第12讲-圆的周长和面积
六年级奥数第12讲圆的周长与面积
学生课程讲义
有关圆的计算是指与圆有关的图形的周长和面积的计算,其中组合图形的面积是学习的重点。
在进行组合图形计算时,必须掌握有关概念、公式,要仔细观察、认真思考,看清组合图形是由哪几个基本图形组成的,看清题目的已知条件和问题,要注意找出图中的隐蔽条件与已知条件和问题的联系。
圆的周长:当一条线段绕着它的一个端点O,在平面上旋转一周时,它的另一个端点所画的封闭曲线叫做圆,端点O就是这个圆的圆心,这条封闭曲线的长度就是这个圆的周长,用C来表示,连接圆心到圆上任意一点的线段叫半径,一般用字母r来表示,通过圆并且两端都在圆上的
线段叫直径,用字母d表示,用
S
表示圆的面积,于是有下列公式
d=2r C=πd=2πr
S=πr2(其中π是圆周率,取π=3.14)
圆上两点间的部分叫做弧,这两点与圆心连接所得两条半径的夹角叫做圆心角,一般用n 表示圆心角的度数,用L表示弧长,则L=n
180
πr
圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形,则S=n
360πr2=1
2
Lr
【例1】计算图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
【例2】求图中外圆的周长。
（单位：分米）
【例3】已知AC=AB,求图中阴影部分的周长。
高二数学第12讲：圆的方程(学生版)
第十二讲 圆的方程1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：①当2200()()x a y b -+-____2r ，点在圆外；②当2200()()x a y b -+-_____2r ，点在圆上 ；③当2200()()x a y b -+-_____2r ，点在圆内； （2①当时，方程表示圆，此时圆心为___________，半径为②当时，表示一个点；③ 当时，方程不表示任何图形。
3、圆系方程1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 04>-+F E D F E D r 42122-+=0422=-+F E D 0422<-+F E D2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=例1、圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=解析：由圆心可以设出圆的标准方程，设出半径r ，又知圆过原点带入求出半径继而求出圆的方程。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲 圆(含答案)(全国通用版)
第十二讲圆专项一圆的相关概念及性质知识清单1．圆的定义及其相关概念圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，BC是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）．圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）．圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________．4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=12∠BOC（如图2）．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆内接四边形的对角______．考点例析例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm图1分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长．归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，OD，CD四个量中，OB=OD+CD，2222ABOD OB⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余两个都能求出来．例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．图2分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径．例3如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．图3分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长．解：归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题．跟踪训练1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°第1题图2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E 两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．第5题图专项二与圆有关的位置关系知识清单1. 点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有点P在圆外⇔d___r；点P在____⇔d____r；点P在圆内⇔d____r．2. 直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有直线l与⊙O相交⇔d___r；直线l与⊙O相切⇔d___r；直线l与⊙O____⇔d___r．3. 切线的性质定理:圆的切线____于过切点的半径.4.切线的判定（1）和圆只有____个公共点的直线是圆的切线.（2）经过半径的外端并且____于这条半径的直线是圆的切线.（3）如果圆心到一条直线的距离____圆的半径，那么这条直线是圆的切线.5. 切线长定理（选学）切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间____叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角.6. 三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置三角形三条边的垂直平分线的交点三角形三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等考点例析例1 如图1-①，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．①②图1分析：如图1-②，当⊙O平移最靠近点C，即当⊙O与CB，CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，结合切线的性质定理和切线长定理求解．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．图2分析：（1）连接OD，根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证∠EDO＝90°，从而判定DE与⊙O相切；（2）先在Rt△BDC中求出BC，BD的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得⊙O的直径．解：归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径，证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂线，证半径）．跟踪训练1．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD的度数为（）A．27°B．29°C．35°D．37°第1题图第2题图2．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°3．如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．第3题图4．如图①，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图②，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．①②第4题图5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD ＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝13，OE＝3，求BC的长．