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离散数学第3-5章习题答案
第三章1、用枚举法写出下列集合。
①英语句子“I am a student”中的英文字母；解：{I,a,m,s,t,u,d,e,n}②大于5小于13的所有偶数；解：{6,,8,10,12}③20的所有因数；解：{1,2,4,5,10,20}④小于20的6的正倍数。
解：{6,12,18}2、用描述法写出下列集合。
①全体奇数；解：S={x|x是奇数}②所有实数集上一元二次方程的解组成的集合；解：S={x|x是实数集上一元二次方程的解}③二进制数；解：S={x|x是二进制数}④能被5整除的整数集合。
解：S={x|x是能被5整除的整数}3、求下列集合的基数。
①“proper set”中的英文字母；解：S={p,r,o,e,s,t}所以 cardS=|S|=6②{{1,2}，{2,1,1}，{2,1,2,1}}；解： cardS=|S|=3③{x|x=2或x=3或x=4或x=5}；解：cardS=|S|=4④{{1，{2,3}}}。
解：cardS=|S|=14、求下列集合的幂集。
①“power set”中的英文字母；解：S={p,o,w,e,r,s,t}(S)是所有S的子集构成的集合，这里不一一列举了。
②{3,6,9}；解：℘(S)={Φ ,{3},{6},{9},{3,6},{3,9},{6,9},{3,6,9}} ③小于20的5的正倍数；解：S={5,10,15} ℘(S)={Φ,{5},{10},{15},{5,10},{5,15},{10,15},{5,10,15}} ④{{1,3}}。
解：℘(S)={Φ,{1,3}}5、设Φ=A ，B=a ，求P(A) ，P(P(A)) ，P(P(P(A))) ，P(B) ，P(P(B)) ，P(P(P(B)))。
解：P(A)={Φ};P(P(A))={Φ,{Φ}};P(P(P(A)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}P(B)={Φ,a };P(P(B))={Φ,{Φ},{a},{Φ,a}};P(P(P(B)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{{a}},{{Φ,a}},{Φ,{Φ}},{Φ,{a}},{Φ,{Φ,a}},{{Φ},{a}},{{Φ},{Φ,a}},{{a},{Φ,a}},{Φ,{Φ},{a}},{Φ,{Φ},{Φ,a}},{Φ,{a},{Φ,a}},{{Φ},{a},{Φ,a}},{{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}}.6、如果集合A 和B 分别满足下列条件，能得出A 和B 之间有什么联系？ ①A ∪B=A ； ②A ∩B=A ； ③A －B=A ； ④A ∩B=A －B ； ⑤A －B=B －A ； ⑥A B A =⊕。
离散数学(刘任任版)习题5
16.(2)设G（p,q）是连通图，求证:若q > p – 1,则G 中必含回路;
证明：设 q > p − 1。
若G不含回路，则必有v1 ∈V (G) 满足d (v1) = 1。于是 G1 =G−v1 仍连通且无回路，而 G − v1恰有 q −1条
边。如此下去，G p−1 = G − {v1, v2 ,Λ , v p−1}
x′ ∈ {a′, b′, c′, d ′, e′, f ′, g ′, h′, i′, j′}
c
d
b
e （a） a
w
x
v
图5.15
y （b） u
z （2）如下图，若(a)与(b)同构，则对任何双射，
ϕ :{a,b, c, d, e} → {u , v , w , x , y )
z 必有 σ (a) = u 。于是推得
d (vi )
而
i=1
δ (G) ≤ d (vi ) ≤ Δ(G)
p
∑ z ∴ p ⋅ δ (G ) ≤ d (vi ) ≤ p ⋅ Δ (G )
∑ z 因此
z即
δ (G) ≤
1 p
p i =1
d (vi ) ≤
i =1
Δ(G)
δ (G ) ≤ 2q / p ≤ Δ(G )
9 、设G（p,q）是简单图,p≥2.求证:G 中至少有两个顶点的度数相等.
。
从而得出1 ≥ 2（矛盾）。故G中至少有两个悬挂点。
17、求证:若边e 在图G的一条闭链中,则e 必 在G 的一条回路中.
