人教课标版高中数学选修4-4：选修4-4学情分析与教材分析-新版
最新人教版高三数学选修4-4电子课本课件【全册】
四 柱坐标系与球坐标系简介
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第二讲 参数方程
最新人教版高三数学选修4－4电子 课本课件【全册】目录
0002页 0066页 0118页 0187页 0243页 0338页
引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
最新人教版高中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理
最新⼈教版⾼中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理庖丁巧解⽜知识·巧学⼀、极坐标系的概念1.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常⽤距离和⽅向来表⽰⼀点的位置.⽤距离和⽅向表⽰平⾯上⼀点的位置，就是极坐标.极坐标系的建⽴：在平⾯内取⼀个定点O ，叫做极点.引⼀条射线Ox ，叫做极轴.再选定⼀个长度单位和⾓度正⽅向（通常取逆时针⽅向）.这样就建⽴了⼀个极坐标系.2.如图1-2-3，极坐标系内⼀点的极坐标的规定：对于平⾯上任意⼀点M ，⽤ρ表⽰线段OM 的长度，⽤θ表⽰从Ox 到OM 的⾓度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极⾓，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标.图1-2-3深化升华极点、极轴、长度单位、⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可.1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.2.平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的，有⽆数种表⽰⽅法.坐标不唯⼀是由极⾓引起的.不同的极坐标可以写出统⼀表达式.⼆、极坐标和直⾓坐标的互化1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.互化公式??≠=+===.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进⾏两种坐标间的互化时,应注意以下⼏点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直⾓坐标求极坐标时,理论上不是唯⼀的,但这⾥约定只在主值范围内求值;③由直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程,最后要化简;④由极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程时要注意变形的等价性,通常总要⽤ρ去乘⽅程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.问题·探究问题1 平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但为什么它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法，为什么要使⽤极坐标?探究:确定平⾯内⼀个点的位置时，有时是依靠⽔平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与⽅位⾓（即“长度”与“⾓度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚⾄更贴近⽣活的如⼈听声⾳，不但有⾼低之分,还有⽅向之分.描述⼀个⼈所⾛的⽅向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°⽅向⾛了⼀段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°⽅向⾏⾛……描述某飞机的位置：飞⾏⾼度1 200⽶，从飞机上看地平⾯控制点B 的俯⾓α=16°31′……这种位置的刻画能够给⼈⼀个很直观的形象.⽣活中除了应⽤这两种坐标系外,还应⽤地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常⽤的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何⼀点的位置.另外,从⼏何上来说,有些复杂的曲线，⽐如说环绕⼀点做旋转运动的点的轨迹，⽤直⾓坐标表⽰，形式极其复杂，但⽤极坐标表⽰，就变得⼗分简单且便于处理.在应⽤上有重要价值的等速螺线，它的直⾓坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有⼀个简单的⼀次函数关系ρ＝ρ0＋aθ(a≠0)，从⽽可以看出ρ的值是随着θ的增加（或减少）⽽增加（或减少）的.总之，使⽤极坐标是⼈们⽣产⽣活的需要.平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法.问题2 ⽤极坐标与直⾓坐标来表⽰点时，⼆者究竟有哪些相同和不同呢？探究:极坐标系是⽤距离和⾓来表⽰平⾯上的点的位置的坐标系，它由极点O 与极轴Ox 组成.对于平⾯内任⼀点P ，若设|OP|=ρ(≥0)，以Ox 为始边，OP 为终边的⾓为θ，则点P 可⽤有序数对(ρ,θ)表⽰.直⾓坐标是⽤两个长度来度量的，直⾓坐标系是在数轴的基础上发展起来的，⾸先定义原点，接着⽤两条互相垂直的直线分别构成x 轴和y 轴.点的位置⽤有序数对(x,y)来表⽰.在平⾯直⾓坐标系内，点与有序实数对,即坐标（x ，y ）是⼀⼀对应的，可是在极坐标系内，虽然⼀个有序实数对（ρ,θ）只能与⼀个点P 对应，但⼀个点P 却可以与⽆数多个有序实数对（ρ，θ）对应.也就是说平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的.极坐标系中的点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是⼀⼀对应的.典题·热题例1设有⼀颗彗星，围绕地球沿⼀抛物线轨道运⾏，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千⽶）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹⾓为30°，试建⽴适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.思路分析：如图1-2-4所⽰，建⽴极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：图1-2-4（1）当θ=30°时,ρ=30（万千⽶）;（2）当θ=150°时,ρ=30（万千⽶）;(3)当θ=210°时,ρ=30(万千⽶);(4)当θ=330°时,ρ=30(万千⽶).解：彗星此时的极坐标有四种情形：(30,30°),(30,150°),(30,210°),(30,330°).误区警⽰彗星此时的极坐标是四个，不能忽略了夹⾓的概念.如果只找到了⼀个极坐标，这是三⾓概念不清.例2极坐标与直⾓坐标的互化：（1）化点M 的直⾓坐标（-3，4）为极坐标；（2）化点M 的极坐标（-2，6π-）为直⾓坐标.思路分析：本题利⽤直⾓坐标与极坐标之间的互化公式，化极坐标时，需要找到点所对应的极径,极⾓；将极坐标化为直⾓坐标，直接根据公式可得到横,纵坐标.解：（1）∵ρ=22224)3(+-=+y x =5，tanθ=34-=x y , ⼜∵x<0,y>0，∴θ是第⼆象限⾓.∴θ=π-arctan 34. ∴点M 的极坐标为（5，π-arctan34）. （2）x=2cos(6π-)=3-，y=-2sin(65π-)=1，∴点M 的直⾓坐标为（3-，1）.深化升华（1）化点的直⾓坐标为极坐标时，⼀般取ρ≥0,0≤θ<2π，即θ取最⼩正⾓,由tanθ=xy 求θ时，还需结合点(x,y)所在的象限来确定θ的值. （2）化点的极坐标为直⾓坐标时，直接⽤互化公式?==,sin ,cos θρθρy x 例3在极坐标系中，A(4,9π),B(1,185π),则△OAB 的⾯积是__________. 