=∠， 当点M 在直线AB 上方时，∵MAB BPQ ∠=∠， ∴MAB B P A ′′∠=∠， ∴点M 与点P ′重合， ∴()2,2M ，当点M 在直线AB 下方时，设21,14M x x x−++， 过点M 作ME PQ ∥，交AB 于E ，交x 轴于N ，则MEA BQP ∠=∠，1,12E x x−+， 则AOC ANE △∽△，∴AC OCAE EN=，则E AE EN AC =⋅=， ∵MAB BPQ ∠=∠， ∴BPQ MAE △∽△，∴BQ PQ ME AE=，则BQ ME PQ AE =，=，整理得：32E M y y =−， 即：231111224x x x −+=−−++，解得：x =（x =，此时，M y =∴M ， 综上，符合条件的点M 的坐标为()2,2或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键．26. 在ABC 中，AC BC =，D 为线段AB 上一点，连接CD ．（1）如图1，若30B ∠=°，AC AD =，过A 作AE CD ⊥于O ，交BC 于E ，2CE =，求线段BE 的长；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥交CD 延长线于点F ，以BC 为斜边在ABC 的右侧作等腰直角三角形BCG ，过点G 作GH AB ∥，交DC 的延长线于点H ，HC FB =．猜想线段AD ，BD ，CD 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，60ACB ∠=°，过A 作AQ BC ⊥于Q ，作ACB ∠的角平分线交AQ 于M ，取CM 的中点N ，连接QN ．点K 为直线BC 上的动点，连接NK ，将QKN 沿着NK 所在直线翻折至ABC 所在平面得到Q KN ′ ，连接MQ ′，取MQ ′中点P ，连接CP ．将12CD 绕着点D 顺时针旋转至直线AB 上方DR 处，使得BDR ACD ∠=∠．当CP 取得最小值时，连接AP ，PR ，AR ，当ARP △以AP 为腰的等腰三角形时，请直接写出DR AP的值． 【答案】（1）（2）AD BD =+（3 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得120ACB ∠=°，75ACD ∠=°，得45DCE ∠=°，根据线段垂直平分线性质，得2CE DE ==，得90CED ∠=°，即得BE = （2）过点C 作CI AB ⊥于I ，得AI BI =，根据等腰直角BCG 中，90BG CG BGC =∠=°，，BF CD ⊥，得点G 、C 、F 、B 在以BC 为直径的圆上，得GCH GBF ∠=∠，结合HC FB =，得()SAS GCH GBF ≌，得GF GH BGF CGH =∠=∠，， 得90FGH ∠=°，证明45IDC H ∠=∠=°，得DI =，根据BI BD DI =+，AD AI DI =+，即得AD BD =+；（3）证明当'Q 与C 重合时，点P 与点N 重合，PC 取得最小值，当AP AR =时，设CD 中点为T ，连接RT BR CR ，，，由对称性知，点R 在ABC ∠的平分线上，得CR AR =，由BDR ACD ∠=∠，得60CDR CAD ∠=∠=°，根据RT DT CT ==，得DTR 是等边三角形，得30RCT ∠=°，90CRD ∠=°，得tan DR DCR CR ∠=；②延长CM 交AB 于L ，过B 作BS AC ∥，交DR 延长线于S ，连接CS ，则AL BL =，60CBS ACB ∠=∠=°，得60CBS CDS ∠=∠=°，得B 在过C 、D 、S 三点的圆上，得60CSD CBD ∠=∠=°，得 CDS 是等边三角形，当D 与点B 重合时，T 与Q 重合，点R 在BS 上，根据150NQB NQR ∠=∠=°，BQ RQ NQ NQ ==，，得()SAS BQN RQN ≌,得BN RN =，得AN RN =，设ABC 的边长为2，则1AL =，CL =，根据23CM CL =，N 是CM 中点，得NL =，得AN =DR AP =【小问1详解】解：AC BC = ，30B ∠=°。
2024—2025学年度第一学期期中学业质量检测九年级数学试题
2024—2025学年度第一学期期中学业质量检测九年级数学试题(满分分值: 150分 考试时间: 120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．) 1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 ( ▲ ) A. 2x=72.下列图形中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是 ( ▲ )3．O 是ABC ∆的内切圆，则点O 是ABC ∆的( )A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高的交点4．已知O 的半径为3，点P 在O 外，则OP 的长可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3OA m =， 1.5OB m =，则阴影部分的面积为( )A ．294m πB ．23mC ．2174m πD 225π 6．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为( )A ．10080100807644x x ⨯--=B ．2(100)(80)7644x x x --+=C ．(100)(80)7644x x --=D ．10080356x x +=7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，25B ∠=︒．若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的度数为( )A ．25︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒8．有两个一元二次方程：2:0A ax bx c ++=，2:0B cx bx a ++=，其中 a-c ≠0, 下列四个结论中，错误的是 ( )A. 如果方程A 有两个不相等的实数根，那么方程B 也有两个不相等的实数根；B. 如果方程A 两根符号相同，那么方程B 的两根符号也相同；C. 如果2是方程A 的一个根，那么12是方程B 的一个根D. 如果方程A 和方程B 有一个相同的根，那么这个根必是1.二、填空题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分. 不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上) 9.写出一个解为2的一元二次方程： ▲ .10．已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 2cm ．11．如图，四边形ABCD 内接于O ，110A ∠=︒，则C ∠= ︒，依据是 ．12．如图，点A ，B ，C 在O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为 ．13．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为 厘米．14．某药品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同，每瓶零售价由150元降为96元，那么下降的百分率是 ．15．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，连接BD 、OD ，则BDO ∠= ︒．16．若x m =是一元二次方程2310x x ++=的一个解，则22023412m m --的值为 ．17．如图，点A ，B ，C 在O 上，90AOC ∠=︒，22AB =，1BC =，则O 的半径为 ．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径是1．过O 上一点P 作等边三角形PDE ，使点D ，E 分别落在x 轴、y 轴上，则PD 的取值范围是 ．三、解答题 (本大题共9小题，共96分. 请在答题卡上指定区域内作答. 解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．.)19. (本题满分8分) 解方程:20.关于x的方程22(2)0+++=．x m x m（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．21．已知ABC∆在平面直角坐标系中位置如图．（1）利用格点画出ABC∆的外接圆P，并写出圆心P的坐标为．（2）画出ABC'；∆绕点C按顺时针方向旋转90︒后的△A B C'（3）求（2）中点A旋转到点A'所经过的路线长（结果保留)π．22.如图，在ABCBAC∠=︒．∆中，90（1）请你画一个半圆使得圆心O在边BC上，并与AB、AC都相切（保留画图痕迹）；（2）已知4AB=，3AC=，求（1）中所画圆的半径．23.如图，在Rt ABCBAC∠=︒，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的D与AC相交∆中，90于点E（1）求证：BC是D的切线；（2）若5BC=，求CE的长．AB=，1324．某水果商场销售一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，(1) 若每千克涨价2元，则每天可售▲千克.(直接写出答案)；(2) 现该商场要保证这种水果每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元?(3) 商场每天能盈利7000元吗? 为什么?(4) 请直接写出商场这种水果每天盈利的最大值为▲元.25．“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：解无理方程12x+=解：方程两边同时平方，得：14x+=，解这个一元一次方程，得：3x=，检验：当3=+==右边，x=时，左边312所以，3x=是原方程的解．通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．通过上面的学习，请解决以下两个问题：（1）解无理方程：23+=；x x（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点(5,3)B，90+=，求点C的坐标．OC BCOAB B∠=∠=︒，726．由两个全等的Rt△ABE和构成如图①所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q.分别以m、q、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程称为勾股方程.(1) 方程(填“是”或“不是”)“勾股方程”；（2）若勾股方程220mx qx n++=有两个相等的实数根，求mq的值．27.某数学活动小组对一个数学问题作如下探究：(1)【问题发现】如图①, 正方形ABCD的四个顶点在⊙O上, 点E在AB上, 连接AE、BE、DE, 若在 DE上取一点F, 使得DF=BE, 连接AF, 发现与△ABE全等，请说明理由；(2)【变式探究】如图②, 正方形ABCD的四个顶点在⊙O 上, 若点E在AD上,过点A作AG⊥BE, 探究线段BE、DE 、AG间的数量关系, 并说明理由;(3)【结论运用】如图③,在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=4.点D为AB边上一动点, 连接CD, 点E为CD边上一动点, 连接BE, 以BE为边, 在BE右侧作等边△BEF，连接CF. 当点 D从AB的四等分点(靠近点B) 出发，向终点A 运动，同时，点E从点 D 出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持∠BEC=90°，则CF的最小值为▲，点F所经过的路径长为▲ .(直接写出结果)。
河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷[含答案]
![河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/c6b10f9e760bf78a6529647d27284b73f24236ab.png)
2024-2025学年上期九年级期中考试数学试题考试范围：九年级上册考试时间：100分钟，试卷满分：120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为（ ）A ．210x x+=B ． 20x xy -=C ． 221x x +=D ． 20ax bx +=（a 、b 为常数）2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖．如图所示.下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知线段a 、b 、c ，作线段x ，使b ：a ＝x ：c ，则正确的作法是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．185．若把方程2410x x --=化为2()x m n +=的形式，则n 的值是（ ）A ．5B ．2C ．2-D ．5-6．如图，已知矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，DF AE ^于点F ，且6AB =，12AD =，10AE =，则DF 的长为（ ）A ．5B ．113C ．365D ．87．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为22m ．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为2520m ，求车道的宽度（单位：m ）．设停车场内车道的宽度为m x ，根据题意所列方程为（ ）A ．(402)(22)520x x --=B ．(40)(22)520x x --=C ．(40)(222)520x x --=D ．(40)(22)520x x -+=8．下列给出的条件不能得出ABD ACB ∽△△的是（ ）A ．AD BDAB BC=B ．ABD ACB Ð=ÐC ．2AB AD AC=×D ．ADB ABCÐ=Ð9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则D 点坐标为（ ）A ．1,22æöç÷èøB ．1,13æöç÷èøC ．()1,2D ．1,24æöç÷èø10．如图（1），正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM ，过点O 作OM 的垂线交CD 于点N ，点M 从点B 出发匀速运动到点C ，设BM x =，PN y =，y 随x 变化的图象如图（2）所示，图中m 的值为（ ）A B ．1C D ．2二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．若1x =是关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根，则m 的值为 ．12．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB CD =、EF GH =；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学原理是：．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝ 度．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上一点，连结AC DE 、交于点F ．若23AE EB =，则ADF AEF S S =△△ ．15．如图，在矩形纸片ABCD中，2AD AB ==，点P 是AB 的中点，点Q 是BC 边上的一个动点，将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，连接DE CE ，，则当DEC V 是以DE 为腰的等腰三角形时，BQ 的长是 ．三、解答题（共8小题，共75分）16．解方程：(1)2630x x -+=；(2)23210x x --=．17．在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1002003005008001000摸到黑球的次数m 65118189310482602摸到黑球的频m na0.590.630.620.6030.602(1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）；(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．18．一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：AF //CE ；（2）当∠BAC ＝ 度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．19．已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x -=，求a 的值；20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？21．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A 'B ′，∠A ′（∠A ′=∠A ），以线段A ′B ′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A 'B ′C ′，使得△A 'B ′C ′∽△ABC ，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．22．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C 处放一面平面镜，从点C 处后退1m 到点D 处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像；再将平面镜向后移动4m （即4m FC =）放在F 处．从点F 处向后退1.5m 到点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像，测得的眼睛距地面的高度ED 、GH 为1.5m ，已知点B ，C ，D ，F ，H 在同一水平线上，且GH FH ^，ED CD ^，AB BH^（平面镜的大小忽略不计）．方案二：利用标杆CD 测量灯柱的高度，已知标杆CD 高1.5m ，测得2m DE =，2.5m CE =．方案三：利用自制三角板的边CE 保持水平，并且边CE 与点M 在同一直线上，已知两条边0.4m CE =，0.2m EF =，测得边CE 离地面距离0.3m DC =．三种方案中， 方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．23．在ABC V 中，AB AC =，BAC a Ð=，点D 为线段CA 延长线上一动点，连接DB ，将线段DB 绕点D 逆时针旋转，旋转角为a ，得到线段DE ，连接BE ，CE ．(1)如图1，当60a =°时，ADCE的值是______；DCE Ð的度数为______°；(2)如图2，当90a =°时，请写出ADCE的值和DCE Ð的度数，并就图2的情形说明理由；(3)如图3，当120a =°时，若8AB =，7BD =，请直接写出点E 到CD 的距离．1．C【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 为常数且0a ¹）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可．【详解】解：A ．关于x 的方程210x x+=不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B ．20x xy -=，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C ．221x x +=是一元二次方程，符合题意．D ．20ax bx +=（a 、b 为常数），当0a =时，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C ．2．D【分析】根据三视图解答即可．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的作法是解题的关键．【详解】解：“斗”的俯视图是，故选D ．3．B【分析】把已知比例式化为等积式，再根据平行线分线段成比例先写出比例式，再化为等积式，比较后可得结论.【详解】解：Q b ：a ＝x ：c ，,ax bc \=由平行线分线段成比例可得：选项A ：,b ac x= 可得：,ac bx = 故A 不符合题意；选项B ：,b ax c= 可得：,ax bc = 故B 符合题意；选项C ：,b xc a= 可得：,ab cx = 故C 不符合题意；选项D ：,a xb c= 可得：,ac bx = 故D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“平行线分线段成比例，把比例式化为等积式”是解题的关键.4．D【分析】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键．