北师大版八年级数学下册 《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(基础)知识讲解 含答案解析
北师大版八年级数学下册 第三章 图形的平移和旋转 复习课件共22张
二、旋转
1、概念：在平面内，将一个图形绕一个定点 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动 叫旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角 度称为旋转角度。
2、注意点 :（1）旋转是有范围的,它是在平 面内旋转,否则有可能旋转为立体图形。 （2）因为经过旋转,图形上的每个点都绕旋 转中心沿相同方向转动了同样的角度所以,任 意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都 是旋转角。
3、决定平移的方向和距离: 如果已知一个图形和它平移后的图形的某
些点的对应点，那么连结原图上的点和对应 点所成射线的方向就是其平移方向，两对应 点的距离就是平移距离。
4、平移的特征 :（1）对应线段平行（或在一 直线上）且相等；对应点所连的线段平行（或 在一直线上）且相等。 （2）对应角分别相等，且对应角的两边分别 平行、与原角的方向一致。 （3）平移后的图形与原图形的形状、大小不 变，即平移只改变图形的位置。
2、线段垂直平分线的性质。
?考点三 平移和旋转的应用
例4
? 盘点提升
针对训练 C
2．在图3－8的四个三角形中，不能由 3－7中的△ABC经过旋转或平移得到的是 (
)
B
图3－7Βιβλιοθήκη 图3－83、如图3－9，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着 A点经过逆时针旋转后与△ADE重合得到图(1)，再
图3－11
6
? 课后作业---链接中考
(1)中心对称 定义：如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，能够 与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心． (2)中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形 与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 这个点叫做它的对称中心． 性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经 过对称中心，且被对称中心平分．
北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转单元复习课件( 25张PPT)
（3）由勾股定理得：AC=3 2，点A旋转到 A’所经过
的路线长为¼ ×2π×3 2=√
√
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12.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各个定点坐标 是A（-2,3）、B（-4，-1）、C（2,0），点P（m，n）为 △ABC内的一点，△ABC平移后得到△A’B’C’，点P平移到 P’（m+6，n+1）处。 （1）直接写出点A’B’C’的坐标； （2）作出平移后的图形； （3）若点M（-3，b）为边AB上的点，则对应点M’的坐 标是什么？ （4）如果将△A’B’C’看成是由△ABC经过一次平移得到 的，请指出这一平移的方向和平移的距离。
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解：（1）A’（4,4）B’(2,0) C’(8,1) （2）图形如图所示
（3）M’（3，b+1） （4） 平移的方向是由B到C（或B’）的方向，平移的距离是 √37个单位。
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13.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长 线上的点，且DE=BF，连接AE,AF,EF. （1）求证：△ADE≌△ABF （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心（ ）点 ，按 顺时针方向旋转（ ）得到。 （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积。
在平面直角坐标系中的平移：若图形依次沿x轴方向向右平移a（a>0） 个单位长度，再沿y轴方向向上（下）平移b（b>0）个单位长度，则 新图与原来的图相比，对应点的横坐标都增加（减少）了a，纵坐标 都增加（减少）了b。
一个图形依次沿着x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可 以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。
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北师大版八年级下册数学《图形的平移》图形的平移与旋转说课教学课件复习
点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(6,2), 四边形ABDC的面积为2×(4+2)=12.
(2)在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在
，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(2)存在.
设点E的坐标为(x,0),
因为△DEC的面积是△DEB面积的2倍,
向下平移b
个单位长度
(x-a,y-b)
设P(x,y)是平面直角坐标系内的一个点，我们按如下的方式平移点P(a>0,b>0)
一次平移完成
(x+a,y+b) 向右a个，向上b个单位长度
(x+a，y)
(x+a,y-b) 向右a个，向下b个单位长度
(x,y)
(x-a，y)
(x-a,y+b) 向左a个，向上b个单位长度
–1
–2
–3
O ''
4
–4
–5
–6
将图中的“小鱼1”的每个“顶点”的横 坐标增加2，纵坐标不变，得到“小鱼 3”，然后将“小鱼3”纵坐标减少3，横 坐标不变，得到“小鱼4”，请同学们画 出“小鱼3”和“小鱼4”. 能否将“小鱼4”看成是“小鱼1”经过 一次平移得到的？若能，请指出平移方 向和平移的距离.
下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它 与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头 P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的结论吗?
E
①
F
C
② D
③ ④⑤
P
A
B
如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在的直线都经过
同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位
北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转复习课件
易错点
学以致用
7. 如图Z3-8所示，点P是正方形ABCD的边CD上一 点，连接AP，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证： AP=DP+BQ.