思路解析：如图1-2-5所⽰,∠AOB=185π-9π=6π，图1-2-5S △AOB =21·|AO|·|BO|·sin ∠AOB=21·4·1·sin 6π=1. 答案：1⽅法归纳既然是求⾯积,那么就要明确所⽤到的⾯积公式不是⼀般的底乘⾼的⾯积公式,⽽是正弦定理的⾯积公式.例4已知两点的极坐标A(3,2π)、B(3,6π)，则|AB|=______，AB 与极轴正⽅向所夹的⾓为____.图1-2-6思路解析：如图1-2-6所⽰，根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°，即△AOB 为正三⾓形.答案：3,65π⽅法归纳在坐标系中找到点的位置后，利⽤数形结合的⽅法可求出距离来.例5在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A(2,4π)、B(2,45π),那么顶点C 的坐标可能是( )A.(4,43π)B.(32,43π) C.(32,π) D.(3,π)思路解析：如图1-2-7，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.图1-2-7⼜|AB|=4，△ABC 为正三⾓形，|OC|=32，∠AOC=2π，C 对应的极⾓θ=4π+2π=43π或θ=4π-2π=4π-，即C 点极坐标为(32,43π)或(32,4π-). 答案：B深化升华在找点的极坐标时，把图形画出来，通过画图解决问题.例6(1)θ=43π的直⾓坐标⽅程是______； (2)极坐标⽅程ρ=sinθ+2cosθ所表⽰的曲线是______. 思路解析：(1)根据极坐标的定义，∵t anθ=xy ，∴tan 43π=x y ，即y=-x. (2)将极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，⽤ρ同乘⽅程的两边得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.化成直⾓坐标⽅程为x 2+y 2=y+2x,即(x-1)2+(y-21)2=45，这是以点(1,21)为圆⼼，半径为25的圆. 答案：(1)y=-x (2)以点(1,21)为圆⼼，半径为25的圆+++++++++++ ⽅法归纳当极坐标⽅程中含有sinθ、cosθ时，可将⽅程两边同乘以ρ，凑成含有ρsinθ、ρcosθ的项，然后再代⼊互化公式便可化为直⾓坐标⽅程，此法称为拼凑法.。
高中数学选修4-4
高中数学选修4-4一、课程概述高中数学选修4-4是高中数学课程的一部分，主要内容包括立体几何和空间解析几何。
本课程注重培养学生的空间想象能力和几何推理能力，并为学生提供数学思维的训练和发展。
二、课程目标通过学习高中数学选修4-4，学生将达到以下目标： 1. 掌握立体几何的基本概念和性质； 2. 能够运用立体几何的知识进行几何推理和证明； 3. 熟练掌握空间解析几何的基本方法和技巧； 4. 能够应用空间解析几何解决实际问题。
三、课程内容3.1 立体几何1.空间中的点、线、面的概念；2.二面角和三面角的性质；3.空间几何体的分类和性质，如三棱锥、四棱锥、棱柱、棱台、正立方体等；4.空间几何体的体积和表面积计算公式；5.利用立体几何的知识进行几何证明和推理。
3.2 空间解析几何1.点和向量在三维空间中的坐标表示和运算；2.直线的方程和性质，包括点向式、两点式、对称式等；3.平面的方程和性质，包括点法式、点线式、截距式等；4.点、直线和平面的位置关系；5.利用空间解析几何解决实际问题的方法和技巧。
四、教学方法1.理论讲授：通过课堂讲解，系统地介绍立体几何和空间解析几何的基本概念、性质和方法。
2.实例演练：通过解答典型例题，帮助学生掌握具体的计算方法和推理过程。
3.讨论探究：组织学生进行小组讨论，引导他们思考和探索问题，培养解决问题的能力。
4.课堂练习：布置课堂练习题，加强学生对知识的巩固与运用。
五、考核方式高中数学选修4-4的考核方式主要采用考试的形式，包括平时小测、单元测试和期末考试。
考试内容包括理论知识的掌握、解题能力的应用以及几何证明和推理的能力。
六、学习建议1.认真听课，做好课堂笔记，理解和掌握每一节的内容；2.复习时，注重知识的巩固和联系，多做一些例题和习题；3.参加互动讨论，与同学一起讨论解题方法和思路；4.及时向老师请教和反馈问题，做好学习进度的控制；5.注重培养几何推理和分析问题的能力，培养自主学习和解决问题的能力。
人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学选修4-4知识点总结
高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
人教课标版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》教案-新版
1.1平面直角坐标系一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象() A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 21sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】422=+y ．端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ．（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 42后得到的图形对应的方程是（）A ．0142=-'+'y xB ．01=-'+'y xC ．014=-'+'y xD ．0116=-'+'y x 【知识点】伸缩变换【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程． 【答案】B（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422=+y x(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质与其他几何图形的关系． 2．问题探究探究一结合实例，感受坐标法思想★例1某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.） ●活动①实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点.【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A - 于是直线l 的方程为x y -=设双曲线Γ的方程是)0,0(12222>>=-b a by a x由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,于是双曲线Γ的方程是134056802222=⨯-y x将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以)5680,5680(-P ,10680=OP所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)． ②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动②归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③学以致用,理论实践例2 已知△ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+ , BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.A BCO y xF E【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】解: 如图, 以△ABC 的顶点A 为原点O, 边AB 所在的直线为x 轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F 的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(c F c B A ,设点C 的坐标为),(y x ,点E 的坐标为)2,2(yx .由2225a c b =+可得2225BC AB AC =+即[]22222)(5y c x c y x +-=++,整理得05222222=-++cx c y x因为),2(),2,2(y x cCF y c x BE --=-=所以0)5222(41222=-++-=•cx c y x CF BE由此,BE 与CF 相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE 与CF 相互垂直.