算法设计与分析6

【例3】查找问题 —— 在 n 元列表中查找给定键
蛮力法：顺序查找，最差情况需 n 次比较，O(n) 变治法：预排序 + 折半查找，时间效率：
T ( n) Tsort ( n) Tscan ( n) O( n log n) O(log n) O( n log n)
可见预排序比顺序查找的时间效率更差。对于在同一个列表中查找 次数很少的问题，不如顺序查找。若对同一个列表需要很多次查找， 效率将超过顺序查找。（分摊效率） 预排序的其他应用
★ 堆 (Heap) 与优先队列 (Priority queue)
堆是一种数据结构，尤其适合用来实现 优先队列 。 优先队列 —— 按对象的 优先级 属性排序的对象集合。
第 6 章 变治法
★ 变治策略
★ 预排序 ★ 平衡查找树
AVL树
2-3树（扩展B、B+、B* 树）
★ 堆与优先队列
★ 堆排序（堆分类）
★ 问题化简 ★ 本章习题
第 6 章 变治法
★ 变治策略
★ 预排序 ★ 平衡查找树
AVL树
2-3树（扩展B、B+、B* 树）
★ 堆与优先队列
★ 堆排序（堆分类）
AVL树是BST，用BST插入算法生成。 插入新节点后，若 AVL 树失去平衡，进行旋转，重新平衡它。 节点有 4 种插入位置，对应 4 种旋转变换： 1. 最近不平衡节点的左子树的左节点 —— 右单转，R旋转 2. 最近不平衡节点的右子树的右节点 —— 左单转，L旋转 3. 最近不平衡节点的左子树的右节点 —— 左右双转，LR旋转
n ≥ 2h+1 – 1 即 h ≤ log2(n+1) – 1
2-3 树全部由 3 节点构成：当前层节点数 = 3×上一层节点数 n = 30 + 31 + 32 + ... + 3h = 3h+1 – 1
一般的 2-3 树（既有 2 节点又有 3 节点），节点总数：
n ≤ 3h+1 – 1 即 h ≥ log3(n+1) – 1 综合1、2：log3(n+1) – 1 ≤ h ≤ log2(n+1) – 1 无论最差或平均情况，2-3 树字典操作（插入、删除、查找）的时间 效率都属于Θ(logn) 型。2-3 树有重要的扩展形式 B、B+、B* 树
K
K1 , K2
＜K
≥K
＜ K1
[K1, K2)
≥K2
2-3 树的两种节点类型
举例说明：2-3 树生成（插入）算法的过程图示 将序列 { 9, 5, 8, 3, 2, 4, 7 } 构造一棵 2-3 树 分裂，提升
8
5 9 3,5
8 9
9
5,9
5,8,9
8 2,3,5 9
3,8 2 5 9 2
3
T
2
1
T1
T4
T1
AVL树效率：它是BST，效率与BST一样取决于树高：
log2 n h 1.4405log2 (n 2) 1.3277
AVL树缺点：频繁的旋转、维护树节点平衡，设计上较复杂，尤其是 删除操作，妨碍了其应用。但蕴涵的思想使人们发现了 BST 的其他变种。
树高：根到叶的最长路径的边数。设根为 0 层，树高 = 最底层编号
节点平衡因子：左子树高 - 右子树高 AVL 树：每个节点的平衡因子均为 0、-1、+1
1
2 1
20
0
5
10
0
5
10
0
20
1
4
1
7
0
12
1
4
1
7
0
2
0
8 AVL树
0
2
0
8 非AVL树，BST
AVL树生成（插入）算法
while ( i≤n-1 )
runlength←1，runvalue←A[i] // 行程长度 = 等值元素个数 while ( i+runlength≤n-1 and A[i+runlength] = runvalue )
runlength ++ // 与下一个元素相等则行程长度+1
if ( runlength > ModeFrequency ) ModeFrequency←runlength，modeValue←runvalue i←i+runlength // 跳过本行程，i 始终指向行程的第一个元素 return ( ModeValue, ModeFrequency )
3,8 4,5 8 9 4,8 5 9 9
2-3 树时间效率