学以致用
证明：如答图Z3-2,将△ABQ绕点A逆时针旋转90° 得到△ADE，则 DE=BQ，∠E=∠AQB，∠ADE=∠B=90°. ∵∠ADC=90°,∴∠ADE+∠ADC=180°. ∴点E，D，P三点共线. ∵AQ平分∠BAP, ∴∠PAQ=∠BAQ=∠DAE. ∴∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠PAQ+∠PAD=∠DAQ. 在正方形ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAQ=∠AQB. ∵∠AQB=∠E,∴∠PAE=∠E. ∴AP=PE. ∵PE=DP+DE=DP+BQ, ∴AP=DP+BQ.
学以致用 5. 图Z3-6是几种名车标志，其中属于中心对称图形 的是（ B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
学以致用 6. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ B ）
易错点
易错点4 因忽略说明三点共线而致答案不完整 在旋转变换过程中，图形的位置会产生改变，根据
有关证题时逻辑性、严谨性的需要，必须强调三点共 线.
知识梳理 2. 图形平移的坐标变化 （1）纵坐标不变，横坐标加k（k＞0），点向__右___平 移k个单位长度；横坐标减k，点向_左____平移k个单位 长度. （2）横坐标不变，纵坐标加k（k＞0），点向__上___平 移k个单位长度；纵坐标减k，点向___下__平移k个单位 长度. （3）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图 形，可以看成是由本来的图形经过__一__次___平移得到的.
9. 如图Z3-15所示，△ABC平移后得到△DEF. （1）若∠A=80°，∠E=60°，求∠C的度数； （2）若AC=BC，BC与DF相交于点O，则OD与OB相 等吗？说明理由.
北师大版八年级数学下册 《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(提高)巩固练习 含答案解析
《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是（ ）.A ．经过两次翻折（对称轴平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的B ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的C ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D ．经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的 2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）. ①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）.A B C D4.（2016·株洲）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 顺时针方向旋转后得到△A ’B ’C ’，若点B ’恰好落在线段AB 上，AC 、A ’B ’交于点O ，则∠COA ’的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5.如图,把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处， 若90FPH =o∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）. A.20 B.22 C.24 D.30第4题 第5题6．如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼 成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）. A ．2 B ．4 C ．8 D ．107. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt △ABC 绕A 点按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是（ ）.A.6π B.3π C.16π+ D.18.如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE. 过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+6；⑤S 正方形ABCD =4+6．其中正确结论的序号是（ ）． A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤二、填空题9. 如图，图B 是图A 旋转后得到的，旋转中心是 ，旋转了 ．10.在Rt ∆ABC 中，∠A <∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将∆ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度.第9题第10题第12题11.（2016•大连）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ．12. 如图，正方形ABCD经过顺时针旋转后到正方形AEFG的位置，则旋转中心是，旋转角度是度．13. 时钟的时针不停地旋转，从上午8：30到上午10：10，时针旋转的旋转角是 .14. 如图所示，可以看作是一个基本图形经过次旋转得到的；每次旋转了度．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝43，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是 .16.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a＝_________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n的代数式表示）.三、解答题17. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=12 AB．①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．18.阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”．例如：如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”．操作：如图3，如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”． 猜想：我们把边长为1的等边三角形PQR 沿着边长为1的正n （n ＞3）边形的边连续转动， （1）连续转动的次数k= 时，第一次出现P 的“点回归”； （2）连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR 的“三角形回归”；（3）第一次同时出现P 的“点回归”与△PQR 的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k 与正多边形的边数n 之间的关系．