角和反三角函数图像
三角和反三角函数图像
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
周期性
都不是周期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)
arcsin(sinx)=x(x∈［- , ］)
cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)
x=2kπ- 时ymin=-1
［-1,1］
x=2kπ时ymax=1
x=2kπ+π时ymin=-1
R
无最大值
无最小值
R
无最大值
无最小值
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为π
周期为π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在［2kπ- ,2kπ+ ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+ π］上都是减函数(k∈Z)
tan(arctanx)=x(x∈R)
arctan(tanx)=x（x∈(- , )）
cot(arccotx)=x(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
互余恒等式
arcsinx+arccosx= (x∈［-1,1］)
arctanx+arccotx= (X∈R)
三角和反三角函数图像
三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数
y=sinx
y=cosx
三角和反三角函数图像
arctan(tanx)=x（x∈(- , )）
cot(arccotx)=x(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
互余恒等式
arcsinx+arccosx= (x∈［-1,1］)
arctanx+arccotx= (X∈R)
x=2kπ- 时ymin=-1
［-1,1］
x=2kπ时ymax=1
x=2kπ+π时ymin=-1
R
无最大值
无最小值
R
无最大值
无最小值
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为π
周期为π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在［2kπ- ,2kπ+ ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+ π］上都是减函数(k∈Z)
arctanx表示属于(- , )，且正切值等于x的角
arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角
性质
定义域
［-1，1］
［-1，1］
(-∞，+∞)
(-∞，+∞)
值域
［- ， ］
［0，π］
(- ， )
(0，π)
单调性
在〔-1，1〕上是增函数
在［-1，1］上是减函数
在(-∞，+∞)上是增数
在(-∞，+∞)上是减函数
三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数
y=sinx
y=co
｛x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z｝
三角函数及反三角函数的图像及性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1.正弦与余函数的图像与性质ycosx函数ysinx图像定域义RR值域1,11,1最值x2k时,y1，kZ最大2 x2k,y1kZ时，最大x2k时,y1，kZ最小x2k时,y1，kZ最小2单调性在每个[2k,2k]上递增22 在每个[2k,2k]上递增在每个[2k,2k]上递减3在每个[2k,2k]上递减22kZkZ奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期对称性对称中心(k,0)，对称中心(,0)k，2对称轴:xk,(kZ)对称轴2:x k,(kZ)2.正切与余切函数的图像与性质函数ytanxycotx图像定域义{x|xR且xk,kZ}{x|xR且xk,k Z}2值域RR单调性在每个(k,k)上递增在每个(,)上递减kk22kZkZ奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称性k对称中心(,0)2k 对称中心(,0)2二、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反余弦函数yarccosx函数反正弦函数yarcsinx是ycosx，x0,的反函数是sin,yx，x的反函数22图像定域义1,11,1值域0,,22单调性在[1,1]上递增在[1,1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)22.反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数yarctanx反余切函数yarccotx是ycotx，x0,的反函数是tan(,)yx，x的反函数22图像定域义(,,)(,,)值域,0,22单调性在(,,)上递增在(,,)上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2。
三角、反三角函数图像及性质与三角公式
三角、反三角函数图像(附：资料全部来自网络，仅对排版做了改动，以方便打印及翻阅，其中可能出现错误，阅者请自行注意。
）1.六个三角函数值在每个象限的符号：sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα2.三角函数的图像和性质：1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx函数 y=sinx y=cosx y=tanxy=cotx定义域RR｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+2π,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝值域［-1，1］x=2kπ+2π 时y max =1x=2kπ-2π时y min =-1［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1R 无最大值 无最小值R无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在［2kπ+2π,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π，kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)3.反三角函数的图像和性质：arcsinx arccosxarctanx arccotx名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty理解arcsinx表示属于［-2π,2π］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 周期性都不是周期函数arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotxarcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=xx∈[0,π] arccos(cosx)=xx∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=xx∈(0, π) arccot(cotx)=x三角公式总表1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sinB sinC sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.