离散数学习题
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学期末复习习题
离散数学一、选择题1△O Y C3A^Q un ㊉iv1.设：P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事，命题“张三或李四都可以做这件事”的符号化为()A、PVQB、PVi QC、P—QD、-P V -Q2.谓词公式V x(P(x)V m yR(y))fQ(x)中量词V x的作用域是()A. V x(P(x) V3yR(y))B.P(x)C. (P(x) V3yR(y)) D,P(x), Q(x)3.若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？()A. V x 3y(x+y=0)B. 3y V x(x+y=0)C. V x V y(x+y=0)D. n 3x 3y(x+y=0)4.空集①的幂集P (①)的基数是()A. 1B.2C.3D.45.设R、S是集合A上的任意关系，则下面命题是真命题的是()。
A.若R、S是自反的，则R・S是自反的B.若R、S是反自反的，则R・S是反自反的C.若R、S是对称的，则R・S是对称的D.若R、S是传递的，则R・S是传递的6.集合 A={1, 2,…，10}上的关系 R={(x, y)|x+y=10 且x, y£A},则 R 的性质为()A.自反的B.对称的C.传递的，对称的口.非自反的，传递的7.含有5个结点，3条边的不同构的简单图有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.设G (n, m),且G中每个结点的度数不是K就是K+1,则G中度数为K的结点数()A.2/nB.n(n+1)C.nkD.n(k+1)-2m9.设谓词P(x) :x是奇数，Q(x):x是偶数，谓词公式m(x) (P(x) AQ(x))在下面哪个论域中是可满足的。
()A自然数集 B整数集 C实数集 D以上均不成立10.设C(x)： x是运动员，G(x)： x是强壮的。
命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为()A. n V x(C(x) A n G(x))B. iV xOx) — G(x))C. _|m x(C(x)A_|G(x))D. im x(C(x) - 1 G(x))11.设集合 M={x|f (x) =0}, N={x|g (x) =0},则方程 f (x)・g (x) =0 的解集是()A.MANB.MUNC.M ㊉ ND.M-N12.设A=/"a}},下列选项错误的是()A. {a} e p(A)B. {a}U p(A)C. {{a}} e p(A)D. {{a}} e p(A)13.设A={1,2,3,4,5},p{<i,j>|i<j,i,j £ A}则 p 逆的性质是()A.对称的B.自反的C.反对称的D.反自反，反对称，传递的14.设R和S是集合A上的等级关系，则RUS的对称性()A. 一定成立B.一定不成立C.不一定成立D.不可能成立15. K4中含有3条边的不同构生成子图有()A.1个B.3个C.4个D.2个16.设G=<V,E>为无向图，u,v £V，若u,v连通，则()A.d(u,v)>0B.d(u,v)=0C.d(u,v)<0D.d(u,v)三0二、填空题1.命题公式I(P-Q)的主析取范式为()，主合取式的编码表示为().2.设Q(x)： x是奇数，Z(x)： x是整数，则语句“不是所有整数都是奇数”所对应的谓词公式为()。
《离散数学》练习题和参考答案
《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PQ→⌝（2）QP⌝→（3）QP⌝↔（4）QP→⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题
离散数学练习题1、图中度为零的结点称为孤立结点。
A. 正确B. 错误正确：【A】2、域是整环。
A. 正确B. 错误正确：【A】3、有限格都是有界格。
A. 正确B. 错误正确：【A】4、连通且不含圈的图称为树。
A. 正确B. 错误正确：【A】5、“如果1+1≠3，则2+2≠4”是真命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】6、无向图G为欧拉图，则G是连通的。
A. 正确B. 错误正确：【A】7、若A和B都是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A<->B)都是谓词公式。
A. 正确B. 错误8、设A, B, C是命题公式，则AVBV﹁C 也是命题公式。
A. 正确B. 错误正确：【A】9、设〈L，≤〉是格，则格的交∧和并∨运算满足等幂律。
A. 正确B. 错误正确：【A】10、“x+3>1。
”是命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】11、半群满足交换律。
A. 正确B. 错误正确：【B】12、在任何图中，奇数度的结点数必是偶数。
A. 正确B. 错误正确：【A】13、在格〈L，∨，∧〉中，如果交运算对并运算是可分配的，则并运算对交运算也是可分配的。
A. 正确B. 错误正确：【A】14、完全图Kn没有割集，它的连通性能是最好的。
A. 正确B. 错误15、对任意集合A，都有∅⊆A。
A. 正确B. 错误正确：【A】17、强连通图一定是单向连通图。
A. 正确B. 错误正确：【A】18、代数系统〈G，∘〉为群的条件是存在零元素。
A. 正确B. 错误正确：【B】19、对应日常生活中的“任意的”，“所有的”，“一切的”等词，用符号“任意”表示。
A. 正确B. 错误正确：【A】20、如果a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∉A。
A. 正确B. 错误正确：【B】21、A,B是集合,P（A），P（B）为其幂集,且,则P(A)∩P(B)为（）A. B.C. D.正确：【B】22、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0}，则方程f1(x)•f2(x)=0的解为（）A. M∩NB. M∪NC. MND. M-N正确：【B】23、设集合A={1，2，3}，下列关系R中不是等价关系的是（）A. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 正确：【C】24、设<A，?，*>是环，则下列说法不正确的是（）A. <A，?>是交换群B. <A，*>是半群C. *对?是可分配的D. ?对*是可分配的正确：【D】25、平面图(如下)的三个面的次数分别是（）A. 11，3，4B. 11，3，5C. 12，3，6D. 10，4，3正确：【A】26、下列命题正确的是（）A. {l，2} {{1，2}，{l，2，3}，1}B. {1，2} {1，{l，2}，{l，2，3}，2}C. {1，2} {{1}，{2}，{1，2}}D. {1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}}正确：【B】27、设D的结点数大于1，D=<V,E>是强连通图，当且仅当（）A. D中至少有一条通路B. D中至少有一条回路C. D中有通过每个结点至少一次的通路D. D中有通过每个结点至少一次的回路正确：【D】28、下列等价式正确的是（）A. ┐┐AB.C. ┐┐AD.正确：【C】29、设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（）A. PQB. PQC. QPD. Q=P正确：【C】30、设，则有（）A. B.C. D.正确：【C】31、下列各图中既是欧拉图，又是汉密尔顿图的是（）A. B.C. D.正确：【C】32、无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且（）A. G中各顶点的度数均相等B. G中各顶点的度数之和为偶数C. G中各顶点的度数均为偶数D. G中各顶点的度数均为奇数正确：【C】33、下列式子正确的是（）A. （A－B）－C = A－（B∪C）B. A－（B∪C）=（A－B）∪CC. ~（A－B）= ~（B－A）D.正确：【A】34、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足D. 公式p∧q正确：【B】35、设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（）A. ┐P∧QB. ┐P→QC. ┐P→┐QD. P→┐Q正确：【C】36、集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y ∈A}，则R的性质是（）A. 自反的B. 对称的C. 传递的、对称的D. 反自反的、传递的正确：【B】37、设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（）A. R={<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>}B. R={<a,c>,<c,a>}C. R={<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>}D. R={<a,a>}正确：【D】38、下列等价式不正确的是（）A. B.C. D.正确：【A】39、设M（x）：x是人；F（x）：x要吃饭。