19.（2015春•凉山州期末）如图，长方形ABCD 在坐标平面内，点A 的坐标是A （2，1），且边AB 、CD 与x 轴平行，边AD 、BC 与x 轴平行，点B 、C 的坐标分别为B （a ，1），C （a ，c ），且a 、c 满足关系式c=++3．（1）求B 、C 、D 三点的坐标；（2）怎样平移，才能使A 点与原点重合？平移后点B 、C 、D 的对应分别为B 1C 1D 1，求四边形OB 1C 1D 1的面积；（3）平移后在x 轴上是否存在点P ，连接PD ，使S △COP =S 四边形OBCD ？若存在这样的点P ，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．20. 如图，P 是等边三角形ABC 中的一点，PA ＝2，PB ＝32，PC ＝4，求BC 边得长是多少？【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】B.【解析】A 、多次平移相当于一次平移，故正确；B 、必须是对称轴有偶数条且平行时，才可以看作是原图形经过一次平移得到的，故错误；C 、一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换，故正确；D 、对称轴有偶数条且平行时，可以看作是原图形经过一次平移得到的，故正确． 故选B ． 2．【答案】A. 3．【答案】B.BP4．【答案】B.【解析】解：由题意知：∠A=90°-50°=40°，由旋转性质可知：∴BC=B C′，∴∠B=∠BB ’C=50°，∵∠BB ′C =∠A +∠ACB ’=40°+∠ACB ’， ∴∠ACB ’=10°，∴∠COA ’=∠AOB ’=∠OB ’C+∠ACB ’=∠B+∠ACB ’=60°． 故选B ．5．【答案】C.【解析】Rt △PHF 中，有FH=10，则矩形ABCD 的边BC 长为PF+FH+HC=8+10+6=24，故选C ． 6．【答案】B.【解析】阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4． 故选B ．7. 【答案】B.【解析】阴影部分的面积等于扇形DAB 的面积，首先利用勾股定理即可求得AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．8.【答案】D.【解析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积；④S △APD +S △APB = S △AP E +S △EPB ＝12． 二．填空题 9．【答案】X ；180°.【解析】观察图形中Z 点对应点的位置是图A 绕旋转中心X 按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X ；180°．10．【答案】30°.【解析】解法一、在Rt △ABC 中，∠A ＜∠B∵CM 是斜边AB 上的中线， ∴CM=AM ， ∴∠A=∠ACM ，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处 设∠A=∠ACM=x 度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB ， ∴∠CMB=2x ，如果CD 恰好与AB 垂直 在Rt △CMG 中， ∠MCG+∠CMB=90°即3x=90°x=30°则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°根据CM=MD，得到∠D=∠MCD=30°=∠A∠A等于30°．解法二、∵CM平分∠ACD，∴∠ACM=∠MCD∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°∴∠A=30°11．【答案】2．12．【答案】A，45.【解析】∵正方形ABCD经过顺时针旋转后得到正方形AEFG，∴旋转中心为点A，旋转角为∠CAD，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，∴旋转角为45°．故答案为：A，45．13.【答案】50°．【解析】从上午8：30到上午10：10，共1个小时40分钟；时针旋转了536圆周，故旋转角的度数是50度．故答案为：50°．14．【答案】3；90．【解析】如图所示的图形可以看作按照逆时针（或顺时针）旋转3次，且每次旋转了90°而成的．故答案是：3；90．15．【答案】6．【解析】如图，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG＝4，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．16．【答案】（1）a=2，（2）3n+1．【解析】根据正半轴上的整数与圆周上的数字建立的这种对应关系可以发现：圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组012；345；678…分别对应.三.解答题17．【解析】解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，∵F是AD的中点，AE=12 AB，∴AE=AF，∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，∴BF与DE为对应线段，∴BF=DE．18.【解析】解：操作：3，5．猜想：（1）第一次点回归，连续转动的次数都是3次，故填3；（2）第一次出现△PQR的“三角形回归”，连续转动的次数就是多边形的边数，故填n；（3）当n不是3的倍数时，k=3n，当n是3的倍数时，k=n．19.【解析】解：（1）由题意得，a﹣6≥0且6﹣a≥0，所以，a≥6且a≤6，所以，a=6，c=3，所以，点B（6，1），C（6，3），∵长方形ABCD的边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与x轴平行，∴点D（2，3）；（2）∵平移后A点与原点重合，∴平移规律为向左2个单位，向下1个单位，∴B1（4，0），C1（4，2），D1（0，2）；（3）平移后点C到x轴的距离为2，∵S△COP=S四边形OBCD，∴×OP×2=4×2，解得OP=8，若点P在点O的左边，则点P的坐标为（﹣8，0），若点P在点O的右边，则点P的坐标为（8，0）．综上所述，存在点P（﹣8，0）或（8，0）．20.【解析】解：如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．再过B作CQ的延长线的垂线BD，垂足为D，∴BQ=PB=23，∠PQB =60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=23，∠QPC=60°.在△PCQ中，∵CQ=PA＝2，，PQ=23，PC=4，∴CQ2+ PQ2＝PC2，∴∠PQC=90°，∴∠CQB=∠PQB+∠PQC=150°，∴∠BQD=30°.在Rt△BQD中，BD＝12BQ＝3，QD＝3，则CD＝5.在Rt△BCD中，BC＝32527+=.。
北师大版八年级数学下册第三章 图形的平移与旋转 小结与复习
【解析】关键是找出旋转角∠BOD = 60°.