先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．【详解】从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球等可能的结果如下：最美河南最最最最美最河最南美最美美美河美南河最河美河河河河南南最南美南河南南南一共16种结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种，∴摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是21168=，故选D ．5．A【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：将2410x x --=配方得，2(2)5x -=，则5n =，故选A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．6．C【分析】通过证明ADF EAB V V ∽，可得DF ADAB AE=，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B Ð=°，AD BC ∥，∴DAE AEB ÐÐ=，∵DF AF ^，∴90DFA B ÐÐ==°，∴ADF EAB V V ∽，∴DF ADAB AE =，∴12610DF =，∴DF =365，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．7．B【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x 的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为2520m 列方程即可．【详解】解：设停车场内车道的宽度为m x ，将两个停车位合在一起，则长为()40m x -，宽为()22m x -，因此(40)(22)520x x --=，故选B ．8．A【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键．【详解】解：A. A A Ð=Ð，AD BDAB BC=，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到ABD ACB ∽△△，故符合题意；B.A A Ð=Ð，ABD ACB Ð=Ð，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；C.A A Ð=Ð，2AB AD AC =×即AB ACAD AB=，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；D.A A Ð=Ð，ADB ABC Ð=Ð，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；故选A ．9．C【分析】根据位似图形的性质结合相似比得出AD 的长和//AD BG ，得到OAD OBG ∽△△，得出AO 的长，进而求出D 点坐标．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13AD BG =，//AD BG ，∵6BG =，∴2AB AD ==，∵//AD BG ，∴OAD OBG ∽△△，∴13==OA AD OB BG ，即123==++OA OA OA AB OA ，解得：1OA =，∴D 点坐标为()1,2．故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换以及相似三角形的判定与性质．正确得出OA 的长是解题的关键．10．B【分析】当点M 与点B 重合时，可得m PN CP ==；当点M 与点C 重合时，可得PN PD ==．在Rt POD V 中，求解CP 即可．【详解】解：当点M 与点B 重合时，如图：∵四边形ABCD 是正方形∴AC BD^此时，点N 与点C 重合m PN CP\==当点M 与点C 重合时，如图：∵四边形ABCD 是正方形∴,AC BD OD OC^=此时，点N 与点D 重合结合图2可知：PN PD ==设OD OC a==∵点P 为OC 的中点12OP CP a \==在Rt POD V 中，2222221,2PD OP OD a a æö=+=+ç÷èø解得：122,2a a ==-（舍去）∴1CP =，即1m =故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键．11．5【分析】：把1x =代入方程260x mx +-= ，求出关于m 的方程的解即可．【详解】把1x =代入方程260x mx +-= ，得160m +-=，解得5m =．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12． 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可．【详解】因为AB CD =、EF GH =，所以窗框是平行四边形，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．24【分析】由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH ＝12BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°，∵DH ⊥AB ，∴OH ＝12BD ＝OB ，∴∠OHB ＝∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH ＝∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，∴∠DHO ＝∠DCO ＝12∠DCB ＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．14．52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则,AB CD AB CD =P ，可证明EAF DCF V V ∽，得到DF CD AB EF AE AE==，由23AE EB =进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AEF CDF EAF DCF Ð=ÐÐ=Ð，∴EAF DCF V V ∽，∴DF CD AB EF AE AE ==,∵23AE EB =，∴52AB AE =，∴52ADF AEF S DF AB S EF AE ===△△．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明EAF DCF V V ∽是解题的关键．151【分析】存在两种情况：当DE DC =，连接DP DQ ，，勾股定理求得DP 的长，可判断P ，E ，D 三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当DE EC =，证明BPEQ 是正方形，可得到结论．【详解】解：①当DE DC =时，如图1，连接DP DQ ，，∵点P 是AB的中点，2AB AD ==，ABCD 是矩形，∴901A AP PB Ð=°==，，∴3DP ===，∵将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，∴1PE PB ==，∵2DE DC AB ===，∴123PE DE +=+=，∴点P ，E ，D 三点共线，∵90B DCB Ð=Ð=°，∴90DEQ DCQ Ð=Ð=°，设BQ x =，则QE x CQ x ==，，在Rt DEQ △和Rt DCQ △中，根据勾股定理得：22222DQ DE EQ DC CQ =+=+，∴()222222x x +=+，解得：x =，∴BQ =②当DE EC =时，如图2，∵DE EC =，∴点E 在线段CD 的垂直平分线上，∴点E 在线段AB 的垂直平分线上，∵点P 是AB 的中点，∴EP 是AB 的垂直平分线，∴90BPE Ð=°，∵将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，∴90B PEQ PB PE Ð=Ð=°=，，∴四边形BPEQ 是正方形，∴1BQ PB ==，综上所述：BQ 或1．1．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．16．(1)1233x x ==；(2)113x =-，21x =．【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）2630x x -+=，2696x x -+=，∴()236x -=，即3x -=解得：1233x x ==；（2）23210x x --=，∴()()3110x x +-=，解得：113x =-，21x =．17．(1)0.6；(2)12【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率；（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6，故答案为：0.6；（2）列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为61 122=18．（1）见解析；（2）30，理由见解析．【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF//CE；（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠DAC＝∠BCA，由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝12∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝12∠BCA，∴∠HAF＝∠MCE，∴AF//CE；（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AB//CD，由（1）得：AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝60°．∴∠ACD＝30°，由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，∴∠HAF＝∠ACD，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：30．【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．(1)见解析(2)5a =或1a =-【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系．（1）根据根的判别式24b ac D =-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出12x x +，12x x ×，即()2212121249x x x x x x -=+-=，从而列出关于a 的方程，解出即得出结果．【详解】（1）证明：∵()()()222414420a a a a a =---=-+=-³V ，\该方程总有两个实数根；（2）解：Q 方程的两个实数根1x ，2x ，由根与系数关系可知，12x x a +=，121x x a ×=-，123x x -=Q 2129x x \-=()()2212121249x x x x x x \-=+-=，∴24(1)9a a \--=即2(2)9a -=，23a \-=或23a -=-，∴5a =或1a =-．20．40元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价应定为x 元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设售价应定为x 元，由题意可得：()()1002050030800010x x éù---=êúëû，整理得：210024000x x -+=，解得：140x =，260x =，∵更大优惠让利消费者，∴40x =，答：售价应定为40元．21．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作∠A 'B 'C =∠ABC ，即可得到△A 'B ′C ′；（2）依据D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，即可得到A D AB AD AB ¢¢¢¢=，根据△ABC ∽△A 'B 'C '，即可得到A B A C AB AC ¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，进而得出△A 'C 'D '∽△ACD ，可得C D A C k CD AC¢¢¢¢==．【详解】（1）如图所示，△A 'B ′C ′即为所求；（2）已知，如图，△ABC ∽△A 'B 'C '，A B B C A C AB BC AC¢¢¢¢¢¢===k ，D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，求证：C D CD ¢¢=k ．证明：∵D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，∴AD =12AB ，A 'D '=12A 'B '，∴1212A B A D A B AD AB AB ¢¢¢¢¢¢==，∵△ABC ∽△A 'B 'C '，∴A B A C AB AC ¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，∵A D A C AD AC¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，∴△A 'C 'D '∽△ACD ，∴C D A C CD AC¢¢¢¢==k ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．22．二、三，12米【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中ABE V 缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及90EDC ABC Ð=Ð=°，进而证明ABC EDC V V ∽，同理可得ABF GHF △∽△，根据方案一的数据计算即可【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中ABE V 缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中AMC V 缺少边长的条件，故方案三不可行，故答案为：二，三选方案一,ECD ACB EDC ABC Ð=ÐÐ=ÐQ ，ABC EDC \V V ∽，AB BC ED CD\=，∵1CD =，1.5 1.51BC ED BC AB BC CD ´\===，设BC x =，则 1.5AB x =，同理可得ABF GHF △∽△，AB BF GH FH=，1.5,4, 1.5, 1.5AB x BF BC CF x GH FH ==+=+==Q ，1.541.5 1.5x x +\=，解得8x =．1.512AB x ==米．23．(1)160(2)45AD DCE CE =Ð=°，理由见解析【分析】（1）当60a =°时，ABC V 和BDE V 为等边三角形，证明ABD CBE V V ≌即可求解；（2）当60a =°时，ABC V 和BDE V 为等腰直角三角形，证明ABD CBE ∽△△即可求解；（3）过点A 作AH BC ^于H ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为120°，得到线段DE ，连接BE ，CE ．过点B 作BM AC ^于点E ，过点E 作EN AC ^于点N ，则点E 到CD 的距离就是EN 的长度，分两种情况进行讨论，当当D 在线段AM 上时或当D 在线段AM 延长线上时，类似（2）构造相似三角形求解即可．【详解】（1）解：当60a =°时，∵AB AC =，∴ABC V 为等边三角形，∴AB BC =，60ABC ACB Ð=Ð=°，120BAD Ð=°，由旋转的性质可得：60BDE Ð=°，BD ED =，∴BDE V 为等边三角形，∴BD BE =，60EBD Ð=°，∴60DBE ABC Ð=Ð=°，∴DBA EBCÐ=Ð在ABD △和CBE △中DB EB DBA EBCAB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴ABD CBEV V ≌∴=AD CE ，120BAD BCE Ð=Ð=°，∴1AD CE=，60DCE BCE ACB Ð=Ð-Ð=°．故答案为：1，60；（2）解：45AD DCE CE =Ð=°，理由如下：当90a =°时，∵AB AC =，∴ABC V 为等腰直角三角形，∴AB BC =，45ABC ACB Ð=Ð=°，90BAD Ð=°，由旋转的性质可得：90BDE Ð=°，BD ED =，∴BDE V 为等腰直角三角形，∴BD BE =45EBD Ð=°，∴45DBE ABC Ð=Ð=°，∴DBA EBC Ð=Ð，又AB BD BC BE ==∴ABD CBE∽△△∴AD AB CE BC ===90BAD BCE Ð=Ð=°，∴45DCE BCE ACB Ð=Ð-Ð=°；（3）解：过点A 作AH BC ^于H ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为120°，得到线段DE ，连接BE ，CE ．过点B 作BM AC ^于点E ，过点E 作EN AC ^于点N ，则点E 到CD 的距离就是EN 的长度，当D 在线段AM 上时，如下图：由题意可得：8AB AC ==∵120a =°，∴60MAB Ð=°，30ABC ACB Ð=Ð=°，2BC BH =，∴4AH =，BH =∴AB BC =，同理BD BE =30EBD Ð=°，∴AB BD BC BE ==EBD ABC Ð=Ð，∴ABD CBE Ð=Ð，∴ABD CBE ∽△△，∴AD AB CE BC =，60BAD BCE Ð=Ð=°，∴CE ，30ECN ECB ACB Ð=Ð-Ð=°，在Rt ABM V 中，8AB =，60MAB Ð=°，∴4AM =，=BM在Rt BDM V 中，=BM 7BD =，∴1MD =，∴3AD AM DM =-=，∴ CE =∵30ECN Ð=°，EN AC ^，∴12EN EC =当D 在线段AM 延长线上，如下图：同理：CE =，30ECN Ð=°，5AD AM DM =+=，∴CE ∴12EN EC =综上所述：点E 到CD 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．。
湖北省武汉市江岸区2024-2025学年上学期九年级数学期中试题
2024-2025年江岸区九年级期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1.一元二次方程2x2+3x＝-1化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是A.2，3，1B.2，3，-1C.2，-3，1D.2，3，02.下列文物标识中，是中心对称图形的是（ ）A.黄鹤楼B.太阳神鸟C.华表D.天坛3.在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）A.y＝x2+2B.y＝x2-2C.y＝-x2+2D.y＝-x2-24.判断方程x2-2x-8＝0的根的情况正确的是（ ）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根5.如图，在平面内将△AOB绕点O按顺时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠AOD的度数为（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°6.下列说法中，正确的是（ ）①同圆中，所有的半径都相等;②圆中的直径是弦，弦是直径;③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心;④相等的圆心角所对的弧相等.A.①②B.①③C.①④D.③④7.根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（ ）x…-1012…y…-7-5-15…A.y＝x2+3x+5B.y＝x2+3x-5C.y＝-x2+3x-5D.y＝-x2-3x-58.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（ ）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm9.已知二次函数y＝x2-2x-2024的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则a2+2b 的值为（ ）A.2023B.2024C.2028D.202910.对于正数x，规定，例如:f（1）＝212+1＝1，f（2）＝222+2＝13，f（3）＝232+3＝16，则f（1）+f（2）+…+f（2023）+f（2024）的值为（ ）A.2023B.20231012C.20232024D.40482025二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置.11.在平面直角坐标系中，点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为_______.12.已知x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个不相等的实数根，则x1x2-x1-x2的值为.13.某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程_____________.（不必解方程）14.如图，点A，B，C在圆O上，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若∠BPC＝130°，则∠BMC＝.15.已知二次函数y＝x2-2ax+a（a为常数），下列四个结论:①若a＞1，则该二次函数图象与x轴有两个交点;②该二次函数图象经过定点（12，12）;③该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上;④若a＞0，该二次函数图象与直线y＝x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1-x2|＜2a.其中正确的结论序号是_______.16.点C在以AB为直径的圆上，∠CAB＝30°，点E为线段AC的中点，点D在BE的延长线上，∠ADB＝30°，若AD＝2，则DB＝_____.三、解答题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.（本小题满分8分）解方程:3x2-4x-7＝018.（本小题满分8分）参加某次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，共有多少人？19.（本小题满分8分）已知函数y＝12x2-2x-1.（1）该函数图象的开口方向是______;（2）抛物线与y轴的交点坐标是______;（3）当-3＜x＜6时，则函数y的最小值是______;（4）当y＞-1时，则自变量x的取值范围是_________.20.（本小题满分8分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接AC、BC、OD，DF⊥AB于点F，∠CBA+2∠BAD＝90°.（1）求证:点D是BC的中点;（2）若BF＝1，DF＝2，求AC的长.下图是由单位长度为1的小正方形组成的10×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）在射线AB上取格点D，使AD＝AC;（2）画∠CAD的角平分线AE;（3）在AC上取点F，使AF＝2;（4）将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为∠BAC，得到△AFG.22.（本小题满分10分）又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长40m，宽20m 的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过15m），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元.（1）设花卉B区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量:花卉A的种植面积是_______m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2.（2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（0＜a＜3）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为______.（直接填写答案）（1）[问题背景]如图1，在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC外一点，点M 为BP延长线上一点,点N为线段PC上一点,AM⊥BP于点M,AN⊥CP于点N,且∠ACP＝∠ABP.求证:AM＝AN;（2）[类比探究]如图2，在△ABC中，AB＝AC，Q为△ABC外一点，当∠BAC ＝60°，∠AQB＝150°，AQ＝2，BQ＝3时，求CQ的长度;（3）[拓展应用]如图3，在△ABC中，∠B＝60°，点D，E分别在边BC，AB 上，BD＝BE，AE＝BC,连结AD、DE,点F是DE延长线上一点,且∠FAC＝60°,连接CF.求证:∠ACF＝∠ADF.24.（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2-2ax-3经过点A（-1，0）.（a为常数，且a≠0）（1）求抛物线的函数表达式;，试（2）已知点C（1，-5），点D为x轴下方的抛物线上一点，满足S△ACD＝52求点D的横坐标;（3）如图2，若直线y＝kx-k-5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为点P，求证:直线PM过定点，并求出定点坐标.。
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 有下列四个数：-1, 0, 1, √2，其中无理数是（）A. -1B. 0C. 1D. √2答案：D解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，√2无法表示为两个整数的比，故选D。
2. 下列各数中，与-3的平方相等的是（）A. 3B. -3C. 9D. -9答案：C解析：-3的平方为9，故选C。
3. 已知a = 2，b = -3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 25B. -25C. 1D. -1答案：A解析：将a和b的值代入a² - 2ab + b²，得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25，故选A。
4. 下列等式中，正确的是（）A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案：B解析：幂的乘方规则，(a³)² = a³² = a⁶，故选B。
5. 已知|a| = 5，且a < 0，则a的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10答案：B解析：绝对值表示一个数的非负值，|a| = 5表示a的绝对值为5，由于a < 0，所以a = -5，故选B。
6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，y = x³满足这个条件，故选B。
7. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案：D解析：任何数的平方都是非负数，所以x² ≥ 0对所有的x都有解，故选D。
辽宁省鞍山市铁西区2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题(含答案)
九年级数学学情调查（十一月）2024（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知关于x 的一元二次方程的一个根是，则m 的值为（ ）A .1B .－2C .－1D .32.在平行四边形ABCD 中，AB ，BC 的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线AC 长的取值范图是（ ）A .AC ＞1B .1＜AC ＜5C .5＜AC ＜19D .AC ＞5或＜93.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.将抛物线平移得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）A .先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B .先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C .先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D .先向右平移1个单位，再向上平移2个单位5.观察表格，估算一元二次方程的近似解：1.4 1.5 1.6 1.7 1.8－0.44－0.25－0.040.190.44由此可确定一元二次方程的一个近似解x 的范围是（ ）A .B .C .D .6.随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2520x x m +-=1x =27120x x -+=2y ax bx c =++1x =-(,2)M c a b -()24,N b ac a b c --+23y x =-23(1)2y x =---210x x --=x21x x --210x x --=1.4 1.5x << 1.5 1.6x << 1.6 1.7x << 1.7 1.8x <<A .B .C .D .7.如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点D 恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数为（ ）A .100°B .90°C .80°D .70°8.如图，正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE ，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EF ．连接DF 、BF ，若∠DFE ＝，则∠CBF 一定等于（ ）A .B .C .D.9.如图，△ABC 和△CDE 两个全等的直角三角形，∠B ＝∠CDE ＝90°，连结AD 交CE 于点F ．若，则的值为（ ）A .B .C .D .10.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，延长CD 到点E ，连接BE 交AD 于点G ，点F 为BE 的中点，连接CE ，以点C 为圆心，CF 长为半径的圆弧经过点G ，连接CG ，若BE ＝10，则DG 的长为（ ）α45α- α903a - 12α12AB BC =DF AF13122523A .4B .5C .6D .3第二部分 非选择题二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共15分）11.若a 是一元二次方程的一个根，则的值是 ．12.2023年德尔塔（Delta ）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有169人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒．13.下列命题：①若时，一元二次方程一定有实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③若二次函数，当取时，函数值相等，则当x 取时函数值为0；④若，则二次函数图象与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是 （填序号）14.如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点D 从B 点开始沿BC 向B 点以1cm /s 的速度移动，点E 从C 点开始沿 CA 边向A 点以2cm /s 速度移动，如果D 、E 分别从B 、A 同时出发，那么 秒后，线段DE 将△ABC 分成面积1：2的两部分．15.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝4，将BC 绕点C 顺时针旋转120°得到CD ，则线段AD 的长度是．250x x +-=23310a a +-b a c =+20ax bx c ++=20ax bx c ++=20cx bx a ++=2y ax c =+()1212,x x x x ≠12x x +240b ac ->2y ax bx c =++三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16.（10分）解下列方程：（1）；（2）．17.（8分）如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x 是多少米？18.（8分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，∠DAB 的平分线交CD 于E ．F 为BC 的中点，连结AE ，AF ，分别交BD 于点G ， H ．连结EF ．（1）求证：BD ＝2EF ；（2）当EF ＝6时，求GH 的长．19.（8分）“弗里热”（Phryge ）是2024年巴黎奥运会和残奥会吉祥物，是法国传统的弗里古亚帽的拟人化形象，在《蓝精灵》动画片中，蓝精灵戴的便是弗里吉亚帽．吉祥物“弗里热”小钥匙扣广受欢迎，成为热销商品，某商家以每套40元的价格购进一批“弗里热”小钥匙扣．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出200套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．（1）设“弗里热”小钥匙扣每套的售价定为x 元，求该商品销售量y 与x之间的函数关系式．22125x x -+=257311x x x ++=+m m 2m（2）每天销售所获的利润W 能否恰好达到3000元？请说明理由．20.（8分）如图，鞍钢博物馆广场边，有两个高炉模型，小明同学用自制的直角三角形纸板ADE 量高炉的高度BF ．他调整自己的位置，设法使斜边AE 持水平，AE 的延长线交BF 于C ，并且边AD 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边AD ＝40cm ．DE ＝20cm ．测得边AE 离地面的高度AG ＝1.5，CD ＝20．求高炉的高BF ．21.（8分）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5．（1）写出滚动的距离s （单位：）关于滚动的时间t （单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度×时间t ，，其中，是开始时的速度，是t 秒时的速度．）（2）如果斜面的长是3，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？22.（12分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，把边CB绕点C 旋转到CF ．（1）若AB ＝．BC ．当点F 落在BC 的垂直平分线上时，请直接写出以A 、B 、C 、F 为顶点的四边形的面积 ．（2）如图1，连接AF ，当点F 在AC 的垂直平分线上时，若BC ＝2AB ＝4，求F 到AC 的距离；（3）如图2，连接FB 交AC 于点D ，当AC ⊥BF 时，BC 的垂直平分线分别交BC 、AC 、CF 于E 、H 、M ，交BF 的延长线于G ．判断：BE 、GM 、MC 三条线段的关系，并给予证明．m m m m s v 02t v v v +=0v t v m图1 图223.（13分）已知y 关于x 的一次函数．当时，我们称一次函数为“原函数”，一次函数“原函数”的“相关函数”，“原函数”的图象记为直线，它的“相关函数”的图象记为直线．例如：“原函数”的“相关函数”为．（1）直接写出“相关函数”的“原函数”表达式；（2）请说明：直线，直线与x 轴的交点是同一个点；（3）若“原函数”的表达式为，点A 在直线上，点B 在直线上，轴，AB ＝2，求点A 的坐标；（4）“原函数”的表达式为．①点在直线上，点在直线上，若，求t 的取值范围；②若直线，直线与y 轴围成的图形面积为12，点E 在直线上，过E 作轴交直线于点F ，过E 作轴交直线于点H ，过F 作轴交直线于点G ，连接GH ．设点E 的横坐标为，四边形 EFGH 的周长为C ．直接写出C 关于a的函数表达式．y kx b =+0,0k b >>y kx b =+y kx b =--1l 2l 2y x =+2y x =--213y x =--1l 2l 112y x =+1l 2l AB y ∥2y mx m =+(),C C t y 1l ()2,D D t y -2l 0D C y y <<1l 2l 1l EF y ∥2l EH x ∥2l FG x ∥1l (0)a a >九年级数学质量测试（十一月）2024答案及评分标准说明：1.此答案仅供参考，阅卷之前请做答案．2.如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．3.为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．4.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、单项选择题（每题只有一个选项正确．每小题3分，共30分）1.D2.C3.C4.C5.C6.B7.A8.B9.C 10.D二、填空题（每小题3分，共15分）11.512.12 2197 13.①③ 14.2或4 15.三、解答题（8道题共75分）16.（10分）解：（1）．．…………………………5分（2）．整理，得．．．…………………………5分17.（8分）解：依题意可列…………………………3分……………………………………5分（含）………………………………7分答：道路的宽是2米．…………………………8分18.（8分）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝2AD，22125x x -+=2(1)25x -=15x -=±126,4x x ==-257311x x x ++=+224x x +=2215x x ++=2(1)5x +=1x +=121,1x x =-=-(202)(16)224x x --=226480x x -+=12224,x x ==∴CD //AB ，AB ＝CD ＝2AD ，AD ＝BC ，∴∠DEA ＝∠BAE∵AE 平分∠DAB∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠DEA ＝∠DAE ，∴DE ＝AD∵CD ＝2AD∴CD ＝2DE ．∴DE ＝CE∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴BD ＝2EF ；…………………………………4分（2）解：由（1）知，BD ＝2EF ，∵EF ＝6∴BD ＝12∵AB ＝CD ＝2AD ＝2DE ，AD ＝BC ，F 为BC 的中点，∴．在矩形ABCD 中，CD //AB ，AD //BC ，∴△DEG ∽△BAG ，△FBH ∽△ADH ，，．∴DG ＝4，BH ＝4∴GH ＝BD －DG －BH ＝4……………………………………………………8分19.（8分）解：（1）根据题意：．∴y 与x 之间的函数关系式：；…………………………4分（2）根据题意得：．整理得：．∵．∴方程有两个不相等的实数根，∴每天销售所获的利润W 能达到3000元．………………………………8元20.（8分）…………………………………………8分21.（8分）解：（1）由已知得11,22DE BP AB AD ==11,22DE DG BH BF AB BG DH AD ∴====11,122122DG BH DG BH ∴==--50200423002x y x -=-⨯=-+2300y x =-+(40)(2300)3000x x --+=219075000x x -+=2Δ(190)41750061000=--⨯⨯=>11.5m 00 1.5 1.5t v v at t t=+=+=，即………………………………4分（2）把代入中，得（舍去）即钢球从斜面顶端滚到底端用．答：钢球从斜面顶端滚到底端用．……………………………………8分22.（12分）解：（12分解：（2）如图1，过点F作FG⊥AC于G，∵FA＝FC，∴CG＝AG＝AC∵∠ABC＝90°，∴∴．∵CF＝BC＝4.．∴点F到AC；……………………6分（2）BE＋GM＝MC…………………………7分证明：如图2，延长EG至K．使KG＝AB．连接AK．∵AB⊥BC，EG⊥CB．∴EG∥AB，∴四边形ABKG是平行四边形，∴AK＝BC，∠AKG＝∠ABD．∵FC＝CB∴∠FCD＝∠ACB∵∠ABC＝∠BGE＝90°．∴∠BAC＋∠ACB＝90°．∵∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠EBG＝90°，∴∠BAC＝∠EBG．∵AB＝BE∴△ABC≌△BEG（ASA）∴AC＝BG．1.5t3t224tv vv+∴===233244tv v ts vt t t t+∴==⋅=⋅=234s t=3s=234s t=2t=2t=-2s2s12AC===CG=FG∴===∴AK ＝AC ．∴∠AKC ＝∠ACK同理可得，∠ABD ＝∠ACB∴∠ABD ＝∠FCD∴∠AKG ＝∠FCD ．∴∠AKC －∠AKG ＝∠ACK －∠FCD ．∴∠MKC ＝∠MCK ．∴CM ＝KM ＝CK ＋GM ＝BE ＋GM …………………………………12分图1 图223.解：（1）；……………………………………1分（2）在“原函数”中，令．则．∴直线与x 轴交点为在它的“相关函数”，令，则∴直线与x 轴交点为∴直线，直线与x 轴的交点为同一个点；…………………………4分（3）∵“原函数”的表达式为∴它的“相关函数”表达式为．令∴．∴直线与直线的交点为∵点A 在直线上．213y x =+y kx b =+0kx b +=b x k =-1l ,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭y kx b =--0kx b --=bx k =-2l ,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭1l 2l 112y x =+112y x =--111122x x +=--2x =-1l 2l (2,0)-1l∴设，如图1，当时，点A 在点B 上方∵AB ∥y 轴．∴∴点，，当时，点A 在点B 的下方，A （－4，－1）综上所述，点A 的坐标为A （0，1）或A （－4，－1）；………………………………8分（4）①∵“原函数”为．∴它的“相关函数“为．令．．∴直线与直线交点为（－2，0）；如图2，∵点C 在直线上，点D 在直线，且．，且，，．，∴t 的取值范围为．……………………11分1,12A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2a >-A B x x a==1,12B a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1111222a a ∴+++=0a ∴=(0,1),A ∴2a <-2y mx m =+2y mx m =--20mx m +=2x ∴=-1l 2l 1l 2l 0D C y y <<222t t -<-⎧∴⎨>-⎩20t ∴-<<2,(2)2c D y mt m y m t m =+=--- D Cy y <(2)22m t m mt m ∴---<+22mt m ∴>-20m > 1t ∴>-10t -<<②如图3，直线与直线交点为Q （－2，0），∴OQ ＝2，OM ＝ON ＝2m ，∴MN ＝4m ，，∴m ＝3，∴“原函数“表达式为．它的“相关函数”表达式为，轴交于点F ，，∵EH ∥x 轴，，，，．．∵FG ∥x 轴，，．1l 2l 1122MN OQ ∴⋅=142122m ∴⨯⨯=36y x =+36y x =--(,36)E a a ∴+EF y ∥2l (,36),F a a ∴--36(36)612EF a a a ∴=+---=+36E H y y a ∴==+3636a x ∴+=--4x a ∴=--(4,36)H a a ∴--+(4)24EH a a a ∴=---=+36G F y y a ∴==--3636a x ∴--=+4x a ∴=--(4,36)G a a ∴----．又∵轴，轴，∴FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形，． (13)分(4)2 4.FG a a a∴=---=+2 4.FG EH a∴==+//FG x//EH x2()2(61224)1632 C EF FG a a a∴=+=+++=+。