离散数学习题
习题一
一、 将下列命题符号化： 1、蓝色和黄色可以调配成绿色。 2、蓝色和黄色都是常用的颜色。 3、 2和 5 之和是无理数。 4、 2和 5 都是有理数。 5、小丽一边吃苹果，一边看电视。 6、王大力不仅是百米冠军，而且是 500 米冠军。 7、李冰只能选学英语或只能选学法语。 8、种瓜得瓜，种豆得豆。 9、经一事，长一智，并且不经一事，不长一智。 10、 经一事，长一智，并且不长一智，不经一事。 11、 李和平是山西人或陕西人。 12、 王小红虽然没上过大学，但她自学成才。 二、 求复合命题的真值： 设 p：4 是素数，q：南京在北京的北边，r：苹果树是落叶乔木。
五、在有限个体域内消去公式中的量词：
个体域 D a,b, c
1、 xF x yGy 2、 xyFx Gy
3、 xFx yGy H y 个体域 D 1,2,3,4。
六、求前束范式：
习题二
2、若 2 是素数，则 4 不是素数。
4、除非 6 是素数，否则 4 是素数。
七、求主析取范式和主合取范式，成真赋值和成假赋值：
1、 p q r q p r 2、 p q r q 3、 p q r p q r 4、 p q q p 5、 p q p q q p
结论：r s
2、 前提： p q r, r s, s p
结论：q
3、 前提：p q r , s p, q
结论：s r
4、 前提：p r, p q, q s
结论：r s
前提：p r, p q 5、
离散数学习题
离散数学习题集合论1.A={?,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。
2.A={1,2,3,4,5},R={(x,y)|x3.A={a,b,c},R={(a,a),(b,a)},求R-1,R2,R-I A,I A-R,r(R),s(R),t(R),st(R),ts(R)。
4.A={a,b,c},R= I A∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的等价类。
5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。
6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。
①如果A∪B?C，则A?C或者B?C。
②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。
7.如果R是A上的等价关系，R2,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。
8.已知A∩C?B∩C,A-C?B-C,证明：A?B。
9.证明：A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)10.证明：P(A)∪P(B)?P(A∪B)11.证明：R[sym] iff R=R-112.证明：r(R)=R∪I A,S(R)=R∪R-1,t(R)=R∪R2∪...13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。
15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I上的等价关系。
16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。
17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。
18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。
19.f:A→B，R是B上的等价关系，令S={|x∈A且y∈A且∈R}，证明：S是A上的等价关系。
20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学-习题集
离散数学-习题集《离散数学》习题集第⼀部分判断题⼀、第⼀章—集合1、（）已知集合A的元素个数为10，则集合A的幂集的基=102。
2、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
2、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
3、( ) 已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B={Ф}。
4、（）已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B=Ф。
5、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
6、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
7、（）已知集合A的元素个数为n，则A×A的幂集的元素个数为n2。
8、（）已知两个集合A、B，则A-B是由属于B但不属于A的元素构成的集合。
⼆、第⼆章—⼆元关系1、（）若R是A上的⼆元关系，I A是A上的恒等关系，则当且仅当I A∈R时，R是A上的⾃反关系。
2、（√）若R是集合A上的⼆元关系，且当（a，b）∈R且（a，c）∈R时，就有（b，c）∈R，则R是A 上的可传递关系。
3、（）设A是集合，A1、A2、．．．A n都是A的⾮空⼦集，令S={A1，A2，．．．,A n}，则如果S是集合A的⼀个划分，那么S⼀定是集合A的⼀个完全覆盖；反之亦然。
5、（）R是⾮空集合A上的等价⼆元关系，则A关于R的商集A/R是集合A的⼀个划分，但不是A的⼀个完全覆盖。
6、（）已知集合A有4元素，易知集合A共有24个互不相同的⼦集合，所以在集合A上⼀共可定义24个互不相同的⼆元关系。
7、（）若R1和R2都是集合A上的可传递⼆元关系，则R1∪R2也是A上的传递关系。
8、（）设R是有限的⾮空集合A上的偏序关系，则A必有极⼤（⼩）元和最⼤（⼩）元。
9、（）若R1和R2都是集合A上的相容关系，则R1∩R2也是A上的相容关系。
10、（）若R1和R2都是集合A的可传递⼆元关系，则R1∩R2也是A上的传递关系。
《离散数学》练习题
第二部分:.集合1.若集合A 上的关系R 是对称的，则1R -也是对称的。
( )2.数集合上的不等关系()≠可确定A 的一个划分。
( )3.设A ，B ，C 为任意集合，若A B A C ⨯=⨯，则 B C =。
( )4.函数的复合运算“。
”满足结合律。
( )5.A ，B ，C 为任意集合，若 A B A C ⋃=⋃ 则B C =。
( )6.设R 是实数集，R 上的关系R (){},2,,x y x y x y R =-<∈，则R 是相容关系。
() 7.设,A ≤是偏序集，B A ⊆，则B 的极大元b B ∈且唯一。
( )8.设{}1,2A =，{}B a =，则()222A B A B ⋃⋃=。
（注 其中 2A 为()A ϕ） ( )9.设 {}0,1A =，{}1,2B =， 则{}20,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0,2A B ⨯=。
( )10.集合A 上的恒等关系是一个双射函数。
( )11.设A ，B 为任意集合，不能A B ⊂ 且A B ∈。
( )12.设R 是集合A 上的关系，若12,R R 是对称的， 则 12R R 也是对称的。
