高中数学取点问题与极值点偏移30例

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2
例 2. （百校联考理数 21）已知函数 f x x lnx ax 2,a R （1）当a 1时，求函数 f x 的单调区间； （2）若函数 f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围；
1
分析与解答：二次求导术，分离参数法，大致图像的三个细节，含参讨论与放缩取点
（1）略 f x 1 lnx 2x 二次求导术
2a e2
a
1
a
2 e2
1 1
3a 2
1
3 4
1
1 4
0
取点
由零点存在定理知， 2 x 1， 1 x 0 x x 3
1
2
1
2
下面用构造对称差函数证明 x x 2 极值点偏移的典型处理方法
1
2
x x 2 x 2 x 1 fx f 2 x fx f 2 x
含参讨论，分离参数，取点放缩，极值点偏移
例 1. 已知函数 f x axe x a 1x 12,a R
（1）若 f x 只有一个极值点，求a 的取值范围；
（2）证明：当 0 a
1 时，f x 2
有两个零点，记为x 与x ，且 3 x x
1
2
1
2
2
分析与解答：分离参数法，放缩取点
1
4
2
分析与解答：函数不等式的证明，切线放缩法，类极值点偏移问题
（1）l :y a ex0 x x ，且ax ex0 1 0
0
0
问题等价于证明 a e x0 x x ax e x 1，x R 恒成立 切线在函数的上方 0
构造差函数g x a ex0 x x ax ex 1 0
（1）曲线 y f x 与 x 轴的交点 为 P x ,0 ，且在点 P 的切线为 l ，证明： 曲线 0
y f x 上的点都不在直线l的上方；
（2）当a 3 时，若关于x 的方程 f x m m
0 有不等实根 x ,x x x ，
1 21
2
求证：x x 2 3 m
2
1
2
1
2
1
2
2
2
引入对称差函数gx fx f 2x a xe x x 2e x 2 g 1 0
gx
a x
1ex
x 1 eFra Baidu bibliotek2
a x
1ex
1 ex2
a x
1
ex 1 1 ex 1 1 ex 2
0
g x 在 R 上单调递增 g x g 1 0 x x 2
gx 1 a 1 ax , x 0
x
x
当 a 0 时， gx 在 0,上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意
当 a 0 时， gx在 0, 1 ,在 1 , g 1 0 0 a 1
a a
a
0
x1
1 a
x2
补充：
g
4 a2
2
4 a2
1
a.
4 a2
1 0
ln x 2
x 1, x 0
又
g1 a1 0，
g1 a 0，由零点存在定理知， e e
1 e
x1
1
x2
x1
1 a
1
例 5. 已知函数 f x x lnx ax ,a R
（1）当a 0 时，求函数 f x 的最小值； （2）若关于x 的不等式 f x 0 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数 f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围；
g x
a
ex0
a
ex
ex
ex 0
，显然 g
x
0 ，且g x 在 R 上单调递增
0
于是g x g x ax ex0 1 0
0
0
（2）h x 3x e x 1 m 有两个不等式实数根
h x 3 ex g x 在 ,ln3 ，在 ln3,
（2）若 关 于 x 的 方 程 f x a 恰 有 两 个 不 同 的 实 根 x ,x ，且x x ， 求 证 ：
12
1
2
x x 1 1 2 1a
3
分析与解答：切线方程问题，零点个数求参数范围，类极值点偏移问题，放缩取点 （1）略 （2）转化命题，使问题更易于解决
原问题等价于 gx ln x ax 1有两个不同的根
f x
1 x
2
1 2x x
f x
在
0,1 2
，在
1 2
,
f x
f
1 2
ln2
0
fx
在 0,
（2） f x 1 lnx 2ax ，令 f x 0 在 0, 有两个不同的实数根
方法一：分离参数法，导数法研究函数的大致图像
分离参数 2a 1 ln x , x 0 导数法研究函数的大致图象问题（略） x
2a 2a
2a
2
又 g 1 2a 0 ，放缩取点，导数法可证： ln x 2 x 1, x 0 e e
g
1 a2
ln
1 a2
2a.
1 a2
1
2
1 a2
1
2 a
1 0
综上所述， 0 a 1 2
例 3. （百校联考理数 21 题）已知函数 f x ax e x 1
引入 gx
1 ln x x
g x
ln x x2
gx
g1
1
0
a
1 2
方法二：含参数讨论法+放缩取点
gx ln x 2ax 1 有两个不同零点， gx 1 2a
x
当 a 0 时， gx 在 0,上单调递增，不符合题意
当 a 0 时， gx在 0, 1 ,在 1 , g 1 0 0 a 1
1
12
在x '
x
处的切线为 y
3
ex 0
x
x
2
0
0
m
m
m
m
令x x
2
0 3 ex0
x 0 2 3x
，1 x 2 x 2
2
0
2
26
4
0
x x 2 m m 2 3m
2
1
42
4
例 4. 已知函数 f x 1 lnx x
（1）求曲线y f x 在函数 f x 零点处的切线方程；
要有两个不等根的充要条件
htln3ln3,0,h t 0 0 m s ,ln3,h s 0
3 ln3 2 ，（ ln3 约 1.10 ）
因为y f x 有两个零点，x ' 0 ，x ' x ，即e x0 3x 1
1
2
0
0
由（1）知，h x f x
在x ' 0 处的切线为y 2x x m
（1） f x x 1ae x 2a 1
由题意知，ae x 2a 1 0 在R 上无解 e x 2a 1 0 0 a 1 a
（2）由（1）知， 0 a 1 时， f x 在 ,1 ，在 1,
2
又 f 1 a 0 ， f0 1 a 0 e
f 2