时间效率取决于 树高（h），下面考察 2-3 树的两种极端的树高 树高：从根到叶最长路径的边数 = 最大层号（根为 0 层） 2-3 树全部由 2 节点构成：当前层节点数 = 2×上一层节点数 一棵满的完全二叉树（ n 个节点，高度 h），节点总数： n = 20 + 21 + 22 + ... + 2h = 2h+1 – 1 一般的 2-3 树（既有 2 节点又有 3 节点），节点总数：
需要与辅助列表中已加入的 k-1个元素比较，共 k-1 次。
最差效率：
T ( n) ( k 1) 1 ... n 1 (n2 )
k 1
n
变治法 —— 预排序（nlogn型），排序后 等值元素一定相邻 扫描统计：模式具有最多的相邻元素，需比较 n -1 次。 PresortMode_1(A[0...n-1]) // 行程算法 对数组A排序 // 排序结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 } i←0，ModeFrequency←0 // 最大频率，最大行程长度
【例1】检验数组中元素的唯一性
蛮力：逐个比较数组元素，直到找到两个相等元素或全部元素比较 完毕为止。时间效率 O (n2) 变治：预排序化简问题后求解。即：数组排序后检查连续元素。 排序后等值元素（重复元素）一定相邻 算法 PresortElementUniqueness ( A[0...n-1] ) 对数组A排序 // 选nlogn型算法
0
2
右子树的左节点
2
w
R(w)
T
3
0
e
1
e
0
w
T
1
T
1
T
2
1
1
T
2
T
3
右单转的一般情况（左子树左节点）
2 1
e k
T4 T1
2
L(e)
w
2
w
1
0
e
k
T
3
T4
T
2
T
3
1
T1
T
2
1
or
左右双转的一般情况（左子树右节点） （先左单转，后右单转）
2 2
w k
R(w)
0 0
e
k
1
w
0
e
T
3
T4
T
2
T
3 种主要类型
实例化简：问题求解变得更简单，如预排序
改变表现：改变问题的表现形式，如AVL树，2-3树，堆
问题化简：问题变为另一个问题。如数学建模，将具体应用问题用 变量、函数、方程等数学对象表达
更简单方便 问题
另一种表现
另一个问题
求解
★ 预排序
古老思想：若列表有序，一些与列表有关的问题更容易求解。 —— 依赖于排序算法的时间效率
2. 确定查找分支，转 1
2-3 树删除算法 —— 删除键而非删除节点 —— 删除一个键时，2 节点情况与 BST 相同。 —— 对于 3 节点情况，分 3 种情况： 1. 叶节点，有 2 个键：删除右图 “ 4 ” 键 —— 简单删除 “4”，2-3 树性质不变 2 2. 叶节点，仅 1 个键：删除右图 “ 2 ” 键 简单删除2，不符合 2-3 树性质。 若相邻兄弟无多余键（仅1个，如去掉 “4” ）， 3,5 将该相邻兄弟和父节点中、它俩的分界键 并入已删除键的空节点中。 若相邻兄弟有多余键（如 “4”、“5”） 借码 —— 把该兄弟的 2 个键和父节点中的 3 分界键并入该空节点，再作分裂 3. 内部节点（非叶节点）：如删除右上图 “3” 键 删除仅在叶节点进行，替换后再删除替换键（图略） 替换键 —— 比该键大的子树中的最小键
3,8 4,5
5
9
3,8 2 4,5,7 9 2
3,5,8 4 7 9
3
8
2
4
7
9
2-3 树插入算法（3 阶B 树）
—— 注意保持 2-3 树的性质 1. 用查找算法找到恰当的叶节点位置，插入新节点
2. 若插入节点溢出，分裂该节点，中间键（键值大小）加入父结点
—— 若父结点溢出，继续分裂父节点 —— 若分裂过程向上传递到根节点，树加高一层 2-3 树查找算法（类似 BST ） 从 2-3 树的根节点开始： 1. 查找当前节点 —— 若找到关键码（键），查找成功返回 —— 若未找到，且当前节点已是叶节点，查找失败返回
for i←0 to n-2 do if A[i] = A[i+1] return false return true