( )1. 设A ＝{}∅，B ＝(())P P A ，下列各式中哪个是错的 ( )A. B ∅⊆B. {}B ∅⊆C. {{}}B ∅∈D. {,{}}()P A ∅∅⊆2. 设Z 为整数集，下面哪个序偶不构成偏序集 ( )A. Z,<〈〉 (<：小于关系)B. Z,〈≤〉 (≤：小于等于)C. Z,=〈〉 (＝：等于关系)D. Z,|〈〉 (|：整除关系)3. 设集合{}4,3,2,1=A ，A 上的二元关系{},4,3,4,2,3,2,1,1=R则R 具有 ( )A.自反性B.对称性C.传递性D. 以上答案都不对4. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 （ ）A.{}{}{}d c b a ,,,,ΦB. {}{}d c b a ,,,C. {}{}{}{}d a c b a ,,,,D. {}{}{}c b a ,,5. 设A ＝∅，B={∅,{∅}}，则B A -是 ( )A. {{∅}}B. {∅}C. {∅,{∅}}D. ∅6. 下图描述的偏序集中，子集{b,e,f}的上界为 ( )A. b,cB. a,bC. bD. a,b,c7. 设集合{}{}ΦΦ=,A , 则A 的幂集为： ( )A. {}{}ΦΦ, B. {}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, C. {}{}{}{}ΦΦΦ,, D. {}{}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, 8. 若Q P Q P ⋃=⋂, 则P, Q 要满足的条件为 （ ）A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. Q 为空集D. P=Q``````````````````````````````9. 在０ ∅之间应填入的符号为 ( )A. ＝B. ⊂C. ∈D. ∉10. 设,A 〈≤〉是偏序集，B A ⊆，下面结论正确的是 ( )A. B 的极大元b B ∈且唯一B. B 的极大元b A ∈且不唯一C. B 的上界b B ∈且不唯一D. B 的上确界b A ∈且唯一11. 集合{}4,3,2,1=I , I 上的关系 R={4,43,44,1,3,3,3,2,23,1,1,1，则R 是 （ ）A. 反对称的B. 传递的C.反自反的D. 自反的12. 设S A B ⊆⨯，下列各式中哪个是正确的 ( )A. domS B ⊆B. domS A ⊆C. ranS A ⊆D. domS ranS S ⋃=13. 设A ＝｛1,2,3,4,5｝，下面哪个集合等于A ( )A. ｛1,2,3,4,5,6｝B. {x |x 是整数且225x ≤}C. {x |x 是正整数且5x ≤}D. {x |x 是正有理数且5x ≤}14. 设A ＝｛｛1,2,3｝,{4,5},{6,7,8}｝，下列各式中哪个是错的 ( )A. A ∅⊆B. {6,7,8}A ∈C. {{4,5}}A ⊂D. {1,2,3}A ⊂15. 设集合X ≠∅，则空关系X ∅不具备的性质是 ( )A. 自反性B. 反自反性C. 对称性D. 传递性``````````````````````````````````````````````16. 集合A 的一个划分，确定A 的元素间的关系为 ( )A. 全序关系B. 等价关系C. 偏序关系D. 拟序关系17. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 ( )(A) {}{}{}d c b a ,,,,Φ (B){}{}d c b a ,,, (C) {}{}{}{}d a c b a ,,,, (D) {}{}{}c b a ,,18. 设集合A ＝{0, b }, B ={1, b , 3}, 则A ⋃B 上的恒等关系是 ( )(A) {<0, 0>, <1, 1>, <3, 3>} (B){<0, 0>, <1, 1>, <b , b >,<3, 3>}(C) {<1, 1>, <b , b >, <3, 3>} (D) {<0, 1>,<1, b > , <b , 3>, <3, 0>}19. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}20. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B21. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅22. 集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是 ( )A. 并集A RB. 交集A RC. 差集A R -D. 商集/A R23. 设1R 和2R 是集合A 上的任意关系，则下列命题为真的是 ( )A. 若1R 和2R 是自反的，则12R R 也是自反的B. 若1R 和2R 是反自反的，则12R R 也是反自反的C. 若1R 和2R 是对称的，则12R R 也是对称的D. 若1R 和2R 是传递的，则12R R 真也是传递的24. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}25. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B26. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅27. 集合A 上的关系R 是相容关系的必要条件是 ( )A. 自反的，反对称的B. 反自反的，对称的C. 传递的，自反的D. 自反的，对称的28. 集合{1,2,,10}A = 上的关系R={x,y |x+y=10 x,y }A ∈且则R 的性质为 ( )A. 自反的B. 对称的C. 传递的，对称的D. 反自反的，传递的29. 下面关于集合的表示中，正确的是 ( )A. 0φ=B. {}φφ∈C. φφ∈D. {,}a b φ∈30. 设{}c b a A ,,=，{}2,1=B ，则从A 到B 的所有函数集合中有 个函数。
离散数学练习题及答案
一、填空题1、集合的表示方法有两种： 法和 法。
请把“奇整数集合”表示出来{ }。
1、列举；描述；}12|{Z k k x x ∈+=，2、无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是不含有奇数度结点.2*、连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是D 中每个结点的入度＝出度. 3、设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是 、自反性、对称性、传递性.4、有限图G 是树的一个等价定义是：连通无回路（或任一等价定义）.5、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))6、在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为 、结点v i 的出度和结点v j 的入度． 7、设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么命题B A ↔是重言式的真值是 1 ．8、命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为P ∧⌝Q ．9、 设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若V '=V ,E '⊆E ，则G '是G 的生成子图. E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或 10、在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri ir 1)deg(＝2∣E ∣,其中r i(i =1,2,…,r )是G 的面．11、设}2,1{},,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是11、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，2），（b ，1）}12、表达式∀x ∃yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c }，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 12、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 12*、设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为 (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))13、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 14、设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )= R ⋂S15、设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是2=-+e r v16、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和≥n ，则G 一定是哈密顿图. 17、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 ，称为树根，称为树叶. 若有向图T 恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；出度为0的结点.18、图的通路中边的数目称为 . 结点不重复的通路是 通路. 边不重复的通路是 通路. 通路长度；初级；简单. 19、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。
