小学奥数牛吃草问题教案

奥数十三讲

牛吃草问题二

典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：

设定一头牛一天吃草量为“1”

1草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）

2原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数

3吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）

4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。

牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有的草量，进而解答问题。

这类题的基本数量关系是：

1（牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）=草地每天新长出的草

2牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数=原有草量

解决多块草地的方法

多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

思维拓展

例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。

【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？

25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8=25头

例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供

12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？

【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。

巩固练习

1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，

供15头牛吃20天。可供25头牛吃＿＿天。

（）

A. 10

B. 5

C. 20

A 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草

量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的

草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。

（）

A. 22

B. 23

C. 24

B假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。

（）

A. 10

B. 12

C. 15

C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。

每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）

到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）

第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）

所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。

4. 经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。

70 设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）

5. 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（）小时。

12 自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）

三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）

慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）

6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小时可将可将水池中的水抽干。

18 设1根抽水管每小时抽水量为1份。

（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）

（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）

7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（）辆。

19 设每两汽车每小时运的货物为1份。

（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）

（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）

（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）

（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供