T ( n) Tsort ( n) Tscan ( n) O( n log n) O( n) O( n log n)
【例2】模式统计
模式：列表中出现频率最高的元素。 如 { 5, 1, 5, 7, 6, 5, 7 } 的模式为 5，模式可能不止一个 问题：在列表中找出模式 蛮力策略：扫描列表，统计每个元素的频率，找出频率最高的元素 蛮力实现：（方法之一） 设一个辅助列表，扫描元素与辅助列表中的元素一一比较，结果： 若匹配（辅助列表中已有），该元素频率加1. 不匹配（辅助列表中没有），新元素加入辅助列表，其频率置1. 本例最终的辅助列表：{ 5(3), 1(1), 7(2), 6(1) } 括号内为频率。 —— 扫描辅助列表，找出最大频率（3）的元素（5） 最坏情况：扫描原始列表时，每个元素在辅助列表中都没有匹配， 作为新元素加入辅助列表，原列表的第 k 个元素加入辅助列表时，
2-3 树 —— BST的变体
2-3 树的特性（定义） 1. 每个节点包含 1 个或 2 个键
2. 每个内部节点有 2 种类型：
2 节点 —— 1 个键 K，2 个子女 3 节点 —— 2 个键 K1< K2，3 个子女（键值关系如下图） 3. 所有叶节点在树的同一层，树高平衡 K1< K2 2节点 3节点
非行程算法（比较次数 n-1）
PresortMode_2(A[0...n-1]) 数组A排序 // 结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 }
ModeFrequency←1 // 模式频率
ModeValue←A[0] for ( i←0 to n-2 ) // 模式值 【思考】
Current_F←1 // 当前频率
4. 最近不平衡节点的右子树的左节点 —— 右左双转，RL旋转
2
3
0
R(3)
2
1
2
0
1
0
3
0
1
左子树的左节点
2
1
1
2
L(1)
0Hale Waihona Puke Baidu
2
0
3
0
1
0
3
右子树的右节点
2
3 L(1) 3 2 R(3) 2
0 0
1
1
1
0
3
0
2 1
左子树的右节点
2
1 R(3) 1
2
L(1)
0
2
1
3
1
2
0 0
3 1
0
3
—— 许多处理点集的计算几何算法
例如：点集的排序 可根据它们的坐标，或者到某特定直线的距离，或者某种角度等等。
如在最近对、凸包问题的分治算法中，都曾采用了预排序技术。
★ 平衡查找树
二叉查找树 BST 是一种重要的数据结构，是集合的一种描述方式。 集合用 BST 描述是改变表现形式的一种变治技术。 BST 与线性表相比，查找、插入和删除操作的时间效率较好，属于 logn 型（平均），最坏 O(n) —— 退化为一棵完全不平衡树（链） 保持 BST 的好特性，避免退化的两种方案 —— 【实例化简】 对不平衡 BST 进行各种变换，重新构造平衡树。不同算法对BST的 平衡要求不同。如AVL树平衡：每个节点左右子树高度差≤1 .
【改变表现】
BST 每个节点仅允许有 1 个键（查找的属性）。 允许每个节点可包含不止一个键。典型例子：
2-3 树、2-3-4 树，更一般的 B 树（B+ 树、B* 树）
AVL 树 （1962，前苏联科学家G.M.Adelson-Velsky, E.M.Landis）
AVL 树是 BST.
★ 问题化简 ★ 本章习题
第 6 章 变治法
★ 变治策略
★ 预排序 ★ 平衡查找树
AVL树
2-3树（扩展B、B+、B* 树）
★ 堆与优先队列
★ 堆排序（堆分类）
★ 问题化简 ★ 本章习题
★ 变治策略
通用的算法设计方法，基于变换的思想
变：变换问题更容易求解 治：对变换后的问题求解
if A[ i ] = A[ i+1] Current_F ++
1. A 元素全部唯一
2. A 元素全部相等
if Current_F > ModeFrequency
ModeFrequency ← Current_F ModeValue ← A[ i ]
return (ModeValue, ModeFrequency)