2017年高考数学试题分项版—数列(原卷版)

2017年高考数学试题分项版—数列（原卷版）

一、选择题

1．(2017·浙江，6)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．(2017·全国Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

3．(2017·全国Ⅰ理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

4．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

5．(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( )

A ．－24

B ．－3

C ．3

D ．8 二、填空题

1．(2017·江苏，9)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634

，则a 8＝________.

2．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则11n

k k S ==∑________. 3．(2017·全国Ⅲ理，14)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.

4．(2017·北京理，10)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2

＝

________.

三、解答题

1．(2017·全国Ⅰ文，17)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．

2．(2017·全国Ⅱ文，17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.

(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；

(2)若T 3＝21，求S 3.

3．(2017·全国Ⅲ文，17)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．

4．(2017·北京文，15)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.

5．(2017·天津文，18)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式；

(2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．

6．(2017·山东文，19)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .

7．(2017·浙江，22)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *)．

证明：当n ∈N *时，

(1)0＜x n ＋1＜x n ；

(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12

； (3)12n －1≤x n ≤12

n －2.

8．(2017·江苏，19)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…

＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．

(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；

(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列．

9．(2017·北京理，20)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1,2,3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．

(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；

(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c n n

>M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．

10．(2017·天津理，18)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式；

(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．

11．(2017·山东理，19)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.