离散数学习题+答案
1. (单选题) 一棵无向树的顶点数n与边数m关系是。
( B)(本题2.0分)A、n =mB、m=n-1C、n =m -1D、不能确定2. (单选题) 设G是有n个结点m条边的连通平面图,且有k个面,则k等于。
( A)(本题2.0分)A、m-n+2B、n-m-2C、n+m-2D、m+n+2。
3. (单选题) 有n个结点的树,其结点度数之和是(A )。
(本题2.0分)A、2n-2B、n-2C、n-1D、2n。
4. (单选题) A={a,b},B={c},则A B=(D )。
(本题2.0分)A、{a}B、{b}C、{a,c}D、{a,b,c}。
5. (单选题) 设A={a, b},则P (A)= (D )。
(本题2.0分)A、{a}B、{{a},{b}}C、{{a},{b},{a,b}}D、{,{a},{b},{a,b}6. (单选题) 公式yP(y)∧x(R(x)→Q(x))中,y约束出现了次(B )。
(本题2.0分)B、 1.0C、 2.0D、3。
7. (单选题) 设A={a},B={0,1},求A×B=(A )。
(本题2.0分)A、{<a,0 style="box-sizing: border-box;">,<a,1 style="box-sizing:border-box;">}B、{<a,0 style="box-sizing: border-box;">}C、{,<a,1 style="box-sizing: border-box;">}D、{<0,a >,<1,a >}8. (单选题) 下图中结点V3的出度是(B )。
(本题2.0分)B、 1.0C、 2.0D、 3.09. (单选题) 下面给出的集合中,哪一个不是前缀码( C)。
离散数学习题
第一篇 绪论内容：（三句话）典型题例：1、离散数学是计算机科学所涉及的 和 的总称。
2、离散数学是数学中的一个分支，它以 作为其主要研究对象，非常重视 问题的研究。
3、要解决一个问题，首先要证明此问题解的 ，还需要找出得到此问题的步骤来，而且其步骤必须是 ，有规则的，这就是所谓“能行性”问题的研究。
第二篇 集合论内容：典型题例：1、设集合{}{}2,4,3,a B =，那么下列命题中正确的是 。
A 、B a ∈ B 、{}{}B a ⊆4,3,,2C 、{}B a ⊆D 、{}B ⊆φ2、设A ，B 是集合，如果{}}}2,1{,1{,1==B A ，则 。
A 、B A B A ⊆∈且 B 、B A B A ⊄∈但C 、B A B A ⊆∉且D 、B A B A ⊄∉且3、设集合{}{}4,3,,2a A =，那么下列命题中错误的是＿＿＿。
A 、{}A a ∈ B 、{}{}A a ⊆3,4, C 、{}A a ⊆ D 、A ⊆φ 4、设集合{}Zx x x A ∈<=,3，{}Z k k x x B ∈==,2，{}5,4,3,2,1=C ,则=-+)(B C A 。
A 、{}5,3,1 B 、{}6,4,2 C 、{}8,7,6,0 D 、{}8,7,6,4,2,05、设{}4,3,2,1=A ，{}9,6,4,2=B ，那么集合A ，B 的对称差A+B= 。
A 、{}3,1 B 、{}6,4,2 C 、{}9,6,3,1 D 、{}9,6,4,3,2,1 6、集合{}e d c b a X ,,,,=，X 上的一个划分{}}}{,{},,{e d c b a =π，那么π所对应的等价关系R 应有有 个序偶。
A 、8B 、9C 、10D 、13 7、设集合{}3,2,1=B 上的二元关系{})3,3(),1,1(=R ，则R 不具有＿＿＿。
A 、传递性B 、自反性C 、对称性D 、反对称性8、设集合{}4,3,2,1=X ，X 上的关系{})4,3(),4,2(),3.2(),1,1(=R ，则R 具有 。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
离散数学习题
习 题 一一、 将下列命题符号化：1、蓝色和黄色可以调配成绿色。
2、蓝色和黄色都是常用的颜色。
3、52和之和是无理数。
4、52和都是有理数。
5、小丽一边吃苹果，一边看电视。
6、王大力不仅是百米冠军，而且是500米冠军。
7、李冰只能选学英语或只能选学法语。
8、种瓜得瓜，种豆得豆。
9、经一事，长一智，并且不经一事，不长一智。
10、 经一事，长一智，并且不长一智，不经一事。
11、 李和平是山西人或陕西人。
12、 王小红虽然没上过大学，但她自学成才。
二、 求复合命题的真值：设p ：4是素数，q ：南京在北京的北边，r ：苹果树是落叶乔木。
1、()r q p ⌝∧∧⌝2、()()r p q p ↔→∧⌝3、()()q p q p ⌝↔⌝∨↔三、求下列公式的成真赋值和成假赋值：1、()r q p ⌝∧∧⌝2、()()r p q p ↔→∧⌝3、()()q p q p ∧⌝∨⌝∧四、判断公式的类型：1、()p q r p →⌝∧∧2、()()()r p q q p ∨⌝→⌝→→3、()()r p q p →↔→4、()()()()()r q p q p q p ∨∧⌝∨⌝∧→↔⌝5、()()r q r p ↔→⌝↔6、()()()q r p q p ∧∧→⌝∧五、将下列复合命题符号化，并求真值：1、若π是无理数，自然对数的底e 也是无理数。
只有3是偶数，4才是素数。
2是无理数，仅当5不是无理数。
5是无理数。
2、若2和3都是素数，则5是奇数。
2是素数，3也是素数，所以5或6是奇数。
3、设x y 2=，x 为实数。
推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。
六、用等值演算法证明：1、()1⇔∨⌝∨→r q p p2、()()()()1⇔∧⌝∨⌝∧↔↔⌝q p q p q p3、()()0⇔→⌝∧∨⌝q p q p4、()()()q p q p q p ↔⌝⇔∧⌝∧∨5、()()r q p r p q →∧⇔→→6、()()()()()()r p q r q p r q p q p ∧⌝∨∧∧∨⇔∧∧⌝∨∧七、求主析取范式和主合取范式，成真赋值和成假赋值：()()()()()()()()()()()()()()()()()q p p q q p q p p q q p r q p r q p q r q p r p q r q p ↔→↔→∧∨⌝→⌝∨→⌝⌝⌝∧⌝∨∧∧→→⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∧∨、、、、、、654321 八、将已知的命题公式等值地化成给定的联结词完备集中的公式： (){}()}{()}{()}{}{(){}中的公式。
《离散数学》期末练习题考试卷和答案
a , b, c , d , e, f , g，那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g ， A 上有一个划分
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
26. 一个（
）称为布尔代数。
27．P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28．设集合 A a , b , c , d ， R 是 A 上的二元关系，且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c ， 则 R 的传递闭包 t R 。
C． x x是正整数, x 5
D． x x是有理数, x 5
。
6．下面有关集合之间的包含和属于关系的说法，正确的是 Ⅰ． Ⅲ．
Ⅱ． , ,
Ⅳ．
a, b a, b, a, b
