材料力学 第10章 压杆稳定

一、两端铰支的细长压杆
x
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状
Fcr
态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。 A
Fcr x M(x)=－Fcrw
w
x
w Fcr
B w
Fcr
x
Fcr x M(x)=－Fcrw w
w Fcr
①弯矩： M ( x) Fcr w
②挠曲线近似微分方程：
w" M ( x) Fcr w
F
30mm
F
F
压杆稳定性：压杆保 持其原来直线平衡状 态的能力。
压杆不能保持其原 来直线平衡状态而突 然变弯的现象，称为 压杆失稳。
稳定失效是区别于强度失效和刚度失效的又一种 失效形式。
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
桁架稳定性
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
临界应力：
临界压力：
令：
l
i
s cr
Fcr A
2 EI Fcr （l )2
I i2 A 2 EA ( l )2
i
2 EA
2
——压杆柔度或长细比
取决于压杆截面形状和尺
寸、杆长度和支承条件。
欧拉临界压力:
Fcr
2 EI (l )2
2 EA 2
例10.1 一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长 l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界压力。
解 查型钢表得
y
Iz=2370cm4，Iy=158cm4
z
Fcr
2 EImin
l2
2 EI l2
y
2 200 109 158 108
32
N
346103 N 346kN
由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆就会失稳。
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
理想压杆： ➢均质材料 ➢ 压力作用线与轴线重合 ➢ 直杆
一、压杆稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆，
σb=20MPa；A＝10mm×30mm
F
短杆长：l＝30mm 两杆的极限承载 长杆长：l＝1000mm 能力是否相同？
1m
若按强度条件计算，两根杆压 F
缩时的极限承载能力均应为：
30mm
3、不稳定的平衡状态
当压力大于临 界压力，压杆只 要受到轻微干扰， 就会屈曲，直至 弯折。
原有的直线平衡状态 是不稳定平衡状态。
>Fcr
F>Fcr
弹性压杆的稳定性
F Fcr —稳定平衡状态
F Fcr —不稳定平衡状态
关键 确定压杆的临界力压 Fcr
稳定失效——杆件在压力超过某一值后，在外界扰动下，其 直线的平衡形式将突然转为弯曲形式，致使杆件丧失正常功 能。这种失效形式即为稳定失效。
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
2、临界平衡状态与临界压力Fcr
=Fcr
扰动力
F=Fcr
当扰动力撤除后， 它不能恢复到原有 的直线平衡状态， 而保持微弯状态下 的平衡——临界平 衡状态。这时压杆 的的轴向压力称为 临界压力Fcr。
原有的直线平衡状态 是不稳定平衡状态。
压杆由直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡------失稳（屈曲）
EI
EI
w " Fcr w w " k 2w 0 EI
其中:k 2 Fcr EI
③微分方程的通解：
w Asinkx Bcos kx
w Asinkx Bcos kx
④确定积分常数A、B： w(0) w(l ) 0 k 2 Fcr EI
即:
A A
0 sin
B kl
0 B cos
kl
0
0
1
0
sinkl cos kl
sin kl 0 kl n
k n Fcr
l
EI
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩I最小的轴弯曲。
Fcr
2 EI min l2
该式由瑞士科学家欧拉于 1744年提出，故称两端铰支 压杆临界力的欧拉公式
Fcr
2 EImin
木材的弹性模量E=10GPa，试求
Leabharlann Baidu木柱的临界压力。
8m
120
Fcr
Fcr
y z
200
解 由于最大刚度平面与最小刚度
平面内的支承情况不同，所以需分别
计算。 Iy
120 2003 12
mm4
8 105 m4
Iz
200 1203 12
mm4
2.88 105 m4
Iy Iz
I y 8 105 m4 Iz 2.88 105 m4
越大，相应的Fcr 越小，
压杆越容易失稳。
显然：压杆临界压力与外力无关
欧拉临界应力：
s cr
2E 2
越大，相应的 scr 越小，
压杆越容易失稳。
柔度 l
i
集中地反映了压杆的长度 l 和杆
端约束条件、截面尺寸和形状等因素 对临界压力和临界应力的影响。
F= σb A=6kN
F
F
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约为6kN 时，因木纹出现裂纹而破坏。
F
（2）长杆在压力增加到约
4kN时突然弯向一侧，继续
增大压力，弯曲迅速增大，
1m
杆随即折断。
F
30mm
F
F
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
F
性质完全不同！
• 短压杆的破坏属于强度问题
1m
• 长压杆的破坏则属于能否 保持其原来的直线平衡状 态的问题（稳定性问题）
（1）计算最大刚度平面内的临界力
两端铰支，长度系数μ=1
Fcr , y
2 EI y ( l )2
3.142 10109 8105 (1 8)2
N
123103 N 123kN
（2）计算最小刚度平面内的临界力。
两端固定，长度系数μ=0.5
8m
120
Fcr
Fcr
y z
200
Fcr ,z
2 EIz ( l )2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
例：矩形截面压杆若失稳将绕哪根轴弯曲？ h b
bh3 Iz 12 Iz Iy
hb3 I y 12
F
y
z
z
y
b z
h
显然，
Fcrz
2 EIz
l2
Fcry
2 EI y
l2
y
Fcr
2 EI y
l2
杆件将绕y轴弯曲失稳。
二、其他支座约束下细长压杆的临界压力
在其他支座情况下，压杆临界压力的欧拉公式
Fcr
B
