直觉_严谨_联想_数学解题三大法宝_赵士元

图甲
图乙
如果是图 甲 的 情 形 ， 则本题答案将是１ 如 ４， 果是图乙的 情 形 ， 答案将是１ 而究竟是图甲还 ５， 是图乙不是靠 肉 眼 可 以 看 出 来 的 ， 必须经过严密 的推理才能判断 ． 我们 知 道 在 区 间 ［ 内， ９， １ ０］ ｘ） ＝１－ ｆ（
２ （ ） ， ｘ－１ ０ ｘ） ＝ ｌ ｘ， ｇ ｇ（ 构造 函 数 ｈ （ ｘ） ＝ｇ （ ｘ） －ｆ （ ｘ） ＝ｌ ｘ＋ ｇ ２ ｘ －２ ０ ｘ＋１ ２ ２ （ ） 求得 ： ｘ－１ ０ －１， ｈ ′（ ｘ） ＝ ｘ ２ 令 ｍ（ 易 知 ｍ（ 在区间［ ｘ） ＝２ ｘ －２ ０ ｘ＋１， ｘ） ９，
２ ｘ －２ ０ ｘ＋１ ２ 因此 ， 内 ｈ ′（ ｘ） ＝ ＝０ 在 区 间 （ ９， １ ０） ｘ 于是当 ｘ∈ （ 时 必有一个实根 ｘ ９， ｘ ｈ ′（ ｘ） ＜０， ０， ０）
ａ＋槡 ２ ｂ代入 便得 ： ｃ 变形为ｃ＝ ｃ ｏ ｓ Ｃ， ２ ２
２ ２ ２ ２ ２ ４ ａ ＋ ｂ － ｃ ａ ＋４ ｂ －（ ａ＋槡 ２ ｂ） ｃ ｏ ｓ Ｃ＝ ＝ ２ ａ ｂ ８ ａ ｂ ２ ２ ａ ＋２ ｂ －２ ２ ａ ｂ ３ 槡 ＝ ８ ａ ｂ ２
例 １ 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ 若动点 Ｐ Ｏ ｙ 中， （ 到两直线ｌ ａ， ｂ） ｙ＝ｘ 和ｌ ｙ＝ －ｘ＋２ 的 距 离 １： ２：
２ ２ 则ａ 的最大值为 之和 为 ２ ２， ＋ｂ 槡
． 这是江苏省苏北四市 （ 徐州 ， 连云港 ， 宿迁 ， 淮 安） ２ ０ １ ４ 届高三期末统 考 数 学 试 题 的 最 后 一 条 填 空题 ， 难度系数约为 ０ 属于难题 ． 要按部就班 ． １ ５， 地完整解出答 案 有 一 定 的 难 度 ， 但是如果我们对 可以将原题转化 题中条件进行 简 单 分 析 运 算 后 ， “ 为这样一条题 ： 已知｜ 求 ａ－ ｂ ａ＋ ｂ－２ ｜＋｜ ｜＝４，
２ ０ １ ４年 第５ ３卷 第１ ０ 期 数学通报 １， 例 ２ 在正项 等 比 数 列 ｛ 中， ａ ａ ａ ｎ｝ ５＝ ６＋ ２ ， 则满足 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ７ ＝３ １＋ ２ ＋ …… ＋ ｎ＞ １ ２ …… ｎ 的 最大正整数ｎ 的值为 ． 这是 ２ ０ １ ３ 年江苏高考填空题的最后一条题 ， 也是一条有一 定 难 度 的 题 ． 一般的思路是由条件 １， “ ” 将等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出 ａ ａ ａ ５＝ ６＋ ７ ＝３ ２ 来， 再将条件 “ 化 ａ ａ ａ ａ ａ ａ １＋ ２ ＋ …… ＋ ｎ＞ １ ２ …… ｎ” 归为关于 ｎ 的 不 等 式 并 求 出 不 等 式 的 解 集 ， 最后 在所求得的解 集 中 找 出 最 大 的 正 整 数 ， 应该说思 但我们最 路比较单一而 且 大 多 数 考 生 能 够 想 到 ，
， 这
个不等式的求 解 对 高 中 学 生 而 言 是 没 法 完 成 的 ， 很多学生化了不少时间得到了这个结论就无所适
ｎ 从了 ， 如果我们能 够 感 知 到 ２ 与２
２－１ ｎ ｎ＋１ ０ １ ２
都是正

ｎ 那么就比较容易得到其等价不等式 ： 的偶数 ， ２ ＞
２
２ ｎ －１ １ ｎ＋１ ０ ２