证明：设 e = v1v2 ，G中含e的闭链为
。
（因若E为E不=回v是路1v回2定Λ路义v，是l v则1 ：必没有有v重i 复=点v）j。2 ≤ i ≤ j ≤ l
离散数学 第5章 习题解答
第5章 习题解答5.1 A:③; B:⑥; C:⑧; D:⑩; E:⑨分析 S 为n 元集,那么有个元素.S 上的一个二元运算就是函数S S ⨯2n .这样的函数有个.因此上的二元运算有个.S S S f →⨯:2n n },{b a 162=n n 下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法.1 °交换律 若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律.2 °幂等律 设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元,,,21n x x x 素的排列也为 则该运算满足幂等律.,,,21n x x x 其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立.z y x ,,3 ° 幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元素所在的.e ,,,21n x x x i x 行和列的元素排列顺序也是则为幺元.,,,21n x x x i x 4 ° 零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元. .θi x i x i x 5 ° 幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上,,,21n x x x 第个元素恰 为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元.i },,2,1{n i x i ∈i x 6 ° 可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并i x i x 且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两i j j i 个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一j x i x i x 定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没i x i x i x 有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零i x e e e =-1元不是可逆元素.θ以本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的,321,,f f f而不是可交换的.再看幂等律.四个运算表表头元素排列都是,其中主对角4f b a ,线元素排列为的只有,所以, 遵从幂等律.下面考虑幺元.如果某元素所b a ,4f 4f 在的行和列元素的排列都是,该元素就是幺元.不难看出只有中的a 满足这b a ,2f 一要求,因此,a 是的幺元,其他三个运算都不存在幺元.最后考虑零元.如果a 2f 所在的行和列元素都是a,那么a 就是零元;同样的,若b 所在的行和列元素都是b,那么b 就是零元.检查这四个运算表,中的a 满足要求,是零元,其他运算都没1f 有零元.在的运算表中,尽管a 和b 的列都满足要求,但行不满足要求.因而4f 4f 中也没有零元.5.2 A:①; B:③; C:⑤; D:⑦; E:⑩分析 对于用解析表达式定义的二元运算 °和 *,差别它们是否满足交换律,结合律,幂等律,分配律和吸收律的方法总结如下:任取,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成y x ,x y y =x 立 °运算就满足交换律.2 ° °运算的地合律任取根据°运算的解析表达式验证等式是否成立. z y x ,,)y (z y)(z x x =如果成立, °运算就是可结合的.3 ° °运算的幂等律任取x,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立, °x x x = 运算满足幂等律.4 ° °运算对*运算的分配律任取,根据 °和*运算的解析表达式验证等式z y x ,,和是否成立。
《离散数学》课后习题解答--第5章
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？⑴A=N(N为自然数集合)，f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a＋b＜10⎬⑵A=R(R为实数集合)，f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合)，f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合)，f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合)，f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|＋1⎬解：⑴不能构成函数。
