小学数学五大直线型面积模型
小学几何五大模型
小学几何五大模型小学几何是学习数学的一个重要部分，它使学生能够理解和应用基本的几何知识，包括角、边、形状和体积等。
随着技术进步，几何理论发展变得越来越复杂，但有五个基本的模型，也被称为小学几何五大模型，它们是：平面几何、立体几何、变换几何、旋转几何和解析几何，这五个模型是学习小学几何的基本支柱。
首先是平面几何，它包括两个基本的概念：一是直线，也叫直角线；二是点，也叫几何点。
在平面几何中，可以使用直线、点和一些基本图形（如三角形、正方形和圆形）来绘制不同的形状。
此外，还学习一些和平面几何相关的概念，如角度、直线段、圆心角、图形的边缘等。
其次是立体几何，它是一种对于空间的数学分析，涉及到空间中的形状、结构和位置等定义。
在立体几何中，学习者将学习平面几何中的知识，如点、线和面，以及更具体的概念，如直线段、夹角、平面和曲线等。
第三个模型是变换几何，它是一种应用几何的新兴领域，主要研究图像如何在不同的空间变换中变形变化。
在此，学习者可以学习基本的几何变换，如平移、缩放、旋转和变换等，并使用数学表达式和图形来研究这些变换。
接下来是旋转几何，它也是研究图像变换的一个重要部分，它研究的是图像如何在空间变换中旋转。
这里，学习者可以学习三维旋转的基本概念，如空间旋转的描述和矩阵运算等，以及旋转图形在空间变换中的影响等。
最后是解析几何，这是最抽象的一个模型，它涉及将几何图形抽象化，并使用数学表达式和规则来研究图形的形状和变形。
解析几何主要讨论几何点、直线段、空间形状、几何等概念，并使用特殊数学表达式来讨论图形的变形和空间变换。
总之，小学几何五大模型是学习小学几何的基础，它包括平面几何、立体几何、变换几何、旋转几何和解析几何五个模型，它们涉及几何图形的定义和形状变形，也涉及到旋转和变换等定义，这些定义和概念是学习小学几何的基石，也是学习数学的重要组成部分。
小学奥数图形的面积
直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA E BA【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH =V V ．同理，S S BFH CFH =V V ，S =S CGH DGH V V ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．［分析］ ⑴如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；CBAEA B CFCB A①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=； 反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．DC BA⑵如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；ED A BC FC BADGDA BC⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．(5)(4)(3)(2)(1)【例 2】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDCB AEDC B A【分析】 连接CE ．∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆=．又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===．【例 3】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ECBA 【分析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=;又∵2DC BD =,∴32BC DC =,361202ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）．［铺垫］如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？乙甲E CBAABCDE［分析］ 连接AD ．∵3BE =,6AE =，∴13BE AB =,13BDE ABD S S ∆∆=．又∵4BD DC ==,∴12ABD ABC S S ∆∆=,∴1136BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==,∴15S S =乙甲．［拓展］如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，6AD =厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBAFE CBA［分析］ ∵F 是AC 的中点,∴12ABF ABC S S ∆∆=，同理12BEF ABF S S ∆∆=，∴111866442BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）．【例 4】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB A AB CDEF【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．连接AE 、CD ．∵S 1S 1S 1ABC ABC DBC ==V V V ，， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．［拓展］如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH［分析］ 连接BD .设1DCB S S =V ，2DAB S S =V ∵CB BF =，∴2CDF CDB CDB CB BFS S S CB∆∆∆+==,又∵DC CG =,∴12CFG CDF S S S ∆∆==，同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=，111355ABCD EFGH S S ==（平方米）．［拓展］如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F E D CA F ED CA［分析］ 连接对角线AE ．∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==X∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=X ．［拓展］如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G［分析］ 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V ，所以12AFD S =V ．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC =．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积2⨯．从而阴影部分的面积23212.85=⨯=（平方厘米）．［拓展］如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B［分析］ 因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =V 四边形，16ADF ABCD S S =V 四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==V V 四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==V V 四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =V 四边形，124DHF ABCD S S =V 四边形．因为12BCD ABCD S S =V 四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S四边形． 12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．【例 6】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFECB AGFECB A【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接BE ．（我们通过ABE V 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）∵在平行四边形ABCD 中，12ABE S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．同理，1S S 2ABE AEGF =V Y ，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．［拓展］如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DABGCEF D［分析］ 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG .（我们通过ABG V 把这两个长方形和正方形联系在一起）．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，1S S 2ABG EFGB =V ．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=（厘米）．【例 7】 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？HGFED C BAHG FED C BA【分析】 连接CF ．∵BD ，CF 都是正方形的对角线∴45DBC FCE ∠=∠=︒，BD ∥CF ．∴BFD ∆与BCD ∆同底等高，11010502BFD BCD S S ∆∆==⨯⨯=(平方厘米) ．【例 8】 （03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．AA【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积．［分析］ 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC 与三角形AFH 面积相等，也是6平方厘米．【例 9】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =V ，求BEF V 的面积．