） 当 ｘ∈ （ 时ｈ 因 此 函 数 ｈ（ 在区 ｘ １ ０ ′（ ｘ） ｘ） ＞０， ０， 内 单 调 递 减， 在（ 单 调 递 增， 又 间（ ９， ｘ ｘ １ ０） ０） ０， ） 故 必 有 ｈ（ 故函数 ｈ（ ９ ｈ（ １ ０） ＝０， ｘ ＞０， ＜０， ０） 在区间 （ 内必有唯一零点 ， 于是 ｆ（ 和 ｈ（ ｘ） ９， ｘ ｘ） ０） ］ 在区间 ［ 内有两个交点 ． ｘ） ９， １ ０ ｇ（ 数学的严密性 除 了 思 维 的 严 密 以 外 ， 还包括 这在高中教学中也是应当给予高 书写的严密性 ， 度重视的 ． ３ 联想 联想 ， 是又一个心理学概念 ， 它是指人们在回 忆时由一事物 想 起 另 一 事 物 的 心 理 过 程 ， 而作为 思维类型之一 的 联 想 思 维 ， 是指在人脑内记忆表 象系统中由于某种诱因使不同表象发生联系的一 种思维活动 ． 学生联想能力对数学学习和提升数 学素养有着直 接 的 影 响 ， 教师应在日常教学活动 中加强学生联想能力的培养 ， 联想包括新 、 旧知识 数学语 言 、 通 俗 语 言 和 符 号 语 言 的 联 系， 的联系 ， 数学不同形式之间的联系和化归以及不同数学思 想的联系等 ． 例 ４ 若 △Ａ Ｂ Ｃ 的内角满足ｓ ｉ ｎ Ａ ＋槡 ２ ｓ ｉ ｎ Ｂ 则ｃ ＝２ ｓ ｉ ｎ Ｃ， ｏ ｓ Ｃ 的最小值是 ． 这是江苏省 ２ ０ １ ４年高考数学的第１ ４ 条 题， 题目条件涉及 三 个 内 角 的 正 弦 的 线 性 关 系 ， 所求 结论是一个角 的 余 弦 的 最 小 值 ． 首先从所求结论 的形 式 我 们 可 以 联 系 想 到 三 角 形 的 余 弦 定 理
２ １ ｎ＋１ ０， ， 于是问题 转 化 为 ｎ＞ｎ －１ 求解 ２
３－ 槡 １ ２ ９ １ ３＋ 槡 １ ２ ９， ３＋ 槡 １ ２ ９ 得到１ 由 于１ ＜ｎ＜ ２ ２ ２ ） ， 因此本题的答案应为 １ １ ２， １ ３ ２． ∈（ ２ 严谨 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的 严密的逻辑性是它的三大特性之一 ， 缺 一门科学 ， 少了严密 的 逻 辑 思 维 和 逻 辑 推 理 就 不 成 其 为 数 学， 数学教学活动应该注意培养学生思维严密性 ， 培养学生良好 的 思 维 习 惯 ． 如果说直觉可以帮助 我们感知结论 和 作 出 预 测 ， 那么严密的思维可以 帮助我们论证结论 ， 防止失误 ． 严密的逻辑性在高 中数学学习活动中也有较高的要求 ． 例 ３ 设函数ｙ＝ｆ（ 是定义域为 Ｒ， 周期为 ｘ） 且 当 ｘ∈ ［ 时， ２ 的周 期 函 数 ， －１， １） ｘ） ＝１－ ｆ（ ， ， ｌ ｘ ｘ ０ ｜｜ ≠ ｇ ２ ； 已知函数 ｇ（ 则 函 数 ｆ（ ｘ ｘ） ＝ ｘ） １， ｘ＝０． 和 ｇ（ 的图 象 在 区 间 ［ 内公共点的个数 ｘ） －５， １ ０］
２ ２ ， 的最大值 ” 这是一条“ 条件最值” 问 题， 我 ａ ＋ ｂ 们容易发现题中条件式和目标式都是关于 ａ， ｂ的
凭以往 的 解 题 经 验 可 以 得 到 这 样 一 种 直 对称式 ， 当 ａ＝ 目标式得到最大值或最小 观的结论 ： ｂ 时， 值， 于是我们可以由ａ＝ ｂ 得到ａ＝ ｂ＝３ 或ａ＝ ｂ＝
２ ２ ２ ２ 的最大值也感知到了 ａ＝ ａ ＋ ｂ ｂ＝－１ 时 ａ ＋ ｂ 的另一个值 ２， 这 是 否 为 其 最 小 值 呢？ 这 是 我 们
结论是否确实如此 ， 教师应引导 提出的一个猜想 ，
２ ２ ） 学生进行思考 （ 的最小值是 １ 而不是 ２ ａ ＋ ｂ ．
