学高中数学数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有

5.1.1 数的概念的扩展 5.1.2 复数的有关概念

1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点)

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(易混点)

4.理解复数的几何表示.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 复数的有关概念及分类 阅读教材P 99部分，完成下列问题. 1.复数的有关概念 (1)复数

①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位.a 叫作复数的实部，

b 叫作复数的虚部.

②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集

①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类及包含关系 (1)复数a ＋b i ，a ，b ∈R (2)集合表示：

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数.( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数.( ) (3)b i 是纯虚数.( )

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 复数的有关概念

阅读教材P 100“1.2复数的有关概念”以下至P 101“练习”以上部分，完成下列问题. 1.两个复数相等

a ＋

b i ＝

c ＋

d i 当且仅当a ＝c ，且b ＝d .

2.复数的几何意义

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←―――一一对应

复平面内的点Z (a ，b )；

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――一一对应

平面向量OZ →

＝(a ，b ). 3.复数的模

设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2

＋b 2

.

如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A.x ＝1，y ＝－1 B.x ＝0，y ＝－1 C.x ＝1，y ＝0

D.x ＝0，y ＝0

【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1， ∴⎩⎪⎨

⎪

⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，

∴x ＝1，y ＝－1.

【答案】 A

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

复数的概念与分类

) A.－1 B.1 C.±1 D.－1或－2

(2)已知复数z ＝a ＋(a 2

－1)i 是实数，则实数a 的值为________.

(3)当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m

＋(m 2－2m )i 为：①实数？②虚数？③纯虚数？

【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解.

【自主解答】 (1)∵(x 2

－1)＋(x 2

＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2

－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.

由x 2

－1＝0，

得x ＝±1，又由x 2

＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1.

(2)∵z 是实数，∴a 2

－1＝0，∴a ＝±1. 【答案】 (1)B (2)±1

(3)①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2

－2m ＝0，

m ≠0，

即m ＝2时，复数z 是实数.

②当m 2

－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数.

③当⎩⎪⎨⎪⎧m 2

＋m －6m ＝0，

m 2－2m ≠0，

即m ＝－3时，复数z 是纯虚数.

利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.

[再练一题]

1.复数z ＝a 2

－b 2

＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A.|a |＝|b | B.a <0且a ＝－b C.a >0且a ≠b

D.a >0且a ＝±b

【解析】 要使复数z 为纯虚数，则⎩

⎪⎨⎪⎧a 2

－b 2

＝0，a ＋|a |≠0，

∴a >0，a ＝±b .故选D. 【答案】 D

复数相等

(1)①若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0； ②x ＋y i ＝2＋2i?x ＝y ＝2；

③若y ∈R ，且(y 2

－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2

D.3

(2)已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y . 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解.

【自主解答】 (1)命题①，②中未明确a ，b ，x ，y 是否为实数，从而a ，x 不一定为复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y ∈R ，从而y 2

－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得

⎩

⎪⎨⎪⎧y 2

－1＝0，

－（y －1）＝0，∴y ＝1，故③正确. 【答案】 B

(2)因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得

⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.