由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。
求B A，验证|B A|= |B||A|。
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
离散数学-第五章习题答案
习题答案（P151~P153）1．用枚举法给出下列集合解：（2）{-3，2}（4）{5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}2．用抽象法说明下列集合解：（2）{x|x为素数，10<x<20}（4）{x|x为中国的省会}（6）{x|x=2k+1，k∈I}3．判断下列哪些∈关系成立，为什麽？解：根据只有集合中的元素才与该集合有∈关系，故（1）、（4）、（6）、（7）成立，（2）、（3）、（5）、（8）不成立。
4．判断下列哪些集合相等（全集是整数集合I）解：A=G，B=E，C=F6．写出下列集合的幂集解：（2）ρ（{1，∅}）={∅，{1}，{∅}，{1，∅}}（4）ρ（{∅，{a}，{∅}}）={∅，{∅}，{{a}}，{{∅}}，{∅，{a}}，{∅，{∅}}，{{a}，{∅}}，{∅，{a}，{∅}}}7．当把“⊆”插入空位时哪一个为真？解：（1）、（2）、（3）、（6）为真，（4）、（5）为假。
8．设A、B、C分别是集合，若A∈B，B∈C，哪麽A∈C一定成立吗？解：不一定，例如，A={a}，B={{a}}，C={{{a}}}，虽然A∈B，B∈C，但A∈C不成立。
10．设U={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={1，2，5}和C={2，4}试写出下列集合（8）ρ（A）-ρ（C）解：ρ（A）-ρ（C）={∅，{1}，{4}，{1，4}}-{∅，{2}，{4}，{2，4}}={{1}，{1，4}}11．证明下列恒等式（1）A-（B⋂C）=（A-B）⋃（A-C）（2）（A-B）⋂B=∅解：（1）A-（B⋂C）= A⋂~（B⋂C）= A⋂（~B⋃~C）=（A⋂~B）⋃（A⋂~C）=（A-B）⋃（A-C）（2）（A-B）⋂B=（A⋂~B）⋂B= A⋂（~B⋂B）= ∅12．设A、B、C是集合，下列等式成立的条件是什么？（1）（A-B）⋃（A-C）=A（2）（A-B）⋃（A-C）= ∅解：（1）因为（A-B）⋃（A-C）= （A⋂~B）⋃（A⋂~C）= A⋂（~B⋃~C）= A⋂~（B⋂C）= A-（B⋂C）所以（A-B）⋃（A-C）=A 当且仅当A-（B⋂C）=A 由-的定义可知A⋂（B⋂C）=∅（2）由（1）可知，（A-B）⋃（A-C）=A-（B⋂C）所以（A-B）⋃（A-C）=∅当且仅当A-（B⋂C）=∅由定理5.11可知A⊆（B⋂C）13. 设A，B是集合（1）A-B=B，问A和B有何关系？（2）A-B=B-A, 问A和B有何关系？解：（1）A=B=φ。
自考 离散数学教材课后题第五章答案
5.1习题参考答案1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。
阮允准同学提供答案:解：设度数小于3的结点有x个，则有3×4＋4×3＋2x≥2×16解得：x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。
若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。
由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、证明：简单图的最大度小于结点数。
阮同学认为题中应指定是无向简单图.晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。
阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。
解：如下图所示： (晓津与阮同学答案一致)7、证明：下图中的图是同构的。
证明如下：在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。
离散数学习题五
习题五1.设个体域D={a,b,c}，在D 中消去公式(()())x F x yG y ∀∧∃的量词。
甲乙用了不同的演算过程：甲的演算过程如下：(()())(()(()()()))(()(()()()))(()(()()()))(()(()()()))(()()())(()()())x F x yG y x F x G a G b G c F a G a G b G c F b G a G b G c F c G a G b G c F a F b F c G a G b G c ∀∧∃⇔∀∧∨∨⇔∧∨∨∧∧∨∨∧∧∨∨⇔∧∧∧∨∨乙的演算过程如下：(()())()()(()()())(()()())x F x yG y xF x yG y F a F b F c G a G b G c ∀∧∃⇔∀∧∃⇔∧∧∧∨∨ 显然，乙的演算过程简单，试指出乙在演算过程中的关键步骤。
解：乙在演算中的关键步骤是，在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式，将量词的辖域缩小，因而演算简单。