同类训练 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2+|PB |2+|PC |2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想【解题过程】 如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A (0,23 a ),B (-2a ,0),C (2a ,0).设P (x ,y ),则|P A |2+|PB |2+|PC |2 =x 2+(y -23 a )2+(x +2a )2+y 2+(x -2a)2+y 2 =3x 2+3y 2-3ay +452a =3x 2+3(y -63a )2+a 2≥a 2,当且仅当x =0,y =63a 时,等号成立,∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心. 【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题 【答案】所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心 【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动①温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin =吗？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，就的到曲线x y 2sin =.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到点),(y x P '''，则⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 21①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动②温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y sin 3=呢？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就的到曲线x y sin 3=.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),(y x P '''，则⎩⎨⎧='='y y x x 3②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin 3=呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，再保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就可得曲线x y 2sin 3=.类比上述情况，即：设平面直角坐标系中任意一点),(y x P 经过上述变换后为点),(y x P '''，那么⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念． 活动④巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 2131后的图形.⑴14922=+y x ；⑵1121822=-y x ⑶x y 22= 【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2131得⎩⎨⎧'='=y y x x 23代入14922=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为122='+'y x同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为13222='-'y x⑶式经过伸缩变换后的图形方程为x y '='232 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程.同类训练在平面直角坐标系中, 求方程032=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形对应的方程为.【知识点】坐标的伸缩变换． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 321代入032=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为0='+'y x【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】0='+'y x●活动⑤强化提升、灵活应用例4在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3后，曲线C 变为曲线9922='-'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3代入曲线9922='-'y x 得到曲线C 对应的方程为122=-y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】122=-y x ．同类训练在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312后，曲线C 变为曲线1922='+'y x ，求曲线C 的方程． 【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312代入曲线1922='+'y x 得到曲线C 对应的方程为1422=+y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】1422=+y x ． 3.课堂总结 知识梳理（1）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业 基础型自主突破1．已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )A.21B.2C.3D.31 【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．【解题过程】:∵1,3,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩∴3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 【思路点拨】函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错． 【答案】C2.曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='yy xx 43变换后得到的新曲线的方程是（）.A ．14322='+'y xB ．191622='+'y xC ．116922='+'y x D ．116922='+'y x【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='y y x x 43变换后,即⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4131代入到圆的方程,可得116922='+'y x 即所求新曲线的方程为116922='+'y x ． 【思路点拨】将y x ,表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D ．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是() A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用．【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆． 【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得． 