电路微分方程解法,DOC

第七章二阶电路

用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。

◆ 重点：

1． 电路微分方程的建立

''+ay 7.1.1在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。

设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储

能。此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di L

u u L C ，0≠∴dt

di

）

，这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。

电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du C I i i C L C ，0≠∴dt

du

C ），电路中的电流从I 0

逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。

之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。

上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。

可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路

7.1.2值为

0(+L i 7.1.37.1.41．过阻尼的条件

当LC L R 122

>

⎪⎭

⎫

⎝⎛，即C L R 2>（C L R 42>）时，特征根1p 、2p 为不相等的负实数。 此时固有频率为不相等的负实数， 2．过阻尼时的响应

当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为 其中：

而dt

du C i C

=，C

I dt du t C

0-

=+

=，且电路的初始条件，0)0(I i L =+，有 而

0)0(U u C =+，0)0()0(==+-L L i i

同时

dt

du C

i C

=，00

00=-=-

=+

=C

C I dt du t C

当非振荡放电过程的解为：)()(*1221210t p t p C e p e p p p t u --=，令α-=-==→L

p p p 221，取极限，根

据罗必塔法则：

由此可见，)(t u C 和)(t i L 也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。其中 3．临界阻尼时的响应曲线

临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。 三、欠阻尼情况 1．欠阻尼的条件

当LC L R 122

<

⎪⎭

⎫

⎝⎛，即C L R 2<（C L R 42<）时，特征根1p 、2p 为一对共轭复数，其实部为负数。 2．欠阻尼时的响应

令L R

2=α，2

221⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=ωL R LC ，则微分方程的特征根ω+α-=j p 1，ω-α-=j p 2。 如图所示，设ω与α及0ω之间存在三角关系 即220ω+δ=ω，α

ω

=βarctg

应。

34 7.2.1一、定义

二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，称为阶跃响应。 二、求解的步骤

二阶电路的阶跃响应的求取类似于一阶电路的阶跃响应的求取方法。其步骤为 1．计算电路的初始值

)0(+L i 、

+

0dt

di L

)0(+C u 、

+

0dt

du C

2．列写电路微分方程

根据KCL 或KVL 定理列写将电路方程，将其整理成有关电容电压或电感电流（状态变量）的二阶微分方程。

3．计算电路方程的特解

因为是阶跃响应，所以电路方程的特解为常数A ，且A 可以根据初始值最后确定为阶跃激励的强度。

4)t 。实57.2.2二、解法

因为已知初始状态的二阶电路的零输入响应的求法在前面的章节中已经有详细的介绍，因此要求解二阶电路的冲激响应，关键在于求出冲激激励所产生的电路初始值。

7.4状态方程

在电路系统中，以电容电压及电感电流为变量，列写出的微分方程称为“状态方程”，其中的电容电压及电感电流初始值即为方程的初始值。状态方程在动态系统的研究中具有十分重要的意义。

所谓状态变量，是一组数目最少的、能够确定网络所有变量的动态变量。前面我们介绍了电路方程的列写，实际上是用的是输入-输出方法，也就是选取我们需要研究的单个电路变量，列写它跟输入函

数之间的微分方程关系，我们称它为“输入-输出法“。这种方法常常列写出高阶微分方程，其求解存在一些困难，而且一般每一次只能描述一个变量的情况；而列写电路方程的另一种方法是所谓的“状态变量法”，也就是先找出关于一组状态变量的一阶微分方程，然后找到该组状态变量跟激励函数的关系（也为一阶关系），称为“输出方程”。可见对于高阶电路的分析而言，状态变量分析法一方面为我们提供了所有动态变量之间的关系，另外也将求解高阶微分方程的问题转化成为两次一阶方程的求取。

电路的状态方程形式如下：

其中x 为电路中的状态变量向量的一阶导数，x为电路中的状态变量向量，w为电路的激励向量（输入向量），A、B分别为相应的系数矩阵。

C、D