2. 设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1)(()())(2)(()())(3)()()(4)(,)())x y F x G y x y F x G y xF x yG y x F x y yG y ∀∃∧∀∃∨∀→∀∀→∃（解：（1）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∨∨∧∧∧ （2）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∧∧∨∧∧ （3）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∧∧→∧∧ （4）))()()(()),(),(),((c G b G a G y c F y b F y a F ∨∨→∨∨在（1）（2）（4）中均将量词的辖域缩小，所以演算结果都比较简单3. 设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
离散数学第3-5章习题答案
第三章1、用枚举法写出下列集合。
①英语句子“I am a student”中的英文字母；解：{I,a,m,s,t,u,d,e,n}②大于5小于13的所有偶数；解：{6,,8,10,12}③20的所有因数；解：{1,2,4,5,10,20}④小于20的6的正倍数。
解：{6,12,18}2、用描述法写出下列集合。
①全体奇数；解：S={x|x是奇数}②所有实数集上一元二次方程的解组成的集合；解：S={x|x是实数集上一元二次方程的解}③二进制数；解：S={x|x是二进制数}④能被5整除的整数集合。
解：S={x|x是能被5整除的整数}3、求下列集合的基数。
①“proper set”中的英文字母；解：S={p,r,o,e,s,t}所以 cardS=|S|=6②{{1,2}，{2,1,1}，{2,1,2,1}}；解： cardS=|S|=3③{x|x=2或x=3或x=4或x=5}；解：cardS=|S|=4④{{1，{2,3}}}。
解：cardS=|S|=14、求下列集合的幂集。
①“power set”中的英文字母；解：S={p,o,w,e,r,s,t}(S)是所有S的子集构成的集合，这里不一一列举了。
②{3,6,9}；解：℘(S)={Φ ,{3},{6},{9},{3,6},{3,9},{6,9},{3,6,9}} ③小于20的5的正倍数；解：S={5,10,15} ℘(S)={Φ,{5},{10},{15},{5,10},{5,15},{10,15},{5,10,15}} ④{{1,3}}。
解：℘(S)={Φ,{1,3}}5、设Φ=A ，B=a ，求P(A) ，P(P(A)) ，P(P(P(A))) ，P(B) ，P(P(B)) ，P(P(P(B)))。
解：P(A)={Φ};P(P(A))={Φ,{Φ}};P(P(P(A)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}P(B)={Φ,a };P(P(B))={Φ,{Φ},{a},{Φ,a}};P(P(P(B)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{{a}},{{Φ,a}},{Φ,{Φ}},{Φ,{a}},{Φ,{Φ,a}},{{Φ},{a}},{{Φ},{Φ,a}},{{a},{Φ,a}},{Φ,{Φ},{a}},{Φ,{Φ},{Φ,a}},{Φ,{a},{Φ,a}},{{Φ},{a},{Φ,a}},{{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}}.6、如果集合A 和B 分别满足下列条件，能得出A 和B 之间有什么联系？ ①A ∪B=A ； ②A ∩B=A ； ③A －B=A ； ④A ∩B=A －B ； ⑤A －B=B －A ； ⑥A B A =⊕。
离散数学第五章集合及其运算习题答案
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
R-S
例如A={0, 1} R={(0,1), (1,2), (0,2)}, S={(0,2)}
R-S ={(0,1), (1,2)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
d
a
c
f
ab c de f gh
h
g
a01 0 00000
b00 1 00000
c11 0 00000
d00 0 01000
e00 0 00100
f 00 0 00010
g00 0 00001
h00 0 10000
习题四 15
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
解：
例如：设A={a, b, c, d}
则 R1={(a, b), (b, d), (d, c)} 反传递
离散数学概论习题答案第5章
第五章习 题1． 解：4个顶点的所有非同构连通图如下图所示：2． 解：图G 是1-可着色的当且仅当G 是空图。
3． 解：(1)设w 为分图个数，由公式m ≤12(n −w )(n −w +1)知，w=3时，m ≤12(6−3)(6−3+1)=6。