【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A ．2332x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3223x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．x'y y'x =⎧⎨=⎩D ．11x'x y'y =+⎧⎨=-⎩【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】设此变换为,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩则3,22,3x'x y'y λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以所求变换为3,22,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到． 【答案】B ．5．已知函数=)(x f 22(1)1(1)1,x x -++++则)(x f 的最小值为__________． 【知识点】平面直角坐标系的应用． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为2.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理． 【答案】22．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线322='+'y x ，则曲线C 的方程为________． 【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】将伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入322='+'y x ，得392522=+y x ．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式． 【答案】392522=+y x ． 能力型师生共研7．设曲线C 对应的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 后得到曲线C ',则曲线C '为（） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．随μλ,的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换．【解题过程】将变换,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x μλ11代入双曲线方程得)0,0(1222222>>='-'b a b y a x μλ，所以曲线C '为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以与双曲线定义． 【答案】A ．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线01283622=+--x y x 变成曲线03422=+'-'-'x y x ，求满足条件的伸缩变换．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为24()2x -－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得42,23,x x y y -⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩ 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象． 【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．探究型多维突破9．△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程． 【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程． 【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b )． 设△ABC 的外心为M (x ，y )．取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴|MA |＝|MB |. 又|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，∴x 2＋y －b2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量. 【答案】02222=-+-a b by x ．自助餐1．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得到的曲线方程为( )．A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′ C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 【知识点】三角函数图形、伸缩变换． 【解题过程】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，转化为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 312代入y ＝sin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用． 【答案】D2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )A ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，3y ＝0B ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0 C ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0 D ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，2y ＝0【知识点】伸缩变换．【解题过程】设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝3y ′，代入F (x ，y )＝0得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′，3y ′＝0.．【思路点拨】正确使用伸缩变换公式． 【答案】A3．双曲线C:16422=-y x 经过⎩⎨⎧='='yy x x 23:ϕ变换后所得曲线C '的焦点坐标为________．【知识点】双曲线的性质、伸缩变换．【解题过程】 将变换⎩⎨⎧='='y y x x 23ϕ变形为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 231代入曲线C 中得：116922=-y x ，所有焦点坐标为)0,5(或)0,5(-．【思路点拨】先将曲线C '的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标． 【答案】)0,5(或)0,5(-．4．在同一平面直角坐标系中，曲线369422=+y x 经过伸缩变换ϕ后变成曲线1222='+'y x ，则伸缩变换ϕ为________． 【知识点】伸缩变换公式．【解题过程】将369422=+y x 变形为14922=+y x 与1222='+'y x 比较可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 2231． 【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2231． 5．如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．【知识点】双曲线的定义、直角坐标系． 【数学思想】坐标法思想．【解题过程】解：设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． 因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，所以直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又因为|PB|－|P A|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－3211(舍去)，所以y＝5 3.所以点P的坐标为(8,53)．【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．【答案】(8,53)．。