AB CDEFABCDEF［分析］ 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC ．∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =V V ． 同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =V V ．又ACF ACE AEF S S S =+V V V ，ABF BEF AEF S S S =+V V V ，∴ ACE BEF S S =V V ，即 1BEF ADE S S ==V V ．【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差． 【分析】 直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．法1：连结BE （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转OA BCD E F G OA BC D E FG法2：连结CF （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF 的面积之差．所求为4(107)22(107)23⨯-÷-⨯-÷=．法3：延长BC 交GF 于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF 与矩形CEFH 的面积之差． 所求为(42)(107)22(107)3+⨯-÷-⨯-=．法4：延长AB ，FE 交于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF 的面积之差．所求为4(107)(42)(107)23⨯--+⨯-÷=．【例11】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【分析】 三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积(133549)+++=长方形面积+阴影部分面积；又因为三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积12=长方形面积，所以可得：阴影部分面积13354997=++=．1． 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【分析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．2． 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD EA BCDE【分析】 连接BE .∵13AE EC = ∴13ABE ABC S S ∆∆=.又∵15AD AB =∴11515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆==，∴1515ABC ADE S S ∆∆==.3． 两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，4DG =厘米，求阴影部分的面积．A【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了．用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316-÷=（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长(164)210=+÷=（厘米），小正方形边长(164)26=-÷=（厘米）．阴影部分面积410266238BDG BFG S S =+=⨯÷+⨯÷=V V （平方厘米）．HO A BCD E FGH OA B CD E FG4． 在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．［分析］ 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．5． 右图中，4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．ABCD E 【分析】 连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=平方厘米，6243CD =⨯÷=厘米．直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性质：GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 9】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB V 与BOC V 的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==V V ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===V V ，所以49DOC S =V (平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．［铺垫］梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD［分析］ 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC S S ab b ==V V ，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ===V V ．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 11】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DOH GA B C D O【分析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 12】 在边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，2DF FC =．求四边形ABGD 的面积．ABCDE FGABCDE FG【分析】 题目要求四边形ABGD 的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到E 、F 都是三等分点，如果连接EF ，因为EF ∥BD ，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．因为2BE EC =，2DF FC =，所以:3:1BD EF =．根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE 四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE 的面积为：111141122339⨯⨯-⨯⨯=，所以9113394BDG BDFE S S =⨯=+++V ，得11311244ABGD ADB BDG S S S =+=⨯⨯+=V V ．【例 13】如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【分析】 因为M 是AD 边上的中点，所以12AM =，可得34AMCB S =梯形，由于:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=V V V V （）（），所以阴影部分面积占梯形面积的22412249+=+++，所以341493S =⨯=阴影．【例 14】如图，在长方形ABCD 中，6AB =，2AD =，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【分析】 如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S =V V ，所以34DEO DEF S S =V V ，而2DEF ADE S S ==V V ，所以32 1.54DEO S =⨯=V ，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=．相似三角形性质【例 7】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO V 的面积是ABO V 面积的几倍？ABCDO EFABCO【分析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO V 的面积等于CBO V 的面积；由1124OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==V V V ，即CDO V 的面积是ABO V 面积的3倍．【例 8】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BCDA BDA BD【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =V V ，DBO EBO S S =V V ，且:4:62:3ADO DBO S S ==V V ． 设ADO V 的面积为2份，则DBO V 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABE S =⨯÷=V ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即1532ADECS S=阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以151532ADEC S S ==阴影梯形．【例 9】 右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，13GC FC =．求阴影部分的面积．AB EABE【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以115522624BGE S =⨯⨯=V ．【例10】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5AH cm =，3HF cm =，求AG ．ABC DEFGHO【分析】 由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =， 所以3:5:10:32AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==， 而()()1153422AO AF cm ==⨯+=，所以()104041313AG cm =⨯=．