所以分图个数w>2时，边数不能超过6条。
现在有7条边，所以分图个数不超过2。
(2)由一个孤立顶点和一个K n-1组成的图。
4． 解： 以所有二位三进制数作为顶点，在这顶点集{aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc}中，若顶点u 的后一个字母与顶点v 的前一个字母相同，则u 到v 有一个弧。
这样所得图如下图所示，其中e 0=aaa,e 1=aab,e 2=aac,e 3=aba,e 4=abb,e 5=abc,e 6=aca,e 7=acb,e 8=acc,e 9=baa, e 10=bab,e 11=bac,e 12=bba,e 13=bbb,e 14=bbc,e 15=bca,e 16=bcb,e 17=bcc,e 18=caa,e 19=cab, e 20=cac,e 21=cba,e 22=cbb,e 23=cbc,e 24=cca,e 25=ccb,e 26=ccc 。
此图有一条欧拉回路:（e 0,e 1,e 3,e 11,e 7,e 21,e 10,e 4,e 14,e 16,e 22,e 13,e 12,e 9,e 2,e 8,e 26,e 25, e 23,e 15,e 20,e 6,e 19,e 5,e 17,e 24,e。
5． 解：(a) 邻接矩阵为A=[0 1 0 10 0 1 10 1 0 10 1 0 0]；(b) A (2)=[0 1 1 10 2 0 10 1 1 10 0 1 1]，A (3)=[0 2 1 20 1 2 20 2 1 20 2 0 1]，A (4)=[0 3 2 30 4 1 30 3 2 30 1 2 2];由A ，A (2)，A (3)，A (4)可知从v 1到v 4长度为1，2，3，4的路径分别为1，1，2，3条。
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。
a) L={1，2，3，4，6，12}b) L={1，2，3，4，6，8，12}c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如：812=LUB{8，12}不存在。
126312 4c) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
倒例如：46=LUB{4，6}不存在。
2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。
证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x)，x ∈2A }[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x 863 124 12 10 84 2 6 973 1 5 10∈A1∧f (x)=y)}⊆B 所以B1∈2B，故此S⊆2B；又B0=f (A)∈S (因为A∈2A)，所以S非空；对于任何B1，B2∈S，存在着A1，A2∈2A，使得B1=f (A1)，B2=f (A2)，从而L∪B{B1，B2}=B1∪B2=f (A1)f (A2)=f (A1∪A2) （习题三的8的1））由于A1∪A2⊆A，即A1∪A2∈2A，因此f (A1∪A2)∈S，即上确界L∪B{B1，B2}存在。
对于任何B1，B2∈S，定义A1=f –1(B1)={x|x∈A∧f (x)∈B1}，A2=f-1(B2)={x|x∈A∧f (x)∈B2}，则A1，A2∈2A，且显然B1=f (A1)，B2=f (A2)，于是GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)⊇f (A1∩A2) （习题三的8的2））又若y∈B1∩B2，则y∈B，且y∈B2。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学第五章作业答案.docx
5.1设有向图D的度数列是2,2,3,3, A度列为0,0,2,3 ,试求D的出读列。
解:由于d+(v) = d(v) 一cr(u),故出度列为2,2,1,0.如图5.5下面各无向图中有几个顶点？(1 ) 16条边，每个顶点都有2度顶点(2) 21条边，3个4度顶点，其余是3度顶点(3) 24条边，各顶点的度数相同的解：设顶点个数为n，则有握手定理知：(1) 2*n = 2*l6=>n = 16(2) 3 * 4 + (n — 3) = 2 * 21 n n = 13(3) 设顶点的度数为K，则nk=2*4=48且n,k均为正整数,则① n=1 ,k=48 ⑥ n=8,k=6②n=2,k=24 ⑦ n=12,k=4③n=3,k=16 ⑧ n=16,k=3④n=4,k=12 ⑨ n=24,k=2⑤n=6,k=8 ⑩n=48,k=15.11 K4的生成子图中有几个非同构的自补图解：1个即5.12画出3阶有向完全图所有非同构子图，问其中有几个是生成子图，生成子图中有几个是自补图。