A
O 图a B
(2) 如图 b ，4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋
转一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是 ( B )
A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
【解析】作线段 NN1 与 PP1 的 垂直平分线，交点便是旋转中心.
O
x
A
(2) 将△ABC 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个
单位长度，得到△A′B′C′，请画出相应图形则△A′B′C′ 的
三个顶点 坐标分别是 A′( 0 ， 0 )、B′( 2 ， 4 )、
C′( -1 ， 3 )； (3) 求△ABC 的面积．
y
C′•
• B′ B
解：△ABC 的面积
A
的对应角和 ED 的对应边分别是 ( C )
D
A.∠F，AC B.∠BOD，BA
B
C
C.∠F，BA D.∠BOD，AC
E
F
知识点二 坐标系中的图形平移
例2 如图，直角坐标系中，△ABC y
的顶点都在网格点上，其中，C 点
B
坐标为(1，2)．
C
(1) 写出点 A、B 的坐标： A ( 2 ，-1 )， B ( 4 ， 3 )；
A
B1
P1 CO 1
A1 C1 x
答：四边形 ACC1A1 的面积为 14．
知识点三 旋转的概念及性质的应用
例3 (1) 如图 a，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转
60° 后得到△COD，若∠AOB = 15°，则∠AOD 的度
数是 ( C )
CD
A. 15° B. 60° C. 45° D. 75°
北师大版八年级数学下册 《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(基础)知识讲解 含答案解析
责编：杜少波【学习目标】1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．要点诠释：3.平移与坐标变换：(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．(2)图形的平移平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．要点诠释：（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度．（2）一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．要点二、旋转变换1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.（2）旋转的角度一般小于360°.２．旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.３．旋转作图步骤：③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．要点诠释：中心对称的性质：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.3.图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：【典型例题】类型一、平移变换1.（2015春•曲阜市期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，求直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可（；2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、（2）由图可知，A'（0，4），B'（﹣1，1）；（3）存在．故点P的坐标是（0，1）或（0，﹣5）．【总结升华】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．举一反三：；【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是【答案】水平向右，AB的长度（或BD的长度），B，120或240．2.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A B C向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A B C 111111（2）如图2，A（-2，2），B（-3，0），C（0，-0.5）；1112因此，如果将△ABC看成是由△A B C 经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A 到A 的方向，1平移距离是5 个单位长度.【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键及平移的相对性．【变式】如果矩形ABCD 的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A 和点C 的坐标分别为(-3，3．如图，将△AOB绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）．A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可. 【答案与解析】解：∵将△AOB绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣15°=30°，故选：B．【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．【变式】如图，△OAB可以看成是由△OCD绕点O 按顺时针方向旋转而来的，则旋转中心是，．DACO B旋转90°得到△DCF.已知EF＝2 5，求正方形ABCD 的边长.FCDBA E【答案与解析】解：设正方形ABCD 的边长为x，∵△BCE绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF，且BE=1，∴DF=BE=1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB=x，∠A=90°，2 2∵AE=AB-BE=x-1，AF=AD+DF=x+1，∴22解得：x＝3，∴正方形ABCD 的边长为3．【总结升华】此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK 的同旁，连接BK 和DM，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的数量关系．∴∠DAM=∠BAK△DAM可以看作是△ABK以A 为旋转中心，∠BAD为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.5．如图，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5 格得到△A B C ，再将△A B C1 1 11 2 2（2）设B 点坐标为（﹣3，﹣2），B 点坐标为（4，2），△ABC与△A B C 是否成中心对称？若成中心对【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而【答案与解析】解：（1）如下图．∴P（，0）．6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称(第 1、2 根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．举一反三：【变式】（2016 春•泸溪县期末）如图所示，由5 个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4 中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．【答案】解：【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而【答案与解析】解：（1）如下图．∴P（，0）．6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称(第 1、2 根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．举一反三：【变式】（2016 春•泸溪县期末）如图所示，由5 个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4 中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．【答案】解：【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而【答案与解析】解：（1）如下图．∴P（，0）．6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称(第 1、2 根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．举一反三：【变式】（2016 春•泸溪县期末）如图所示，由5 个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4 中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．【答案】解：。