C C— 挠曲线拐点
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式普遍形式
Fcr
4、两端固定 0.5
B
D
l 0.5l
2 EI
Fcr (0.5l )2
C
C、D— 挠曲线拐点
μl=0.5l
表10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
l l 0.7l
l 0.5l l
2l
支承情况 两端铰支
三、稳定问题与强度问题的区别
压杆
强度问题
稳定问题
平衡状态
直线平衡状态不变
应力
达到强度限值
平衡方程
变形前的形状、尺寸
极限承载能力
实验确定
平衡形式发生变化
小于比例限值 ss p
变形后的形状、尺寸 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
§10.3 细长压杆临界压力的欧拉公式
思考:1、什么压杆才是细长压杆？ 2、临界力Fcr与哪些因素有关？它是由外力确定的吗？
其原因是桥 下支撑体系 突然失稳， 8m高的桥 面随即垮塌 下来。
压杆失稳的严重后果：
案例3 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手 架失稳造成屋顶倒塌，死6人，伤34人。
压杆稳定性问题不容忽视！
研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般 都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任 何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破 坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏 性。
Fcr
2EI
Fcr (l)2 欧拉公式普遍形式
B
l l
2l
1、两端铰支 1
2EI
Fcr l 2
A
μl=l
Fcr
2、一端固定一端自由 2
Fcr
2EI
(2l ) 2
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式普遍形式
3、一端固定另端铰支
0.7
Fcr
2 EI
(0.7l )2
μl=0.7l
l 0.7l
例10.2 求下列细长压杆的临界压力。
y
y
z L
x
z
2b
b
解：①绕 y 轴弯曲： 两端铰支 = 1.0 ， I y
Fcry
2 EI y L2
2Eb4 0.17 2Eb4
6L2
L2
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：=0.7， Iz
b3 (2b) b4 12 6
b(2b)3
12
,
2b4 3
3.142 10 109 2.88 105
(0.5 8)2
N
177kN
木柱的临界力: Fcr=Fcr,y=123kN 压杆绕Y轴弯曲。
此例说明，当在最小刚度平面与最大刚度平面内支承情况不同时，压杆不 一定在最小刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确定。
§10.4 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度
临界平衡：
干扰平衡的外力消失 后，小球可在任意位置 继续保持平衡。
显然，临界平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态， 也称为随遇平衡。
二、压杆的稳定平衡状态与不稳定平衡状态 1、稳定的平衡状态
<Fcr
扰动力
<Fcr 扰动力撤除 后，能恢复到 原有的直线平 衡状态。
原有的直线 平衡状态是稳 定平衡状态。
,
Fcrz
2EIz
(0.7L)2
1.36 2 Eb4
L2
③压杆的临界力
Fcr min(Fcry
,
0.17 2 Eb4
Fcrz )
L2
例10.3 一矩形截面的中心受压 的细长木柱，长l =8m，柱的支承 情况:在最大刚度平面内弯曲时为 两端铰支（图a）；在最小刚度平 面内弯曲时为两端固定（图b）。
对于不同方向具有不同约束条件的情形，计算时，应根据 截面惯性矩和约束条件，首先判断失稳时的弯曲方向，从而确 定截面的中性轴以及相应的惯性矩。
欧拉临界压力公式 : 2 EI
Fcr ( l )2
压杆是否一定 在最小刚度平面 内失稳 ？
在最小刚度平面与最 大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在 最小刚度平面内失稳， 必须经过具体计算后才 能确定。
一端固定 另端铰支
两端固定
Fcr
Fcr
Fc
失
rB
稳 时
B
B
D
挠
曲 线
C
形
C
状
A
A
C— 挠曲线拐点
C、D— 挠曲线 拐点
临界力Pcr 欧拉公式
2 EI
Fcr l 2
2 EI
Fcr (0.7l )2
2 EI
Fcr (0.5l )2
长度系数μ
μ=1
μ0.7
μ=0.5
一端固定 另端自由
Fcr
2 EI
l2
公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）； 2.线弹性范围内,小变形； 3.两端为铰支座。
? I min
由于两端球铰约束，允许杆件在 任意纵向平面内发生弯曲，因此 杆件弯曲变形一定发生在抗弯能 力最小的纵向平面。
Fcr
2 EImin
l2
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
桁架吊索式公路桥
压杆失稳的严重后果：
案例1 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目 扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使 大楼倒塌死502人，伤937人。
压杆失稳的严重后果：
案例2 2010年1月3日下午14:20，在昆明新机场的配套引桥 工程在混凝土浇筑施工中，突然发生了支架垮塌事故，造成7 人死亡，8人重伤，26人轻伤，直接经济损失616.75万元。
在机械工程中的一些受压杆件如千斤顶、活 塞连杆、托架结构的压杆等和在建筑工程中的受 压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳 定性要求。
§10.2 压杆稳定性的概念
一、平衡的稳定性
稳定平衡：
干扰平衡的外力消失 后，小球能自动回到原 来的平衡位置
不稳定平衡：
干扰平衡的外力消 失后，小球不能回到 原来的平衡位置
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl