2010广东高考数学(理科A卷)试卷及详细解答

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考公式：锥体的体积公式V=13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={x|-2＜x ＜1},B=A={x|0＜x ＜2},则集合A ∩B=A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|-2＜x ＜1}C.{x|-2＜x ＜2}D.{x|0＜x ＜1} 2.若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则=⋅21z zA.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i 3.若函数f(x)=3x+3x-与g(x)=33xx--的定义域均为R ，则A ．f(x)与g(x)均为偶函数B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C ．f(x)与g(x)均为奇函数D ．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数]4．已知数列{n a }为等比数列， n S 是它的前n 项和,若1322a a a =⋅，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S=[来源:学+科+网] A ．35 B ．33 C ．3l D ．295.“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6.如图1，ABC V 为正三角形，'''////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是7.已知随机量X 服从正态分布N （3,1），且P （2≤X ≤4）=0.6826，则P(X ＞4)=A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15858.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙 黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （一）必做题(9～13题)9.函数，f(x)=lg(x-2)的定义域是10．若向量a =(1,1，x)，b =(1，2,1)，c =(1，1,1)满足条件(c —a )·2b =-2，则x=____________. 11.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若 a=1， b=3，A+C=2B ，则sinC= .12.若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0 相切，则圆O 的方程是 .13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民 某年的月均用水量进行了抽样调查， 其中n 位居民的月均用水量分别为1x ，…，nx (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若n=2且1x ，2x 分别为1，2，则输出的结果s 为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，32aPD =,∠OAP=30°则CP=15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线1cos sin 2-==θρθρ与的极坐标为 ______ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分l4分）()()()sin 3(0,0412212sin .3125f x A x A x x f f f πϕϕππαα=+∈-∞+∞=已知函数＞，，＜＜），在时取得最大值。

（1）求(x)的最小周期（2）求(x)的解析式（3）若（+）=，求17.（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克 的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 克的概率。

18.(本小题满分14分)如图5，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB =D F =a 5，FE=a 6. （1）证明：EB FD ⊥；(2)已知点,Q R 为线段FB FE ,上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成的两面角的正弦值.19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。

已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 20.（本小题满分14分）已知双曲线1222=-y x 的左、右顶点分别为12,A A ,点11(,)P x y ,11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线1A P与2A Q交点的轨迹E 的方程（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线1l 和2l与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值.21.(本小题满分14分) 设12(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)p A B为2121(,)||||.p A B x x y y =-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点12(,)A x y ，22(,)B x y ,(1)若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,);p A C p C B p A B +≥ （2）在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足:①(,)(,)(,)p A C p C B p A B +=； ② (,)(,)p A C p C B = 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.2010高考数学理科（广东卷）参考答案一.选择题1. D ；2.A ；3.D ；4.C ；5.A ；6.D ；7.B ；8.C 二。

填空题9.{}2>x x ； 10. 2； 11. 1； 12.2)2(22=++y x ；13. 41； 14.a 89； 15.)43,2(π三。

解答题3sin(2)25πα+=，3cos 25α=，2312sin 5α-=，21sin 5α=，5sin 5α=±． 17.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:22353(3)10373087*********3087.10000设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则YB(5,),从而P(Y=2)=C ()()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为:(1).,,,,,.CF B C AD AB BC B AEC E AEC EB BC ∴=∴⊥18.证明连结为线段的三等分点即为半圆的圆心又为半圆的中点2222222222,5,,,.(5),6(2)(2),,,,,BDF BF DF a BDF C BD CF BD BF BC a a CEF EF a a a CE CF BED EB BED FC EB BE BDF ∆==∆⊥--∆==+=+⊥⊥⊥∴⊥⊆∴⊥∴⊥⊆∴⊥在中所以是等腰三角形且点是底边的中点所以故CF===2a,在中所以CF EC.由CF BD,CF EC,且EC BD=C,FC 平面而平面平面又FD 平面BDF,EB FD.（2）Y 012P228240C C112812240C C C ⋅212240C C设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .由BQ=23FE,FR=23FB 知, ||QR EB .而EB ⊂平面BDF ，∴||QR 平面BDF ， 而平面BDE平面RQD = DG ，∴||||QR DG EB .由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而DR ⊂平面RQD ，BD ⊂平面BDF ，∴,DG DR DG DB ⊥⊥，∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角．在Rt BCF ∆中，2222(5)2CF BF BC a a a =-=-=， 22sin 55FC a RBD BF a ∠===，21cos 1sin 5RBD RBD ∠=-∠=．2222215,,333551292cos (2)()22.333552922933,,sin .2sin sin sin 295229.29aFR FB BR FB a a aRD BD BR BD BR RBD a a aaBR RD RDB RDB RBD RDB BED ====+-⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅===∴∠=∠∠∠由知利用余弦定理:利用正弦定理:即故平面与平面RQD 所成二面角的正弦值为解法二：利用向量，请同学们自行完成.19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：y x ,满足条件12864664261054x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪∈⎪∈⎪⎩即321607035270x y x y x y x N y N +-≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，目标函数为y x z 45.2+=，作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把y x z 45.2+=变形为485zx y +-=，得到斜率为85-，在y 轴上的截距为4z，随z 变化的一族平行直线。

由图可知，当直线485z x y +-=经过可行域上的点M (70x y +-=即直线与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z 最小.解方程组：7035270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩, 得点M 的坐标为)3,4(, 所以=min z 22答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐， 所花的费用最少,且最少费用为22元. 20.(本小题满分14分)[来源:学,科,网]了故221(2)2y x =--，即2212x y +=.经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹E 的方程为2212x y +=).2,0(±≠≠x x 且（2）设1:l y kx h =+)0(>k ，则由12l l ⊥知，21:l y x h k =-+. 将1:l y kx h =+代入2212x y +=得22()12x kx h ++=，即222(12)4220k x khx h +++-=， 若1l 与椭圆相切,则2222164(12)(22)0k h k h ∆=-+-=，即2212k h +=; 同理若2l与椭圆相切,则22112h k +⋅=.由1l 与2l与轨迹E 都只有一个交点包含以下四种情况:(1)直线1l 与2l都与椭圆相切,即2212k h +=,且22112h k +⋅=,消去2h 得221k k =，即21k =，从而22123h k =+=，即3h =;(2)直线1l 过点)0,2(1-A ,而2l与椭圆相切,此时,0)2(=+-⋅h k 22112h k +⋅=,解得2171+=h ;(3) 直线2l 过点)0,2(2A ,而1l 与椭圆相切,此时,021=+⋅-h k 2212k h +=,解得2171+=h ;(4) 直线1l 过点)0,2(1-A ,而直线2l过点)0,2(2A ,此时,0)2(=+-⋅h k ,021=+⋅-h k.2=∴h 综上所述,h 的值为.2171,3,2+21.(本题满分14分)。