河南省新乡市河南师范大学附属中学联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的半径为，圆心O 到直线l 的距离为，则直线l 与的位置关系是（ ）A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法判断3．一元二次方程经过配方变形为，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．1D ．74．如图，A 、B 、C 为圆O 上的三点，，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象的顶点坐标为C ．与x 轴交于点和D ．当时，y 随着x 的增大而减小6．如图，是由绕点O 顺时针旋转后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如果关于x 的一元二次方程有实数根，则a 的取值范围是（）O e 5cm 4cm O e 2430x x -+=2(2)x k -=3-7-78AOB ∠=︒ACB ∠35︒36︒37︒39︒2(1)9y x =+-(1,9)-(2,0)-(4,0)1x <-ODC △OAB △40︒105AOC ∠=︒C ∠55︒45︒42︒40︒20x x a +-=A ．B ．C ．D ．8．如图，已知的半径为5，弦AB 的长为8，P 是AB 的延长线上一点，，则OP 等于（）A ． B ．C．D ．9．已知二次函数（m 为常数），当时，函数值y 的最小值为，则m 的值是（ ）A ．或B ．或C ．2或D ．2或10．如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为（ ）图1图2A ．2 B ．3 C D ．二、填空题（每小题3分，共15分）11．把抛物线先向右平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的解析式为________________．12．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x ，则可列方程为________________。
重庆市江津区12校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2023-2024学年度上期期中测试数学题卷(满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。
3.考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
4.参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.一、选择题（每小题4分，共40分）1.下列方程一定是一元二次方程的是（）A ．212023x x -=B ．30y x -=C ．2350x x -=D ．3210x x ++=2.将抛物线y ＝x 2﹣1向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为（）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣1B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x +1）2+2D ．y ＝（x +1）2﹣13.下列方程中，没有实数根的是（）A. B.C.D.4.下列关于抛物线()2314y x =+-的结论，正确的是（）A ．开口方向向下B ．对称轴为直线x =-1C ．顶点坐标是（1，-4）D ．当x =-1时，函数有最大值为-45.一元二次方程x 2-6x +5=0配方可变形为()A.(x -3)2=14B.(x -3)2=4C.(x +3)2=14D.(x +3)2=46.点()()()11223331P y P y P y -，、，、2，均在二次函数244y x x =--的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．312y y y >>C ．231y y y >>D ．213y y y >>7.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（）A ．-1≤x ≤3B ．x ≥3C ．x ≤-1D ．x ≤-1或x ≥38.关于x 的一元二次方程()22210x a a x a +-+-=两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A.2B.0C.1D.2或09.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），则下列结论：①0abc <；②240b ac -=；③20a b -=；④2a >；⑤420a b c -+<．其中正确结论的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10.对于实数a 、b ，定义新运算()()22*a ab a b a b b ab a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，若二次函数()2*1y x x =-，则下列结论正确的有（）①方程()2*10x x -=的解为x =0或x =−1；②关于x 的方程()2*1x x m-=有三个解，则102m ≤<；③当x <−1时，y 随x 增大而增大；④当x >−1时，函数()2*1y x x =-有最大值0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共32分）11.一元二次方程的解是.12.抛物线21252y x x =-+-的顶点坐标是.13.有一个人患了新冠病毒，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人.14.若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是.15.已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个实数根，则m 2+mn +2m 的值为.第7题图第9题图16.如图，已知二次函数223y x x =-的图象与正比例函数1y x =的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是.17.使得关于x 的不等式组6101131282x a x x -≥-⎧⎪⎨-+<-+⎪⎩有且只有4个整数解，且关于x 的方程()25410a x x -++=有实数根的所有整数a 的值之和为.18.对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵716-=，312-=，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵816-≠，∴8421不是“天真数”。
广东省清远市连州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
连州市2024—2025学年度第一学期期中核心素养展示活动九年级数学试卷本试卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列方程：，，，（其中a 、b 、c 为常数，且）是一元二次方程的有（ ）个.A. 1B. 2C. 3D. 42.轴对称图形和中心对称图形是我们生活中常见的几何图形，下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形3.在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3，则袋中黑球约有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列是一元二次方程的解的是（ ）.A. B. C. D.5.将一元二次方程配方后可变形为（ ）.A. B.C. D.6.关于x 的一元二次方程的根的情况（ ）.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定211x x+=2230x x --=210x y +-=20ax bx c ++=0a ≠2230x x +-=1x =1x =-2x =2x =-2410x x +-=()225x -=()223x -=()223x +=()225x +=2320x x ++=7.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形8.如题8图，在菱形中，对角线与相交于点O ，E 是的中点，如果，那么菱形的周长是（ ）.题8图A. 9B. 12C. 18D. 249.如题9图，矩形的边，分别落在直角坐标系y 轴和x 轴上，且，，则点C的坐标为（ ）题9图A. B. C. D.10.如题10图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E 在正方形内部，点P 是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（ ）题10图A. B. C. 4 D.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.一元二次方程二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______.12.是关于x 一元二次方程的一个根，则k 的值为______.13.如题13图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是______.题13图ABCD AC BD AB 3OE =ABCDAOBC AO BO 3AO =5AB =()3,5()4,3()4,5()3,4ABCD ABE △ABCD AC PE PD PE PD+22310x x -+=1x =230x kx +-=14.如题14图，菱形的两条对角线，相交于点O ，，，则菱形的面积为______.题14图15.如题15图，将矩形沿着对角线折叠得到，若，，则与矩形重叠部分的面积为______.题15图三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.16.请用适当的方法解方程：.17.如题17图，是矩形的对角线：题17图（1）求作的垂直平分线，交于点E ，交于点F ，交于点O （保留作图痕迹，不要求写出作法）（2）分别连接、，求证四边形是菱形.18.如题18图，在平行四边形中，平分，平分，，，证明四边形是矩形.题18图四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19.根据以下素材，探索完成任务.材料1：打印机碳粉盒和碳粉是常用的消耗品，需要定时更换，某公司统一购买打印机碳粉盒和碳粉.材料2：该公司后勤部准备补进打印机碳粉盒和碳粉共400件.批发市场上碳粉盒的单价为80元，碳粉单价为30元.商家为了促销且保证有一定的利润，当碳粉盒购买数量超过80件时，每多购买1件，所有碳粉盒的单价下降1元，但单价不低于50元.问题解决ABCD AC BD 8AC =6BD =ABCD BD BDC '△8BC =6CD =BDC '△ABCD BED △()26923x x x ++=+BD ABCD BD EF AD BC BD BE DF BEDF ABCD BE ABC ∠CE BCD ∠//BF CE //CF BE BECF任务1：若补进碳粉盒90件，求公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花______元（直接写出结果）任务2：设补进碳粉盒x 件，若，则补进的碳粉盒单价为______元，补进碳粉的总价为______元（用含有x 的代数式表示，直接写出结果）；任务3：在任务2的条件下，若该公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花了15000元，求补进碳粉多少件？20.有四张反面完全相同的纸片A ，B ，C ，D ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸片洗匀，正面朝下随机放在桌面上.（1）从四张纸片中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______；（2）小黄和小李约定做一个游戏，其规则为；先由小黄随机摸出一张，不放回，再由小李从剩下的纸片中随机摸出一张，若摸出的两张纸片正面图形即是轴对称图形又是中心对称图形，则小李胜；否则小黄胜.这个游戏对双方公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由（纸片用A ，B ，C ，D 表示）.21.综合与实践【实践操作】步骤1：准备一张矩形纸片；步骤2：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点A 落在对角线上的点M 处；步骤3：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点C 落在对角线上的点N 处.【实践探索】（1）用你所学数学知识说明：四边形是平行四边形；（2）当四边形是菱形时，且，求菱形的面积.五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14，共27分.22.【材料阅读】十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理.韦达定理：有一元二次方程形如（a ，b ，c 是常数，且）的两根分别为，则有，.【问题解决】（1）若m ，n 是关于x 的一元二次方程的两个实数根；求的值（2）若，是关于x 的一元二次方程的两个实数根，且，求k 的值.80110x ≤≤ABE △BE BD CDF △DF BD BEDF BEDF 2AB =BEDF 20ax bx c ++=0a ≠1x 2x 12b x x a +=-12c x x a =2560x x -+=11m n+1x 2x ()222120x k x k -+++=()()12118x x +⋅+=（3）已知：，（）是一元二次方程的两个实数根，设，，求，的值.23.问题背景：如题23—1图，在正方形中，点E 、F 分别在边、上，，题23—1图 题23—2图 题23—3图（1）延长到点P 使，连接，求证：；（2）迁移应用：如题23—2图，在正方形中，、交于点G 、H ，过点A 作交于M ，交于I ，连接，若，，，求的长；（3）联系拓展：如题23—3图，在矩形中，点E 、F 分别在边、上，，分别取，的中点M ，T ，连接并延长交于N ，连接，若，直接写出与的数量关系.连州市2024-2025学年度第一学期九年级数学期中核心素养展示活动参考答案一.选择题：BACAD BBDBC二.填空题：11. 2，，1；12. 2；13. 14. 24； 15..三.解答题16.解：…………1分…………2分…………3分或…………5分，…………7分17.解（1）答图如图所示…………1分（没作图或作图错误，不给分）作图…………3分（没标字母扣1分）αβαβ>210x x --=1s αβ=+222s αβ=+1s 2s ABCD BC CD 45EAF ∠=︒FD DP BE =AP EF BE DF =+ABCD QA QB CD AM BH ⊥BC BH GM 45AQB ∠=︒3CH =1GH =AG ABCD BC CD 45EAF ∠=︒AB AE MT MT CD TF ::1:2:4DF AD AB =BE CE 3-12754()26923x x x ++=+()()2323x x +=+()()23230x x +-+=()()3320x x ++-=()30x ∴+=()320x +-=13x ∴=-21x =-（2）证明是的垂直平分线，，…………4分又∵四边形是矩形…………5分…………6分∴四边形是菱形…………7分18.证明，∴四边形是平行四边形…………1分又∵四边形是平行四边形…………2分又∵平分，平分，…………4分…………5分.…………6分∴四边形是矩形.…………7分19.解任务1：15600元； (2)任务2：； (4)任务3：依题意得：…………6EF BD BE DE ∴=BF DF=BO DO =90DOE BOF ∠=∠=︒ABCD //AD BC∴12∴∠=∠()ASA DOE BOF ∴≌△△DE BF ∴=BE BF DF DE===∴BEDF //BF CE //CF BEBECF ABCD 180ABC BCD ∴∠+∠=︒BE ABC ∠CE BCD ∠12EBC ABC ∠=∠∴12ECB BCD ∠=∠90EBC ECB ∠+∠=︒∴90E ∴∠=︒BECF ()160x -()1200030x -()()160120003015000x x x -+-=解得：， (8)， (9)答：补进碳粉300件.20.解：（1）............2（2）游戏不公平 (3)依题意列表如下小黄小李A B C D ABCD (6)共有12中等可能性结果，摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即， (7)（摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）…………8∴游戏不公平21.解：（1）证明∵四边形是矩形， (1)由折叠性质可得：，…………3又∴四边形是平行四边形130x =2100x =80110x ≤≤ 100x ∴=400100300-=34(),A B (),A C (),A D (),B A (),B C (),B D (),C A (),C B (),C D (),D A (),D B (),D C (),A C (),C A P ∴21126==1162≠ ABCD //AD BC ∴ABD CDB ∠=∠12EBD ABD ∠=∠12FDB CDB ∠=∠EBD FDB∴∠=∠//BE DF ∴//AD BCBEDF（2）∵四边形是矩形∵四边形是菱形， (5)由折叠性质可知， (6)又设，则由勾股定理得：解得：7922.解：（1），n 是关于x 的一元二次方程的两个实数根， (2)…………4（2），是方程的两个实数根…………5解得：…………6由根与系数的关系可知：，又，，整理得：，…………7ABCD 90A ABC ∴∠=∠=︒BEDF EBD DBF ∴∠=∠BF BE =ABE EBD ∠=∠90BME A ∠=∠=︒30ABE EBD DBF ∴∠=∠=∠=︒2AB = AE x =2BE x=()22222x x +=x =BF BE ∴==BEDF S BF AB ∴=⋅=菱形m 2560x x -+=5m n ∴+=6mn =1156m n m n mn +∴+==1x 2x ()222120x k x k -+++=()()2241420k k ∴∆=+-+≥12k ≥()1221x x k +=+2122x x k =+()()()1212121118x x x x x x ++=+++= ()222118k k ∴++++=2230k k +-=解得：（不合题意，舍去），，............8∴k 的值为1. (9)（3）、是方程的两个根，，............11 (12)…………1323.题23—1图题23—2图 题23—3图解（1）证明：∵正方形，............1又............2，，............3............4又 (5) (6)（2）°，13k =-21k =α β210x x --=1βα∴+=21αα=+21ββ=+11S αβ=+=∴222113S αβαβ=+=+++=ABCD AB AD ∴=90B ADP ∠=∠=︒DP BE= ()Rt Rt SAS ABE ADP ∴≌△△AE AP ∴=BAE DAP ∠=∠90DAE BAE ∠+∠=︒90PAD DAE ∴∠+∠=︒45EAF ∠=︒45PAF EAF ∴∠=∠=︒AF AF= ()SAS AEF APF ∴≌△△EF PF ∴=DP BE= EF BE DF =+∴AM BH⊥ 90BAM ABI ∴∠+∠=︒90ABI CBH ∴∠+∠=BAM CBH∠=∠∴90ABM C ∠=∠=︒ AB BC =............8............9设，由（1）知............10在中，在中，根据勾股定理得，；............12（3） (14)证明：，T 是，的中点，∴四边形是矩形设∴矩形是正方形由（1）知，设在中，()ASA ABM BCH ∴≌△△3CH BM∴==45Q ∠=︒45QAM ∴∠=︒DG a =GM BM DG =+3GM BM DG a ∴=+=+4BC CD a ==+ 431CM a a ∴=+-=+Rt MCG △222GM GC CM =+()()222341a a ∴+=++2a ∴=2DG ∴=Rt ADG△AG ==2BE EC =M AB AE //MT BE 12MT BE =90AMN DAM D ∴∠=︒=∠=∠AMND ::1:2:4DF AD AB = DF m=2AD m DN∴==AMND 45EAF ∠=︒FT DF TM =+12MT BE = 2BE x=FT DF TM x m =+=+∴Rt FTN △222FT FN TN =+()()2222x m m m x ∴+=+-423x m ∴=.43BE m ∴=23EC BC BE m ∴=-=2BE EC ∴=。