当然 ， 在解题 实 践 中 往 往 不 可 能 很 快 地 感 知 到结论的存在 ， 但解题的直觉也并不如我们所想 象的那样可望 不 可 及 或 者 稍 纵 即 逝 ， 直观结论的 感知需要我们一定的分析准备工作 ， 更多情况下 ， 是分析过程进 行 到 一 定 程 度 后 的 灵 机 一 动 ， 因此 平时的解题分析要注意思维敏捷性的培养 ．
｛
为 ． 这是一条典 型 的 “ 数 形 结 合” 题， 在同一坐标 系中画出函 数 ｆ（ 和 ｇ（ 在区间 ［ 的 ｘ） ｘ） －５， １ ０］ 图象 ：
］ ） ） 单调递增 ， 又 ｍ（ １ ０ ９ ｍ（ １ ０ ＝１＞０， ＜０，
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数学通报 ２ ０ １ ４年 第５ ３卷 第１ ０期
２ ２ 而当 ａ＝ 当 ａ＝ ｂ＝３ 时 ， ａ ＋ ｂ ＝１ ８， ｂ＝ －１ －１， ２ ２ 时， 至 此， 我 们 可 以 直 观 地 感 知 到， 本 ａ ＋ ｂ ＝２，
题的答案应该是 １ ８． 当然 ， 直观地感知结论只能满足应试的要求 ， 而作为平时的 解 题 训 练 ， 要引导学生对感知的结 论进行必要地推理和演绎 ． 其次 ， 在解题教学中我 们不能就题论题 ， 就本题而言 ， 我们不仅感知到了
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数学通报 ２ ０ １ ４年 第５ ３卷 第１ ０期
— — 数学解题三大法宝 直觉 、 严谨 、 联想 —
赵士元
（ ） 苏州市吴中区教学研究室 ２ １ ５ １ ０ ４
如何科学 、 有效地 数学教学离不开解题教学 ， 进行解题教学是每一个数学教育工作者面临的一 个永恒的课题 ． 在平时的教学实践中 ， 我们发现很 多教师把解题 教 学 偏 面 地 理 解 为 习 题 讲 解 ， 在教 学实践中缺少 了 对 解 题 思 路 的 训 练 ， 缺乏学生数 学生不会用“ 数 学 家” 的眼光看数 学素养的培养 ， 学题 ， 不会用 “ 数学家的思维 ” 理解数学问题 ， 学生 只会解现成的题目 ， 对一些新 、 活的题目往往无从 那么 ， 究竟怎样的讲解才算真正意义上的解 下手 ． 题教学呢 ？ 我个人认为 ， 直觉 、 严谨和联想是数学 只有正确掌握了这三大法宝 ， 数 解题的三大法宝 ， 学解题活动才真正有意义 ． １ 直觉 在《 从欧拉的数学直觉谈起 ： 纪念伟大的数学 这本小册子的内容简介中 家欧 拉 诞 辰 ３ ０ ０ 周 年》 这样写道 ： 超人 的 毅 力 、 非 凡 的 才 能、 过人的数学 成就了历史上最多产的伟大数学家欧拉 ． 这 直觉 ， 本小册子让我们看到了 “ 过人的数学直觉 ” 在欧拉 的许多发现中 所 起 到 的 作 用 ， 直觉在科学发展中 所起的作用也给了我们很多有益的启示 ． 所谓直觉 ， 就是在不充分条件下 ， 凭个人以往 经验和所学知识对某一事物作出的一种判断或预 测， 它是一种推理式思维 ， 由于在作出判断的过程 中没有充分利 用 条 件 ， 其判断出的结论可能是正 在科学实践中 ， 当人们有 确的也有可能是错误的 ， 了直觉后就需要通过逻辑去验证或通过反例去否 定． 在数学解题时 ， 如果我们能有意识地利用解题 往往会起到事半功倍的效果 ， 直觉不仅能让 直觉 ， 我们感知可能 的 结 果 ， 而且能让我们在直觉的感 因此 ， 在平时解题教学 知过程中寻找解题突破口 ． 这无论是对培养 中应注意学生 直 觉 意 识 的 培 养 ， 学生数学素养 、 提升学生数学能力还是培养学生 应试能力都有非常积极的意义 ．