北师大版八年级下册教案：第三章图形的平移与旋转复习
3.重视学生实践，提高动手能力。在实践活动环节，我安排了分组讨论和实验操作，让学生在实际操作中感受平移与旋转的应用。但从实践结果来看，部分学生的动手能力较弱，对实验操作不够熟练。今后，我应加大实践环节的教学力度，鼓励学生多动手、多思考，提高他们的实践能力。
（2）平移与旋转的作图方法
-平移作图：确定平移方向和距离，沿此方向将原图形上的点移动相应距离得到新图形。
-旋转作图：确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，将原图形上的点绕旋转中心旋转相应角度得到新图形。
（3）平移与旋转在实际问题中的应用
-判断图形的平移或旋转
-设计简单图案，体会平移与旋转的应用
2.教学难点
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“图形的平移与旋转在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平移与旋转的定义和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，如区分平移与旋转，掌握作图方法等。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形平移与旋转相关的实际问题。
北师大 8年级下册 专题06 图形的平移与旋转(知识点串讲)(教师版)
专题06 图形的平移与旋转知识网络重难突破知识点一图形的平移1、平移的概念在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.2、平移的特征不改变图形的形状，大小，只改变位置.注意：平移条件①在同一平面内；②有平移方向；③有平移距离.3、平移的性质(1)对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等；(2)对应线段平行(或在同一条直线上)且相等；(3)对应角相等.典例1(2019春•南山区期末)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，以下三角形中可由OBC平移得到的是()A ．OCD ∆B ．OAB ∆C ．OAF ∆D ．OEF ∆【解答】解：O 是正六边形ABCDEF 的中心，//AD BC ∴，////AF CD BE ，OAF ∴∆沿FO 方向平移可得到OBC ∆．应选：C ．典例2(2019春•坪山区期末)如图，DEF ∆是由ABC ∆经过平移得到的，假设80C ∠=︒，33A ∠=︒，那么(EDF ∠= )A ．33︒B ．80︒C ．57︒D ．67︒【解答】解：在ABC ∆中，33A ∠=︒，∴由平移中对应角相等，得33EDF A ∠=∠=︒．应选：A ．知识点二 图形的旋转1、旋转的有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫旋转角.注意：①旋转中心在旋转过程中保持不动；②图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角决定；③将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一角度，意味着图形上每一点同时按相同的方向旋转了相同的角度.2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；（3）对应线段相等，对应角相等；（4）旋转前后的两个图形全等，即旋转不改变图形的形状和大小.典例1(2019春•成华区期末)如下图，将一个含30︒角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B'，假设点B'、A、C在同一条直线上，那么三角板ABC旋转的度数是()A．60︒B．90︒C．120︒D．150︒【解答】解：旋转角是18030150∠'=︒-︒=︒．BAB应选：D．典例2(2019春•简阳市期末)如图，在Rt ABC∠=︒，6∆绕点C按逆时针AAC=，将ABC∆中，90ACB∠=︒，60''，此时点A'恰好在AB边上，那么点B'与点B之间的距离为()方向旋转得到△A B CA．12B．6C．D．【解答】解：连接B B'，将ABC ∆绕点C 按逆时针方向旋转得到△A B C ''，AC A C '∴=，AB A B '=，60A CA B ''∠=∠=︒，∴△AA C '是等边三角形，60AA C '∴∠=︒，180606060B A B ''∴∠=︒-︒-︒=︒，将ABC ∆绕点C 按逆时针方向旋转得到△A B C ''，60ACA BAB ''∴∠=∠=︒，BC B C '=，906030CB A CBA ''∠=∠=︒-︒=︒，BCB '∴∆是等边三角形，60CB B '∴∠=︒，30CB A ''∠=︒，30A B B ''∴∠=︒，180603090B BA ''∴∠=︒-︒-︒=︒，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，6AC =，12AB ∴=，6A B AB AA AB AC ''∴=-=-=，B B '∴=应选：D ．典例3(2019春•金牛区期末)分别按以下要求解答(1)将ABC ∆先向左平移7个单位，再下移1个单位，经过两次变换得到△111A B C ，画出△111A B C ，点1A 的坐标为 ．(2)将ABC ∆绕O 顺时针旋转90度得到△222A B C ，画出△222A B C ，那么点2C 坐标为 ．(3)在(2)的条件下，求A 移动的路径长．【解答】解：(1)△111A B C 如下图，点1A 的坐标为(4,5)-．故答案为(4,5)-．(2)△222A B C 如下图．2(3,6)C -，故答案为(3,6)-（3）点A 移动的路径长903531802π==．知识点三 中心对称1、中心对称如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫它们的对称中心。
北师大版数学八年级下第三章数学知识点和考点总结
3图形的平移与旋转（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】1.平移：（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等(连接线段)．对应线段平行且相等。
（或在同一条直线上）（3）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P （x-a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）3. 旋转：（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4.中心对称：（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5. 关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．小专题8 特殊三角形中的“手拉手”模型——教材P89T12的变式与应用教材母题：(教材P89复习题T12)如图，△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？解：∵△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝42°，AB ＝AC ，AD ＝AE.∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴△ABD 与△ACE 可通过旋转相互得到，即△ABD 以点A 为旋转中心，逆时针旋转42°，得到△ACE.(1)等腰三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，旋转后有∠BAD ＝∠CAE.