中考数学一元二次方程的综合题试题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?

【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m

【解析】

【分析】

根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.

【详解】

解:设绿化区宽为y ，则由题意得

502302x y -=-.

即10y x =-

列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=

解得13x =- (舍)，213x =.

∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m

【点睛】

本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

2．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）223）83

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得()()260x x --=，

即：2x =或6x =，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：2231=22+

∴此等腰三角形面积为12222

⨯⨯=22． （3）设分为x 及6x -两段

()22226x x +=-

∴83

x =， ∴2823

x S ∆==， ∴面积为8

3.

【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

3．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622

x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

4．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．

【答案】1

【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．

试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得

1﹣2a+a 2=0，

解得a 1=a 2=1，

所以a 的值为1.

5．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．

【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．

【解析】

【详解】

分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.

（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.

详解：（1）解：由题意：0a ≠．

∵()2

2242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：

解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，

解得：121x x ==．

点睛：考查一元二次方程()2

00++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.

当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.

当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.

6．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】（1）见详解；（2）4或4＋.

【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0的根的判别式的符号来证明结论. （2）根据一元二次方程的解的定义求得m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：（1）证明：∵△=（m ＋2）2－4（2m －1）=（m －2）2＋4，

∴在实数范围内，m 无论取何值，（m －2）2+4≥4＞0，即△＞0.

∴关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0恒有两个不相等的实数根.

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3

形的周长为1＋3=4

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直

角边为1＋3＋=4＋

7．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？

【答案】共有35名同学参加了研学游活动．

【解析】

试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．

试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得：