2023-2024学年上海市格致初级中学九年级上学期期中数学试题及解析
九年级数学（满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（本大题有6小题，每题4分，满分24分）1. 如果53x y =（x 、y 均不为零），那么:x y 的值是（ ） A.53B.35C.38D.58【答案】B 【解析】【分析】等式两边同除以5y 即可得到答案． 【详解】解：等式两边同除以5y ，可得：5355x y y y =，即35x y =， 故选B ．【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键． 2. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC 为（ ） A. 7sinα B. 7cosαC. 7tanαD. 7cotα【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7， ∴tanα=BC AC =7BC∴BC=7tanα． 故选C ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3. 在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果2AD =，3BD =，那么由下列条件能够判定DE BC ∥的是（ ）A.23DE BC = B.25DE BC = C.23AE AC = D.25AE AC = 【答案】D 【解析】【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵2AD =，3BD =， ∴25AD AB =，只有当25AE AC =时，DE BC ∥， 理由是：∵25AD AE AB AC ==，A A ∠=∠， ∴ADE ABC ≌， ∴ADEB ∠=∠，∴DE BC ∥，而其它选项都不能推出ADE ABC ≌，即不能推出ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠，即不能推出DE BC ∥，即选项A 、B 、C 都错误，只有选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 如果|a |＝|b |，那么a ＝bB. 如果a 、b 都是单位向量，那么a ＝bC. 如果a ＝k b （k ≠0），那么a ∥bD. 如果m＝0或a＝0，那么m a＝0【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【详解】解：A．向量是既有大小又有方向，|a|＝|b|表示有向线段的长度，a＝b表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；C. a＝k b（k≠0）⇔a∥b，所以C选项正确；D．如果m＝0或a＝0，那么m a＝0，不正确．故选：C．【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：25【答案】B【解析】【详解】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴15 DEAC=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴15 BE DEBC AC==，∴14BE EC =， ∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4， 故选B ．6. 如图，D 是ABC 边BC 上的一点，,BAD C ABC ∠=∠∠的平分线交边AC 于点E ，交AD 于点F ，则图中一定相似三角形有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】C 【解析】【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成． 【详解】在ABC 与DBA 中， ∵ABD ABD BAD C ∠∠∠∠＝，＝， ∴ABC DBA ∽，ABF △与CBE △中，∵BF 平分ABC ∠， ∴ABF CBE ∠∠＝， 又BAF BCE ∠∠＝， ∴ABF CBE ∽． ∵ABC DBA ∽, ∴BAC ADB ∠=∠, ∵ABF CBE ∠∠＝, ∴ABE DBF △△∽，所以图形中共有3对相似三角形． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点．二、填空题（本大题有12小题，每题4分，满48分）7. 如果:5:3x y =，那么x yy−=________．【答案】23【解析】【分析】根据:5:3x y =得到53x y =，把它代入后面的式子求出比值． 【详解】解：∵:5:3x y =， ∴35x y =，即53x y =， ∴5233y yx y y y −−==．故答案是：23． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质．8. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，A ，B 两地的图上距离是1.6厘米，那么A 、B 两地的实际距离是__________千米． 【答案】16 【解析】【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，1.6÷11000000=1600000厘米=16千米．即实际距离是16千米． 故答案为：16．【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．9. 若Q 是线段MN 延长线上一点，已知MN ＝a ，QN ＝b ，则MQ ＝___．（用含a 、b 表示） 【答案】a b − 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵QN ＝b ， ∴NQ ＝QN −＝-b ， 又MN ＝a ，∴MQ =MN +NQ =a b − 故答案为：a b −【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．10. 设点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP <，2AB =厘米，那么线段BP 的长是___________厘米．【答案】1)##(1−+ 【解析】【分析】根据黄金分割点的定义可知2BP AB AP =⋅，由此列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP <，2BP AB AP ⋅=∴，即()2BP AB AB BP −=⋅，令BP x =，则()222x x =⨯−即2240x x +−=，()22414200∆−⨯−==⨯>，11x ==∴，21x −==（舍）∴线段BP 的长是1)厘米．故答案为：1)．【点睛】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键． 11. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC =23AB ，DE =6，那么EF 的值是________ ．【答案】4． 【解析】【详解】∵AD ∥BE ∥CF ，BC ＝23AB ， ∴DE EF ＝AB BC =32，即6EF =32， 解得EF=4. 故答案为4．点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 12. 已知点G 是等腰直角三角形ABC 的重心，6AC BC ==，那么AG 的长为______．【答案】【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出CD 的长，然后根据重心的性质可知13DG CD =，最后由勾股定理可求得AG 的长【详解】连接CG 并延长交AB 于点D ，∴CD 是等腰直角三角形ABC 斜边的中线∴1122CD AB ====∵点G 是等腰直角三角形ABC 的重心，∴13DG CD ==AD CD == 在Rt ADG 中，根据勾股定理得：AG ===【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键13. 如图，小红晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往走2.5米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 离地面的高度AB 的长为__________米．【答案】5.25 【解析】 【分析】由=身高路灯的高度影长路灯的影长，可得1.51AB BD =，1.52AB BF =，解得， 1.5AB BD =， 1.52AB BF =，则2BF BD =，由 3.5BD BF BD DF CE CD EF =−==−+=，代入可求AB ． 【详解】解：∵=身高路灯的高度影长路灯的影长， ∴1.51AB BD=，1.52ABBF =， 解得， 1.5AB BD =， 1.52AB BF =， ∴2BF BD =，∵ 2.512 3.5BF BD BD DF CE CD EF −===−+=−+=， ∴ 1.5 3.5 5.25AB =⨯=， 故答案为：5.25．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：=身高路灯的高度影长路灯的影长． 14. 如图，四边形DEFG 是ABC 的内接矩形，其中D 、G 分别在边AB 、AC 上，点E 、F 在边BC 上，2=DG DE ，AH 是ABC 的高，20BC =，15AH =，那么矩形DEFG 的周长是__________．【答案】36 【解析】【分析】根据四边形DEFG 是ABC 的内接矩形，可得DG EF ∥，90KDE DEH ∠=∠=︒，证明四边形DEHK 是的矩形，可推导出KH DE =，AK 是ADG △的高，根据相似三角形的性质可得DG AKBC AH=，代入数据可得结论．【详解】解：设AH 交DG 于点K ， ∵AH 是ABC 的高， ∴90AHB ∠=︒，∵四边形DEFG 是ABC 的内接矩形， ∴DG EF ∥，90KDE DEH ∠=∠=︒， ∴四边形DEHK 是矩形， ∴90DKH ∠=︒，KH DE =，∴1801809090AKD DKH ∠=︒−∠=︒−︒=︒，即AK 是ADG △的高， ∵DG EF ∥，2=DG DE ，20BC =，15AH =， ∴△∽△ADG ABC ，∴DG AK AH KH AH DEBC AH AH AH −−===， ∴2152015DE DE−=， 解得：6DE =，∴22612DG DE ==⨯=，∴四边形DEFG 的周长是：()261236⨯+=． 故答案为：36．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．【答案】15 【解析】【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图，由题意可知10,6,90AD DC CG CE GF CEF EFG =====∠=∠=︒，4GH =， ∴10CH AD ==，∵90,D DCH AJD HJC ∠=∠=︒∠=∠， ∴()AAS ADJ HCJ ≌， ∴5CJ DJ ==， ∴1EJ =， ∵GI CJ ∥， ∴HGI HCJ ∽， ∴25GI GH CJ CH ==， ∴2GI =， ∴4FI=，∴()1152EJIF S EJ FI EF =+⋅=梯形； 故答案为15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．16. 如图已知在ABC 中，1905cot 2C AB B ∠=︒==，，，正方形DEFG 的顶点G F 、分别在边AC BC 、上，点D E 、在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为__________．【答案】107【解析】【分析】由正方形DEFG ，设DE DG EF x ===，由90A AGD A B ∠+∠=︒=∠+∠，可得AGD B ∠=∠，则1cot cot 2AGD B ∠==，即12DG BE AD EF ==，12x BE AD x ==，解得，2AD x =，12BE x =，根据5AB AD DE BE =++=，代值计算求解即可．详解】解：∵正方形DEFG ，∴90ADG BEF ∠=∠=︒，DE DG EF ==， 设DE DG EF x ===，∵90A AGD A B ∠+∠=︒=∠+∠，∴AGD B ∠=∠， ∴1cot cot 2AGD B ∠==，即12DG BE AD EF ==， ∴12x BE AD x ==，解得，2AD x =，12BE x =， ∵5AB AD DE BE =++=，∴1252x x x ++=，解得，107x =， 故答案为：107．【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系． 17. 新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________．【答案】4+或12【解析】【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，ABC 是等腰直角三角形，4AD AC ==，【∴2222216AB BC AB AC +===，∴AB =，∴梯形ABCD 的面积为()()114422BC AD AB +⨯=⨯=+ 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，ABC 是等腰直角三角形，4CD AC ==，∴90BAD B ∠=∠=︒，45BAC ∠=︒， ∴45CAD D ∠=∠=︒， ∴=90ACD ∠︒，∴ACD 是等腰直角三角形，∴AD ==∴梯形ABCD 的面积为()(111222BC AD AB +⨯=+⨯=； 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，ABC 是等腰直角三角形，4CD AC ==；综上所述，它的面积为4+12．故答案为：4+12【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是ABC 的角平分线，:3:4AC BC =．将Rt ABC △绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，连接DE ，那么AED ∠的正切值为__________．【答案】37【解析】【分析】设点C 落在射线CD 上的点C '处，设3AC x =，4BC x =，根据角平分线的性质和旋转的性质可得90EAB CAC ︒=∠='∠，进而得到AC BC '∥，即可求解．【详解】解：设点C 落在射线CD 上的点C '处，如图，∵90ACB ∠=︒，:3:4AC BC =，. 设3AC x =，4BC x =，则5AB x ==，∵CD 是ABC 的角平分线， ∴45ACD DCB ∠=∠=︒， ∵将Rt ABC △绕点A 旋转，∴AC AC '=，CAB C AE '∠=∠，5AB AE x ==， ∴45,ACD AC C DCB EAB CAC '∠=∠=︒=∠∠='∠， ∴90EAB CAC ︒=∠='∠， ∴AC BC '∥， ∴34AD AC DB BC '==①， ∵5AD BD x +=② 由①②得：157AD x =， 由旋转的性质可知，5AE AB x ==， ∴3tan 7AD AED AE ∠==， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；计算出AD 的长是解决问题的关键．三、解答题（本大题满分78分）19. 计算：2sin 30cot 3012cos 45tan 45︒+︒−︒−︒．【解析】【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算．【详解】解：原式1212⨯=+1=11=+=【点睛】本题考查了特殊角三角函数的值的运算，二次根式的运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC中点，设AB a=，AD b=．（1）求向量MN；（2）在图中求作向量MN在AB、AD方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）12MN a=-12b；（2）见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得DB，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN；（2）首先平移向量MN，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【详解】解：（1）∵AB=a，AD=b，∴DB=AB-AD=a-b，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴1122MN DB a==-12b；的（2）作图：结论：AP 、AQ 是向量MN 分别在AB 、AD 方向上的分向量．．【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21. 已知：如图，在ABC 中，13AB =，8AC =，5cos 13BAC ∠=，BD AC ⊥，垂足为点D ，E 是BD 的中点，连结AE 并延长，交边BC 于点F ．（1）求EAD ∠的正切值； （2）求BFCF的值． 【答案】（1）EAD ∠正切值为65，详见解析 （2）58BF CF =，详见解析 【解析】【分析】（1）先根据三角函数值求AD 的长，由勾股定理得BD 的长，根据三角函数定义可得结论； （2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设3,5CG x FG x ==，分别表示BF 和FC 的长，代入可得结论． 【小问1详解】 ∵BD AC ⊥， ∴90ADE ∠=︒，在Rt ADB 中，513cos 13AB BAC =∠=， ， ∴5AD =，的由勾股定理得：12BD ===，∵E 是BD 的中点， ∴6ED =， ∴EAD ∠的正切65DE AD ==； 小问2详解】过D 作DG AF 交BC 于G ，∵85AC AD ==，，∴3CD =， ∵DG AF ，∴35CD CG AD FG ==， 设3,5CG x FG x ==， ∵EFDG BE ED =，，∴5BF FG x ==， ∴5588BF x CF x ==． 【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．22. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连接DE 、BE ，ABE AED ∠=∠，DE BDBE CE=．（1）求证：DE BC ∥；（2）若1ADE S =△，8DBCE S =四边形，求BDE 的面积．