离散数学习题

第一章习题1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。

（1）2是无理数。

（2）5能被2整除。

（3）现在开会吗？（4）x+5>0（5）这朵花真是好看！（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。

（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。

（8）2000年10月1日天气晴好。

（9）太阳系以外的星球上有生物。

（10）小李在宿舍里。

（11）全体起立。

（12）4是2的倍数或是3的倍数。

（13）4是偶数且是奇数。

（14）李明和王华是同学。

（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。

1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。

1.3判断下列各命题的真值。

（1）若2+2=4，则3+3=6；（2）若2+2=4，则3+3≠6；（3）若2+2≠=4，则3+3=6；（4）若2+2≠=4，则3+3≠=6；（5）2+2=4，当且仅当3+3=6；（6）2+2=4，当且仅当3+3≠6；（7）2+2≠4，当且仅当3+3=6；（8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6；1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。

（1）如果今天是1号，则明天是2号；（2）如果今天是1号，则明天是3号；1.5将下列命题符号化。

（1）2是偶数不是素数；（2）小王不但聪明而且用功；（3）虽然天气冷。

老王还是来了；（4）他一边吃饭，一边看电视；（5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来；（6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来；（7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来；（8）不经一事，不长一智；1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r);（2）(p↔r)∧(⌝p∨s);（3）（p∧(q∨r)→((p∨q)∧(r∧s);(4)⌝(p∨(q→r∧⌝p)))→(r∨⌝s);设p：2+3=5。

q：大熊猫产在中国。

r：复旦大学在广州。

求下列复合命题的真值：（1）(p q)→r（2）(r→(p∧q))┐p （3）┐r→(┐p∨┐q∨r)（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)．用真值表判断下列公式的类型：方法不限。

（1）p→(p∨q∨r)（2）(p→┐q)→┐q（3）┐(q→r)∧r（4）(p→q)→(┐q→┐p)（5）(p∧r)(┐p∧┐q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)（7）(p→q)(rs)1.8用等值演算法证明下列等值式。

(1)(p∧q)∧(p∧⌝q)⇔p;(2)((p→q)∧(p→r))⇔(p→(q∧r));(3)⌝(p↔q)⇔(q∨p)∧⌝(p∧q))1.9设 A,B,C 为任意的命题公式。

(1)已知A∨C⇔B∨C,问A⇔B吗？(2)已知A∧C⇔B∧C,问A⇔B吗？(3)已知⌝A⇔⌝B, 问A⇔B吗？求下列命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值。

1(()();2()();3();p q v p q r p q q p p q q r ∨∧→∧∧⌝→→⌝∨⌝→∧∧（）（）（）通过求主析取范式判断下列各组命题公式是不是等值。

();2();2;2;p q r q p r p q p q →→→→↑↓（1）1，，（）1，，有一探测队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人的判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；已说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验鉴定后发现，其中一人两个判断是正确的，一个人判断对一半，一个人的判断全错了，根据以上的情况判断矿样的种类。

判断下列的推理是不是正确，先将命题符号化，在写出前提和结论，然后在进行判断。

（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天是1号，所以明天是5号。

（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天是5号，所以今天是1号。

（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。

（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天不是1号，所以明天不是5号。

构造下面的推理的证明。

(),,..(2)34p p q q r r p ⌝∧⌝⌝∨⌝⌝→→∨⌝→→→∧→↔↔∧∧∧∧（1）前提：结论：前提：p (q s),q,p r;结论：r s.（）前提：p q.结论：p (p q)（）前提：q p,q s,s t,t r.结论：p q r s.如果他是理科学生，他必学好数学，如果他不是文科学生，他必是理科学生，他没有学好数学，所以他不是文科学生。

判断上面的推理是不是正确，并且证明你的结论。

给定命题公式如下；上述公式的成真赋值A ，成假赋值为B ，公式的类型为C 。

供选择的答案:① 无 ② 全体赋值 ③ 010，100，101，111 ④010，100，101，110，111 B: ① 无 ② 全体赋值 ③000，001，011， ④000，010，110C: ①重言式 ②矛盾式 ③ 可满足式给定命题公式如下；上述公式的主析取范式中含的极小项的个数为A ，主合取范式含的极大项的个数为B ，成真值的赋值为C供选择的答案A ① 2 ② 3 ③ 5 ④ 0 ⑤ 8B ① 0 ② 8 ③ 5 ④ 3C ① 000,001,110; ②001,011,101,110,111; ③全体赋值 ④ 无给定下列三组前提。