B．Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1．设 A 为非空集合，且 A n ，则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时， P Q 的真值为 1。 ， A 上不同的映射的个数
2．设 P 、 Q 为两个命题，当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号，使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时， K n n 3 必为欧拉图。
离散数学练习题
离散数学练习题Chapter 1 集合、映射与运算1. 下列集合运算的结果中与其余三个不同的是（）.（A ）{}ΦΦ（B ）{}{}ΦΦ（C ）{}{}{}Φ-ΦΦ, （D ）{}{}{}{}Φ-ΦΦ, 2. 设A 为⾮空集合,则下列各式中正确的是（）.（A ）)(A P A ? （B ）)(A P A ? （C ）{})(A P A ∈（D ）{})(A P A ? 3. ( )是错误的.（A ）{}{}{}a a ∈（B ）{}{}{}a a a ,∈（C ）{}{}{}a a a ,? （D ）{}{}{}a a ? 4. 设{}{}a a A ,=,下列各式中错误的是（）.（A ）{}()A P a ∈（B ）{}()A P a ? （C ）{}{}()A P a ∈（D ）{}{}()A P a ? 5. 设{})(,A P B A =Φ=,则A B -是（）. （A ）Φ（B ）{}Φ（C ）{}{}Φ（D ）{}{}ΦΦ, 6. 对任⼀集合A ,能成⽴的是（）.（A ）)(A P A ∈（B ）{})(A P A ∈（C ）Φ-∈A A （D ）Φ⊕∈A A 7. 证明a) A C B A C A B -=--)()()( b) )()()(C B C A C B A ---=-- c) ()()()C A B A C B A -=-- 8. 下列等式说明集合A,B 有何关系? a) A B A =b) A B A =c)A B A =-d) A B B A =e) A B B A -=-9. 判断题.（1）设2N ,3N 分别为2,3的倍数集,则{}N N 3,2是N 的划分. （）（2）若{}A B B A -, 是B A 的⼀个划分,则Φ=-B A . （）（3）若Φ==B A B B A ,,则Φ=A . （）（4）若A B B A ?=?,则B A =. （）（5）设B A ,为任意集合,则有()()()B P A P B A P = （）（6）若Φ=-B A ,则B A =.（）10. 求1000~1中能被8,6,5之⼀整除的整数个数.11. 在校运会中,某班有10⼈,12⼈,8⼈分别参加了长跑,短跑和跳远,其中有6⼈三项全参加.已知该班共40⼈,问该班⾄少有多少⼈没有参加任何项⽬？12. 设}}{{5,2,1,4,3,2,1==B A ,求)()(B P A P ⊕.参考答案： 1-6：CDDBCA7. a) ()()()右左===A C B A C A B b)右=()()()()()()()C B A C C A B C A C B C A C B C A ====左c)左=()()()()()C A B A C B A C B A C B A ===-=右 8. a)A B ?, b)B A ?, c)Φ=B A , d)⽆, e)B A = 9.×√√××× 10. 20051000=, 16661000=,12581000=, 33651000=?,25851000=?,41241000=,81201000=??200+166+125-33-25-41+8=40011.40-(10+12+8-6-6-6+6)=2212.16Chapter 2 关系1. 设S R ,是集合A 上的等价关系,则是等价关系. （）（A ）R A A -? （B ）2R （C ）S R - （D ）()S R r -2. 设A 为某⼀⾮空集合,)(A P 为A 的幂集,在)()(A P A P ?上定义函数:f ()=21,S S f ()2121,S S S S ,)(,21A P S S ∈?,则f 是 .（）（A ）单射但不是满射（B ）满射但不是单射（C ）双射（D ）既⾮单射⼜⾮满射3. 集合A 上的关系21,R R 具有下列哪个性质,使21R R 也具有同样的性质？（）（A ）⾃反（B ）反⾃反（C ）对称（D ）传递4. 设4=A ,则A 上有个等价关系. （）（A ）11 （B ）14 （C ）15 （D ）175. 若A 上的函数f 满⾜A I f=2,则f 是双射. （） 6. 若A 上的函数f 满⾜A I f =3,则f 是双射. （） 7. 若集合A 上的关系21,R R 都是⾃反的,则21R R 也是⾃反的.（）8. 设n A =,则A 上有个关系,有个⾃反关系,有个函数,有个双射.9. 设集合{}c b a S ,,=,求S 上所有满⾜b a f =)(且f f=2的函数10. 已知(){}1,,,=-∈=i j I j i j i R ,求R 的三种闭包. 11. 设n A =,则A 上有多少商集的基数为2的等价关系？ 12. 设{}4,3,2,1=A ,在)(A P 上规定关系R 如下：(){}T S A P T S T S R =∈=),(,,,证明R 是)(A P 上的等价关系,并写出商集R A P /)(.13. +I 上的关系R 定义如下：21Rn n 当且仅当21/n n 能表⽰成m2的样⼦, m 是任⼀整数.（1）证明R 是⼀等价关系；（2）R 下的等价类是什么？参考答案：1 B2 D3 A4 C 5√ 6√ 7√ 8. ()!,,2,222n n n nnn -9.()()(){},,,,,,1b c b b b a f =()()(){}c c b b b a f ,,,,,2=10. (){}r R i j i j I j i or j i (),,,1=∈-==(){}s R i j i j I j i (),,,1=∈-=(){}t R i j i j I j i (),,,=∈>11.12)(211121-=++--n n n n n C C C 12. R 满⾜⾃反、对称、传递性,所以是等价关系；(){}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{4,3,2,1,4,3,2,4,3,1,4,2,1,3,2,1 ,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,4,3,2,1,/Φ=R A P13. （1）02/=n n ,所以⾃反;m m n n n n -=?=2/ 2/1221,所以对称；lm l m n n n n n n +=?==2/2/,2/313221, 所以传递,所以R 是等价关系（2）[]{}++∈-=I n n R I 12 /RChapter3 命题逻辑单项选择:1. 下列哪个语句是命题？（）（A ）⼈可以长⽣不⽼. （B ）真没劲！（C ）本命题为假. （D ）你吃过了吗？2. 下列语句中哪个是真命题？（）（A ）我在说假话. （B ）如果1+2=3,那么雪是⿊的.（C ）严禁吸烟！（D ）如果疑问句是命题,那么地球将停⽌转动. 3. 下⾯哪个公式不是永真式？（）（A ）()Q P Q ∨→（B ）()P Q P →∧（C ）()()Q P Q P ∨?∧?∧? （D ）()()Q P Q P ∨??→ 4. 下⾯哪个公式是永真式？（）（A ）R Q P ∨→（B ）()()R P Q P →∧∨（C ）()()R Q Q P ∨?∨（D ）()()Q P Q P ∨??→ 5. 是错误的. （）（A ）()P P Q P ∨∧= （B ）()()P Q R P Q R→→=∧→（C ）()()()P Q R Q P R Q →∧→=∨→（D ）()()P Q Q R P R →∧→=→填空题：1. 公式()()()R P Q Q P ∧?→??→可化简为 .2. 公式()()R P Q P P →∨→?∨可化简为 .3. 公式Q P ∨的仅⽤→和?表⽰的逻辑等值式为 .4. 公式Q P ∧的仅⽤→和?表⽰的逻辑等值式为 .计算或证明:1. 求下列公式类型：（1） )()(P Q Q P ?→?→→（2）)()(Q P Q p ∨?→? （北师⼤2000年考研试题）2. 给出真值表：(a) )()(Q P Q P ∧→∨ (b) )(R Q P ∨?→3. 形式证明：()()()E B S A B C F E C B A →??∧→?→?→∧→,,4. 形式证明：()()D C B A →∧→,E B →,F D →,()F E ∧?,C A → ? A ?.5. ⽤推理规则说明()C A C B B A ∧∧?