离散数学习题汇总

6.幂集
设A,B是集合，证明以下命题成立 a) ρ(A∩B)=ρ(A) ∩ρ(B) b) ρ(A) ∪ρ(B)ρ(A∪B) c) AB iff ρ(A) ρ(B)
7.笛卡尔积
A={0,1} B={1,2} 求A2×B
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二元关系习题课
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一. 判断题
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( )⒈ 设A、B、C和D是四个非空集合, 且A×CB×D，则AB且CD。 )⒉ 设A、B、C和D是四个集合，则A×C=B×D，iff A=B且C=D。 ) 3. 传递关系的对称闭包仍是传递的。 ) 4. 非空集合上的关系不是对称的，则必是反对称的。 ) 5. 非空集合上的自反关系必不是反自反的。 ) 6. 若R和S是二个有完全相同的二元组的集合，则称它们是相等的二 元关系。 ) 7. 设A是一个非空集合，则A上的等价关系都不是偏序关系。 ) 8. 有限集上的全序关系必是良序关系。 ) 9. 有限集上的偏序关系必是全序关系。 ) 10. <A;R>是偏序集，则Ａ的任何非空子集必有极小元。 ) 11. <A;R>是偏序集，则Ａ的非空子集Ｂ的上确界必是Ｂ的最大元。 ) 12. <A;R>是全序集，则Ａ的任何非空子集必有唯一极小元。 ) 13. <A;R>是全序集，则Ａ的非空子集Ｂ的下确界必是Ｂ的最小元。
(
(
)⒊ 设R={<1,2>}是Ａ＝{1,2,3}上的关系，则
③ r(R)是偏序 ④ tr(R)是良序 ③ R和S都是空关系 )⒋ 设R和S分别是A到B和B到C的关系，且R·S=Φ，那么 ① R是空关系 ② S是空关系 ④ R和S中至少有一个是空关系 20 ⑤ 以上答案都不对
① rst(R)是等价关系 ② Ｒ10＝Φ
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函数习题课
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一、多项选择
( ( )1. 函数f：Ｒ×Ｒ→Ｒ×Ｒ，f(<x,y>)=<x+y,x-y>是
① 入射
① 入射
② 满射
② 满射 ② 满射
③ 双射
③ 双射 ③ 双射
④ 以上答案都不对
④ 以上答案都不对 ④ 以上答案都不对
)2. 函数f：Ｒ×Ｒ→Ｒ，f(<x,y>)=(x+y)/2是
(
2
(8)我今天进城，除非下雨。 令 P:我今天进城。Q:今天下雨。 (9)仅当你走我将留下。 令 P:你走。Q:我留下。
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二.重言式的证明方法 方法1：列真值表。 方法2：公式的等价变换，化简成“T”。 方法3：用公式的主析取范式。 (1)证明(P→Q)→(P→(P∧Q))是重言式。
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三.重言蕴涵式的证明方法
( )10. 设Ｒ和Ｓ都是Ａ到Ｂ的关系，则下列关系式中正确的有： ① (Ｒ∪Ｓ)-1＝Ｒ-1∪Ｓ-1 ③ (Ｒ－Ｓ)-1＝Ｒ-1－Ｓ-1 ② (Ｒ∩Ｓ)-1＝Ｒ-1∩Ｓ-1 ④ (Ｒ⊕Ｓ)-1＝Ｒ-1⊕Ｓ-1
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三、计算与作图
1.若集合Ａ={1,2,3,4,5}上的等价关系Ｒ ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>}，求商 集Ａ/Ｒ 2.Ｒ为集合Ａ={1,2,3,4,5}上的等价关系，已知商集Ａ/Ｒ ={{1,2},{3},{4,5}}，求R
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二、多项选择题 ( )⒈ 下列说法中正确的有： ② 任何集合的幂集都不是空集 ④ 任意两集合的迪卡尔积都不 ① 任何集合都不是它自身的元素 ③ 若Ａ×Ｂ＝Φ，则Ａ＝Ｂ＝Φ 是空集 (
)⒉ {1,2,3,4,5}上的关系R={<1,1>,<1,3>,<2,3>}是
① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
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谓词逻辑习题课
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1.将下列命题符号化
（1）在湖南高校学习的学生，未必都是湖南籍的学生 （2）对于每一个实数x，存在一个更大的实数y （3）存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积 （4）某些汽车比所有的火车都慢，但至少有一列火车比每辆 汽车快 （5）对任何整数x和y，x≤y且y≤x是x=y的充要条件 （6）若m是奇数，则 2m 不是奇数 （7）那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的巨著 （8）每个自然数都有唯一的后继数 （9）没有一个自然数使数1是它的后继数 （10）每个不等于1的自然数都有唯一的一个数是它的直接先 行者
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四、证明 若f是A到B的函数，其中A和B都是非空有限集，且 |A|=|B|，那么：f是一个入射 iff f是一个满射
( (
)3. 设Σ={a,b}为字母表，则f：Σ*→Σ*，f(x)=axb是
① 入射 )4. 函数f： [0,1]→ [0,1] ，f(x)=x/2+1/4是
① 入射
② 满射
③ 双射
④ 以上答案都不对
)5. 从{0,1}2到{a,b,c,d}的二元关系R： {<<0,0>,a>,<<0,1>,b>,<<1,0>,c>,<<1,1>,b>}是
工具 改 锥 箱
A B C 有 有
扳 手 有 有
钳 有 有
子
锤 有
子
D
有
有
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(4) 设计一个楼上、楼下开关的控制逻辑电路来控制 楼梯上的路灯。使之在上楼前，用楼下开关打开 电灯，上楼后，用楼上开关关灭电灯；或者在下 楼前，用楼上开关打开电灯，下楼后，用楼下开 关关灭电灯。
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六. 逻辑推理 熟练掌握三种推理方法。 (1)用三种推理方法证明： (A∨B)(C∧D), (D∨E)P AP (2) 请根据下面事实，找出凶手： 1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。H:清洁工富裕. G:经理有钱.