连接BD ，CE ，则①△ABD ≌△ACE ；②BD ＝CE ；③直线BD 与直线CE 的夹角等于∠A.(2)等边三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为60°.(3)等腰直角三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为90°.1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.下列说法不正确的是(B)A．△ADC≌△AEB B．△DCE是等腰三角形C．DC＝BE D．DC⊥BE2．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD 交于点O，则∠AOB的度数为__120°__．3．(2018·绵阳改编)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上．若AE＝2，AD＝6，则△ABC的面积为2．4．如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰三角形，AB＝AC＝AD＝AE，延长BD，EC 交于点F.(1)求∠BAC与∠F之间的数量关系；(2)求证：△BCF≌△EDF.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC＝AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ACE＝∠ABD. ∵∠ACE＋∠ACF＝180°，∴∠ABD＋∠ACF＝180°. ∴∠F＋∠BAC＝180°.(2)证明：由(1)可知：∠ABD＝∠ACE＝∠AEC.∵∠ABC＝∠AED，∴∠CBF＝∠DEF.∵∠F＝∠F，BC＝ED，∴△BCF≌△EDF(AAS)．5．如图1，两个不全等的等腰Rt △OAB 和等腰Rt △OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.(1)在图1中，线段AC ，BD 的数量关系是相等，直线AC ，BD 的位置关系是垂直；(2)将图1的△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，在图2中画出旋转后的△OAB ；(3)将图1中的△OAB 绕点O 顺时针旋转一个锐角，连接AC ，BD 得到图3，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．解：(2)如图所示．(3)(1)中结论成立，理由如下：∵∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠BOD ＋∠AOD ＝90°，∴∠COA ＝∠BOD.又∵OC ＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA ≌△DOB(SAS)．∴AC ＝BD.延长CA 交OD 于点H ，交BD 于点E.∵△COA ≌△DOB ，∴∠OCA ＝∠BDO.又∵∠DHE ＝∠CHO ，∴∠CED ＝∠COD ＝90°，即AC ⊥BD.将△OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立．6．(1)如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠DAE ，连接CE ，BD ，求证：CE ＝BD ；(2)如图2，将△ADE 绕着A 点旋转，当点C ，E ，D 在一条直线上时，上述结论是否成立？(3)旋转到图3位置时，上述结论成立吗？(4)旋转到图4位置时，此时点B ，E ，D 在一条直线上，上述结论成立吗？若成立，请就(2)(3)(4)中的一种情况加以证明．,图1) ,图2),图3) ,图4) 解：(1)证明：∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB －∠BAE ＝∠DAE －∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD.在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)．∴CE ＝BD.(2)、(3)、(4)结论成立．选(4)证明：∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD. 在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)． ∴CE ＝BD.。
北师大版八年级数学下册第三章图形平移与旋转章末复习
北师大版八年级下册数学第三章图形平移与旋转章末复习第一部分：知识点总结一、平移变换：1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.性质：（1）平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法：（1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离；（2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点；（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点；（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；（5）写出结论。
二、旋转变换：1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的；（2）旋转过程中旋转中心始终保持不动．（3）旋转过程中旋转的方向是相同的．（4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的．⑤旋转不改变图形的大小和形状．2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等．3.旋转作图的步骤和方法：（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；（2）找出图形的关键点；（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点；（4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角．常见考法（1）把平移旋转结合起来证明三角形全等；（2）利用平移变换与旋转变换的性质,设计一些题目。
误区提醒（1）弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律；（2）平移与旋转的性质没有掌握。
第二部分：练习题1．下列生活现象中，属于平移的是（）A．足球在草地上滚动B．拉开抽屉C．投影片的文字经投影转换到屏幕上D．钟摆的摆动2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )3．剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△A BC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°5．如图，下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．下列图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案（1）的平移得到的是（）9．小军将一个直角三角板（如图1）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是（）(1)A B C D10．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A、（3，﹣6）B、（﹣3，6）C、（﹣3，﹣6）D、（3，6）11．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．12．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）13．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）14．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）15．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说： 45°；乙同学说： 60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁16．