→,,能否同时为真.6. 在某次研讨会的中间休息时间,3名与会者根据王教授的⼝⾳猜测他是哪⾥⼈：甲说王教授不是苏州⼈,是上海⼈；⼄说王教授不是上海⼈,是苏州⼈；丙说王教授既不是上海⼈,也不是杭州⼈.听完3⼈的判断后,王教授笑着说,3⼈中有⼀⼈说得全对,有⼀⼈说对了⼀半,另⼀⼈说得全不对.试⽤真值表⽅法判断王教授到底是哪⾥⼈？7. 公安⼈员审查⼀件盗窃案.已知的事实如下： (1) 甲或⼄盗窃了名画；(2) 若是甲盗窃了名画,则作案时间不可能在午夜前； (3) 若⼄的证词正确,则午夜时屋⾥灯光未灭； (4) 若⼄的证词不正确,则作案时间在午夜前； (5) 午夜时屋⾥灯光灭了,将各命题符号化,推断是谁盗窃了名画,并⽤形式⽅法证明推理的有效性.8. 将下⾯推理符号化并形式证明推理的有效性：如果甲努⼒⼯作,那么⼄或丙感到愉快；如果⼄愉快,那么甲不努⼒⼯作；如果丁愉快,那么丙不愉快；所以,如果甲努⼒⼯作,那么丁不愉快.参考答案：选择1-5: A D C D D 填空：1.()()()P Q Q P R R R 1→??→?∧=∧=；2. ()()R P Q P P →∨→?∨=()()R P Q P P →∨?∧∨()P P R P P R ()1=∨→=∨?∨= 3. P Q P Q ∨=?→4. P Q P Q P Q ()()∧=??∨?=?→?.计算证明：1．解（1）)()(P Q Q P ?→?→→=)()(P Q Q P ?∨→∨? =)()(P Q Q P ?∨∨?∧=)()(P Q Q P Q P ?∨∨?∧?∨∨=1 永真式(2) 若P 和 Q 都为真, 命题为假; 若P 和 Q 都为假, 命题为真, 因此为中性式. 3．证（1） B P(附加) （2） ()S A B ?∧→ P（3） S A ?∧ T （1）,（2）I （4） A T （3）I （5） ()C B A ∧→ P （6） C B ∧ T （4）,（5）I （7） C T （6）I （8） ()C F E ?→?→ P（9） ()F E ?→? T （7）,（8）I （10） ()F E ?∨?? T （9）E （11） F E ∧ T （10）E （12） E T （11）I（13） E B →CP 4．证(1) A P(附加) (2) ()()D C B A →∧→ P(3) B A → T(2)I (4) B T(1),(3)I (5) E B → P(6) E T(4),(5)I (7) C A → P(8) C T(1),(7)I (9) D C → T(2)I (9) DT(8),(9)I(10) F D → P(11) F T(9),(10)I (12) F E ∧ T(6),(11)I (13) ()F E ∧?P(14) ()()F E F E ∧?∧∧ T(12),(13)I 5．解（1）C A ∧ P（2）A T （1）I （3）B A → P（4）B T （2）,（3）I （5）C T （1）I（6）C B ∧ T （4）,（5）I （7）()C B ∧? P（8）()()C B C B ∧∧∧? T （6）,（7）I 所以不能同时为真. 6.解甲⼄丙是杭州⼈是苏州⼈是上海⼈01∧ 01∧ 01∧ 00∧ 11∧ 11∧ 11∧ 00∧ 10∧所以是上海⼈.7．解设：:P 甲盗窃了名画；:Q ⼄盗窃了名画；:R 作案时间在午夜前；:S ⼄的证词正确；:T 午夜时灯光灭了. T R S T S R P Q P , , , ,→??→?→∨证（1）TP（2）T S ?→ P（3）S ?T （1）,（2）I （4）R S →? P （5）R T （3）,（4）I（6）R P ?→P（7）P ?T （5）,（6）I （8）Q P ∨P（9）Q T （7）,（8）I 所以是⼄盗窃了名画.8．解设P ：甲努⼒⼯作；Q ：⼄感到愉快；R ：丙感到愉快；S ：丁感到愉快.S P R S P Q R Q P ?→??→?→∨→ , ,证：（1）PP(附加)（2）R Q P ∨→ P （3）R Q ∨ T （1）,（2）I（4）P Q ?→P（5）Q ?T （1）,（4）I （6）R T （3）,（5）I （7）R S ?→ P（8）S ?T （6）,（7）I（9）S P ?→CPChapter 5 群单项选择:1. 下列集合中, 对普通加法和普通乘法都封闭. （）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n∈22. 在⾃然数集N 上,下⾯哪种运算是可结合的？（）（A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3. 有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（）（A ）ba b a =*（B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4. 下列代数系统,哪个是独异点？（）（A ）()22,,b a b a R +=（B ）()333,,b a b a R +=**（C ）()max ,I （D ）()表⽰最⼤公约数GCD GCD I ,,+.5. 下列各个N 的⼦集,哪个关于加法封闭？（）（A ）{}整除的某次幂能被6x x （B ）{}互质与5x x（C ）{}的因⼦是30x x（D ）{}N n x x n∈=,26. 下列运算中,哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（）（A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*7. 运算*定义为： b a b a ?=*,则代数系统()*,R 是（）（A ）半群（B ）独异点（C ）群（D ）交换群 8. 设{}1,0=S ,则代数系统()?,S 是（）（A ）半群（B ）独异点（C ）群（D ）交换群 9. 具有多个幂等元的半群,它（）（A ）不能构成群（B ）不⼀定能构成群（C ）必能构成群（D ）能构成交换群10. 设实数集R 上的运算*定义为：x y x =*,则()*,R （）（A ）不是代数系统（B ）是半群,但不是独异点（C ）是独异点,但不是群（D ）是群.11. 运算*定义为:ab b a b a -+=*,则代数系统()*,Q 的单位元是（）（A ）a （B ）不存在（C ）1 （D ）012. 代数系统()*,R 中*表⽰普通乘法,下列映射中是R R →的⼀个⼦集的同态. （A ）2x x →（B ）x x 2→（C ）xx 2→（D ）x x -→是⾮题1. 设),(*S 是代数系统,S B ?,则()*,B 是),(*S 的⼦代数系统. （）2. 设),(*S 是代数系统,S a ∈,若a 的左、右逆元均存在,则必相等.（）3. 若代数系统的右零元存在,则必唯⼀. （）4. 若()()**,,,B A 都是群()*,G 的⼦群,则()*?,B A 也是()*,G 的⼦群.（）5. 设),(*S 是半群,若l θ是左零元,则对l x S x θ*∈?,仍是左零元.（）6. 设),(*S 为可交换独异点,{}x x x S x x T =*∈=,,则T 也是独异点.（） 7. 设),(*G 为独异点,若对,,e a a G a =*∈?有其中e 是单位元,则),(*G 是交换群.（）8. 除了单位元以外,⼀个群没有其他幂等元. （） 9. 设{}I n m G n m ∈=,23,则()?,G 是群. （）计算与证明1．设{}0-=*R R ,在R R ?*上定义运算*如下: ()()()d bc ac d c b a +=*,,,,()()R R d c b a ?∈?*,,,,证明: ()*?*,R R 构成群. 2. 设()*,G 是群,若对任意G x ∈,有x x=-1,则()*,G 是交换群.3. 设()*,A 是⼀个半群,且满⾜以下条件：A b a b a a b b a ∈?=?*=*,,,证明：（1）A a ∈?,有a a a =*；（2）A b a ∈?,,有a a b a =**；（3）A c b a ∈?,,,有c a c b a *=**.4. 设u 是群()*,G 中取定的元素,在G 中定义运算b u a b a **=-1: ,其中1-u 为u 在群()*,G 中的逆元.证明：() ,G 也是⼀个群.5. 设()*,G 是交换群,()()**,,,B A 是它的⼦群,{}B b A a b a ABC ∈∈*==,,证明：()*,C 也是()*,G 的⼦群.6. 设()*,1H ,()*,2H 是群()*,G 的两个互不包含的⼦群.证明:G 中存在元素既不属于1H ⼜不属于2H .参考答案CBDBADABABDA FFFTTTTTT1．证 (1) 运算*在R R ?*上封闭,所以()*?