笔记离散数学

离散数学复习笔记

数理逻辑

逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科

数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学

命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句

真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化

原子命题：不能再分解的命题

复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式

否定非P 合取P而且Q 析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P 则Q 双条件P当且仅当Q

命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式

分量：命题公式中的原子命题

翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言

真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表

两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2..对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价

等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律

重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式

永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式

用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式

蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B

原命题等价于它的逆否命题

三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B

有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2^...^Hn=>C,称C 是一组条件下的有效结论

三种方法：真值表法，直接证法，间接证法

其他连接词：条件否定，与非，或非

规范命题表达式：只含非且或

合取范氏：当且仅当具有A1^A2^...^An形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的析取式

析取范式：当且仅当具有A1vA2v...vAn形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的合取式

一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的

n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q

一般n个命题变元共有2^n个小项

n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q

主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式

主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式

集合论

集合：满足一定特征的对象的全体

扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素

抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员

集合表示：列举法，特征法

幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集

集合的基数：|A|元素的个数

无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合

序偶：有序的二元数组

笛卡尔积：称A*B={|x属于A且y属于B}

二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。两集合A与B的笛卡尔积的任一子集，称为A到B 的一个关系，若A=B，则称该子集为A上的一个关系

关系表示：集合表示法，关系矩阵法，关系图表示法

关系性质：

自反关系（x属于X，属于R），反自反关系（x属于X，不属于R）【存在既不反自反也不自反的关系】

对称性 x，y属于X，且属于R，则属于R，反对称关系x属于X，y 属于X，且属于R，属于R，则x=y【存在既对称又反对称的关系，存在既不对称又不反对称的关系】

传递性 x,y,z属于X，且都属于R，则属于R

复合关系:属于R,属于S，则属于R复合S

逆关系: {|属于R,x属于X,y属于Y}

闭包运算：通过往已知关系中添加序偶让它达到某种要求的运算，叫闭包运算

覆盖：A为非空集合，S={s1,s2...sm}其中Si属于A，且S的并集为A，则S是A的一个覆盖

划分：若对一个覆盖而言，S任意两个子集的交集为空，则称S是A的一个划分注：两划分的交叉划分也是原集合A的一个划分

交叉划分是原两划分的加细

等价关系：同时具备自反，对称和传递三个性质的关系即等价关系

等价类：A上的等价关系R，A中的任意a，x属于A，属于R，为元素a生成的R等价类

商集：若R是A上的一个等价关系，则称以A的所有等价类为元素的集合为A 关于R的商集，为A/R

定理：A上的一个等价关系R确定了A的一个划分A/R

A上的一个划分也能确定A上的一个等价关系

A上的两个等价关系R1，R2，则成立 A/R1=A/R2等价于 R1=R2

A上的等价关系与划分是一一对应的

相容关系：给定集合A上的关系r，若r是自反的、对称的、则称r是相容关系最大相容类：设r是集合A上的相容关系，不能真包含在任何其他相容类中的相容类，称作最大相容类

在相容关系图中，最大完全多边形的顶点集合，就是最大相容类

定理：设r是有限集合A上的相容关系，C是一个相容类，那么必存在一个最大相容类Cr，使得C属于Cr

在集合A上给定相容关系r，其最大相容类的集合称作集合A的完全覆盖，记为Cr(A)

偏序关系：A上的关系R，同时满足自反，反对称，传递三个性质，则称R为偏序关系

链与反链：一个元素构成的子集，既是链，又是反链

全序关系：在偏序集A中，如果对任意的x,y属于A，x*y y*x必有一个成立，则称A为全序集合或线序集合，而称关系为全序关系或线序关系

极大元，极小元必然存在，极大元，极小元可以不唯一。若B有最大元，则它们必然唯一

良序关系：偏序集A，若B属于A，B中总有最小元，则称A是良序集

良序集一定是全序集，有限元素的全序集一定是良序集

函数性质：入射（单射） x1和x2不等，函数值不等

满射：对任意y属于Y，存在x属于X，使得y为x的函数

双射：既是入射又是满射的函数

逆函数：若f x->y 的双射,则逆函数是y->x 的双射

复合函数： g*f 属于f 属于g g在f的左可复合函数

令g*f 是个复合函数若g和f是满射，则g*f是满射若g和f是入射，则g*f 是入射，都是双射，g*f是双射

图论