【例11】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘米．BB【分析】 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．可得1=4AED ABCD S S V 平行四边形，对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以23::2:344DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，所以 11117263434AEO ABCD S S =⨯=⨯⨯=V 平行四边形(平方厘米)，212ADO AEO S S =⨯=V V (平方厘米)．同理可得6CFM S =V 平方厘米，12CDM S =V 平方厘米． 所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--=V V V (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．练习5． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【分析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．6． 如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODC BA 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACOD S S a b ==V V ，所以:2:3a b =，2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===V V ，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯=V V ，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．7． 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【分析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =V V ．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =V V ，所以:1:18CFG ABC S S =V V ，那么18CFG a S =V ．8． 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【分析】 根据相似三角形性质可知::1:2EF AF BE AD ==，所以33ABE BEF S S ==V V (平方厘米)，那么412ABCD ABE S S ==W V (平方厘米)．。
小学数学五大几何模型
小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
小学数学知识图形五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学数学五大直线型面积模型
小学数学五大直线型面积模型一：等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比二：鸟头定理1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比三、蝴蝶定理任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是一样的四、相似三角形模型1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方一：等积变换1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．3、如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S △BEF ．4、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．5、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.6、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。
求图中阴影部分的面积是多少？7、(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．8、图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?二、鸟头定理1、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．2、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？3、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．4、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？5、已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．6、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？7、(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米． 8、如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？作业：1、如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？2、已知三角形ABC 的面积为1，BE=2AB ，BC=CD ，求三角形BDE 的面积？3、如右图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点O ，求证：△AOB 与△COD 面积相等．4、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．三、蝴蝶定理1、 如图所示，已知 1.,2.ABC S AE ED BD DC ===求图中阴影部分的面积.2、下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？4、梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。
思维数学-基本直线型面积公式
基本直线型面积公式知识精讲在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形。
在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.在有关直线形的计算中，计算周长和计算而积是最常见的两类。
我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线型的面积。
正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图1 ：试一试正方形的边长是6厘米，面积是平方厘米。
长方形的长是8厘米，宽为4厘米，面积是平方厘米。
正方形面积是121平方厘米。
它的边长是厘米。
长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为厘米。
例题1如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形。
请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形。
如图这个平行四边形的面积和拼成长方形的面积相同，都等于长方形的长×宽。
长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高。
于是：平行四边形面积=底×高如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如图1所示。
同样得到相对于这条底的若干条高，如图2所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。
小学数学几何必考五大模型
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
一、等积 模①型等底等高的两个三角形面积相等；
AB
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之S比1 ；S2
典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长
方形EFGH的面积为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B
FC
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面 积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方,所形以的长面方积形减E去FG三H面个积三为角33． 形的面积，
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积 相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等 于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
证明：连接AG（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边 中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少 ？
【解析解,】H法C 一，：如寻下找图可：利用的条件，连接BH
如右图
小学数学几何必考五大模型
∵在正方形ABCD中，S△ABG=×AB × AB边上的高，
∴ S△ABG= S□ABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）
同理，S△ABG=
S
□EFGB
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘米）
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边中点，H为AD边上
任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH ,HC ，如下图：