同角关系：⑴商的关系：①θtg =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅==ctg ③θθθtg ⋅=cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅==tg ⑤θθθctg ⋅=sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅==ctg⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ）5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(=± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tg A tg6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -=④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+= ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg8.积化和差公式：①[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=②[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=③[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ④()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+②2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- ③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-。
三角函数与反三角函数的图像与性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1. 正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π 二、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质 函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数 反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1-值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数 反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域 ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性 (,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π。
三角、反三角函数图像的解析
三角、反三角函数整理Sin a ， CSC a三角函数的图像和性质：三角函数值在每个象限的符号:COS a° Sec a tan a ， cot a* y=ta nx1!y111t/IJ/3JI{i■o万2A耳JF{1I函数y=s inx y=cosx y=ta nx y=cotxy=sec x y=cscx疋义域R R{x | x € R 且JIx 丰 k nJ ,k € Z}{x | x € R 且x 丰 k n€,IZ }{x| x 工kn + n/2(k € Z)}{x|x 工k n ,k € Z}值域[-1, 1:JIx=2k n +2时y max=1JIx=2k n 一2时y min =-1[-1,1 ]x=2k n时y max = 1 x=2k n+ 时y min =-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值y > 1 或yw -1{y|y > 1 或y w -1}周期性周期为2n周期为2n周期为n周期为nT=2 n 2 n奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数偶函数奇函数单调性在Jl[2k n——22,2JIk n+一 :上2都是增函数；在JI[2k n + —22,2k n+ n]3 上都是减函数(k €在]2k n- n, 2k n上都是增函数；在:2k n,2k n +]n上都是减函数(k € Z)在(k n 一,2Ttk n+亍)内都是增函数(k € Z)在(k n, k n + n)内都是减函数(k € Z)一般不讨论一般不讨论角函数的诱导公式(六公式)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin( a +k*2 n )=sin a k 为整数)COS(a +k*2 n )=cos a k 为整数)tan( a +k*2 n )=tan (a 为整数)公式二设a为任意角，n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系sin[(2k+1) n +a-S=n aCOS[(2k+1) n +a 抬OS atan[(2k+1) n + a ]=tan aCOt[(2 k+1) n + a ]=COt a公式三任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(2k- a )=sin acos(2k- a )=COs atan(2k- a )=tan aCOt(2k- a )=COt a公式四利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系sin[ (2k+1) na ]=sin aCOS[(2k+1) n a ]=COS atan[ (2k+1) na ]=tan aCOt[(2k+1) na ]=COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n- a与a的三角函数值之间的关系：sin(2k n a )=sin aC0S(2k n- a )=COS atan(2k n a )=tan aC0t(2k n a )=C0t a公式六：n /2 ±4a a的三角函数值之间的关系：Sin( n /2+ a )=C0S acos( n /2+ a -sin atan( n /2+ a -Cot aC0t( n /2+ a-)=n asin( n 2 )=C0S aC0S( n /2 a )=Sin atan( n /2a )=C0t aC0t( n /2a )=tan a诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。
三角函数公式及图像
锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号：sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的图像和性质：.反三角函数：arcsinx arccosx。
三角函数公式、图像大全
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a •sin(a)-b •cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）= sin αcos （2k π＋α）= cos αtan （2k π＋α）= tan αcot （2k π＋α）= cot α设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cos α cos （2π+α）= -sin α tan （2π+α）= -cot α cot （2π+α）= -tan α sin （2π-α）= cos α cos （2π-α）= sin α tan （2π-α）= cot α cot （2π-α）= tan α sin （23π+α）= -cos α cos （23π+α）= sin α tan （23π+α）= -cot α cot （23π+α）= -tan α sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sin α tan （23π-α）= cot α cot （23π-α）= tan α (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ)+B •sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h--------------------------------------------------------------------------------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