【【答案】（1）证明过程见详解． （2）BDE 的面积为2． 【解析】【分析】（1）利用ABE AED ∠=∠先判定ADE AEB ∽△△，得到ADE AEB ∠=∠从而证明BDE BEC ∠=∠，结合DE BDBE CE=，证明BDE CEB △∽△，得到DBE C ∠=∠即可．（2）利用ADE ABC △△∽及面积比值得到3DE BC =，通过BDE CEB △∽△BE =，最后利用ADE AEB ∽△△求解即可． 【小问1详解】证明：∵ABE AED ∠=∠，A A ∠=∠， ∴ADE AEB ∽△△， ∴ADE AEB ∠=∠，∵180ADE BDE AEB BEC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BDE BEC ∠=∠， 又∵DE BDBE CE=， ∴BDE CEB △∽△ ∴AED DBE C ∠=∠=∠， ∴DE BC ∥． 【小问2详解】 解：∵DE BC ∥， ∴ADE ABC △△∽，又∵1ADE S =△，8DBCE S =四边形， ∴1:9ADE ABC S S =△△：， ∴3DE BC =， ∵BDE CEB △∽△， ∴BE DE BDBC BE CE==，BE =， 又∵ADE AEB ∽△△，∴1:3ADE AEB S S =△△：， ∵1ADE S =△， ∴3AEB S =△，∴312BDE BAE ADE S S S =−=−=△△△．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相似的性质得到线段的比值是解题关键．23. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ．求证：（1）ABE ADF ∽； （2）CD EF AC AE ⋅=⋅．【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】（1）由ABCD 是平行四边形，可知B D ∠=∠，由AE BC ⊥，AF CD ⊥，可得90AEB AFD ∠=︒=∠，进而可证ABE ADF ∽；由ABCD 是平行四边形，可知BC AD AB CD ==，，由ABE ADF ∽，可得AB AEAD AF=，即AB AE BC AF =，AB BCAE AF=，由90BAE B BAE EAF ∠+∠=︒=∠+∠，可得B EAF ∠=∠，证明ABC EAF ∽，则AB ACAE EF =，即CD AC AE EF=，进而结论得证． 【小问1详解】证明：∵ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵AE BC ⊥，AF CD ⊥， ∴90AEB AFD ∠=︒=∠， ∴ABE ADF ∽； 【小问2详解】证明：∵ABCD 是平行四边形， ∴BC AD AB CD ==，，∵ABE ADF ∽，∴AB AEAD AF=，即AB AE BC AF =， ∴AB BCAE AF=， ∵90BAE B BAE EAF ∠+∠=︒=∠+∠， ∴B EAF ∠=∠， ∴ABC EAF ∽， ∴AB ACAE EF =，即CD AC AE EF=， ∴CD EF AC AE ⋅=⋅．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于确定相似三角形的判定条件．24. 已知：如图，ABC 各顶点的坐标分别是()()()0,42,04,0A B C −−、、．（1）求BAC ∠的余切值；（2）若点P 在y 轴的正半轴，且POC △与AOB 相似，请直接写出点P 的坐标； （3）已知点M 在y 轴上，如果OMB OAB ACB ∠−∠=∠，求点M 的坐标． 【答案】（1）13（2）()0,8或()0,8− （3）20,3⎛⎫− ⎪⎝⎭或20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由两点距离公式可求4,2AO CO BO ===，6,45BC BCA =∠=︒，由直角三角形的性质可求BH 的长，即可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）根据题意可得OMB BAC ∠=∠，再由1cot 3BAC ∠=，可得1cot 3BMO ∠=，即可求解． 【小问1详解】解：∵()()()0,42,04,0A B C −−、、， ∴4,2AO CO BO ===， ∴6,45BC BCA =∠=︒，∴AC =如图1，过点B 作BH AC ⊥于H ，∴45BCA CBH ∠=∠=︒， ∴BH CH =，∴6BC ==，∴BH HC ==，∴AH =∴1cot3AH BAC BH ∠===； 【小问2详解】 解：∵点P 在y 轴上， ∴90POC AOB ∠=∠=︒，当AO BOCO PO =时，则AOB COP ∽， ∴424PO=， ∴2PO =，∴点P 的坐标为()0,2或()0,2−；当AO BO OP CO=时，则AOB POC ∽， ∴424OP =， ∴8OP =，∴点P 的坐标为()0,8或()0,8−；综上所述：当点P 的坐标为()0,2或()0,2−或()0,8或()0,8−时，POC △与AOB 相似；【小问3详解】解：∵OMB OAB ACB ∠−∠=∠，ACB OAC ∠=∠，∴OMB OAB ACB OAB OAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，由（1）得：1cot 3BAC ∠=， ∴1cot 3BMO ∠=， ∴123MO MO OB ==， ∴23MO =， 此时点M 的坐标为20,3⎛⎫− ⎪⎝⎭或20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．25. 已知：如图，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD E ==是对角线BD 上一点（与B D 、不重合），EF 平分AED ∠交边AD 于点,F FG AE ⊥，交AE 于点G ．（1）当EF AD ⊥时，求EF 的长；（2）当AFG 与BCD △相似时，求DEF ∠的正切值；（3）如果DEF 的面积是EFG 面积的2倍，求BE 的长．【答案】（1）32EF =； （2）4tan 3DEF ∠=或1； （3）52BE =【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的性质可得()ASA EFA EFD ≌，可得2AD DF =，再根据EF AD ⊥，AB AD ⊥，可得AB EF ∥，进而证明DFE DAB ∽，即可求解；（2）分为当AGF BCD ∽时及当AGF DCB ∽时两种情况进行讨论，再求解即可；（3）过F 作FH BD ⊥，根据DEF 的面积是EFG 面积的2倍和EF 平分AED ∠可得2DE GE =，进而证明()HL FGE FHE ≌，()SAS FEH FDH ≌，设GE x =，即可求解．【小问1详解】解：∵EF AD ⊥，四边形ABCD 是矩形，∴90EFD BAD ∠=∠=︒，∵EF 平分AED ∠，∴AEF DEF ∠=∠，∵EF FE =，∴()ASA EFA EFD ≌，∴ FA FD =， ∴2AD DF =， ∵EF AD ⊥，AB AD ⊥，∴AB EF ∥，∴DFE DAB ∽， ∴DF EF DA AB=， ∴1322EF AB ==； 【小问2详解】解：当AGF BCD ∽时，∴FAG CBD ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∴FAG ADB ∠=∠，∴AE ED =，∵EF 平分AED ∠，∴EF AD ⊥，（2）满足（1）的条件，由（1）得：32EF =，2AD DF =， ∴4tan 3DF DEF EF ∠==； 当AGF DCB ∽时，∴FAG CDB ∠=∠，∵90ADE CDB ∠+∠=︒，∴90ADE FAG ∠+∠=︒，∴90AED ∠=︒， ∴1452DEF AED ∠=∠=︒， ∴tan tan 451DEF ∠=︒=； 综上所述，4tan 3DEF ∠=或1； 【小问3详解】解：过F 作FH BD ⊥，如图，在FEH △中，sin FH FED FE ∠=， ∴sin FH FE FED =⋅∠，在FEG 中，sin FG FEG FE ∠=， ∴sin FG FE FEG =⋅∠， ∵12GEF SGE FG =⋅⋅，12EFD S DE FH =⋅⋅， ∵EF GEF D S S =， ∴11sin 2sin 22DE FE FED GE FE FEG ⋅⋅⋅∠=⨯⋅⋅⋅∠①， ∵EF 平分AED ∠，∴AEF DEF ∠=∠，∴ sin sin AEF DEF ∠=∠，①式可化成：2DE GE =，∵EF 平分AED ∠，FH BD ⊥，FG AE ⊥，∴FG FH =，∴()HL FGE FHE ≌， ∴12EH GE DE ==， ∴H 为ED 中点，∴EH HD =，∵FH ED ⊥，∴90FHE FHD ∠=∠=︒，∴()SAS FEH FDH ≌，∴EF DF =，设GE x =，则2DE x =，∵3,4AB AD ==，∴5BD =， ∴53sin AB ADB BD ∠==，5c s 4o AD ADB AB ∠==， ∴45EF FD x ==，1522BE BD ED x BD =−=−=，解得：52BE =； 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确地作出辅助线是解题关键．。
安徽合肥瑶海区2024年上学期九年级期中考试数学试卷
安徽省合肥市瑶海区2024-2025学年度第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y ＝4(2x ﹣3)2+3的顶点坐标是（ ）A ．(32，3)B ．(4，3)C ．(3，3)D ．(﹣3，3)2．抛物线()2243y x =−+−的对称轴是（ ）A ．直线4x =B ．直线4x =−C ．直线3x =D ．直线3x =−3．下列四条线段a b c d ,,,中，不是成比例线段的是（ ）A ．1,2,4,8a b c d ====B ．1,a bc d ==C ．2,4,5,15a b c d ====D ．2,a b cd == 4．将抛物线2(1)2y x =−−+先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）A ．2(2)4y x =−−+B ．24y x =−+C ．2y x =−D ．2(1)4y x =−++5．如果当0x >时，反比例函数(0)k y k x =≠的函数值随x 的增大而增大，那么一次函数123y kx k =−的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）.A ．B ．∠B ＝∠DC ．D ．∠C ＝∠AED7．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，矩形OABC 与反比例函数11k y x =（1k 是非零常数，0x >）的图象交于点M ，N ，与反比例函数22k y x=（2k 是非零常数，0x >）的图象交于点B ，连接OM ON ，．若四边形OMBN 的面积为6，则12k k −=（ ）A ．6B ．6−C ．3D ．3−9．如图，在矩形ABCD 中，4cm,2cm AB AD ==，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD DC CB －－以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设AMN 的面积为()2cm y ，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AAAA ，BC 上，点C ，D 的对应点分别为E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为（ ）A ．B ．4或C ．4D ．4或4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线214y kx x =−+与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P 为AAAA 的黄金分割点（AP PB >），如果AAAA 的长度为2cm ，那么AP 的长度为 ．13．如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上一点，且BP ＝3PC ，Q 是DC 的中点，则AQ ∶QP 等于 ．14．如图，已知反比例函数11y x=，24y x =在第一象限的图象，过2y 上任意一点A ，作x 轴的平行线交1y 于点B ，交y 轴于点C ，过点A 作x 轴的垂线交1y 于点D ，交x 轴于点E ，连接BD CE ，，则：①ABD △的面积为 ；②BD CE= ． -三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知抛物线的顶点坐标是()1,5−，且过点()0,3−，求抛物线的解析式．16．已知235a b c ==，且328a c −=−，求234c b a −+的值．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg ；单价每千克降低一元，日均多售2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）． （1）如果日均获利1950元，求销售单价；（2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少．186cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使得点D 落在AB 边上的点E 处（不与A ，B 重合），折痕FH 交AD 于点F ，交BC 于点H ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，(1)小明认为AEF BGE ∽，你同意吗？请说明理由．(2)实践与探究：在上图中，当2cm AE =时，请你计算BGE △的周长．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，直线3y x =−，与反比例函数k y x=的图象交于点A 与点(),4B m −．(1)求反比例函数的表达式；(2)求不等式3k x x−≥的解集；20．如图，P 是ABCD 的边BC 的延长线上任意一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N ．(1)若32BC CP =，求CN DN的值； (2)求证：2AM MN MP =⋅．21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(2)若跑道长度为700m，请通过计算说明是否够此无人机着陆；(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离．22．（1）如图1，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90BAC EDC ∠=∠=°，连接AD ，BE ，则BE AD=_______（2）如图2，正方形ABCD 的边长为8m ，E 为边AB 上一动点，以CE 为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角三角形CEF △，90CFE ∠=°，连接DF ，求CDF ∠的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接DE ，求DEF 面积的最大值．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c ++交x 轴于点AA (−4,0)，()2,0B ，交y 轴于点CC (0,6)，在y 轴上有一点()0,2E −，连接AE ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值及此时D 点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP △为以AE 为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标即可；若不存在，请说明理由．。
福建省福州市2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷[含答案]
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2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ． B ． C ． D ． 2．用配方法解一元二次方程2450x x --=的过程中，配方正确的是（ ）A ．2(2)1x +=B ．2(2)1x -=C ．2(2)9x +=D ．()229x -=3．如图，在O e 中，60ABC Ð=°，则AOC Ð等于（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．抛物线223y x =+与y 轴的交点是（ ）A ．()0,5B ．()0,3C ．()0,2D ．()2,15．正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．126．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE V ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B Ð的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．在平面直角坐标系中，ABC V 三个顶点的坐标分别为(4,2),(2,0),(0,0)A B C ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B C ¢¢¢V ，则点A ¢的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(1,2)或(1,2)--C ．(2,1)或(2,1)--D ．(1,2)--8．如图，在ABCD Y 中，E 为CD 上一点，连接AE BD 、，且AE BD 、交于点F ，:4:25DEF ABF S S =V V ， 则:DF BF 为（ ）A ．2:5B ．2:3C ．3:5D ．3:29．已知抛物线²y ax bx c =++，y 与x 的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）x1-0123y 0343mA ．开口向下B ．顶点坐标为(1,4)C ．当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．0m =10．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，以点C 为圆心作C e 与直线BD 相切，点P 是C e 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则AT PT的最小值是（ ）A ．35B ．1C D ．12二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．在直角坐标系中，若点()1,A a ，点(),2B b -关于原点中心对称，则a b += ．12．已知关于x 的一元二次方程20x x m -+=有一个根为2-，则m =13．在ABC V 中，MN BC ∥分别交AB 、AC 于点M 、N ；若1AM =，2MB =，9BC =，则MN 的长为 ．14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A ＝100°，则∠DCE 的度数为 ；15．若圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 cm ．（结果保留π）16．关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22m n <③()()22112m n -+-³；④1221m n -£-£，其中正确结论的结论是 ．三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．用适当的方法解下列方程：(1)2240x x +-=(2)()3284x x x-=-18．已知()2310x a x a ++++=是关于x 的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根．19．为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B 相距8米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝1.6米，观察者目高CD ＝1.5米，求树AB 的高度．20．如图1、图2，AOB V ，COD △均是等腰直角三角形，90AOB COD Ð=Ð=°，(1)在图1中，求证：AC BD =；(2)若COD △绕点O 顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？21．如图，AB 是O e 的直径，过点A 作O e 的切线AC ，点P 是射线AC 上的动点，连接OP ，过点B 作BD OP ∥，交O e 于点D ，连接PD ．(1)请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)证明：PD 是O e 的切线．