第5题图专项三弧长与扇形面积的计算知识清单1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l =_______．2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S=_______；在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为l的扇形的面积S=_______．考点例析例1如图1，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12π cm，则n ＝．图1分析：物品A被传送的距离等于转动轮转n°的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为n值．例2 如图2，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．33πD．233π图2分析：阴影部分是以AC为半径、以∠CAE为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与∠CAE的度数，根据扇形的面积公式计算．例3设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+l＝6，列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值．归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．跟踪训练1．图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA 的长为30 cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则CD的长为（）A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．25π cm①②第1题图2．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．1712π m2B．7712π m2C．254π m2D．176π m2第2题图3．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含π的代数式表示），圆心角为度．4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD 上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为．第4题图专项四正多边形与圆知识清单1．正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的______，这个圆就是这个正多边形的______．2．与正多边形有关的概念如图，已知正n边形的边长为a，半径为R，则这个正n边形的每个内角为180nn（-2），中心角α=______，边心距r=______，周长l=na，面积S=12 nar．考点例析例1 如图1，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）A．9πB．92πC．32πD．94π图1分析：连接OA，OB，则△OAB为等腰直角三角形．由正方形ABCD的面积为18，可求得边长AB，进而可得半径OA，根据弧长公式可求AB的长．例2（2021·河北）如图2，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧711A A的长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长P A7的值．图2分析：（1）利用弧长公式求劣弧711A A的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆周角定理证明；（3）由切线的性质可得Rt△P A1A7，解此三角形可得P A7的值．解：跟踪训练1．（2021·贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°第1题图2．（2021·绥化）边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．3．（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”如图①，点C把线段AB分成两部分，如果512CBAC=≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．第3题图（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（结果保留根号）（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN，AI；②作ON的中点P，以P为圆心，P A为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．专项五圆中的数学思想1. 方程思想例1（2021·西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC ＝．图1分析：先由垂径定理求得CE的长，再在Rt△OCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可．2. 分类讨论思想例2（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为3AB所对的圆周角的度数为．分析：弦AB所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论．解答时，利用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求弦AB 所对的圆周角的度数．3．转化思想例3 （2021·枣庄）如图2，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣3C ．π﹣2D ．4﹣π图2分析：连接BD ，则OD 与线段OD 围成的图形面积等于OB 与线段OB 围成的图形面积，故阴影部分的面积等于扇形CBD 与直角三角形CBD 的面积之差．归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算． 跟踪训练1．（2021·兴安盟）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．2π﹣1B ．2π﹣2C ．π﹣1D ．π﹣2第1题图2．（2021·青海）点P 是非圆上一点，若点P 到⊙O 上的点的最小距离是4 cm ，最大距离是9cm ，则⊙O 的半径是 ．3．（2021·绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm ．参考答案专项一圆的相关概念及性质例1 B 例2 2例3（1）连接BD．因为∠ACD＝30°，所以∠B＝∠ACD＝30°．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．所以∠DAB＝90°﹣∠B＝60°．（2）因为∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，所以AD＝12AB＝2．因为∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，所以EF＝DE＝AD·sin60°所以DF＝2DE＝1．B 2．B 3．B 4．13°5．（1）证明：因为AC∥BE，所以∠E＝∠ACD．因为D，C为ACB的三等分点，所以BC CD AD==．所以∠ACD＝∠A．所以∠E＝∠A．（2）解：由（1）知BC CD AD==，所以∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．所以BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE．所以CB BDBD DE=，即355DE=，解得DE＝253．所以CE＝DE﹣CD＝253﹣3＝163．专项二与圆有关的位置关系例1 +1例2 （1）证明：连接OD．因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠BDC＝90°．因为E是BC的中点，所以DE＝CE＝BE，所以∠EDC＝∠ECD．又OD ＝OC ，所以∠ODC ＝∠OCD ．因为∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠ODC+∠EDC ＝90°，即∠EDO ＝90°．所以DE ⊥OD ． 又OD 为⊙O 的半径，所以DE 与⊙O 相切．