结构化学小测验1-答案
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（此种方法中使用归一化后的波函数， 因函数是归一化的， 分母为 1， 可省略不写。 ） 或：
c E E c
2 i i 2 i i
i
32 E1 52 E2 9 E1 25E2 32 52 9 25
1 9 h 2 1 25 22 h2 109 h2 109 h2 34 8ml 2 34 8ml 2 34 8ml 2 272 ml 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 3 E M 2m 2m 2m 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r3 4 0 r12 4 0 r13 4 0 r23 2M
d 3 5 3 5 d 9 259 30 d 9 d 25 d 30 d
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
9 25 34
可见，该函数未归一化。 设归一化后的函数为 c c 31 52 ，则：
百度文库
（此种方法使用原函数， 即未归一化的函数， 按照求平均值的表达式， 应除以
c
i
2 i
）
4
若体系处于状态
1
1
1 2 1 5 2 29
则体系能量的平均值为
4 25 4 h2 25 4h 2 104 h 2 E E1 E2 29 29 29 8ml 2 29 8ml 2 29 8ml 2
此平均值不等于任何一个本征态的本征值，是观测不到的。
1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 1 1 1 M 1 2 3 E 2 2 2 r1 r2 r3 r12 r13 r23 2M
其中 M 为原子单位下的原子核质量。 （在写 Hamiltonian 或 Schrödinger 方程时应写明所用物理模型和所用单位。 ） （1）该状态函数 三、某状态可表示为 31 52 ，其中 i 是一维势箱中粒子的态函数。 是归一化的吗？若不是，求归一化后的函数； （2）求该状态的平均能量。 参考答案： （1）
1
结构化学（2011 Fall）小测验（1）参考答案
一、判断正误：
1. 一维势箱中实物粒子的波长是量子化的。 （√）正确。
E
n 2 h2 T 2 8ml p2 n 2h2 h2 2l T n 1, 2,3, 2 2 2m 8ml 2m n h p
1
2
5.
描述微观体系状态的波函数的值只能取正整数。 （×）错误。 描述微观体系状态的波函数可零可正可负。
6.
品优波函数必须满足单值、连续、正交归一。 （×）错误。 品优波函数的条件是单值、连续、平方可积。
7.
ˆx, x ˆ 0 p
（×）错误。
ˆx, x ˆ i 。 p
（联想不确定度关系。动量与坐标是一对共轭量，不能同时准确测量。这样的一对 共轭量的算符不会对易。 若两个算符可对易， 则其对应的物理量可以同时准确测量。 ）
3
4
c E E c
2 i i 2 i i
i
3 12 h2 5 22 h2 2 2 34 8ml 34 8ml
2
2
9 25 4 h2 109 h2 109 h2 34 8ml 2 34 8ml 2 272 ml 2
'
' ' d c d 34c
2
2
1
c
1 34
'
归一化后的函数为：
1 3 5 1 2 31 52 34 34 34
n2 h2 （2）一维势箱中粒子的能量表达式为： En 8ml 2
1 , 2 均是一维势箱中粒子的能量算符的本征函数，其对应的 n 分别为 1 和 2，
2.
期望值不一定是能观测到的可能值。 （√）正确。 能观测到的是某力学量算符对应于某个本征态的本征值。若体系处于非本征态，则 观测时只能观测到构成该非本征态的某个本征态的本征值。 例如：一维势箱中，
h2 2 2 x n 1, 1 x sin , E1 8ml 2 l l 4h 2 2 2 2 x n 2, 2 x sin , E2 8ml 2 l l
10. 量子力学基本公设 1 表明，一个微观体系的所有信息都可以用一个本征函数来表示，这 个函数既是体系中所有坐标的函数，也是时间的函数。 （×）错误。 量子力学基本公设 1 表明，一个微观体系的所有信息都可以用一个波函数来表示， 这个函数既是体系中所有坐标的函数，也是时间的函数。该波函数并不一定是体系 某物理量算符的本征函数，也可以是非本征函数。 二、写出 Li 原子的 Schröndinger 方程。 参考答案： 不做任何近似，Li 原子的 Schrödinger 方程可以表示为：
3.
微观粒子的全波函数对两粒子坐标的交换必为反对称。 （×）错误。 费米子的全波函数对两粒子坐标的交换必须为反对称，而玻色子则为对称。
4.