*,R R 构成代数系统； (2) ()()()()),(,),(,,f e d bc ac f e d c b a *+=**()()f de bce ace f e d bc ace ++=++=,)(,,()()()()f de ce b a f e d c b a +*=**,,),(),(,()f de bce ace ++=,,所以满⾜结合律；(3)单位元()0,1=e ； (4) ()??-=-a b a b a ,1,1综上所述, ()*?*,R R 构成群.2．证 ()()x y x y y x y x *=*=*=*---111,即*可交换.3．证（1）由结合律,()()a a a a a a a a a *=?**=**；（2）()()()()a b a a a a b a a a b a a b a a a b a a **=?***=***=***=***；（3）)()(c a c b a ****c b a c a c b a **=****=)()()()()(c b a c a c b a c a ****=****=, ? c a c b a *=**.4. 证由*的封闭性可以得到的封闭性,结合律显然,关于的⼳元为u ,a 关于的逆元为u a u **-1,其中1-a 为a 关于*的逆元.5. 证（1）C d c b a ∈**?,,即 B d b A c a ∈∈,,,,因为()()**,,,B A 是群,B d b A c a ∈*∈*, ,⽽*可交换, ()()()()()()C d b c a d b c a d c b a d c ∈***=***=***=***∴b a , 即*在C 中封闭;（2）C e e e ∈*= 所以C 有单位元;（3）()C b a a b b a ∈*=*=*-----11111,所以C 中的元素可逆; （4）*在C 中显然满⾜结合律 . 综上所述,()*,C 构成()*,G 的⼦群.6. 证因为1H ,2H 互不包含,所以1H a ∈?但2H a ?,2H b ∈?但1H b ?,若1H b a ∈*,则11)(H b a a b ∈**=-,⽭盾,故1H b a ?*；同理,2H b a ?*,所以21H H b a ?*.chap6,7 图论补充练习1. 在任何图中必有偶数个的结点. （ B ）（A ）度数为偶数（B ）度数为奇数（C ）⼊度为偶数（D ）出度为偶数2. 下列序列中,哪⼀个可构成简单⽆向图的结点度数序列？（ B ）（A ）()3,2,2,1,1 （B ）()2,2,2,1,1 （C ）()3,3,3,1,0 （D ）()5,4,4,3,23. 设()m n ,图G 中有k N 个k 度结点,其余均为1+k 度结点,则k N 为（ C ）（A ）2n（B ）()1+k n （C ）()m k n 21-+ （D ）()m k n -+1 4. 附图不是 .（ C ）（A ）欧拉图（B ）哈密尔顿图（C ）⼆部图（D ）完全图1．证明：有k 个连通分⽀的简单⽆向图⾄多有)1)((21+--k n k n 条边．证设分⽀i G 是()i i m n ,图,k i ,,1 =,则()121-≤i i i n n m ,()11--≤≤k n n i ,∑==ki in n 1, ()()()()()k n k n n k n n n m m ki i k i k i i i i -+-=-+-≤-≤=∴∑∑∑===1211121121 1112. 设G 是边数30假设()n i v i ,,1,5deg =≥，由握⼿定理，()∑≥=n v m i 5deg 2，所以652363-?≤-≤m n m ,于是30≥m ,与已知条件⽭盾,于是结论成⽴. 3. 设G 是简单平⾯图,证明G 中⾄少有⼀个结点的度数⼩于等于5.证不妨设G 连通，否则考察G 的⼀个连通分⽀．设G 有n 个结点，m 条边，k 个⾯．若2≤m ，因为G 是简单图，结论成⽴；若3≥m ，()3≥∴i F d ，m k k m 32,32≤≥；假设()n i v d i ,,1,6 =≥，则n m 62≥，n m 3≥，由欧拉公式，032312=+-≤+-=m m m k m n ，⽭盾．4. 设G 为阶数11≥n 的简单⽆向图,且G 和G 均连通.证明：G 或G ⾄少有⼀个不是平⾯图.证 (反证)假设()1,m n G 和()2,m n G 都是平⾯图，⽽11≥n ，所以632,1-≤n m ,⽽()12121-=+n n m m ，所以()126121-≤-n n n ，或024132≤+-n n , 所以，1127313 <+≤n ，与条件⽭盾．所以G 和G ⾄少有⼀个不是平⾯图．5. 设G 为阶数7证假设G 和G 都不是平⾯图，由Kuratowsky 定理,G 和G 必含有与5K 或3,3K同胚的⼦图，即⾄少有9条边，于是G 和G 的边数之和()1812 1≥-n n ，7 ≥?n ,与7。
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第一章习题1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。
（1）2是无理数。
（2）5能被2整除。
（3）现在开会吗？（4）x+5>0（5）这朵花真是好看！（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。
（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。
（8）2000年10月1日天气晴好。
（9）太阳系以外的星球上有生物。
（10）小李在宿舍里。
（11）全体起立。
（12）4是2的倍数或是3的倍数。
（13）4是偶数且是奇数。
（14）李明和王华是同学。
（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。
1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。
1.3判断下列各命题的真值。
（1）若2+2=4，则3+3=6；（2）若2+2=4，则3+3≠6；（3）若2+2≠=4，则3+3=6；（4）若2+2≠=4，则3+3≠=6；（5）2+2=4，当且仅当3+3=6；（6）2+2=4，当且仅当3+3≠6；（7）2+2≠4，当且仅当3+3=6；（8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6；1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号；（2）如果今天是1号，则明天是3号；1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数不是素数；（2）小王不但聪明而且用功；（3）虽然天气冷。
老王还是来了；（4）他一边吃饭，一边看电视；（5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来；（6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来；（7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来；（8）不经一事，不长一智；1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r);（2）(p↔r)∧(⌝p∨s);（3）（p∧(q∨r)→((p∨q)∧(r∧s);(4)⌝(p∨(q→r∧⌝p)))→(r∨⌝s);设p：2+3=5。
q：大熊猫产在中国。
r：复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：（1）(p q)→r（2）(r→(p∧q))┐p （3）┐r→(┐p∨┐q∨r)（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)．用真值表判断下列公式的类型：方法不限。
（1）p→(p∨q∨r)（2）(p→┐q)→┐q（3）┐(q→r)∧r（4）(p→q)→(┐q→┐p)（5）(p∧r)(┐p∧┐q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)（7）(p→q)(rs)1.8用等值演算法证明下列等值式。
(1)(p∧q)∧(p∧⌝q)⇔p;(2)((p→q)∧(p→r))⇔(p→(q∧r));(3)⌝(p↔q)⇔(q∨p)∧⌝(p∧q))1.9设 A,B,C 为任意的命题公式。
(1)已知A∨C⇔B∨C,问A⇔B吗？(2)已知A∧C⇔B∧C,问A⇔B吗？(3)已知⌝A⇔⌝B, 问A⇔B吗？求下列命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值。