人教版高中数学选修(4-4)-1.1选修4-4学情分析与教材分析
坐标系与参数方程（陈昌杰）本章学情分析与教材分析（一）学情分析：本专题是高中数学选考内容之一，包括“坐标系”和“参数方程”两个内容．“坐标系”这个概念比较熟悉，但这里要涉及坐标变换、极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等，其中空间柱坐标系、球坐标系在高考中不作要求．通过本专题的教学，使学生掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识．1．学生已经从初中开始学习坐标系，对坐标系有了较为深刻的认识，教学中我还是侧重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同．同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式．因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式．在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处．2．学习极坐标前学生已经在必修4中学习了三角函数的定义，再通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π．极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围．3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程．4．在物理中，学生已经学习了平抛运动，由此引入参数方程，使学生了解参数的作用．应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程．（二）教材分析：1．核心素养坐标系是解析几何的基础，在坐标系中，可以用有序实数对确定点的位置，进而用方程刻画几何图形．为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系，从而引入了诸如极坐标系等．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．有些曲线用参数方程比用普通方程处理问题更为方便，学习参数方程有助于进一步体会解决问题中数学方法中的灵活多变．本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，极坐标系和参数方程是本专题的重点内容．2．本章目标（1）坐标系：了解坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标与直角坐标的互化．（2）曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单曲线（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．（3）了解平面直角坐标的平移变换与伸缩变换．（4）参数方程：了解抛物线运动轨迹的参数方程及参数的意义；理解直线的参数方程及应用．理解圆及椭圆（中心在原点，对称轴是坐标轴）的参数方程及简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．3．课时安排全书共需8课时第一讲坐标系一平面直角坐标系1课时二极坐标系1课时三简单曲线的极坐标方程1课时第一讲坐标系章末回顾1课时第二讲参数方程一曲线的参数方程1课时二圆锥曲线的参数方程1课时三直线的参数方程2课时第二讲参数方程章末回顾1课时4．本书重点直线与圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程5．本书难点直线与圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程。
高中数学选修4-4知识点归纳
高中数学选修4-4知识点归纳高中数学选修4-4主要内容是复数的运算和应用。
复数是实数与虚数的和，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.复数的表示和性质：复数可以用直角坐标系表示，实部和虚部分别对应于横坐标和纵坐标。
复数具有加法、减法、乘法和除法四则运算，遵循实数的运算法则。
复数的共轭复数表示为a-bi，共轭复数具有性质：两个复数的和等于其实部的和加上虚部的和，两个复数的积等于实部的积减去虚部的积。
2.复数的平方根与n次方：对于任意一个复数z=a+bi，令w=x+yi是z的平方根，则w^2=z，即(x+yi)^2=a+bi。
将等式两边展开，得到x^2-y^2+(2xy)i=a+bi。
由此得到实部的方程组x^2-y^2=a和虚部的方程组2xy=b。
解这两个方程组，就可以得到平方根w的实部和虚部。
同样的方法，我们可以计算复数的n次方。
3.复数的模和辐角：复数的模表示复数到原点的距离，记为|z|，计算公式是|z|=√(a^2+b^2)。
复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记为θ，计算公式是tanθ=b/a。
复数的辐角一般用弧度表示，可以在求辐角时使用反正切函数。
复数的模和辐角与复数的实部和虚部之间有一定的关系，可以通过公式a=|z|cosθ，b=|z|sinθ进行互相转换。
4.复数的指数形式和三角形式：复数的指数形式表示为z=|z|e^(iθ)，其中e是数学常数自然常数，e≈2.71828。
将复数的指数形式进行展开，可以得到z=|z|(cosθ+isinθ)。
这个形式叫做复数的三角形式，其中|z|表示模，θ表示辐角。
三角形式可以用于复数的运算和求解复数方程。
指数形式可以用于复数乘法和除法的运算，有简洁的表达方式。
5.复数的应用：复数广泛应用于科学和工程领域，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，复数可以描述交流电的电压和电流，计算复数的平均功率和相位差。
在物理学中，复数可以描述波的传播和干涉现象，求解复杂的波动方程。
高中数学选修4-4教材分析
1.坐标系
（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。
（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。
（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。
（4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。
（三）课时分配
本专题教学时间约18课时，具体分配如下（仅供参考）：
第一讲坐标系8课时
1.平面直角坐标系约2课时
2.极坐标系约2课时
3.简单曲线的极坐标方程约2课时
4.柱坐标系与球坐标系简介约2课时
第二讲参数方程10课时
1.曲线的参数方程约3课时
2.圆锥曲线的参数方程约3课时
3பைடு நூலகம்直线的参数方程约2课时
4.四渐开线与摆线约2课时
（5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。
2.参数方程
（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参的意义。
（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程
选修4-4数学全部教案 人教版
________，________；
(2) 经 过 ⊙ O1 ， ⊙ O2 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 是
________．
(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.