（2）解：由（1），得∠BDC ＝90°，DE ＝CE ＝BE ．因为DE ＝52，所以BC ＝5．所以BD =＝4． 因为∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，所以△BCA ∽△BDC ． 所以AC BC CD BD =，即534AC =．解得AC ＝154．所以⊙O 的直径为154． 1．A 2．B 3．1804．（1）证明：连接OB ．因为直线MN 与⊙O 相切于点D ，所以OD ⊥MN ．因为BC ∥MN ，所以OD ⊥BC ．所以BD CD =．所以∠BOD ＝∠COD ．因为∠BAC ＝12∠BOC ，所以∠BAC ＝∠DOC ． （2）解：因为E 是OD 的中点，所以OE ＝DE ＝2．在Rt △OCE 中，CE =由（1）知OE ⊥BC ，所以BE ＝CE ＝又O 是AC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线．所以AB =2OE =4．因为AC 是⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABE 中，AE ==5．（1）证明：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即∠ACE +∠BCE ＝90°．因为AD ＝AC ，BE ＝BC ，所以∠ACE ＝∠D ，∠BCE ＝∠BEC ．又∠BEC ＝∠AED ，所以∠AED +∠D ＝90°．所以∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE ．因为OA 是⊙O 的半径，所以AD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），得tan ∠ACE ＝tan D ＝13，设AE ＝a ，则AD ＝AC ＝3a ． 因为OE ＝3，所以OA ＝a +3，AB ＝2a +6，BE ＝BC ＝a +3+3＝a +6．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2+AC 2，即（2a +6）2＝（a +6）2+（3a ）2，解得a 1＝0（舍去），a 2＝2．所以BC ＝a +6＝8．专项三 弧长与扇形面积的计算例1 120 例2 A 例3 C1．B 2．B 3．12π 216 4．54π 专项四 正多边形与圆例1 C例2 （1）连接OA 7，OA 11．由题意，得∠A 7OA 11＝120°，所以711A A 的长为12064180ππ⨯=＞12．所以劣弧711A A 的长度更长．（2）P A 1⊥A 7A 11．理由：连接A 7A 11，OA 1．因为A 1A 7是⊙O 的直径，所以∠A 7A 11A 1＝90°．所以P A 1⊥A 7A 11．（3）因为P A 7是⊙O 的切线，所以P A 7⊥A 1A 7，所以∠P A 7A 1＝90°．因为∠P A 1A 7＝60°，A 1A 7＝12，所以P A 7＝A 1A 7•tan 60°＝1．A 23．解：（1）AC 的长为50．（2）点Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为r ，则OP ＝12r ，所以PQ ＝AP=． 所以OQ ＝QP ﹣OP﹣12rr ，MQ ＝OM ﹣OQ ＝r．所以2MQ OQ =Q 是线段OM 的黄金分割点． （3）如图，作PH ⊥AE 于点H ．由题可知，AH ＝EH ．因为正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，所以∠PEH ＝180°﹣108°＝72°，即cos ∠PEH ＝cos72°＝EH PE． 因为点E 是线段PD 的黄金分割点，所以DE PE＝12． 又DE ＝AE ，HE ＝AH ＝12AE ，所以cos72°＝111222AE EH AE DE PE PE PE PE==⨯=⨯．第3题图专项五圆中的数学思想例1 294例2 60°或120°例3 C1．D 2．6.5cm或2.5cm 3．40。
【易错题精析】第12讲 圆的面积和扇形小学数学六年级上册易错专项练人教版,含答案
【易错题精析】第12讲圆的面积和扇形小学数学六年级上册易错专项练（人教版，含答案）第12讲圆的面积和扇形（讲义）小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.圆的面积。
圆所占平面的大小叫圆的面积，一般用字母S表示。
圆的面积的大小与半径的长短有关。
2.圆的面积计算公式。
如果用S表示圆的面积，那么S = π r2或S = π( d÷2）2。
3.圆环。
两个半径不等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫作环形。
4.圆环的面积计算公式。
外圆的半径是R，内圆的半径是r，圆环的面积＝外圆面积－内圆面积，用字母表示为S=π R2-π r2或S=π （R2- r2）。
5.“外方内圆”和“外圆内方”的问题。
（1）在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。
如果圆的半径是r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
（2）在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。
如果圆的半径是r，那么正方形和圆之间部分的面积为1.14r2。
6.扇形。
弧：圆上任意两点（如下图A、B）之间的部分叫作弧，读作弧AB。
圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫圆心角。
如下图∠AOB。
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。
如下图中涂色部分就是扇形。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
1.在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。
2.圆环必须是两个同心圆形成。
3.求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。
4.在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。
5.在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。
6.圆心角必须具备两个条件：一是顶点在圆心上；二是角的两边是圆的半径。
7.在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角就越大。
【易错一】长方形、正方形和圆的周长相等时，面积最大的是（）。
圆的周长面积公式字母和文字
圆的周长面积公式字母和文字在咱们的数学世界里，圆可是个相当重要的角色。
今儿咱就来好好聊聊圆的周长和面积公式，特别是那些代表它们的字母和文字。
先来说说圆的周长公式。
圆的周长用字母“C”来表示，它的计算公式是C = 2πr 或者C = πd 。
这里的“r”代表圆的半径，“d”呢则代表圆的直径，而“π”约等于 3.14 。
还记得有一次，我在课堂上讲这个知识点的时候，有个调皮的小家伙举起手问我：“老师，为啥圆的周长要用这么个公式算呀？”我笑着回答他：“就像你跑步，绕着一个圆形的操场跑一圈，你跑过的距离不就是圆的周长嘛。
咱们把圆展开，其实就相当于一个长长的线段，这个线段的长度就是咱们算出来的周长呀。
”那小家伙似懂非懂地点了点头。
咱们再瞧瞧圆的面积公式。
圆的面积用字母“S”表示，公式是 S = πr² 。
这个公式理解起来也不难。
有一回，我带着学生们做实验。
我给每个小组发了一张圆形的纸，让他们想办法算出这个圆的面积。
有的小组把圆剪成一个个小扇形，然后试着拼起来，想要拼成一个近似的长方形。
这时候，有个聪明的小组发现，这个近似长方形的长，其实就约等于圆周长的一半，也就是πr ，宽呢，就约等于圆的半径 r 。
那长方形的面积是长乘宽，也就是πr×r ，这不就得出圆的面积S = πr² 了嘛。
在实际生活中，圆的周长和面积公式用处可大了。
比如说，咱要给一个圆形的花坛围上一圈栅栏，那就得先算出圆的周长，才能知道需要多长的栅栏。
要是想在一块圆形的空地上铺上草坪，那得先算出圆的面积，才能知道要买多少草坪。
总之，圆的周长和面积公式虽然看起来简单，但是里面蕴含的数学智慧可不少。
同学们可得好好掌握，这样在遇到和圆相关的问题时，就能轻松应对啦！希望大家以后看到圆，就能马上想起这些公式，让数学为咱们的生活带来更多的便利和乐趣。
六年级上册数学培优奥数讲义-第12讲 圆的面积
第12讲 圆的面积知识装备1、圆的面积公式：S ＝πr 2； 扇形的面积公式：S ＝360nπr 2。
2、在与圆有关的面积计算中，经常需要添加辅助线，根据圆的特征进行面积转化，使之变成有利于计算的图形，再计算。