(),,(2)(),,(3),,p q q r rp q r r s sp q q r r s ⌝∧⌝⌝∨⌝∧→⌝∨⌝⌝∨⌝∨→(1)上述前提中，（1）的逻辑结论（有效结论）为A ，（2）的逻辑结论为B ，（3）的逻辑结论C 。

供选择的答案A,B,C:① r ② q ③p ⌝ ④ s ⑤p q ⌝∨⌝ ⑥p s → ⑦p q ∧设计一个符合下列要求的室类照明控制的线路，在房间的门外、门类及其床头分别装一个可以控制同一个电灯F 的3个开关A,B,C, 当且仅当一个开关的搬键向上或3 个开关的搬键都向上时候电灯亮，则F 的逻辑关系式可以化简为A 供选择的答案A:① A B C ∨∨ ②()A B C A B C ∨∨∨∧∧．某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C 。

已知在且仅在下述四种情况下灯亮：（1）C 的扳键向上，A,B 的扳键向下。

（2）A 的扳键向上，B,C 的扳键向下。

（3）B,C 的扳键向上，A 的扳键向下。

（4）A,B 的扳键向上，C 的扳键向下。

设F 为1表示灯亮，p,q,r 分别表示A,B,C 的扳键向上。

（a ）求F 的主析取范式。

（b ）在联结词完备集{┐,∧}上构造F.（c ）在联结词完备集{┐,→,}上构造F. ．一个排队线路，输入为A,B,C ，其输出分别为F A ,F B ,F C 。

本线路中，在同一时间内只能有一个信号通过，若同时有两个和两个以上信号申请输出时，则按A,B,C 的顺序输出。

写出F A ,F B ,F C 在联结词完备集{┐,∨}中的表达式。

第二章习题在一阶逻辑中将下列命题符号化.（1）鸟都会飞翔.（2）并不是所有人都爱吃糖.（3）有人爱看小说.（4）没有不爱看电影的人.在一阶逻辑中将下列命题符号化，并指出个命题的真值.个体域分别为 （a ）自然数集合N （N 中含O ）.（b ）整数集合Z.（c ）实数集合R.（1）对于任意的x ，均由()22121x x x +=++(2 )存在x ，使得x+2=0.(3 ) 存在x ，使得5x=1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.（1）每个大学生不是文科生就是理科生.（2）有些人喜欢所有的花.（3）没有不犯错误的人.（4）在北京工作的人未必就是北京人.（5）任何金属都可以溶解在某种液体中.（6）凡对顶角都相等. 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x ，均有x 2-2=(x+)(x-)。

（2）存在x ，使得x+5=9。

其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。

将下列各式翻译成自然语言，然后再不同领域中却定它们的真值.(1)(.0)(2)(.0)(3)(.1)(4)(.1)(5)(.)(6)(.)(7)()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x x y z x y z ∀∃=∃∀=∀∃=∃∀=∀∃=∃∀=∀∀∃-=个体域分别为（a ）实数集合(b)整数集合(c)正整数集合(d)（非0 实数集合）设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1)xy(F(x)∧G(y))(2)xy(F(x)∨G(y)) (3)xF(x)→yG(y) (4)x(F(x,y)→yG(y))．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。

(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∧G(x)．给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4}。

(b) (x)为(3)=4，(4)=3。

(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。

试求下列公式在I下的真值：(1)xyF(x,y) (2)xyF(x,y) (3)xy(F(x,y)→F(f(x),f(y))．在自然推理系统F中构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)结论：x(F(x)∧R(x))(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)结论：xF(x)．在自然推理系统F 中，证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。

(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。

(1) 试给出解释，使得(()())(()())x F x G x x F x G x ∀→∀∧与在下具有不同的真值（2）试给出解释，使得(()())(()())x F x G x x F x G x ∃∧∃→与在下具有不同的真值给出解释，使下面的两个公式在解释下面为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式（用真式）(1)(()())(()())(2)(()())(()())x F x G x xF x xG x xF x xG x x F x G x ∀∨→∀∨∀∃∧∃→∃∧ 设个体域，在D=｛a,b,c ｝下D 验证量词否定等值式(1)()()(2)()()xA x x A x xA x x A x ⌝∀⇔∃⌝⌝∃⇔∀⌝ 2.14在一阶逻辑中将下面的命符号化，并且要求只能使用全称量词（1）没有人长绿色的头发（2）有的北京人没有去过香山设个体域，在D=｛a,b,c ｝,消去下列公式中的量词。

∀→∃∀∧∃∃∀（1）xF(x)yG(y)(2)x(F(x)yG(y))(3)y xH(x,y)求下列各式的前束范式，要求使用自由变换换名规则。