立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)

圆梦教育中心资

料圆梦教育中心立体几何之内切球与外接球一、球与棱柱的组合体问

题

1. （2007 天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分

别为

1，2，3，则此球的表面积为．

答案14π

2.（2006 山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

A . 1∶ 3 B. 1∶ 3 C. 1∶ 3 3 D. 1∶9

答案 C

3.已知正方体外接球的体积是32

3

，那么正方体的棱长等于（）

2 3 4 2 4 3

A.2 2

B.

C. D.

3 3 3

2 3

4.(吉林省吉林市2008 届上期末)设正方体的棱长为

，则它的外接球的表面积为（）

3

A ．8

3

B．2πC．4πD．

4

3

答案 C

5.（2007 全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四

2. 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为c m

答案 2 4 2

6.（2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为则这个球的体积为

．9

8

，底面周长为

3，

4

答案

3

7．（2012 辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2 3 正方形. 若PA=2 6 , 则△O AB的面积为______________.

二、锥体的内切球与外接球

8. （辽宁省抚顺一中2009 届高三数学上学期第一次月考）

棱长为

2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图

中

三角形( 正四面体的截面) 的面积是. 答案 2

P

9.（2006 辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥

P A B C D E，F则此正六棱锥的侧面积是________．

C

D

答案 6 7

B

E

A

F

7.（陕西理? 6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大

圆上，则该正三棱锥的体积是（）

A．3 3 B ．

4

3 C ．

3

3 D ．

4

3

12

答案 B

8.（2009 枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）

A ．3 B．2

C．16

3

D．以上都不对

答案 C

12．正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，

若ABC的边长为2 2，则正三棱柱的体积为．答案8

2014高三补充题：

（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8, h，且它的8 个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为100 ，则h ________ （答：2 5 ）

（2）三棱锥P ABC 的四个顶点都在半径为 4 的球面上，且三条侧棱

两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________( 答案：32)

（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点

都在同一个球面上，则这个球的表面积是. （答：16 ）

0 BAC 0 BC

（4）在三棱柱ABC A1 B1C1 中，侧棱AA1垂直底面，ACB 90 , 30 , 1, 且三棱柱A BC A1B C 的体积为3，则三棱柱ABC A1B1C1的外接球表面积为______（答：16 ）

1 1

(5) 在四面体ABCD中，AB CD 6, AC BD 4, AD BC 5,

则四面体ABCD的外接球表面积为______( 答：即长方体的外接球表面积：77

2

)

（6）四棱锥P ABCD 的底面是边长为 4 2 的正方形，侧棱长都等于 4 5 ，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为________（答：100 ）

（7）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C间的距离为1，此时四面体ABCD

外接球表面积为______( 答：13

3

)

（8 ）已知O 的直径PQ 4, A, B,C 是球O 球面上的三点，ABC 是正三角形，且

APQ BPQ CPQ 30 , 则三棱锥P ABC 的体积为（ B ）

A. 3 3 9 3 3 3

B. C.

4 4 2

D.

27

4

3

(9)( 长春第四次调研试题) 已知空间 4 个球，它们的半径分别为2,2,3,3 ，，每个球都与其他三个球外切，

另有一个小球与这 4 个球都外切，则这个小球的半径为（ B ）

A.

7

11

B.

6

11

C.

5

11

D .

4

11

（10）（辽、哈、东北师大一联模）球O 的球面上有四点S, A, B,C, 其中O, A, B,C 四点共面，ABC 是边长为 2 的正三角形，面SAB 面ABC , 则棱锥S ABC 的体积的最大值为（ D ）

A. 3

B. 1

3

C.

3

2

D.

3

3

(11) （快乐考生预测卷一）已知正方体A BCD A1B C D 的各顶点都在同一个球面上，若四面体

1 1 1

A B1CD 的表面积为8 3，则球的体积为_________ （答：4 3 ）

1

(12) （快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长

为２锐角６０0 的菱形，则此几何体的内切球表面积为（）

A. 8

B. 4

C. 3

D. 2

（13 ）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD 中，AB BC 0 ，

2 2

2 AB BD 6，若将ABD 沿B D折成直二面角 A BD C ，则三棱锥 A BCD 外接球的表

面积为________ （答：６）

（14）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为４的球O 的球面上，且AB 6, BC 2 3,则棱锥O ABCD 的体积为________ （答：8 3 ）

(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上，AB BC 2, AC 2,若四面体ABCD 体积的最大值为2

3

，则这

个球的表面积为(答：C)

A. 125

6

B. 8 C

25

4

D.

25

16