如图，A 、B 的坐标分别为（2，0）（0，1），若将线段AB 平移至11A B ，则a b 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．517．如图，将等边△ABC 沿射线BC 向右平移到△DCE 的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：①AD=BC ；②BD 、AC 互相平分；③四边形ACED 是菱形；④BD ⊥DE ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．（4分）如图，在△ABO 中，AB ⊥OB ，OB=3，AB=1．将△ABO 绕O 点旋转90°后得到△A 1B 1O ，则点A 1的坐标为（ ）BA ．（1-B ．（1-1，C ．（1-，D ．（1-，1-）19．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将ΔBCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到ΔDCF ，连接EF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°20．（5分）如图，在矩形ABCD 中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在DC 延长线上的点E 处，点D 经过的路径 DE，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3π．3π C ．2π．2π二、填空题21．如图，△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，若AC=3cm，则A′C=cm．22．下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤长方形；⑥圆。
(完整版)北师大版八年级下册3.2图形的平移与旋转讲义(无答案)
八年级数学精讲——第三章：图形的平移与旋转【基础知识】1．平移的定义与规律（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，•这样的图形运动称为平移．关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（3）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3．图案的分析与设计首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．【典例剖析】1、请你完成下列问题．图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，•竖直方向的边长均为b）；在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；（1）（2）（3）在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，•从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______；（3）联想与探索如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．2、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．3、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边- 1 - / 8- 2 - / 8长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为 度．4、如图，已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o ，直角EPF ∠的顶点P 是BC中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF=②APE CPF ∠=∠③EPF△是等腰直角三角形④EF AP=⑤12AEPFABC S S =四边形△；当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有5、如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC△绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为 ，APB ∠=第4题 第5题变式：△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP /重合，如果AP=3，那么线段P P /的长是多少？6、如图，ABC△中，90301B C AB ∠=∠==o o ，，，将ABC △绕顶点A 旋转180o ，点C 落在C '处，则CC '的长为 。
新版北师大数学八下第三章图形的平移与旋转难题知识点讲解
1 八下第三章《平移与旋转》3．1知识要点：知识要点：1．平移的概念：．平移的概念： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
图形的平移是指图形整体的平移，平移后的图形与原图形的形状和大小都没有改变，改变的是位置。
指图形整体的平移，平移后的图形与原图形的形状和大小都没有改变，改变的是位置。
2．对应点、对应线段、对应角．对应点、对应线段、对应角 3．决定平移的要素：①图形定平移的要素：①图形 ②移动的方向②移动的方向 ③移动的距离。
③移动的距离。
平移的方向：图形上某一点到它对应点的方向，即平移前后对应点的射线方向。
平移的方向：图形上某一点到它对应点的方向，即平移前后对应点的射线方向。
平移的距离：连接一对对应点的线段的长度，即对应点之间的线段的长度。
平移的距离：连接一对对应点的线段的长度，即对应点之间的线段的长度。
4．平移的性质：经过平移，对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等，且相等， 对应角相等。
对应角相等。
5．平移作图的一般步骤：①确定______和______，②找出原图形的______③沿一定方向，按一定距离（或根据平移的性质）通过截取线段的方法找到各个关键点的对应点④按原图的方法依次连结对应点⑤写出结论。
）通过截取线段的方法找到各个关键点的对应点④按原图的方法依次连结对应点⑤写出结论。
3．2知识要点：知识要点：1．旋转的概念：在平面内，将图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，旋转不改变图形的大小和形状。
图形的大小和形状。
2．旋转角：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
．旋转角：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
注意：（1）旋转的三要素：旋转的三要素：旋转中心、旋转中心、旋转中心、旋转角、旋转角、旋转角、旋转方向。
北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转章末复习课件(共51张)
章末复习
分析 (1)分别将△ABC的顶点A, B, C向右平移3个单位长度, 连接所 得的点即可得出图形； (2)分别将△ABC的顶点A, B, C绕点O旋转180°, 连接所得的点即可 得出图形； (3)连接OC1, 即可平分△AC1A2的面积．
章末复习
解 (1)(2)如图3-Z-7所示. (3)面积等分正确即可, 如图3-Z-7所示, 直线 OC1将△AC1A2的面积分成相等的两部分 (答案不唯一).
第三章 图形的平移 与旋转
章末复习
第三章 图形的平移与旋转
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
章末复习
知识框架
两要素：平移的方向、 平移的距离
对应点所连的线段及对应 线段分别平行(或在一条直 线上)且相等；对应角相等
定义 性质
作图
左、右平移, 横坐标 减、加；上、下平 移, 纵坐标加、减
章末复习
章末复习
解 在图②中, 结论还成立；在图③中, 结论不成立. 图②结论： OD+OE= 2 OC. 证明如下：过点C分别作OA, OB的垂线, 垂足分别为P, Q, 如图②, 易证△CPD≌△CQE, ∴PD=QE. 又∵OP=OD+PD, OQ=OE-QE, 且OP+OQ= 2 OC, 即OD+PD+OE-QE= 2 OC, ∴ OD+OE= 2 OC. 图③结论：OE-OD= 2 OC.