初级挑战1求下面图形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）思维点拨 ：阴影部分面积＝（ ）的面积－（ ）的面积，半圆直径是8厘米，正方形边长是（ ）厘米。
答案：正方形的面积：8×8=64（cm ²） 圆的面积：3.14×（8÷2）²=50.24（cm ²） 阴影部分的面积：64-50.24=13.76（cm ²）能力探索11、求下面图形中阴影部分的面积。
（单位：厘米） （1） （2）答案：（1）大半圆的面积：3.14×[（30+50）÷2]²÷2=2512（cm ²） 小半圆的面积：3.14×（30÷2）²÷2=353.25（cm ²） 中半圆的面积：3.14×（50÷2）²÷2=981.25（cm ²） 阴影部分的面积：2512-353.25-981.25=1177.5（cm ²） （2）大半圆的面积：3.14×（8÷2+2）²÷2=56.52（cm ²） 小半圆的面积：3.14×（8÷2）²÷2=25.12（cm ²） 阴影部分的面积：56.52-25.12=31.4（cm ²）2、下图是半径为24厘米的扇形，求图中阴影部分的面积。
答案：两个相同的图形拼成一个四分之一扇形。
3.14×24²÷4-24×24÷2=616.32（平方厘米） 616.32÷2=308.16（平方厘米）初级挑战2如图，等腰直角三角形直角边长为14厘米，两个半圆的直径是三角形的直角边，求图中阴影部分的面积。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲关于圆的基本知识(含答案)
第十二讲关于圆的基本知识趣题引路】20世纪40年代美国数学家冯•诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫，鼠连忙纵身跳到水里，猫不会游水，于是紧紧地盯住鼠，在湖边跟着鼠跑动，打算在鼠爬上岸时抓住它•已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者，你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕？解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫，若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C；则猫从A到C要跑半个圆周，由于半圆长是直径的-^1.58（倍）＜2.5（倍），因此猫还是能抓住鼠，所以，鼠若要逃脱猫的追捕，就必须（原文是经字，好像不通）利用猫环湖跑动这一特点，跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点£＞游去，这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍，兀〜3. 14＞2.5,所以当猫到点D时，鼠已经逃之夭夭了.图12-1知识延伸】圆是初中数学中重要的内容，圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性•确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径，然后画图.弧、弦和直径的关系（垂径左理）是研究有关圆的知识的基础，垂径左理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，立理的题设和结论共涉及5条：（1）过圆心；（2）垂直弦：（3）平分弦：（4）平分劣弧：（5）平分优弧.在这5条中只要2条成立，那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，这是圆的最基本最重要的性质，是证明其他定理的工具.例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚，且任何两枚硬币不能有重叠部分，谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时，谁就获胜•问谁一左能获胜？他要想获胜，必须采取怎样的策略？解析先放的那个人一左能获胜，他首先在圆心放一枚硬币，然后不论对方怎样放一枚硬币，他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币，由于圆是关于圆心对称的图形，故只要对方有放硬币的地方，他就有放硬币的地方，可见最后胜利一左属于先放硬币的人.（下页提上来的，保持语段的完整性）点评几何中，（X，刃一（一X，—刃是以原点为对称中心的映射，这种映射叫做对称变换•圆是中心对称图形，先耙硬币放在圆桌的正中央，以后不管对方放在哪里，他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的地方，先放硬币的肯左获胜.例2 如图12-2, AABC中，周长AB+BC+AC=2・求证：ZEC —定能被一个直径为1的圆盖住.证明设A、D两点将zMBC周长分成相等的两部分，即AB+BD=AC+CD=\.似钢笔改动的录入）以AD的中点0为圆心，丄为半径画圆，它一立能盖住△ABC.这是因为在三角形中.一边上的中线小于2另两边和的一半，即OB<1（AB+BD）=1, OC<1（AC+CD）=1 ,2 2 2 2・・・B、C两点均在圆O内.而A2XAB+BD=1・：.OA<L，点 A 在<90 内，2即OO盖住了/XABC.点评这一问题典型地反映了覆盖问题的证明思路，第一部分是设计，第二部分是运用了一个熟知的结论证明（即三角形一边上的中线小于另两边和的一半）.从表面上看，是先设汁后证明，苴实，只有证明在胸, 才能得出设计.例3在美国的亚利桑那州，有一个巨大的右坑，它的直径1280m,深180m,据说它是在数千年以前, 一个巨大的陨石落到地上砸出来的•请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？因此，(OC-DC)2+DB2=OB2.即（片180）2+（竺）2=妙2X2-360X+18024-6402=JI2,解得x= 1228m.这个巨大的陨石直径为2456m.点评有关弦、弦心距、半径、弓高的计算或涉及到弦、弦的中点的问题，通常是构造直角三角形或运用垂径立理.好题妙解】佳题新题品味例1已知如图12-4, AB为00的弦，OC丄于C,问O C+AC何时取最大值?S12-4解析连04、0B,过A作AD丄OB于D,设0A = OB=R, ZAOB=a,则AD=0A• sin a=R• sin a.S DAOB=—AD • OB2= -R• Rsin a= 1 /?2sin a,2 2（OC+ACgOG+AU+LAO OC=OA2^2S AAOH=/?2+/?2sin a.当“=90°时，sin 有最大值1,即（OC+AC）有最大值2疋，因而，当ZAOB=90° , OC+AC取得最大值R.点评一般地，最大、最小值常在某个特殊点取得，经试验后猜测，点A运动到和圆心的连线垂直于OB 时，OC+AC取得最大值.例2 一条60m宽的河上架有一座半径为55m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽12m且高出水而8m的船能否通过此桥，请说明理由.E@12-5解析假左该船恰能通过桥时，桥的半径为/?，如图12-5, 表示水而宽，EF为船宽，MP为船顶到水面AB的距离，设O P=x(O为圆心)，依题意得，在RtZkOBP中，R2=302+F,①在RtAOEM中，用=(8+X)2+62,②①、②求得 /?= 10^34 >55,即船恰能通过时，桥的半径为10炉m,但现在桥的半径为55m,所以该船不能通过此桥.点评可先假定该船恰能通过桥，则12m宽的船顶为圆弧形拱桥的一弦，作出垂径和一条过该弦端点的半径，运用垂径左理及勾股立理求出这条半径/?，就能解决此问题.中考真题欣赏例1 (重庆市中考题)如图12-6, AM是00的直径，过00上一点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交OO于点C,弦CD交AM于点E(1)如果CD丄/W,求证：EN=NW(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：C&=EF・ED；(3)如果弦CD、AB的延长线(根据网上2002年重庆中考数学试题添加，后而的解答也是这个意思)交于点F,且CD=AB.那么(2)的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.图12』证明(1)连结BW 9：AM是直径，•••ZABM=90°・•: CD丄AB, :.BM〃CD A ZECN=ZMBN.9：AM丄BC,:・CN=BN.ARtACE/V^RtABM/V,:・EN=NM・(2)连结BD, BE、AC.