22．如图，四边形ABCD 内接于O e ，BD 为O e 的直径，AC 平分,Ð=BAD CD ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ．(1)求直径BD 的长；(2)若BE =23．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P 距离地面高度为8米，宽度OM 为16米．现以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）．(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24．问题背景：如图1，已知ABC ADE △△∽，求证：ABD ACE V V ∽；尝试运用：如图2，在ABC V 中，点D 是BC 边上一动点，90BAC DAE Ð=Ð=°，且ABC ADE Ð=Ð，4,3,AB AC AC ==与DE 相交于点F ，在点D 运动的过程中，连接CE ，当12CE CD =时，求DE 的长度；拓展创新：如图3，D 是ABC V 内一点，BAD CBD Ð=Ð，12CD BD =，=90BDC а，3AB =，AC =AD 的长．25．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF BC ^，垂足为F ，EM x ^轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG CF =时，求EFG V 的面积；（3）如图2，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使OPB AHB Ð=Ð若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．1．A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．2．D【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．【详解】解：2450x x --=，移项得245x x -=，配方得24454x x -+=+，即()229x -=，故选：D ．3．C【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.【详解】解：∵60ABC Ð=°，∴2120AOC ABC Ð=Ð=°故选：C4．B【分析】抛物线y=2x 2+3与y 轴的交点的横坐标为0，故把x=0代入上式得y=3，交点是（0，3）．【详解】当x=0时，y=2×0+3=3，所以交点是（0，3）．故选B ．【点睛】考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，及与y 轴交点的坐标特点．5．C【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于360°除以边数，进行求解即可．【详解】解：∵正多边形的中心角为45°，∴这个多边形的边数是360458°¸°=，∴正多边形的边数是8．故选：C ．6．B【分析】根据旋转的性质可得出AB AD =，100BAD Ð=°，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出B Ð的大小．【详解】解：根据旋转的性质，可得：AB AD =，100BAD Ð=°，\1(180100)402ABD ADB Ð=Ð=°-°=°．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合，利用等腰三角形的性质是解题的关键．7．C【分析】根据位似图形的性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比解答即可．本题考查了位似图形的性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比，熟练运用位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：∵以点O 为位似中心，把ABC V 缩小为原来的12，点A 的坐标为()42，，∴当A B C ¢¢¢V 在原点O 的同侧时，点A ¢的坐标为114222æ´´öç÷èø，即点A ¢的坐标为()21，，∴当A B C ¢¢¢V 在原点O 的两侧时，点A ¢的坐标为114222÷-´æöçè´-ø，即点A ¢的坐标为()21--，，∴点A ¢的坐标为()21，或()21--，，故选C ．8．A【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得CD AB ∥，从而易得DEF BAF △△∽，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果．【详解】解：∵在ABCD Y 中，CD AB ∥，∴EDF ABF Ð=Ð；∵DFE BFA Ð=Ð，∴DEF BAF △△∽，∴2425DEF ABF S DF S BF æö==ç÷èøV V ，∴25DF BF =，即25DF BF =::；故选：A ．9．C【分析】本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，熟记二次函数图象与性质并逐一分析各选项是解本题的关键．【详解】解：∵当0x =，2x =时的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线0212x +==，而1x =时的函数值为4y =，∴函数图象的开口向下，顶点坐标为(1,4)，当1x <时，y 随x 的增大而增大，由对称性可得3x =和1x =-时的函数值相等，可得0m =，∴C 不符合题意；故选C10．D【分析】过点A 作AF BD ^于F ，过点P 作PE BD ^于E ，设C e 与BD 相切于点G ，连接CG ，并延长交C e 于H ，则HG BD ^，根据勾股定理求出10BD =，再根据等面积法求出245AF =，245CG =，进而得到485HG =，证明AFT PET V V ∽，得到AT AF PT PE =，由于AF 是定值，所以若要AT PT 最小，则PE 最大，\当P 与H 重合时，GH BD ^，此时PE 有最大值，即485PE GH ==，即可求解．【详解】解：过点A 作AF BD ^于F ，过点P 作PE BD ^于E ，设C e 与BD 相切于点G ，连接CG ，并延长交C e 于H ，则HG BD ^，Q 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，\10BD ===，\11··22ABD S AB AD BD AF ==△，即11861022AF ´´=´´，\245AF =，同理可得：245CG =，\4825HG CG ==，Q AF BD ^，PE BD ^，\90AFT PET Ð=Ð=°，又Q ATF PTE Ð=Ð，\AFT PET V V ∽，\AT AF PT PE=，Q AF 是定值，\若要AT PT最小，则PE 最大，\当P 与H 重合时，GH BD ^，此时PE 有最大值，即485PE GH ==，\AT PT 的最小值是24154825AF PE ==，故选：D ．【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．11．1【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键．直接利用关于原点对称点的性质，得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】解：∵坐标系中点()1,A a ，点(),2B b -关于原点中心对称，∴1b =-，2a =，则121a b +=-+=．故答案为：1．12．6-【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把2x =-代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键．【详解】解：把2x =-代入方程20x x m -+=得，()()2220m ---+=，解得：6m =-，故答案为：6-．13．3【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵1AM =，2MB =，∴3AB AM MB =+=，∵MN BC ∥，∴AMN ABC ∽V V ，∴AM MN AB BC =，即139MN =，∴3MN =，故答案为：3．14．100°【分析】直接利用圆内接四边形的性质，即可解答【详解】∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠DCE ＝∠A ＝100°，故答案为100°【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大15．12p【分析】本题主要考查求圆锥的侧面展开图的弧长，根据圆锥的展开图的弧长等于底面圆的周长，先由勾股定理求出底面半径即求解．【详解】解：圆锥底面半径6cm ==；这个圆锥的侧面展开图的弧长是12cmp 故答案为：12p ．16．①③④【分析】根据根与系数的关系可得20n >，20m >，进而得到122x x m +=-，1220y y n +=-<，再根据有理数的加法法则判断①正确；利用根的判断式可得220m n -³，即可判断②③；利用根与系数的关系可得()()1222111m n y y -=++-，()()1222111n m x x -=++-，再根据()()12110y y ++³，()()12110x x ++³，即可判断④．【详解】解：设关于x 的方程的两个根分别为1x 、2x ，关于y 的方程的两个根分别为1y 、2y ，∵关于x 的方程的两个根的乘积为正，关于y 的方程的两个根的乘积为正，∴1220x x n =>，1220y y m =>，∴1220x x m +=-<，1220y y n +=-<，∴这两个方程的根都负根，故①正确；∵关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根，∴240b ac -³，∴244120m n -´´³，即220m n -³，∴22m n ³，故②错误；∵关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=有两个整数根，∴240b ac -³，即244120m n -´´³，244120n m -´´³，∴220m n -³，220n m -³，∴2221212m m n n -++-+³，即()()22112m n -+-³，故③正确；由根与系数的关系得()()12121222111m n y y y y y y -=++=++-，∵1y 、2y 均为负整数，∴()()12110y y ++³，∴221m n -³-，同理可得，()()12121222111n m x x x x x x -=++=++-，∵1x 、2x 均为负整数，∴()()12110x x ++³，∴221n m -³-，即221m n -£，∴1221m n -£-£，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、有理数的加法法则、配方法，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．17．(1)11x =-，21x =(2)12x =，243x =-【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2240x x +-=，移项得，224x x +=，配方得，2215x x ++=，即()215x +=，开平方得，1x +=∴11x =，21x =-；（2）解：()()3242x x x -=--，移项得，()()32420x x x -+-=，因式分解得，()()2340x x -+=，∴20x -=或340+=x ，∴12x =，243x =-．18．证明过程见解析【分析】本题考查根的判别式、非负数的性质、配方法，先根据根的判别式求得()2=14a ++V ，再根据非负数的性质可得4³V ，即可得出结论．【详解】解：∵1a =，3b a =+，1c a =+，∴24b ac =-△()()2=3411a a +-´´+225a a =++()214a =++∵()210a +³，∴()2144a ++³，∴方程总有两个不相等的实数根．19．7.5m【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE ∽△CDE ，再根据其相似比解答．【详解】解：根据题意，易得∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∠CED ＝∠AEB ，则△ABE ∽△CDE ，则BE AB DE CD =，即81.6 1.5AB =，解得：AB ＝7.5（m ），答：树AB 的高度为7.5m ．【点睛】本题考查了相似的实际应用，镜面反射性质是物理知识，这是一个综合题，整体难度一般20．(1)见解析(2)AC 与BD 还相等，理由见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．（1）根据等腰直角三角形的性质得到AO BO =，CO DO =，即可证明；（2）由90AOB COD Ð=Ð=°，可推出AOC BOD ÐÐ=，证明AOC BOD ≌V V ，即可求解．【详解】（1）解：Q AOB V ，COD △均是等腰直角三角形，且90AOB COD Ð=Ð=°，\AO BO =，CO DO =，\AO CO BO DO -=-，即AC BD =；（2）AC BD =，理由如下：Q 90AOB COD Ð=Ð=°，\90AOC COB Ð+Ð=°，90BOD COB Ð+Ð=°，\AOC BOD ÐÐ=，在AOC △和BOD V 中，AO BO AOC BOD CO DO =ìïÐ=Ðíï=î，\()AOC BOD SAS V V ≌，\AC BD =．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）在射线AC 取一点P ，连接OP ，以点O 为圆心，12AO 的长为半径，画弧，交,AO PO 于点,E F ，再以点B 为圆心，12AO 的长为半径，画弧，交BO 于点H ，最后以点H 为圆心，EF 的长为半径，画弧，两弧交于点G ，连接BG 并延长，交O e 于点D 即可；（2）连接OD ，根据切线的性质求出90PAO Ð=°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出DOP AOP Ð=Ð，根据全等三角形的判定推出()SAS AOP DOP V V ≌，根据全等三角形的性质得出90PDO PAO Ð=Ð=°，再根据切线的判定得出即可．【详解】（1）解：补全图形如图所示：（2）解：证明：连接OD ，∵PA 切O e 于A ，∴PA AB ^，即90PAO Ð=°，∵OP BD ∥，∴DBO AOP Ð=Ð，BDO DOP Ð=Ð，∵OD OB =，∴BDO DBO Ð=Ð，∴DOP AOP Ð=Ð，在AOP V 和DOP △中，AO DO AOP DOP PO PO =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AOP DOP V V ≌，∴PDO PAO Ð=Ð，∵90PAO Ð=°，∴90PDO Ð=°，即OD PD ^，∵OD 是O e 的半径，∴PD 是O e 的切线．【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．22．(1)4(2)6【分析】（1）设OC 辅助线，利用直径、角平分线的性质得出DAC Ð的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出COD Ð的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．（2）由（1）已知90COD Ð=°，OC OD =得出BDC Ð的度数，根据圆周角的性质结合DAC Ð=BDC Ð得出12=S S ，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出BC 的值，进而利用直角三角形面积公式求出ECD S V ，由阴影部分面积1323=S S S S +=+可知ECD S V 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，连接OC ，Q BD 为O e 的直径，AC 平分BAD Ð，=90BAD \а，1190=4522BAC DAC BAD Ð=Ð=Ð=´°°，OB OD =．=90COD \а．CD =Q OC OD =，222OD CD \=，即22=8OD ．=2OD \．224BD OD OB \=+=+=．（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为1S ，大阴影面积为3S ，弦CD 与劣弧CD 所形成的面积为2S ，Q 由（1）已知90COD Ð=°，45DAC Ð=°，OC OD =，4BD =，11(180)904522BDC COD \Ð=°-Ð=´°=°．DAC BDC Ð=ÐQ ，\弦BC=弦CD ，劣弧BC =劣弧CD ．12=S S \．BD Q 为O e 的直径，CD ，==90BCD ECD \Ðа，BC CD =．BE =Q ，CE BE BC \=-==11622ECD S CE CD \=×=´=△．1323=6ECD S S S S S S \+=+==阴影部分△．【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等=弧相等=弦相等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键．23．(1)()2120168y x x x =-+££(2)能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用．（1）根据题意，可得点M 及抛物线顶点P 的坐标，待定系数法求解析式即可求解；（2）由题知，当92x =时，20732y =，而207532>，即可得出结论．【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米，现在O 点为原点，∴点()16,0M ，顶点()8,8P ，设抛物线的解析式为2y ax bx =+，把点()16,0M ，点()8,8P 代入得：6488256160a b a b +=ìí+=î，解得182a b ì=-ïíï=î，∴抛物线的解析式为2128y x x =-+，∵16OM =，()16,0M ，∴自变量x 的取值范围为：016x ££．（2）解：当98 2.512x =--=时，21992072582232y æö=-´+´=>ç÷èø，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．24．问题背景：证明过程见解析；尝试运用：DE=AD 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，问题背景：根据相似三角形的性质可得AB AC AD AE=，BAC DAE Ð=Ð，利用等量代换可得BAD CAE Ð=Ð，再由AB AD AC AE =，再根据相似三角形的判定即可得证；尝试运用：利用勾股定理求得5BC =，证明BAC DAE V V ∽，可得BA DA AC AE =，再利用等量代换可得BAD CAE Ð=Ð，从而证得BAD CAE V V ∽，可得524=3CE CE -，B ACE Ð=Ð，求得32CE =，3CD =，利用等量代换可得90DCE Ð=°，再利用勾股定理求解即可；拓展创新：拓展创新：过点A 作AB 的垂线，过点D 作AD 的垂线，两垂线交于点M ，连接BM ，证明BDC MDA ∽△△，可得=BD DC MD AD，利用等量代换可得BDM CDA Ð=Ð，证得BDM CDA ∽△△，可得BM DM BD AC AD DC==，从而可得=2=BM AC ，2DM AD =，利用勾股定理求得=AM 224=23AD AD +， 再求解即可．【详解】问题背景：解：∵ABC ADE △△∽，∴AB AC AD AE=，BAC DAE Ð=Ð，∴AB AD AC AE =，BAC DAC DAE DAC Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴ABD ACE V V ∽；尝试运用：∵4,3AB AC ==，90BAC Ð=°，∴5BC ==，∵90BAC DAE Ð=Ð=°，ABC ADE Ð=Ð，∴BAC DAE V V ∽，∴=BA AC DA AE ，∴BA DA AC AE=，∵90BAD DAC DAC CAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ∽，∴AB BD AC CE 43==，B ACE Ð=Ð，∵12CE CD =，∴524=3CE CE -，∴32CE =，3CD =，∵90B ACB Ð+Ð=°，∴90ACE ACB Ð+Ð=°，即90DCE Ð=°，∴DE ===拓展创新：过点A 作AB 的垂线，过点D 作AD 的垂线，两垂线交于点M ，连接BM ，∴===90BAM ADM BDC ÐÐа，∵BAD DBC Ð=Ð，∴DAM BCD Ð=Ð，又∵90ADM BDC Ð=Ð=°，∴BDC MDA ∽△△，∴=BD DC MD AD，又∵BDC ADM Ð=Ð，∴BDC CDM ADM CDM Ð+Ð=Ð+Ð，∴BDM CDA Ð=Ð，∴BDM CDA ∽△△，∴BM DM BD AC AD DC ==，∵12CD BD =，即2BD CD =，∴=2=BM AC 2DM AD =，∴AM ===∵222AD AM =，即224=23AD AD +，∴=AD ．