三角和反三角函数图像+公式(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号：sinα·cscα cosα·secαtanα·cotα三角函数的图像和性质：1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R｛x ｜x∈R 且x≠kπ+2π,k∈Z｝ ｛x ｜x∈R 且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+2π时y max =1 x=2kπ-2π时y min =-1［-1,1］x=2kπ时y max =1 x=2kπ+πR无最大值 无最小值R无最大值 无最小值时ymin=-1周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在［2kπ+2π,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π，kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z).反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx名称反正弦函数反余弦函反正切函数反余切函数。
三角函数、反三角函数
定义直角三角形三角函数定义在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数sine sin a/c ∠A的对边比斜边余弦函数cosine cos b/c ∠A的邻边比斜边正切函数tangent tan a/b ∠A的对边比邻边余切函数cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边正割函数secant sec c/b ∠A的斜边比邻边余割函数cosecant csc c/a ∠A的斜边比对边注：正切函数、余切函数曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
secx=1/cosx、cscx=1/sinx变化规律正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
特殊角在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。
这些函数的值参见下表格：角度0°15°30°45°60°90°120°135°150°180°270°弧度sin值cos值tan 值不存在不存在cot 值不存在不存在几何性质函数图象函数对称轴对称中心图象无（kπ/2+π/2,0）正切三角函数图像无最小正周期如果一个函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f （x ）的最小正周期（minimal positive period ）.例如，正弦函数的最小正周期是2π.对于正弦函数y=sinx, 自变量x 只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
三角函数与反三角函数的图像与性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1. 正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减 奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性 对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π二、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质 函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数 反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1- 值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数 反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域 ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性 (,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
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2 2 函数，叫做反余弦函数，
22
的反函数，叫做反正弦 记作 x=arccosy
数，叫做反正切函数，记作
函数，记作 x=arsiny
x=arctany
arcsinx 表示属于
［- , ］
22
且正弦值等于 x 的角
arccosx 表示属于［0，π］， arctanx 表示属于(- , )，且
且余弦值等于 x 的角
反余切函数 y=cotx(x∈(0,π))的反 函数，叫做反余切函数， 记作 x=arccoty
arccotx 表示属于(0，π) 且余切值等于 x 的角
(-∞，+∞) (0，π) 在(-∞，+∞)上是减函数
arccot(-x)=π-arccotx
周期性 都不是周期函数
sin(arcsinx)=x(x∈ cos(arccosx)=x(x∈
22
正切值等于 x 的角
［-1，1］
［-1，1］
(-∞，+∞)
［- ， ］
22
［0，π］
在〔-1，1〕上是增函 在［-1，1］上是减函数
(- ， )
22
在(-∞，+∞)上是增数
数
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx
y=tanx
｛x｜x∈R 且 x≠kπ+ ,k∈Z｝ 2
y=cotx ｛x｜x∈R 且 x≠kπ,k∈Z｝
R 无最大值 无最小值
R 无最大值 无最小值
周期为 2π
奇函数
在［2kπ- ,2kπ+ ］上都是增函数；在
2
2
［2kπ+ ,2kπ+ 2 π］上都是减函数
2
3
(k∈Z)
周期为 2π 偶函数 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函 数；在［2kπ，2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z)
arctanx+arccotx= (X∈R)
2
-1
2
3 2
2
3 5 2
7
2 4
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3 x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 定义域
值域
周期性 奇偶性
单调性
y=sinx
R
［-1，1］x=2kπ+ 时 ymax=1 2
x=2kπ- 时 ymin=-1 2
y=cosx
R
［-1,1］ x=2kπ 时 ymax=1 x=2kπ+π 时 ymin=-1
六个三角函数值在每个象限的符号：
三角、反三角函数图像
三角函数的图像和性质：
sinα·cscα
cosα·secα
tanα·cotα
y=sinx
y
-4 -7 2
-5
2 -2 -3 - 2
-2 1 o
-1
2
3
7
2
2
2 5 3 2
4
x
y=cosx
y
-3
-4 -7 2
-5
2 -2
- -3 2
-2
1
o
［-1，1］)
［-1,1］)
恒等式 arcsin(sinx)=x(x∈ arccos(cosx)=x(x∈
［- , ］)
22
［0,π］)
互余恒等式 arcsinx+arccosx= (x∈［-1,1］)
2
tan(arctanx)=x(x∈R)
cot(arccotx)=x(x∈R)
arctan(tanx)=x（x∈(- , )） arccot(cotx)=x(x∈(0, 2 2 π))
周期为 π
奇函数
在(kπ- ，kπ+ )内都是增函
2
2
数(k∈Z)
周期为 π 奇函数 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)
arcsinx
arccosx
arctanx
arccotx
名称 定义
理解 定义域
值域 性 单调性 质
奇偶性
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
y=sinx(x∈〔- , 〕) y=cosx(x∈〔0,π〕)的反 y=tanx(x∈(- , )的反函