(
)⒌ 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中一定是等 价关系的有 ① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S ( )⒍ 若R是集合A上的等价关系，则 ① R2＝R ② t(R)＝R ③ ＩA R ④ R-1＝R ( )⒎ 空集上的空关系是 关系。 ① 线序 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序 ( ) 8. {1,2,3,4,5}上的全序关系一定是 关系。 ①等价 ②偏序 ③拟序 ④良序 ( )9. {1,2,3,4,5}上的良序关系一定是 ① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
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4.判断下列公式是不是永真式，并加以说明 （1）(xP(x) →xQ(x)) ↔ x(P(x) →Q(x)) （2） x y(P(x) →Q(y)) →(xP(x) → y Q(y)) 5.用形式推理证明： （1）xP(x)∨xQ(x)x (P(x)∨Q(x)) （2） xF(x)→y(G(y)→H(y)), xM(x)→yG(y) x (F(x)∧M(x))→yH(y) （3）任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车； 每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的 人不爱骑自行车，因此有的人不爱步行 （4）每个大学生不是文科生就是理工科生，有的大 学生是优等生，小张不是理工科生，但他是优等 生，因此如果小张是大学生，他就是文科生
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五.范式的写法及应用 (1)写出(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))的主析取
范式和主合取范式 方法1，用真值表 方法2，等价变换 (2) A,B,C,D四个人中要派两个人出差，按下述三 个条件有几种派法？ ①若A去则C和D中要去一个人。 ②B和C不能都去。 ③C去则D要留下。
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(3) 有工具箱A、B、C、D，各个箱内装的工具如 下表所示。试问如何携带数量最少工具箱，而 所包含的工具种类齐全。
方法1.列真值表。(即列永真式的真值表) (略) 方法2.假设前件为真，推出后件也为真。 方法3.假设后件为假，推出前件也为假。 证明 (A(B∨C) )∧(D∨E)∧((D∨E)A) B∨C
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四. 等价公式的证明方法 方法1：用列真值表。（不再举例） 方法2：用公式的等价变换
(1) 证明((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))(B∧(D→A))→ C (2)化简(A∧B∧C)∨(A∧B∧C）
Байду номын сангаас命题逻辑习题课
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一.命题符号化 P:天下雪。Q:我将去镇上。R:我有时间。 (1) 如果天不下雪且我有时间，那么我将去镇上。 (2) 我将去镇上，仅当我有时间。 (3) 天下雪，那么我不去镇上。 (4) 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 令 P:你给我写信。Q:信在途中丢失了。 (5) 我们不能既划船又跑步 令 P:我们划船。Q:我们跑步。 (6)如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否为他伴奏而定。 令 P:你来了。Q:你为他伴奏。 R:他唱歌。 (7)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 令 P:上午下雨。Q:我去看电影。 R:我在家里读书。S:我在家 里看报。
3.设Ａ={3,6,9,15,54,90,135,180}，｜为自然数的整除关系。画出< Ａ;｜>的Ｈasse图，并求{6,15,90}的上、下确界。
四、证明题
⒈ 设R是集合A上的关系。证明：R是偏序关系，iff R-1∩R=IA且 Ｒ=rt(Ｒ)。
⒉ 设R是集合A上的关系。证明：R是拟序关系，iff R-1∩R=Φ且 Ｒ=t(Ｒ)。