25．（1）223y x x =-++，(1,4)D ；（2）1EFG S =V ；（3）存在，1(0,3),P 2P ,3P 【分析】（1）利用待定系数法求出a 的值即可得到解析式，进而得到顶点D 坐标；（2）先求出BC 的解析式3y x =-+，再设直线EF 的解析式为y x b =+,设点E 的坐标为()2,23m m m -++，联立方程求出点F ，G 的坐标，根据22BG CF =列出关于m 的方程并求解，然后求得G 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点A 作AN ⊥HB ，先求得直线BD ，AN 的解析式，得到H ，N 的坐标，进而得到45H °Ð=，设点()2,23p n n n -++，过点P 作PRx 轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS=PR ，证明OPS OPB V V ∽，根据相似三角形对应边成比例得到关于n 的方程，求得后即可得到点P 的坐标．【详解】（1）把点A （-1，0），C （0，3）代入22y ax ax c =-+中，203a a c c ++=ìí=î，解得13a c =-ìí=î，223y x x \=-++，当12b x a=-=时，y=4，(1,4)D \（2）223y x x =-++Q 令0,1,y x =\=-或x=3(3,0)\B 设BC 的解析式为(0)y kx b k =+¹将点(0,3),(3,0)C B 代入，得330b k b =ìí+=î，解得13k b =-ìí=î，3y x \=-+EF CB^Q 设直线EF 的解析式为y x b =+,设点E 的坐标为()2,23m m m -++，将点E 坐标代入y x b =+中，得23b m m =-++，23y x m m \=-++233y x y x m m =-+ìí=-++î22262m m x m m y ì-=ïï\í-++ï=ïî226,22m m m m F æö--++\ç÷èø把x=m 代入3y x =-+(,3)G m m \-+BG CF=Q 22BG CF \=即222222(3)(3)22m m m m m m æöæö---+-=+ç÷ç÷èøèø解得m=2或m=-3∵点E 是BC 上方抛物线上的点∴m=-3舍去∴点(2,3),(1,2)(2,1)E F G，=EF FG ==112EFG S \==V （3）过点A 作AN ⊥HB ，∵点(1,4),(3,0)D B 26DB y x \=-+∵点(1,0)A -，点(0,3)C 33AC y x \=+326y x y x =+ìí=-+î35245x y ì=ïï\íï=ïî324,55H æö\ç÷èø设12AN y x b =+，把（-1，0）代入，得b=121122y x \=+112226y x y x ì=+ïíï=-+î11585x y ì=ïï\íï=ïî118,55N æö\ç÷èø222118155AN æöæö\=++ç÷ç÷èøèø2216855æöæö=+ç÷ç÷èøèø22258516HN æöæö=+ç÷ç÷èøèøAN HN\=45H °\Ð=设点()2,23p n n n -++过点P 作PR ⊥x 轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS=PR45RSP °\Ð=且点S 的坐标为()233,0n n -++若45OPB AHB °Ð=Ð=在OPS V 和OPB △中，POS POB OSP OPBÐ=ÐìíÐ=îOPS OPB\V V ∽OP OS OB OP\=2OP OB OS\=×2222(1)(3)323)n n n n n \++-=×-++（0n \=或n =1(0,3)P\2P3P【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．。
山西省阳泉市部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)
2024—2025学年度第一学期期中九年级数学（满分120分，练习时间120分钟）第I 卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.是同类二次根式的是（ ）2.已知关于x 的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（ ）A.1B.C.2D.03.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O 的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是（ ）A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的全等D.图形的相似4.利用配方法解方程时，将该方程化为的形式，然后利用直接开平方法求解，这个过程体现的数学思想是（ ）A.数形结合思想B.转化思想C.整体思想D.公理化思想5.如果，那么下列比例式正确的是（ ）A. B. C. D.6.若等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长分别是关于x 的一元二次方程的两个根，则k 的值是（ ）A.27B.36C.27或36D.187.我国古代数学《九章算术》中有一道“井深几何”的问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺等于10寸），问井深几何?”根据题意画出如图示意图，则并深为（ ）20x bx c ++=10b c ++=1-30AOB BOC COD LOM ∠=∠=∠==∠=︒ 2680x x ++=()231x +=:5:3a b =35a b a -=32b a b =+14a b a b -=+223a b=2120x x k -+=A.56.5尺B.57.5尺C.6.25尺D.1.25尺8.如图，在中，点D 是上一点，且，若，，则与的面积比为（ ）A. B. C. D.9.对于实数a ，b ，定义运算“（ ）”：若，例如：.已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围为（ ）A. B. C. D.10.如图，在中，，，点D ，E 分别是，边上的动点，连结，F ，M 分别是，的中点，则的最小值为（ ）A.12B.10C.9.6D.4.8第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.的结果是________.ABC △AC ABD C ∠=∠2AD =3AB =ABD △BCD△4:54:92:32:1()*a b a a b =-()2*32232=-=-211*(2)724x m m m -=-13m ≥-13m ≤-16m ≤-16m ≥-ABC △10AB BC ==12AC =AB BC DE AD DE FM12.如图，直线，若，，，那么的长为________.13.某种小家电在两年内提价两次后每个的价格比两年前增加了44%，则平均每次提价的百分率为________.14.如图，小明在A 时测得某树的影长为3m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.15.如图，在中，，，，点D 是边上的一点，过点D 作，交于点F ，作的平分线交于点E ，连接.若的面积是2，则的值是________.三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（每小题5分，共10分）（1（2）解方程：17.（本题10分）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.点A ，B ，C 均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹.AB CD EF ∥∥12AD =4DF =15BE =CE Rt ABC △90C ∠=︒3AC =4BC =AC DF AB ∥BC BAC ∠DF BE ABE △DE EF221)(2)--+-()()325211x x x -+=+66⨯图① 图② 图③（1）在图①中，以点C 为位似中心，将放大到原来的2倍；（2）在图②中，在线段上作点D ，使得；（3）在图③中，作，且相似比为.18.（本题8分）玉米俗称玉米棒子、苞米，是我国第一大粮食作物，也是全世界公认的“黄金作物”.政府鼓励农民种植玉米，一亩地每年补贴300元.经调查：我省玉米实验田平均亩产量约1300千克，市场销售价为每千克1.2元，除购买种子、播种、施肥、浇水、收割等成本费用外（随种植亩数的变化而变化），种植一亩玉米的净利润达到1360元.（1）求种植一亩玉米的成本需要多少元；（2）某农场现有15亩实验田，计划种植玉米和蔬菜，根据经验调查发现：按2023年种植一亩玉米的成本来计算，以后每多种植1亩，平均每亩的成本会减少20元，2024年农场计划投入3200元的成本种植玉米，问：该农场计划种植几亩玉米?19.（本题7分）如图，在中，点D 在边上，，点E 在边上，.（1）求证：.（2）若，，求的长.20.（本题8分）项目化学习项目主题：测量树的高度.分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板，确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高ABC △BC 3CD BD =BEF BAC △∽△3:4ABC △BC DAC B ∠=∠AD CD CE =ABD CAE △△∽9AB =6AC BD ==AE度.成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：测量工具标杆，皮尺测量方案选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上.这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高.测量示意图测量数据线段表示树，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到树底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离.……请同学们继续完善上述成果展示：任务一：根据测量数据，求出树的高度；任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识________________________________________.（写出一个即可）21.（本题8分）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约前400-前347）发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，，若较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，即（此时线段叫做线段，的比例中项）比值为黄金比，P 为线段的黄金分割点. 图1采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设是已知线段，经过点B 作，且，连接，在上截取，在上截取，则C 就是线段的黄金分割点.任务：AB 3.2m EF = 1.7m CD =14m DB =2m DF =AB AB AP BP BP AP AP AB =AP BP AB AB AB BD AB ⊥12BD AB =AD AD DE DB =AB AC AE =AB图2（1）求证：C 是线段的黄金分割点.（2）若，则的长为________.22.（本题12分）综合与实践（1）如图①，在中，，，点D 在边上，点E 在边上.若，求证：.图①（2）如图②，在矩形中，，，点E 在边上，连接，过点E 作，交于点F .图②i ）若，求的长；ii ）若点F 恰好与点D 重合，求的长.23.（本题12分）综合与探究如图1，在矩形中，，，点E 是对角线上任意一点，交于点G ，交于点F .（1）当点E 为的中点时，________. 图1（2）如图2，将四边形绕点B 逆时针旋转，连结，.在旋转过程中，是否发生变化，若不变化，求出的值，若发生变化，请说明理由.AB 1BD =BC Rt ABC △90ACB ∠=︒AC BC =AB BC 45CDE ∠=︒ACD BDE △∽△ABCD 4cm AB =10cm BC =BC AE EF AE ⊥CD :1:9BE EC =CF BE ABCD 6cm AB =4cm AD =BD EG CD ∥BC EF AD ∥AB BD DE CG=BFEG CG DE DE CG DE CG图2（3）如图3，将四边形绕点B 逆时针旋转，连结，.请直接写出旋转过程中的值. 图3BFEG AF DE DE AF九年级数学答案一、1、C2、A3、D4、B5、C6、B7、B8、A9、D10、D二、11、412、13、20%1415、三、16、解：（1（2），，，，，.17、（1）如图，即为所求（2）如图，点D 即为所求（3）如图，即为所求18、（1）设种植一亩玉米的成本需要x 元，154372211111)(2)(21)21444---+-=--+=-+-+=-2315210211x x x x +--=+238110x x --=14∆==81423x ±=⨯1113x =21x =-11A B C △BEF △依题意得：，解得.答：种植一亩玉米的成本最高需要500元.（2）设该农场计划种植y 亩玉米，则每亩的成本为依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）。
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九年级（上）数学阶段调研卷 （2005。
11。
）
一、选择题：（每题4分，共48分）
1．如图，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）
A ．30°
B ． 50°
C ．60°
D ．100°
2．一元二次方程. x 2_4=0的解是 ( ) A 、 2=x B 、 2-=x C 、21=x ，22-=x D 、
21=
x
，22-=x
3．平行四边形ABCD 中，∠A=50°，则∠D=（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 130°
D. 不能确定 4．到△ABC 的三边距离相等的点是△ABC 的( )
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三边中垂线的交点 5．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么
下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是 （ ）
6．关于x 的方程2
(3)210a x x a -++-=是一元二次方程的条件是（ ）
A 、0a ≠
B 、3a ≠
C 、3a ≠
D 、3a ≠-
7．下列四句话中，正确的是（ ）
A 、任何一个命题都有逆命题。
B 、任何一个定理都有逆定理。
C 、若原命题为真，则其逆命题也为真。
D 、若原命题为假，则其逆命题也假。
8.用两个完全相同的直角三角板,不能．．
拼成下列图形的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰三角形 D.梯形
9．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ） A 、60° B 、65° C 、70° D 、80°
D E F A B C
30︒
50︒A B C D
10.已知直角三角形的两边长是方程x 2
-7x+12=0的两根，则第三边长为（ ）
（A ）7 （B ）5 （C ）7 （D ）5，或7
11．用配方法解下列方程时，配方有错误的是………………………（ ） A.x 2-2x -99=0化为(x -1)2=100 B.x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25
C. 3y 2-4y -2=0化为910)32(2=
-y D. 2t 2-7t -4=0化为16
81
)47(2=-t
12．给出下面四个命题：(1)一组对边平行的四边形是梯形;(2)一条对角线平分一个内角的平
行四边形是菱形;(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,其中真命题的个数有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题：（每空5分，共30分）
13．已知x = 1是方程2
60x ax -+=的一个根，则a=________
14．教室中的矩形窗框在太阳光的照射下，在地面上的影子是 . 15．如图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是 。
16．等腰梯形的锐角等于60︒，它的两底长分别是15cm 、49cm ，则它的腰长是__________。
17．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。
如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金
三角形已知AB=1，则DE=___________________
18．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH ，
EF 交AD 于点H ，那么DH 的长为________;
( 第15题 ) ( 第17题 ) ( 第18题 )
三、解答题：（共72分）
19．解方程05422
=--x x (6分) 20。
解方程0)1(2)1(2
=---x x x ( 6分)
G
B
21．（本题10分）如图，矩形ABCD 中，
M 是CD 的中点。
求证： （1）△ADM ≌△BCM ；（2）∠MAB=∠MBA
22．（本题12分）如下图，路灯下，一墙墩（用线段AB 表示）的影子是BC ，小明 （用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一颗大树，它的影子是MN 。
（1） 试确定路灯的位置（用点P 表示）。
（2） 在图中画出表示大树高的线段。
（3） 若小明的眼睛近似地看成是点D ，试画图分析小明能否看见大树。
23．（本题12分）如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC . 由4个这样的等腰梯
形可以拼出图乙所示的平行四边形．（1）求四边形ABCD 四个内角的度数； （2）试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大
致的示意图．
A
B C
D 第23题图甲
N M F E D C B A
24．（本题12分）某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，若每件降价1元，则
每天可多销售5件。
（1）如果每天要赢利1600元，每件应降价多少元？(2) 每天能赢利3000元吗？请说明理由。
25．（本题14分）如图，在等腰直角⊿ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一 个动点，D 为BC 上的一点，且PB=PD ，DE ⊥AC ，垂足为E 。
（1）若∠ABP=15°，求∠PDE 和∠OPB 的 大小 。
（2）试论证PE 与BO 的位置关系和大小关系。
（3）设AC=2a , AP=x , 四边形PBDE 的面积为y , 试写出y 与x
之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；在x 的 取值范围内，y 有没有最大值？请说明理由。
E
D C O B A
P
九年级（上）数学阶段调研卷答题纸（2005。
11。
）
二、 填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)
13. 14.
15. 16.
17.
18. 三、 解答题
19．解方程05422
=--x x (6分) 20。
解方程0)1(2)1(2
=---x x x ( 6分)
21．（本题10分）
22．（本题12分）
N M
F
E
D
C
B
A
23．（本题12分）
24．（本题12分） 25．（本题14分）
A B C
D 第23题图甲
E
D
C
O
B
A
P
数学参考答案
二、 填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)
13. 7 14. 平行四边形
15. 1：4 16. 34
17.
2
5
3- 18. 3
三、 解答题
19．解方程05422
=--x x (6分) 20。
解方程0)1(2)1(2
=---x x x ( 6分)
ｘ＝
2
14
2± ｘ＝1± 21．（本题10分）（略） 22．（本题12分）（略）
23．（本题12分）
（１）１２０°，６０°，１２０°，６０°．
（２）ＤＣ＝ＡＤ＝ＢＣ＝2
1
ＡＢ （３）（略） 24．（本题12分）
（１）４元或３６元（２）不能，042
ac b - 25．（本题14分）
（１）６０°，６０°．（２）相等且垂直
（３）ｙ＝222a ax x ++-，当ｘ＝2a 时，ｙ最大值是2
8
5a ．。