解：顶点边0 1 2 3 4 5 6个数数其中生成子图是16个，子补图是画:5.14已知n阶无向图G中有m条边，各顶点的度数均为3 ,又已知2n-3=m ,问在同构的5.18有向图D在定义意义下长度为4的通路总数，并指出有多少条是回路，又有到通21故长度为4的通路总数15 ,回路数为3 , V3到V4的通路有«?=25.19求图中b到其余各定点的最短路径和距离解,用Dijkstra算法得t b a c d e f g1(0,入)*（一8,入）（+8,入）( + 8,入)( + 8,入)（+8,入）（+8,入）2(7,b)(1,"( + 8,入)( + 8,入)（+8,入）（+8,入）引入b3(4,c)*（+8,入）(5,c)(4, C)( + 8,入)引入c4(12, a)(5,c)(4,c)*（+8,入）引入a 5(12, a)(5,c)*(11,f)引入f 6(12, a)(7,e)*引入e7(9,"引入g故b到其余各顶点的最短路径和距离为b-a : ba ,长度为4bf c : be ,长度为1b-d : bcegd ,长度为9b-e : bee ,长度为5b-f: bef ,长度为4b-g : bceg ,长度为75.20 解：（1 ）画出项目网络图(2) ( ES,LF )见上图工序时间见下表(3 )关键路径是1-2-5-9 , 1-2-3-5-9关键工序是A,D,E,K工期为13天5.21解：构造无向图G=(V,E),其中Vi表示一门课，E = {(i,j)|有同学同时选修i和j，且<Lj < 7}着（染）色顺序①②③④⑦⑤⑥二2,6三3,54,7。
离散数学课后答案五
5.1习题参考答案1、阮允准同学提供答案:解：设度数小于3的结点有x个，则有3×4＋4×3＋2x≥2×16解得：x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。
若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。
由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.4 \阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。
解：如下图所示：(晓津与阮同学答案一致)7、证明：下图中的图是同构的。
证明如下：在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。
8、证明：下面两图是同构的。
阮同学给出证明如下：证明：找出对应关系：a---q, b----r, c-----s, d----t, e-----u,f------v, g-----w, h----x9、证明：三次正则图必有偶数个结点。
阮同学证明如下：由题意可知每个结点度数都是3度，即每个结点均为奇结点，根据有偶数个奇结点可知，三次正则图必有偶数个奇结点。
离散数学 杨圣洪 第五章习题解答
⎜0 0 0 0 0 1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
10 ⎟⎟⎟⎠
(6)算出任意二点之间长度为 1、2、3、……、n-1 的路的条数，从而判断它是否连通？
长度为 1 的路就是邻接矩阵
⎜⎛ 0 1 0 0 0 0⎟⎞
⎜0 0 1 0 0 0⎟
⎜⎜1 0 0 0 1 0⎟⎟
⎜0 0 0 0 0 1⎟
⎜0 0 1 0 0 1⎟ ⎜0 0 1 0 0 0⎟ ⎜1 0 0 0 1 0⎟
⎜⎜ 1
(1)各点的度数：deg(1)=2，deg(2)=2, deg(3)=3, deg(4)=2, deg(5)=3, deg(6)=2，和=14 入度：deg(1)=1, deg(2)=1, deg(3)=1, deg(4)=1, deg(5)=1, deg(6)=2，和=7 出度：deg(1)=1, deg(2)=1, deg(3)=2, deg(4)=1, deg(5)=2, deg(6)=0，和=7 出度和=入度和，所有点度数 14=边数 7 的两倍 (2)如果不考虑边的方向，度数为奇数的结点 3、5，所以存在一条无向的 Euler 路，但 不存在无向的 Euler 回路。如：31-12-23-35-54-46-65 如果考虑边的方向，由于结点 3、5、6 的入度不等于出度，所以不存在有向 Euler 路， 也不存在有向 Euler 回路。 (3)n=6，不考虑边的方向，存在 Hamilton 路的充分条件是，任意二点的度数>=5， deg(1)+deg(6)=4<5 ， 所 以 不 满 足 该 充 分 条 件 ， 但 是 跨 越 每 个 点 一 次 的 路 是 存 在 的 ， 如 1-2-3-5-4-6，所以该充分条件并不是必要的。 (4) Powell 着色方法对其各个结点进行着色，先按节点的度数进行排队： deg(3)=deg(5)>deg(1)=deg(2)=deg(4)=deg(6)，队列为 3-5-1-2-4-6 用 1 号色着结点 3，与 3 不相邻的 4 着 1 号色，未着色 5-1-2-6 用 2 号色着结点 5，与 5 不相邻的 1 着 2 号色，未着色 2-6 用 3 号色着结点 2，与 2 不相邻的 6 着 3 号色。 (4)由于原图只有 2 个封闭的区域，与一个完全开放的区域，因此其对偶图只有 3 个结
川大离散数学习题5