二、极坐标和直角坐标的互化
1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的
正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如 图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与
直角坐标的互化公式如下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
|－6|
tan2α＋（－1）2＝3，解得
tan
α＝
3或 tan α＝
－ 3(舍去)．又 0≤α≤π2 ，所以α＝π3 .
π 3
§2 参 数 方 程
考点
考纲解读
1
普通方程与参数方 理解普通方程与参
程
数方程的概念
2
直线、圆和圆锥曲 线的参数方程，以 及普通方程与参数
方程的互化
理解直线、圆和圆 锥曲线的参数方 程，并能利用曲线 的参数方程解决弦 长和最值问题
程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程． 二、参数方程和普通方程的互化
1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，
一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
2．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关
系 y＝g(t)，那么xy＝ ＝fg（ （tt） ），就是曲线的参数方程，在参 数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持
人教版高中数学选修4-4全部课件
【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极
点)的距离为2016 ,极角θ= 7+2kπ,k∈Z,
2 因为0≤θ<2π,所以θ= .
4
7
所以点(2016,-2016)的极4 坐标为
.
答案:
(2 016 2，7) 4
(2 016 2，7) 4
2020/11/6
【知识探究】 探究点 极坐标和直角坐标的互化 1.点与极坐标是一一对应的吗?
由代入φy: =xys＝＝in212(0y2106x1，6得x),xy得＝＝222yy01，′1=6 xsi，nx′,所以y′=
sinx′, 1
即y= sinx,所以y= sinx与直线x=0,x=π,y=20围成图
1
1
2
2
2020/11/6
形的面积为S=
0
答案:1
1 2
sin
xdx
1 2
cos
y 4y
2020/11/6
【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程? 提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的 方程.
2020/11/6
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3x变, 换后,
即 x 代x3，入到圆的方程,可得 即所y求 新y4，曲线的方程为
y 4y
x2 y2 1， 9 16
2020/11/6
提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y) 是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的, 即点M的极坐标不唯一.
2020/11/6
2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?
2020/11/6
提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式
数学选修4-4教案
数学选修4-4教案教案标题：数学选修4-4教案课时数：1课时教学目标：1. 理解和掌握数列的概念及其性质。
2. 能够确定数列的通项公式。
3. 能够利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
4. 能够解决与数列相关的实际问题。
教学重点：1. 数列的概念及其性质。
2. 数列的通项公式的确定。
3. 利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
教学准备：1. 教材：数学选修4-4教材。
2. 教具：黑板、粉笔、计算器。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）1. 教师简要介绍数列的概念，并与学生讨论数列在生活中的应用。
2. 引导学生思考：如何确定一个数列的通项公式？步骤二：概念讲解（10分钟）1. 教师详细讲解数列的定义，并给出一些例子进行说明。
2. 引导学生发现数列的性质，如公差、首项、末项等。
3. 讲解等差数列和等比数列的定义及其特点。
步骤三：通项公式的确定（15分钟）1. 教师通过具体的例子，引导学生发现数列的通项公式与数列的性质之间的关系。
2. 以等差数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
3. 以等比数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
步骤四：应用与拓展（20分钟）1. 教师给出一些实际问题，要求学生利用已学知识解决。
2. 学生分组进行讨论和解答，教师逐个指导和纠正。
3. 鼓励学生自主思考，拓展更复杂的数列问题。
步骤五：总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑。
教学延伸：1. 学生可通过课后作业进一步巩固和拓展数列的相关知识。
2. 学生可自主查找更多数列的实际应用例子，并进行分析和讨论。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 教师布置课后作业，检查学生对数列概念和通项公式的掌握情况。