1(()();2()();3();p q v p q r p q q p p q q r ∨∧→∧∧⌝→→⌝∨⌝→∧∧（）（）（）通过求主析取范式判断下列各组命题公式是不是等值。
();2();2;2;p q r q p r p q p q →→→→↑↓（1）1，，（）1，，有一探测队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人的判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；已说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验鉴定后发现，其中一人两个判断是正确的，一个人判断对一半，一个人的判断全错了，根据以上的情况判断矿样的种类。
判断下列的推理是不是正确，先将命题符号化，在写出前提和结论，然后在进行判断。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天是1号，所以明天是5号。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天是5号，所以今天是1号。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天不是1号，所以明天不是5号。
构造下面的推理的证明。
(),,..(2)34p p q q r r p ⌝∧⌝⌝∨⌝⌝→→∨⌝→→→∧→↔↔∧∧∧∧（1）前提：结论：前提：p (q s),q,p r;结论：r s.（）前提：p q.结论：p (p q)（）前提：q p,q s,s t,t r.结论：p q r s.如果他是理科学生，他必学好数学，如果他不是文科学生，他必是理科学生，他没有学好数学，所以他不是文科学生。
判断上面的推理是不是正确，并且证明你的结论。
给定命题公式如下；上述公式的成真赋值A ，成假赋值为B ，公式的类型为C 。
供选择的答案:① 无 ② 全体赋值 ③ 010，100，101，111 ④010，100，101，110，111 B: ① 无 ② 全体赋值 ③000，001，011， ④000，010，110C: ①重言式 ②矛盾式 ③ 可满足式给定命题公式如下；上述公式的主析取范式中含的极小项的个数为A ，主合取范式含的极大项的个数为B ，成真值的赋值为C供选择的答案A ① 2 ② 3 ③ 5 ④ 0 ⑤ 8B ① 0 ② 8 ③ 5 ④ 3C ① 000,001,110; ②001,011,101,110,111; ③全体赋值 ④ 无给定下列三组前提。
(),,(2)(),,(3),,p q q r rp q r r s sp q q r r s ⌝∧⌝⌝∨⌝∧→⌝∨⌝⌝∨⌝∨→(1)上述前提中，（1）的逻辑结论（有效结论）为A ，（2）的逻辑结论为B ，（3）的逻辑结论C 。
供选择的答案A,B,C:① r ② q ③p ⌝ ④ s ⑤p q ⌝∨⌝ ⑥p s → ⑦p q ∧设计一个符合下列要求的室类照明控制的线路，在房间的门外、门类及其床头分别装一个可以控制同一个电灯F 的3个开关A,B,C, 当且仅当一个开关的搬键向上或3 个开关的搬键都向上时候电灯亮，则F 的逻辑关系式可以化简为A 供选择的答案A:① A B C ∨∨ ②()A B C A B C ∨∨∨∧∧．某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C 。
已知在且仅在下述四种情况下灯亮：（1）C 的扳键向上，A,B 的扳键向下。
（2）A 的扳键向上，B,C 的扳键向下。
（3）B,C 的扳键向上，A 的扳键向下。
（4）A,B 的扳键向上，C 的扳键向下。
设F 为1表示灯亮，p,q,r 分别表示A,B,C 的扳键向上。
（a ）求F 的主析取范式。
（b ）在联结词完备集{┐,∧}上构造F.（c ）在联结词完备集{┐,→,}上构造F. ．一个排队线路，输入为A,B,C ，其输出分别为F A ,F B ,F C 。
本线路中，在同一时间内只能有一个信号通过，若同时有两个和两个以上信号申请输出时，则按A,B,C 的顺序输出。
写出F A ,F B ,F C 在联结词完备集{┐,∨}中的表达式。
第二章习题在一阶逻辑中将下列命题符号化.（1）鸟都会飞翔.（2）并不是所有人都爱吃糖.（3）有人爱看小说.（4）没有不爱看电影的人.在一阶逻辑中将下列命题符号化，并指出个命题的真值.个体域分别为 （a ）自然数集合N （N 中含O ）.（b ）整数集合Z.（c ）实数集合R.（1）对于任意的x ，均由()22121x x x +=++(2 )存在x ，使得x+2=0.(3 ) 存在x ，使得5x=1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.（1）每个大学生不是文科生就是理科生.（2）有些人喜欢所有的花.（3）没有不犯错误的人.（4）在北京工作的人未必就是北京人.（5）任何金属都可以溶解在某种液体中.（6）凡对顶角都相等. 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x ，均有x 2-2=(x+)(x-)。
（2）存在x ，使得x+5=9。
其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。
将下列各式翻译成自然语言，然后再不同领域中却定它们的真值.(1)(.0)(2)(.0)(3)(.1)(4)(.1)(5)(.)(6)(.)(7)()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x x y z x y z ∀∃=∃∀=∀∃=∃∀=∀∃=∃∀=∀∀∃-=个体域分别为（a ）实数集合(b)整数集合(c)正整数集合(d)（非0 实数集合）设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1)xy(F(x)∧G(y))(2)xy(F(x)∨G(y)) (3)xF(x)→yG(y) (4)x(F(x,y)→yG(y))．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。
(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∧G(x)．给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4}。
(b) (x)为(3)=4，(4)=3。
(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。
试求下列公式在I下的真值：(1)xyF(x,y) (2)xyF(x,y) (3)xy(F(x,y)→F(f(x),f(y))．在自然推理系统F中构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)结论：x(F(x)∧R(x))(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)结论：xF(x)．在自然推理系统F 中，证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。
(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。
(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。
(1) 试给出解释，使得(()())(()())x F x G x x F x G x ∀→∀∧与在下具有不同的真值（2）试给出解释，使得(()())(()())x F x G x x F x G x ∃∧∃→与在下具有不同的真值给出解释，使下面的两个公式在解释下面为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式（用真式）(1)(()())(()())(2)(()())(()())x F x G x xF x xG x xF x xG x x F x G x ∀∨→∀∨∀∃∧∃→∃∧ 设个体域，在D=｛a,b,c ｝下D 验证量词否定等值式(1)()()(2)()()xA x x A x xA x x A x ⌝∀⇔∃⌝⌝∃⇔∀⌝ 2.14在一阶逻辑中将下面的命符号化，并且要求只能使用全称量词（1）没有人长绿色的头发（2）有的北京人没有去过香山设个体域，在D=｛a,b,c ｝,消去下列公式中的量词。
∀→∃∀∧∃∃∀（1）xF(x)yG(y)(2)x(F(x)yG(y))(3)y xH(x,y)求下列各式的前束范式，要求使用自由变换换名规则。