•••点E是BC垂直平分线AM上一点,:.BE=EC.I CD=AB9 :. CD =AB , :. AD =BC , ••• ZACD=ZBDC.9：AB=AC, AE=AE. :.AABE^AACE,:・ZABE=ZACD=ZBDC, ZBED是公共角，•••△BEDs△FEB,—EF BE:.BE2=EF • ED. :.CE2=EF • ED.(3)结论成立证明如图12-7仿⑵可证ZBEQ'ACE、:・BE=CE, ZABE= ZACE.•••AB=CD, :. ZACB=ZDBC:.BD//AC. ZBDE+ZACE=180°=ZFBE+ZABE,:・ZBDE=ZFBE, ZBED是公共角，•••△BEDs&EB, A—=—EF EB:.BE^EF • ED、:.CE2=EF • ED.点评本题利用直径AM垂直BC和弦CD=AB这两个条件，得到弧相等，角相等，再利用三角形全等, 相似来解决问题.例2 (黄冈市中考题)已知，如图12-8, C为半圆上一点，AC =CE ,过点C作直径AB的垂线QP, P为垂足，弦AE分别交PC, CB于点D, F.(1)求证：AD=CD；气2(2)若DF=二，tanZ£C5=- > 求的长.4 4cE@12-7证明（1）连结人（7, V AC =CE , :.ZCEA = ZCAE.9：ZCEA=ZCBA, •••ZCBA=ZCAE・VAB是直径，A ZACB=90°・•:CP丄AB, :.ZCBA=ZACP・:.ZCAE= ZACP,:・AD=CD・⑵解析：ZACB=90° , ZCAE=ZACP.:.ZDCF=ZCFD. ：・AD=CD=DF=-・4••• ZECB= ZDAP. tanZEC5=-,4DP 3A tan ZDAP=一 =-PA 49：OP2+PA2=DA2, :.DP= - , PA=1, CP=2・4A ZAC5=90° , CP丄AB.:.'APCs'CPB, , APB=4.PC PB点评（1）利用AC =CE ,把圆周角，互余的角联系起来，从而解决问题.⑵利用RtAACF和ZACP=ZCAD这两个条件得到CD=DF,再转化ZECB为ZDAP,问题便迎刃而解.竞赛样题展示例(2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题)已知如图12-9,在以O为圆心的圆中，弦CD 垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.(1)求证：AG=GCx⑵若AG=* , AH:AB=\:3,求△CDG的面积与△BOF的而积.证明(1)连结AD. 9：AB是直径，AB丄CD••• BC =BD , ••• ZCAB=ZDAB. :. ZDAG=2ZCAB.V ZBOF= ZCAB+ZOCA,又9： ZCAB=ZOCA,:.ZB0F=2ZCAB, :. ZBOF= ZDAG.•••ZOBF=ZADG,:仏OBFs厶DAG,故竺=21r)A |•：0B=0C=20F, 9：AC=2AG,即AG=GC.(2)解析连结BC, A ZBCA=90° ,又••'CH丄AB, :.A^AH - AB・• •AH—— X AB= — X 6=2・3 3CH=J AC—AH丄=J(2®-22 = 2迈.:.S^ACD =丄CD • AH= - X4x/2 X2= 4迈.・・・AG=CG,：皿心沁=尹心= 由•: HBOF S HDAG点评由垂径左理处BC =BD ,从而得到孤所对的圆周角相等，将已始与未知之间的关系联系起来，再通过三角形相似、射影定理等解决问题.OF AGAG 2團12-9过关检测】4级1 •如图12-10, 00的直径AB 和弦CD 相交于点& 已知AE=\ cm. EB=5 cm, ZDEB=60c,,求仞 的长. 2•如图12-11,公园里大观览车半径为25m,已知观览车绕圆心O 顺时针匀速转动，旋转一周用12mim 某人从观览车的最低处（地面A 处）乘车，问经过4min 后，此人距地而CD 的髙度是多少米？（观览车最低 处距地而的髙度忽略不讣）4•已知AB 是00的直径，M 是OA 上的点，弦P0经过点M,且PM=M0•求证：3AP =B （）.3•如图12-12, AB 是OO 的直径，P 是OA 上一点,C 是00上一点，求证:D@12-115.如图12-13, 一根木棒(AB )长为么“斜靠在与地而(0M)垂直的墙壁(ON)上，与地而的倾角为60° , 若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，于是木棒的中点P也随之运动.已知A端下滑到A'时，Af =(筋-血)心则中点P随之运动的路线有多长？6.当湖泊结冰时，有一只球浮在湖而上，将球取岀后在冰上留下一个球形凹洞，深8cm,洞口直径为24cm, 球的半径是多少厘米？B级1・已知点P到00的最小距藹为4cm,最大距离为8cm,求00的半径.2 •如图12-14,已知00的直径为4cm, M是劣弧AB的中点，从M作弦且MN=2苗cm, MN、AB交于点P,求ZAPM的度数.3•已知OO的半径为乩C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96° , BD的度数为36。
圆的周长与面积
圆的周长与面积一、圆的认识（一）填空。
1、圆中心的一点叫做（）2、通过（），并且两端都在圆上的（），叫做圆的直径。
3、在同一个圆里，半径是5厘米，直径是（）厘米。
（二）判断1、所有的半径的长度都相等，所有的直径的长度都相等。
（）2、直径是半径长度的2倍。
（）3、在画圆时，把圆规的两脚张开6厘米，这个圆的直径是12厘米。
（）4、半径能决定圆的大小，圆心能决定圆的位置。
（）二、圆的周长（一）填空1、（）叫圆的周长。
圆的周长公式用字母表示（）2、圆的周长除以它的（）的（），叫做圆周率，用字母（）表示。
3、圆的半径是3厘米，直径是（）厘米，周长是（）厘米。
4、圆的周长是28．26米，它的直径是（）厘米，半径是（）厘米。
5、一台时钟的分针长6厘米，它走过2圈走了（）厘米。
6、一圆的周长是12．56厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚的距离是（）厘米。
（二）判断1、两个圆的周长相等，它们的直径也相等。
（）2、圆的周长总是该圆直径的π倍。
（）3、大圆的圆周率比小圆的圆周率大。
（）4、大圆的直径是小圆半径的4倍，那么大圆的周长是小圆周长的4倍。
5、半圆的周长就是圆周长的一半。
（）６、在一个长８厘米，宽６厘米的长方形内剪一个最大的圆，这个圆的周长是18．84厘米。
（）7、圆的半径扩大2倍，它的直径也扩大2倍，它的周长将会增加一倍。
（）8、用圆的周长除以该圆的直径，所得的商是π。
（）（三）求各圆的半径。
C=28．26米 C=53．38米 d=18厘米三、圆的面积（一）填空1、圆的面积公式用字母表示（）２、一个圆的半径是２厘米，面积是（）３、一个圆的半直径是６厘米，面积是（）４、圆的半径扩大2倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。
5、甲圆的半径是乙圆的直径，乙圆的面积是甲圆面积的（ ）6、圆的半径是3分米，直径是（ ），周长是（ ），面积是（ ）7、一个圆环，外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（ ）８、圆心角是９０度的扇形面积是所在圆面积的（ ）分之（ ）（二）一个圆的周长一个正方形的周长相等，这个正方形的边长是6．28厘米，圆的面积是多少平方厘米？（三）一个圆形水池，周长是18．84米，面积是多少平方厘米？（四）根据圆的条件求圆的面积。
爱提分圆和扇形的周长及面积公式
一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C 表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一圆的周长与面积公式例、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．例、已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．例、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米（取）答案：（1）米（2）米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．例、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少（取）答案：解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．例、如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．例、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取）答案：解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．