解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是△DEF的面积，
根据鸟头定理，则有：
【巩固】
a
如右图
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
反之，如果
，则可知直线
平行于
等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
D
A
A
D
E
E
B
C
图 ⑴
如图在
上，E在AC上)，则
B
图 (2)
C
中，D、E分别是AB、AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
小学数学公式面积与体积
小学数学公式面积与体积
小学数学中涉及到的一些面积与体积公式如下：
1.长方形的面积公式：面积=长×宽，其中长和宽分别是长方形的两个相邻边的长度。
2.正方形的面积公式：面积=边长×边长，其中边长是正方形每条边的长度。
3.三角形的面积公式：面积=底×高/2，其中底是三角形的底边的长度，高是从底边垂直向上的直线段的长度。
4.平行四边形的面积公式：面积=底×高，其中底是平行四边形的底边的长度，高是从底边垂直向上的直线段的长度。
5.梯形的面积公式：面积=（上底+下底）×高/2，其中上底和下底分别是梯形的上边和下边的长度，高是从上底向下底垂直的直线段的长度。
以上是一些常见的二维图形的面积公式，下面我们来看一下一些体积公式：
1.立方体的体积公式：体积=边长×边长×边长，其中边长是立方体的边长的长度。
2.长方体的体积公式：体积=长×宽×高，其中长、宽和高分别是长方体的三个相邻边的长度。
3.正方体的体积公式：体积=边长×边长×边长，其中边长是正方体的边长的长度。
以上是一些常见的三维图形的体积公式。
通过熟练掌握这些公式，可以帮助解决很多与面积与体积相关的问题，并且在实际生活中也能更好地应用数学知识进行量测和估算。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)讲解学习
模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，任意四边形、梯形与相似模型所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EA D C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△。
小学数学几何五大模型讲解——燕尾模型
前两次课分别为大家讲解了小学几何五大模型中的等积模型和蝴蝶模型，今天为大家讲解一下五大模型中的燕尾模型。
燕尾模型也是小学几何中的难点，希望对大家学习小学几何有所帮助。
燕尾模型又称燕尾定理，是指在一个三角形中分别从三个角点向所对的边做三条直线并相交于一点。
如图：S△ABO：S△ACO=BD：DC证明：在△ ABC中△ ABD与△ ACD的高相等，故S△ ABD：S△ACD=BD：DC；又因为△ OBD与△ OCD的高也相等，故S△ OBD：S△OCD=BD：DC，那么（S△ ABD-S△ OBD）：（S△ ACD- S△ OCD ）= S△ABO：S△ACO=BD：DC同理可得：S△ABO：S△BCO=AE：EC；S△BCO：S△ACO=BF：FA【例题1】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD：DC=1：2，AD与BE交于点F，求四边形DFEC的面积？【解题思路】连接FC做辅助线【例题2】如图，三角形ABC的面积是8平方厘米，AF=FD，BD=2/3BC，AD与BE交于点F，求阴影面积？【解题思路】连接FC做辅助线；【例题3】如图，长方形ABCD的面积为120平方厘米，AB=3AE，BD=4FD，求阴影部分面积？【解题思路】连接BG，连接AD做辅助线；【例题4】如图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12平方厘米，求平行四边形BODC的面积？【解题思路】连接AO，连接BD做辅助线；设S△BEO的面积为1份；S△BEO：S△AEO=BE：EA=1：2，故S△AEO的面积为2份；根据燕尾定理,S△ABO：S△BDO=AF：FD=1：2，故S△BDO的面积为6份；S△ADO：S△BDO=AE：EB=2：1，故S△ADO的面积为12份；S△AFO：S△DFO= AF：FD=1：2，故S△AFO的面积为12÷3=4份，S△AFO的面积为12÷3×2=8份；四边形AEOF面积为6份与三角形BDO面积相等，故平行四边行BODC的面积=12×2=24平方厘米。
(2021年整理)小学的奥数-几何五大模型(相似模型)
（完整）小学的奥数-几何五大模型(相似模型)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）小学的奥数-几何五大模型(相似模型)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似）,与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中,16AB =，10AD =,4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻任意四边形、梯形与相似模型璃管口DE 正好对着量具上20等份处（DE 平行AB ），那么小玻璃管口径DE 是多大?605040302010EAD C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)
五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。
（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。
2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。
3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的13。
4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。
因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
小学奥数几何六大模型及例题
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两 夹边的乘积之比。
蝴蝶模型
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积与四边形内的三 角形面积之间建立了相关的联系，得到与面积对应的对角线的比例 关系。
28, 2021
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。202 1/6/282 021/6/2 82021/6/286/2 8/2021 1:25:08 PM
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11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。202 1/6/282 021/6/2 82021/6/28Jun -2128-J un-21
第七讲 平面几何之直线图形
闯关目标 等积变形 一半模型
鸟头模型 第七讲 六大模型 蝴蝶模型
燕尾模型 相似模型 勾股定理
赛前热身
平面几何是小升初考试的必考内容，而且 常常以大题的形式出现，重点中学选拔考试中几何题目分 值较高，并且难度有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多 样，但通过总结归纳，掌握基本的几何模型，有助于解决 更多几何新题，难题。
等积变形
等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都可分解成
若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的 是三角形面积变换。
五年级几何直线型面积(二)学生版
知识要点在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：②1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =；③ABCD S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．直线型面积（二）S 4S 3S 2S 1O D C B A _ A _ B_ C_ D_ O _b_a_S _3 _S _2 _S _1 _S _4蝴蝶定理求面积【例1】 （小学奥林匹克）如图，已知梯形ABCD 的面积是45平方米，高6米，底边BC 长10米，三角形AED 的面积是5平方米。
求阴影部分的面积。
B CDE【例2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形BGC的面积；（2）:AG GC ？A BDG321【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？7667ODCBA【例4】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【例5】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB V 与BOC V 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．3525OABCD【例6】 如图，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米。
小学数学几何必考五大模型优秀课件
8 典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长方形EFGH的面积为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B FC
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33．
1
在学习小学数学的时候，几何模型算是比较新颖的一个模块，学生们熟 练掌握五大面积模型，并掌握五大面积模型的各种变形，
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
2
3 一、等积模型
A
B
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
38
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证明：连接AG（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘米）