习题 51. 设A={(a,b)|a,b∈N}.定义A上的一个二元关系R={（（a,b ）,(c,d)）|ad=bc},证明:R 是A 上的等价关系. 证：(){}+∈=N b a b a A ,|, ，R={（（a,b ）,(c,d)）|ad=bc} ①自反性：由A 的定义，N b a baab ∈=,()()()R b a b a ∈∴,,,②对称性 设()()()R d c b a ∈,,,，则bc ad = 即 ()()()R b a d c dacb ∈∴=,,,③传递性 设()()()R d c b a ∈1111,,，则1111c b d a =()()()R d c d c ∈2211,,，则2121c d d c =2121211211211c b d a c d b d c b d d a =⇒==⇒()()()R d c b a ∈∴2211,,,2. 定义复数集合的子集合C 1={a+bi|i 2=-1,a 、b ∈R,a ≠0}，在C 1上定义关系S 为：(a+bi)S(c+di)⇔ac>0。
证明：S 是C 1上的一个等价关系，并给出S 的等价类的几何说明。
证明:因为(a+b i )S(c+d i )⇔ac>0(a,b ∈R,a ≠0,c ≠0)r:∀a ≠0,a2>0⇔(a+b i )S(a+b i )s:(a+b i )S(c+d i )⇔ac>0⇔ca>0⇔(c+d i )S(a+b i ) t:(a+b i )S(c+d i )∧(c+d i )S(u+v i )⇔ac>0∧cu>0⇔ au>0⇔(a+b i )S(u+v i ) 综上，S 是C 1上的一个等价关系。
由于ac>0，必须a ≠0,c ≠0且a 和c 同号，故S 只有2个等价类，其一是[1]={a+bi|a>0}，另一个是[-1]={a+bi|a<0}，它们分别对应于复平面上右半部和左半部。
离散数学第五章习题
第五章习题07年昆明理工1、在自然数集合N上，下列哪种运算是可结合的。
()A. a*b=a-bB.a*b=max(a,b)C. a*b=a+2bD.a*b=|a-b|2、设Z为整数集合，+为普通加法，则代数系统＜Z,+＞中,Z对加法的幺元为_______ ,Z对+的零元为________对任意x€ N,x-1=______________ 。
3、设＜A,*＞是一个代数系统，其中*是一个二元运算使任意a,b€ A,有a*b=a.(1)证明*运算是可结合的。
(2)说明*运算是否可交换。
06年清华大学1设＜A,是二元代数，元素a € A有左逆元a-1和右逆元a-1,若运算满足()律，则Q-1二a「A.结合B.交换C.等幕D.分配2设为实数集R上的二元运算，- x,y € R有x y=x+y-2xy,说明运算是否为可交换的、可结合的？确定运算的幺元、零元和所有幕等元及可逆元素的逆元其他习题1、已知集合A={1 , 2,…,10},下面定义的哪些运算关于集合A是不封闭的.( )A. x*y=max(x,y)B. x*y=min(x,y)C. x*y=GCD(x,y),即x,y的最大公约数D. x*y=LCM(x,y), 即x,y 的最小公倍数2、设Z*是正整数集合，+，—, *，△分别是数的普通加法、减法，乘法和平方运算，则下列( )不能构成代数系统。
A. <Z*,+>B. <Z*, —>C. < Z* ,*>D.< Z*, △ >3、设*是集合A上的二元运算，若A中一个元素e,它即是___________ ,又是_______ ，则称 e 是A 中关于运算*的幺元。
4、设S=R-{-1},R 为实数集，任意a,b € S,a*b二a+b+ab说明<S,*>是否构成群。
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第五章习题
7年昆明理工
1、在自然数集合 N上，下列哪种运算是可结合的。
（）
A. a*b=a-b
B.a*b=max(a,b)
C. a*b=a+2b
D.a*b=|a-b|
2、设 Z 为整数集合， +为普通加法，则代数系统 <Z,+>中,Z 对加法的幺元为 _______,Z 对+的零元为 _______,对任意 x∈N,x -1 =_______。
3、设 <A,*> 是一个代数系统 ,其中 * 是一个二元运算使任意a,b∈ A, 有a*b=a.
(1)证明 * 运算是可结合的。
（2）说明 * 运算是否可交换。
6年清华大学
1 设<A, >是二元代数，元素 a∈A 有左逆元 a l-1和右逆元 a r-1，若运算
满足（）律，则 a l-1=a r-1
A. 结合
B.交换
C.等幂
D. 分配
2设为实数集 R 上的二元运算， x,y∈R有 x y=x+y-2xy, 说明运算是
否为可交换的、可结合的？确定运算的幺元、零元和所有幂等元及可
逆元素的逆元。
其他习题
1、已知集合 A={1 ，2，⋯,10}, 下面定的哪些运算关于集合 A 是不封的 .()
A. x*y=max(x,y)
B.x*y=min(x,y)
C.x*y=GCD(x,y) , 即 x,y 的最大公数
D.x*y=LCM(x,y), 即 x,y 的最小公倍数
2、 Z* 是正整数集合， +，—， * ，△分是数的普通加法、减法，
乘法和平方运算，下列（）不能构成代数系。
A. <Z*,+>
B. <Z* , －>
C. < Z* ,*>
D.<Z*, △>
3、 * 是集合 A 上的二元运算，若 A 中一个元素 e,它即是 _______，又是 _______，称 e 是 A 中关于运算 * 的幺元。
4、 S=R－{-1},R 数集，任意 a,b ∈S,a*b=a+b+ab 明
<S,*> 是否构成群。