3. 教师根据学生的表现和作业情况，进行个别辅导和巩固。
教学反思：本节课通过引入、概念讲解、通项公式的确定、应用与拓展等环节，全面培养了学生对数列的理解和掌握能力。
人教课标版高中数学选修4-4：《极坐标系》教案-新版
1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。
高中数学人教版教材讲解(4-4介绍)
• 3．强调数学思想方法，关注数学思 维活动，提高学生认知水平。
• “声响定位” • “参数方程与普通方程的互化” • “平面直角坐标系中的伸缩变换” • “直线的参数方程”
• 高水平的数学教学活动不会停留在 知识的传授与学习这个层次上。教 学时，应充分关注学生的数学思维 活动，帮助他们以数学知识为载体， 提炼数学思想方法，提高认知水平。
8课时 约2课时 约2课时 约2课时 约2课时
• 第二讲 参数方程 • 曲线的参数方程 • 圆锥曲线的参数方程 • 直线的参数方程 • 渐开线与摆线
10课时 约3课时 约3课时 约2课时 约2课时
2．教学要求
• （1）极坐标系和参数方程是本专题 的重点内容。教学时要求学生能在 极坐标系中用极坐标刻画点的位置， 体会在极坐标系和平面直角坐标系 中刻画点的位置的区别，能进行极 坐标和直角坐标的互化。
参数方程
• 参数方程是以参变量为中介来表示曲 线上点的坐标的方程，是曲线在同一 坐标系下的又一种表示形式．某些曲 线用参数方程表示比用普通方程表示 更方便．学习参数方程有助于学生进 一步体会解决问题中数学方法的灵活 多变．
一、内容与要求
1．教学内容与课时
• 第一讲 坐标系 • 平面直角坐标系 • 极坐标系 • 简单曲线的极坐标方程 • 柱坐标系与球坐标系简介
程是曲线的极坐标方程也不要求证明。
• （4）便于与信息技术整合的教学内 容如下：平面直角坐标系中的伸缩变 换；柱坐标系与球坐标系；椭圆、双 曲线、渐开线与摆线的形成，以及这 些曲线的参数方程中参数的几何意义 的认识。
二、编写意图
1．强调背景，展现过程
• 声响定位
• 校内方位
• 参数方程的引入
• 摆线的参数方程
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坐标系与参数方程
（一）学情分析：
本专题是高中数学选考内容之一，包括“坐标系”和“参数方程”两个内容．“坐标系”这个概念比较熟悉，但这里要涉及坐标变换、极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等，其中空间柱坐标系、球坐标系在高考中不作要求．通过本专题的教学，使学生掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识．1．学生已经从初中开始学习坐标系，对坐标系有了较为深刻的认识，教学中我还是侧重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同．同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式．因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式．在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处．
2．学习极坐标前学生已经在必修4中学习了三角函数的定义，再通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π．极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围．3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程．4．在物理中，学生已经学习了平抛运动，由此引入参数方程，使学生了解参数的作用．应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程．（二）教材分析：
1．核心素养
坐标系是解析几何的基础，在坐标系中，可以用有序实数对确定点的位置，进而用方程刻画几何图形．为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系，从而引入了诸如极坐标系等．
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．有些曲线用参数方程比用普通方程处理问题更为方便，学习参数方程有助于进一步体会解决问题中数学方法中的灵活多变．
本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，极坐标系和参数方程是本专题的重点内容．
2．本章目标
（1）坐标系：了解坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标与直角坐标的互化．
（2）曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单曲线（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．
（3）了解平面直角坐标的平移变换与伸缩变换．
（4）参数方程：了解抛物线运动轨迹的参数方程及参数的意义；理解直线的参数方程及应用．理解圆及椭圆（中心在原点，对称轴是坐标轴）的参数方程及简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．
3．课时安排
全书共需8课时
第一讲坐标系
一平面直角坐标系1课时
二极坐标系1课时
三简单曲线的极坐标方程1课时
第一讲坐标系章末回顾1课时
第二讲参数方程
一曲线的参数方程1课时
二圆锥曲线的参数方程1课时
三直线的参数方程2课时
第二讲参数方程章末回顾1课时
4．本书重点
直线与圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程
5．本书难点
直线与圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程。