11 【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边中点，H为AD边上 任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH ,HC ，如下图：
它们的高之比．
4
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
A
D
D E
A E
五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)用比例解直线型面积问题讲义(含答案)
五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。
（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。
2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。
3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的13。
4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。
因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型).
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”：S 4S 3S 2S 1DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②((1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】根据蝴蝶定理求得3121.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是1231.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，((:12:361:3AG GC =++=． (？？？ABCD AC O BCD任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DA BC D 【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。
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小学数学五大直线型面积模型
一：等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等
2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比
3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比
二：鸟头定理
1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面
积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比
三、蝴蝶定理
任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是
一样的
四、相似三角形模型
1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形
2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方
一：等积变换
1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求
三角形ABC 的面积．
3、如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54
平方厘米，求S △BEF ．
4、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD
边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
5、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13
AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.
6、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，
H 为AD 边上的任一点。
求图中阴影部分的面积是多少？
7、(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积
为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．
8、图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方
厘米?
二、鸟头定理
1、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，
16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
2、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积
等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
3、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
4、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中
阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
5、已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
6、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？
7、(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，
13AE AC =，13
CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米． 8、如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12
CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？
作业：
1、如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
2、已知三角形ABC 的面积为1，BE=2AB ，BC=CD ，求三角形BDE 的面积？
3、如右图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点O ，求证：△AOB 与△COD 面积相等．
4、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．
三、蝴蝶定理
1、 如图所示，已知 1.,2.ABC S AE ED BD DC ===V 求图中阴影部分的面积.
2、下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？
3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为
15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
4、梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三
角
形ABO 的面积为12平方厘米。
则整个梯形的面积为多少？ 5、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上
的一点，且BE=1
3AB ，已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积。
（清华附中考题）
6、在图中，正方形ADEB 和正方形ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG 和三角形BDF 的面积分别是多少？
7、一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？
6、 如右图，梯形ABCD 的面积是45平方米，高6米，△AED 的面积是5平方米，BC=10
米，求阴影部分面积.
综合题
1.如图，AD = DB ， AE = EF = FC ，已知阴影部分面积为5
平方厘米，△ABC 的面积是多少平方厘米？
2.在ΔABC 中BD ：DC=2:1,AE ：EC=1:3 求BO ：OE 。
3.下图中大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘
米，求阴影部分的面积。
4.图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成
了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7
公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 5.梯形ABCD 被两条对角线分成了四个三角形S 1、S 2、S 3、S 4。
已
知S 1=2厘米2，S 2=6厘米2。
求梯形ABCD 的面积。
（小学数
学奥林匹克通讯赛决赛试题）
6.右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是多少平方厘米？
7、如下图，已知ABCD 是长方形，A 、D 、E 和F 在一条直线上，AB ＝7，BC ＝5，DG ＝3。
（单位：厘米），求DE 的长。
8、如图，3个边长为3的正方形，甲的中心在乙的一
个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重
叠，求甲、乙、丙共覆盖的面积是多少？
9、将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ；CB 边延长2
倍到E ，AC 边延长3倍到F ，如果三角形ABC 的面积
等于1，那么三角形DEF 的面积是多少？（08年三帆考题） O A B D C E。