例、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．题模二扇形的周长与面积公式例、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．例、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．例、一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．例、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．例、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．例、一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．例、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：连结AC、FB．易知，故，．例、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C ＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．题模三捆圆的周长和面积已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）答案：解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．例、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．例、如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．随堂练习随练、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米（取）答案：解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．随练、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米（取）答案：20解析：这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．随练、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米（取）答案：厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．随练、如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．随练、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．随练、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．随练、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）；；；；（2）；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．随练、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．随练、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．随练、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米（π取近似值）答案：解析：圆周长的计算公式为：C圆=π×D．作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：解析：厘米．作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，压路的面积=长×宽平方米．作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米（π取近似值）答案：解析：由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取）答案：解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．作业9、已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度（π取近似值）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈×32=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少答案：解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少（π取近似值）答案：解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。
圆的周长PPT优秀课件
2024/1/26
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圆周长在生活中的应用
2024/1/26
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建筑设计领域应用
建筑设计中的圆形结构
在建筑设计中，圆形结构常被用于创造独特的美感和视觉效果，如圆形窗户、 拱门和穹顶等。这些圆形结构的周长计算对于材料的用量和施工的精度都至关 重要。
圆形建筑物的地基设计
当地基形状为圆形时，需要计算圆的周长以确定地基的尺寸和所需的材料量， 确保建筑物的稳定性和安全性。
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圆锥体侧面积和表面积计算
圆锥体侧面积公式
侧面积 = (圆心角 × π × 母线长 ) / 180。这个公式用于计算圆锥
侧面展开后的面积。
圆锥体表面积公式
表面积 = π × 半径^2 + 侧面积 。这个公式用于计算圆锥体整体
所占的空间大小。
实际应用
圆锥体表面积和侧面积的计算在 建筑设计、工程造价等方面有重 要作用，如计算圆锥形屋顶的面
圆的性质包括圆心到圆上任一点的距离相等，以及圆上任意两点间的弧所对的圆心 角相等。
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关键知识点总结回顾
圆的周长公式
圆的周长（或称为圆的周长）是 $C = 2pi r$，其中 $C$ 是圆的周长，$r$ 是圆的半径， $pi$ 是圆周率。
圆周率 $pi$ 是一个无理数，其近似值为 3.14159。
数值法
通过迭代或数值逼近的方法，逐步逼近椭圆的真实周长。
2024/1/26
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椭圆周长精确计算方法
2024/1/26
积分法
利用椭圆的标准方程，通过计算椭圆弧长的积分表达式来 得到精确周长。这种方法需要较高的数学水平，通常适用 于理论研究或高精度计算。
参数方程法
【人教版】六年级上册数学课件-第12讲圆(二)(43页PPT)
温故而知新
A O
线 段 OA 绕 它 的 一 个 固定端点O旋转一周， 另一个端点A随之旋 转，所形成的图形叫 圆。
圆的各部分名称 ·
圆的各部分名称
直径 d ·
O
圆心
半径 r
半径和直径有什么关系？
同一个圆的半径相等，直径也相等。
d=r+r r
d •o
d=2r
r d
r= 2
在同一个圆里，直径是半径的２倍，半径是直径的一半。
2021/10/6
【答案】 16－0.3=15.7(dm) 15.7÷3.14=5(dm) 答：这个铁圈的直径是5dm。 【解析】 首先求出圆的周长，然后根据周长计算公式求直径。
4.一辆自行车的轮胎外直径为70厘米，如果每分钟转120圈， 1小时约行多少千米？（得数保留整数）
2021/10/6
【答案】 3.14×70×120×60÷100÷1000≈16（千米） 答： 1小时约行16千米。 【解析】 要求1小时约行多少千米，先根据轮胎的周长，求出自行车一分钟 行驶的距离。计算时注意单位的换算。
2021/10/6
【答案】 （1）3.14×6=18.84（厘米）， 答：直径为6厘米的圆的周长是18.84厘米。 （2）2×3.14×5 =3.14×10 =31.4（分米） 答：这个圆的周长是31.4分米。 【解析】 （1）圆的周长=πd，这里d=6厘米，代入公式即可解答。 （2）圆的周长=2πr，圆的半径已知，从而可以求出其周长。
π＝3.141592653 周长÷直径＝圆周率
π≈3.14 c÷d＝π
圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率， 用字母π表示。