章末复习
相关题2-2 [荆门中考]如图3-Z-5, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,点D, E分别在AB, AC上,EC=BC, 连 接CD, 将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后 得CF, 连接EF． (1)将图形补充完整； (2)若EF∥CD, 求证：∠BDC=90°．
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《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小．2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．要点诠释：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．3. 平移与坐标变换：(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．(2)图形的平移平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．要点诠释：（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．要点二、旋转变换1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.（2）旋转的角度一般小于360°.（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）２．旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.３．旋转作图步骤：①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.要点三、中心对称与图案设计1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．要点诠释：中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.要点诠释：中心对称作图步骤：①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.3.图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．【典型例题】类型一、平移变换1.（2015春•曲阜市期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，求直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标；（3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式求出y的值即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）由图可知，A'（0，4），B'（﹣1，1）；（3）存在．设P（0，y），要使得△BCP与△ABC面积相等，只需要点P到BC的距离为3即可，则y=1或y=﹣5，故点P的坐标是（0，1）或（0，﹣5）．【总结升华】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．【答案】水平向右，AB的长度（或BD的长度），B，120或240．2.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）如果将△ABC看成是由△A1B1C1经过一次平移得到的，请指出这一平移方向和距离．【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）如图3，连接AA 1，由图可知，22(2(2))(12)5AA '=--+--=.因此，如果将△ABC 看成是由△A 1B 1C 1经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A 1到A 的方向，平移距离是5个单位长度.【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键及平移的相对性．举一反三： 【变式】如果矩形ABCD 的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A 和点C 的坐标分别为(-3，2)和(3，-2)，则矩形的面积为( )． A ．32 B ．24 C ．6 D ．8 【答案】B.类型二、旋转变换3．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB=15°，则∠AOB ′的度数是（ ）．F A BCD EA. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可. 【答案与解析】解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，∴∠A ′OA=45°，∠AOB=∠A ′OB ′=15°， ∴∠AOB ′=∠A ′OA ﹣∠A ′OB=45°﹣15°=30°， 故选：B ．【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A ′OA=45°，∠AOB=∠A ′OB ′=15°是解题关键．举一反三：【变式】如图，△OAB 可以看成是由△OCD 绕点O 按顺时针方向旋转而来的，则旋转中心是 ，旋转角是 ，点C 的对应点是 ．OBCAD【答案】点O ，∠COA 或∠DOB ，点A ．4.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是AB 边上的点，BE ＝1.将△BCE 绕点C 顺时针 旋转90°得到△DCF.已知EF ＝25，求正方形ABCD 的边长.【答案与解析】解：设正方形ABCD 的边长为x ，∵△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，且BE=1， ∴DF=BE=1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB=x ，∠A=90°，∴在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2， ∵AE=AB-BE=x-1，AF=AD+DF=x+1，∴222(1)(1)(25)x x -++=，解得：x ＝3，∴正方形ABCD 的边长为3．【总结升华】此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 举一反三：【变式】如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使L 、M•在AK 的同旁，连接BK 和DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的数量关系．【答案】数量关系为BK=DM. ∵ABCD 和AKLM 都是正方形，∴AB=AD，AK=AM.∵∠DAM+∠DAK=90°，∠BAK+∠DAK=90°.∴∠DAM=∠BAK △DAM 可以看作是△ABK 以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.类型三、中心对称与图形设计5．如图，方格纸中△ABC 的三个顶点均在格点上，将△ABC 向右平移5格得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转180°，得到△A 1B 2C 2． （1）在方格纸中画出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2； （2）设B 点坐标为（﹣3，﹣2），B 2点坐标为（4，2），△ABC 与△A 1B 2C 2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而求出A（﹣2，0），A1（3，0），P（，0）．【答案与解析】解：（1）如下图．（2）△ABC与△A1B2C2成中心对称，如下图所示，连接CC2（或BB2）交AA1于点P．则P点就是对称中心．∵B（﹣3，﹣2），B2（4，2），∴A（﹣2，0），A1（3，0），∴P（，0）．【总结升华】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．【答案与解析】解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称 (第1、2根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．举一反三：【变式】（2016春•泸溪县期末）如图所示，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．【答案】解：。