π＝3.141592653 周长÷直径＝圆周率 周长＝圆周率×直径
圆的周长面积教学设计
圆的周长【教学内容】：《圆的周长》教材第11～12页。
【教学目标】▼知识与能力1、认识圆的周长，能用滚动、线绕等方法测量圆的周长。
2、在测量活动中探索发现圆的周长与直径的关系，理解圆周率的意义用圆周长的计算方法。
3、能正确地计算圆的周长，能运用圆的周长解决一些简单的实际问题。
▼过程与方法：通过测量计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而得出圆的周长计算公式。
▼情感态度价值观1、在研究过程中体验数学问题的探索性，体会数学与现实生活的密切联系。
2、渗透“化曲为直”的数学思想。
【教学重难点】：发现圆的周长与直径的关系，能正确地计算圆的周长。
【教学过程】一、创设情境：工人师傅要为直径分别是5厘米和8厘米的两块圆镜镶边框，边框的长分别是多少厘米？（出示两个圆片）1、理解什么是圆的周长师：圆镜的边框是哪一部分？谁能指出来？这一部分曲线可以叫做这个圆的什么？什么是圆的周长？（围成圆的曲线的长，叫做圆的周长）。
2、理解圆的周长与什么有关思考：那块圆镜的周长长呢？（直径大的圆的周长大，直径小的圆的周长小）3、引入课题：师：圆的周长与直径有怎样的关系呢？这节课，我们来共同研究？《圆的周长》二、探究新知（一）、测量圆的周长1、师：你有办法测量直径是5厘米和8厘米的两个圆的周长吗？2、小组合作测量圆的周长。
3、交流：滚动法、绕线法滚动法要注意什么？（a、做好标记；b、不能滑动；c、滚动一周）绕动法要注意什么？（线拉紧）若有其它测量方法，只要合理教师都应给以肯定。
进一步体会直径大的圆的周长大。
4、探索圆的周长与直径的关系：⑴、师：正方形的周长与边长有关，周长是边长的4倍。
圆的周长与直径既然有关，哪有什么关系呢？试猜想一下。
⑵、实验探究师：想验证吗？动手试一试。
学生分组测量课前准备的4个圆的周长，把有关数据填入下表：4、观察发现师：仔细观察上表,你能发现什么?(1)、圆的周长总是直径的3倍多一些。
(2)、告诉学生这是个固定不变的数，人们通常把圆的周长和直径的这个商叫做圆周率,用字母∏表示，计算是通常取近似值3.14。
小学五年级数学课堂教案：理解圆的周长和面积
小学五年级数学课堂教案：理解圆的周长和面积一、引言在小学五年级数学课程中，理解圆的周长和面积是一个重要的知识点。
通过学习圆的周长和面积，学生将能够更好地掌握几何知识，并培养他们的空间想象力和逻辑思维。
本教案旨在帮助学生深入理解圆的周长和面积的概念，同时提供具体的教学方法和活动，以激发学生的学习兴趣。
二、理解圆的周长1. 圆的周长定义圆是一个由一条封闭曲线组成的图形，该封闭曲线上的每一点到圆心的距离相等。
圆的周长是指封闭曲线的长度。
在数学中，圆的周长可以用公式2πr表示，其中r是圆的半径。
2. 教学活动为了帮助学生理解圆的周长，可以进行以下教学活动：a. 制作圆的模型：使用纸张或者软泥制作圆形，让学生观察圆的封闭曲线，并测量周长。
b. 探索圆的特点：让学生观察不同大小的圆，并测量半径和周长，引导学生发现圆的周长与半径的关系。
c. 经典案例分析：讲解一些生活中与圆有关的例子，如轮胎、圆盘等，让学生思考这些物体的周长与半径之间的关系。
三、理解圆的面积1. 圆的面积定义圆的面积是指圆所围成的平面区域的大小。
在数学中，圆的面积可以用公式πr²表示，其中r是圆的半径。
2. 教学活动为了帮助学生理解圆的面积，可以进行以下教学活动：a. 制作面积模型：使用纸张或者软泥制作圆形，让学生观察圆所围成的平面区域，并测量面积。
b. 探索面积公式：让学生尝试不同半径的圆，并测量圆的面积，引导学生发现圆的面积与半径的关系。
c. 经典案例分析：讲解一些与圆的面积有关的例子，如圆形花坛、圆形碟子等，让学生思考这些物体的面积与半径之间的关系。
四、综合练习为了巩固学生对圆的周长和面积的理解，可以进行综合练习，并提供不同难度的问题。
例如：1. 如果一个圆的半径是5cm，那么它的周长是多少？2. 已知一个圆的周长是12π，求该圆的半径和面积。
3. 圆A的周长是圆B的面积的3倍，圆B的半径是5cm，求圆A的面积。
五、拓展活动为了培养学生的创造力和应用能力，可以进行以下拓展活动：1. 创作圆的故事：要求学生编写一个有关圆的故事，鼓励他们在故事中运用圆的周长和面积的概念。
初三数学圆的周长、面积公式及其应用知识精讲 首师大版
初三数学圆的周长、面积公式及其应用知识精讲 首师大版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：圆的周长、面积公式及其应用公式：设圆的半径为R ，1. 圆的周长公式：C=2πR ；2. 圆的面积公式：S=πR 2；3180.弧长公式：在半径为的圆中，°圆心角所对的弧长为：；R n l l n R=π 4. 扇形面积公式：S n R lR 扇形；==π2360125. 弓形面积：()1当弓形所含的弧是劣弧时，AmB ⋂S S S OAB 弓形扇形△；=-()2当弓形所含的弧是优弧时，AmB ⋂S S S OAB 弓形扇形△；=+()3当弓形所含的弧是半圆时，AmB ⋂S S 弓形圆。
=126. 圆柱的侧面积：圆柱的底面半径为R ，母线长为l 。
S Rl 圆柱侧=2π7. 圆锥的侧面积：设底的周长为C 。
S Cl Rl 圆锥侧==12π二. 重点、难点：重点是扇形的面积，圆柱和圆锥的侧面展开图。
难点是求不规则图形的面积及利用公式的变形进行计算。
【典型例题】例1. 已知如图，C 、D 为半圆O 上的三等分点，E 是⊙O 直径BA 延长线上的点，求阴影部分的面积。
（已知⊙O 的半径等于R ）分析：阴影部分是一个不规则的图形，如果连结CD ，我们可以把阴影部分分割为△ECD 和弓形CFD 。
但是我们可以把这个不规则图形转化为规则图形。
首先根据题意，C 、D O AC BD CD AB OC OD 是半圆的三等分点，那么，可证∥，如果连结和，则⋂=⋂△OCD 与△ECD 有共同的底边CD ，且这两个三角形的高相等。
∴∴△△阴影扇形S S S S OCD ECD OCD == 有了这样的转化，求阴影部分的面积就很容易了。
解：连结CD 、OC 、OD ，∵C 、D 是半圆O 上的三等分点，∴，∴∠∠，∴∥，AC DB CDA DAB CD AB ⋂=⋂=根据平行线间的距离处处相等， ∴△ECD 的高等于△OCD 的高， ∴△△S S ECD OCD =∴阴影扇形S S OCD =∵C 、D 是半圆O 上的三等分点，∴∠COD=60°，∴阴影扇形S S n R R R OCD====πππ222360603606点评：本题运用了转化的思想，把不规则图形转化为规则图形。
【小升初】数学总复习：第十二讲 面积计算
【小升初】数学总复习：第十二讲面积计算【知识、方法梳理】计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。
这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
【典例精讲】例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。
又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF ＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。
由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2．如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。
55 《圆的周长和面积练习课》完美版教案
5-5 《圆的周长和面积练习课》完美版教案第一章：课程简介1.1 课程目标让学生掌握圆的周长和面积的计算方法，提高学生的数学思维能力和实际应用能力。
1.2 教学内容本章主要讲解圆的周长和面积的计算方法，并通过实例让学生进行实际计算和练习。
第二章：圆的周长2.1 圆的周长定义圆的周长是指圆的边缘部分的长度，通常用字母C表示，计算公式为C=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14。
2.2 圆的周长计算方法（1）直接使用公式C=2πr计算圆的周长。
（2）使用直径D代替半径r，公式为C=πD。
2.3 实例计算例1：一个半径为5厘米的圆，求它的周长。
解：C=2πr=2×3.14×5=31.4（厘米）例2：一个直径为10厘米的圆，求它的周长。
解：C=πD=3.14×10=31.4（厘米）第三章：圆的面积3.1 圆的面积定义圆的面积是指圆内部的大小，通常用字母S表示，计算公式为S=πr²，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14。
3.2 圆的面积计算方法（1）直接使用公式S=πr²计算圆的面积。
（2）使用直径D代替半径r，公式为S=π(D/2)²。
3.3 实例计算例1：一个半径为5厘米的圆，求它的面积。
解：S=πr²=3.14×5²=78.5（平方厘米）例2：一个直径为10厘米的圆，求它的面积。
解：S=π(D/2)²=3.14×(10/2)²=78.5（平方厘米）第四章：圆的周长和面积的综合应用4.1 实例1：一个圆形花园的直径为20米，求这个花园的周长和面积。
解：周长C=πD=3.14×20=62.8（米），面积S=π(D/2)²=3.14×(20/2)²=314（平方米）4.2 实例2：一个圆形水池的半径为10分米，求这个水池的周长和面积。
圆的半径与面积计算
圆的半径与面积计算圆是数学中的一种基本几何形状，通过半径来描述其大小。
在本文中，我们将讨论如何计算圆的半径和面积。
一、圆的半径计算圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
要计算圆的半径，我们需要知道圆的直径或者周长。
1. 通过直径计算半径直径是圆上任意两点之间通过圆心的距离，通常用字母d表示。
直径与半径之间的关系是：直径等于半径的两倍。
也就是说，如果我们知道直径的值，可以通过直接将其除以2来计算半径。
例如，假设一个圆的直径是12厘米，那么该圆的半径是12/2 = 6厘米。
2. 通过周长计算半径周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。
周长与半径之间的关系是：周长等于半径的2倍π（圆周率，约等于3.14159）。
也就是说，如果我们知道周长的值，可以通过将其除以2π来计算半径。
例如，假设一个圆的周长是18厘米，那么该圆的半径是18 / (2π) ≈2.865厘米。
二、圆的面积计算圆的面积是指圆内部的所有区域的总面积。
要计算圆的面积，我们需要知道圆的半径。
通过半径计算面积的公式是：面积等于半径的平方乘以π。
数学表达式为：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径，π约等于3.14159。
例如，假设一个圆的半径是5厘米，那么该圆的面积是3.14159 × 5²≈ 78.54平方厘米。
总结：在本文中，我们以圆的半径和面积计算为主题进行了讨论。
通过直径或周长，我们可以计算出圆的半径。
而圆的面积计算则需要知道半径，通过半径的平方乘以π即可求得。
通过这些计算公式，我们可以准确地计算圆的半径和面积。
结束语：圆是数学中的重要概念，其半径和面积计算方法也是我们学习的基础。
希望通过本文的讲解，您能够对圆的半径和面积的计算有更清晰的认识。
不管是在学习数学还是实际应用中，准确计算圆的半径和面积都是非常重要的技能。
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【例1】如图12-1，一个半径为8的轮子沿着一个半圆的直径滚动直到它撞到半圆上（半圆的半径为25）.问轮子不能接触到的
直径有多长
答案：20
【例2】已知AB=40厘米，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是多少平方厘米（∏取）
答案：628
【例3】如图12-7，在直径为12厘米的大半圆纸片上剪掉两个完全相同的小半圆，再在剩下图形中剪掉一个最大的小圆.剩下
图形的面积是多少平方厘米
答案：
【例4】如图12-9，一个半径为10cm的圆沿图中“凸”字形的内壁滚动“凸”字形的一圈又回到原地.圆扫过的面积是多少平
方厘米
答案：7699
【例5】将四个圆如图12-14方式安排，已知圆A的半径为12cm、圆B的半径为10cm、圆C的半径为8cm、圆D的半径为6cm.请
问圆中涂灰色部分的面积总和与涂黑色部分的面积总和的
）
差为多少平方厘米（∏=22
7
答案：1584
7
【例6】如图12-16所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC＝弧CD＝弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点.若N是OB
上的一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分
的面积是多少平方厘米
答案：2
随堂练习1
（1）如图12-4，用粗绳围上面的一个半圆，用细线围下面三个半圆.
请问粗绳与细线长度之差为多少厘米
（2）手工课上，小红用一张直径是20厘米的圆形纸片剪出如图12-5所示的风车图案（空白部分），则被剪掉的纸片（阴影部分）的
面积是多少平方厘米（∏取）
（3）如图12-6，图中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，两小圆重叠部分A的面积与阴影部分的面积相比，哪个大
随堂练习2
（1）如图12-11，正方形边长为1，则阴影部分的面积是多少
（2）如图12-12，有一张半径为2的圆形纸片在一个足够大的正方形内任意移动，求在该正方形内，这张圆形纸片不可能接触到
的部分的面积是多少（∏取）
（3）如图12-13，试求图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比.
随堂练习3
（1）如图12-18是由五个圆所构成的，其中总共有3种不同长度的直径，且有部分的圆彼此相切，如图所示，若最大圆内白色部
分的总面积是20平方厘米，则其中阴影部分的面积是多少平方
厘米
（2）在如图12-19中，AB为圆O的直径，点D在圆O上，在梯形ABC D中，①线段AB与线段DC都分别垂直于BC；②AB=2CD.弧DMB
是以点C为圆心的圆弧.请问图中阴影部分的面积与圆O的面积
之比是多少（取∏=22
）
7
（3）如图12-20，右下阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面
积.
练习题
（1）如图12-21是两个边长为5厘米的正方形组成的长方形，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米（∏取3）
（2）如图12-22所示，一个正方形和12全等的半圆.其中点A和点B是半圆的圆心，点C和点D是半圆的端点.设AB长为214，求
所有阴影部分的面积.
（3）如图12-23中，每个小圆的半径是1厘米，则阴影部分的面积
是多少平方厘米（∏取）
（4）如图12-24，大圆的半径为12厘米，六个大小相同的小圆都分别与其相邻的两个小圆及这个大圆相切.小圆的半径是多少厘
米
（5）如图12-25，一个半径为1的圆绕着一个半径为2的半圆滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积是多少（∏取）
（6）如图12-26，其中正方形的面积为50平方厘米，则阴影部分的
面积是多少平方厘米（∏取3）
（7）如图12-27，ABC D是正方形，阴影部分的面积为多少（∏取）
（8）如图12-28，一些正方形内接于一些同心圆，如图所示.已知最小圆的半径为1厘米，请问阴影部分的面积为多少平方厘米（∏
）
取22
7
（9）如图12-29的4个圆，半径都是10厘米，试求阴影部分的面积
总和是多少平方厘米（∏取3）
（10）如图12-30，三角形OAC的面积为5平方厘米，求阴影部分的
面积.
（11）如图12-31所示，扇形ABD的半径是4厘米，阴影部分②比阴
影部分①大平方厘米.求直角梯形ABC D的面积.
（12）如图12-32中，圆O的半径是10厘米.求阴影部分的面积.
（13）如图12-33，线段AB的长相等.问图中哪个阴影部分的面积大
（14）如图12-34，圆中有四条弦，每一条弦都把圆分割成面积比为1：3的两个部分，而这些弦在圆正中正好围出一个正方形.已知这
个正方形的面积为100平方厘米，请问图中阴影部分的面积为
多少平方厘米
（15）如图12-35是一个每条边都是10厘米的十字形.现有一个半径为1厘米的圆沿十字形的内侧滚动一圈回到出发点，那么圆心
经过路径的长度等于多少厘米
（16）如图12-36，在边长是1分米的正方形中，分别以A、B为圆心，作两个半径为1分米的圆弧，那么两块阴影部分的面积之差是
多少
（17）如图12-37，在一个黑白相间的8厘米×8厘米的方格之内画了一个半径为4厘米的圆，问这个圆经过的所有黑色小方格在圆
内部分的面积之和是多少平方厘米
（18）有一只小兔子住在一个周长为1千米的神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分，如图12-38，已知小兔子从B点出发，沿
千米休息一次，如果它逆时针方向绕神湖做跳跃运动，它每跳3
8
跳到A正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B 点继续跳，它每经过一次特别通道，神湖的半径就扩大一倍.
现在小兔子共休息了1000次，这时，神湖的周长是多少千米
（19）计算如图12-39阴影部分面积.（单位：厘米）
（20）一个正方形内接于直径为10厘米的圆内，在正方形的边上分别向外画半圆，如图12-40所示.请问图中阴影部分的四个半月形面积之和为多少平方厘米。