ˆ 满足 A
ˆ c A ˆ c11 c22 c1 A 1 2 2 (c1, c2 是常数)的算符是线性算符。
（√）正确。 此为线性算符的定义。
8.
对应同一力学量算符的本征态的线性组合仍然是体系的本征态。 （×）错误。 简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，并且本征值不变；非简并本征态的线 性组合也仍是该体系的可能状态，但一般不再是本征态，而是非本征态。
9.
一维势箱中动量平均值为 0，表明粒子的动量为 0。 （×）错误。 一维势箱中粒子波函数不是动量算符的本征函数，其平均值 0 是对所有可能动量求 平均的结果，并不表示动量恒等于 0。若取势箱中点（即 l/2）为零点，那么粒子沿 x 轴正向运动与逆向运动的机会应该相等，因为动量是矢量，故其平均值为 0。此结 论即使零点取在其他位置亦成立。
2
3
此表示为全粒子的 Schrödinger 方程。 其中 M 为核的质量， m 为电子的质量， M 为
2
核的 Laplace 算符， i 为电子的 Laplace 算符，
2
3 4 0 ri
为电子与核之间的吸引能，
1 4 0 rij
为电子与电子之间的排斥能。
上式 原子单位下，可表示为：
c E E c
2 i i 2 i i
i
32 E1 52 E2 9 E1 25E2 32 52 9 25
1 9 h 2 1 25 22 h2 109 h2 109 h2 34 8ml 2 34 8ml 2 34 8ml 2 272 ml 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 3 E M 2m 2m 2m 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r3 4 0 r12 4 0 r13 4 0 r23 2M
d 3 5 3 5 d 9 259 30 d 9 d 25 d 30 d
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
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可见，该函数未归一化。 设归一化后的函数为 c c 31 52 ，则：
百度文库
（此种方法使用原函数， 即未归一化的函数， 按照求平均值的表达式， 应除以
c
i
2 i
）
4
若体系处于状态
1
1
1 2 1 5 2 29
则体系能量的平均值为
4 25 4 h2 25 4h 2 104 h 2 E E1 E2 29 29 29 8ml 2 29 8ml 2 29 8ml 2
此平均值不等于任何一个本征态的本征值，是观测不到的。
1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 1 1 1 M 1 2 3 E 2 2 2 r1 r2 r3 r12 r13 r23 2M
其中 M 为原子单位下的原子核质量。 （在写 Hamiltonian 或 Schrödinger 方程时应写明所用物理模型和所用单位。 ） （1）该状态函数 三、某状态可表示为 31 52 ，其中 i 是一维势箱中粒子的态函数。 是归一化的吗？若不是，求归一化后的函数； （2）求该状态的平均能量。 参考答案： （1）
1
结构化学（2011 Fall）小测验（1）参考答案
一、判断正误：
1. 一维势箱中实物粒子的波长是量子化的。 （√）正确。
E
n 2 h2 T 2 8ml p2 n 2h2 h2 2l T n 1, 2,3, 2 2 2m 8ml 2m n h p
1
2
5.
描述微观体系状态的波函数的值只能取正整数。 （×）错误。 描述微观体系状态的波函数可零可正可负。
6.
品优波函数必须满足单值、连续、正交归一。 （×）错误。 品优波函数的条件是单值、连续、平方可积。
7.
ˆx, x ˆ 0 p
（×）错误。
ˆx, x ˆ i 。 p
（联想不确定度关系。动量与坐标是一对共轭量，不能同时准确测量。这样的一对 共轭量的算符不会对易。 若两个算符可对易， 则其对应的物理量可以同时准确测量。 ）
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4
c E E c
2 i i 2 i i
i
3 12 h2 5 22 h2 2 2 34 8ml 34 8ml
2
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9 25 4 h2 109 h2 109 h2 34 8ml 2 34 8ml 2 272 ml 2
'
' ' d c d 34c
2
2
1
c
1 34
'
归一化后的函数为：
1 3 5 1 2 31 52 34 34 34
n2 h2 （2）一维势箱中粒子的能量表达式为： En 8ml 2
1 , 2 均是一维势箱中粒子的能量算符的本征函数，其对应的 n 分别为 1 和 2，
2.
期望值不一定是能观测到的可能值。 （√）正确。 能观测到的是某力学量算符对应于某个本征态的本征值。若体系处于非本征态，则 观测时只能观测到构成该非本征态的某个本征态的本征值。 例如：一维势箱中，
h2 2 2 x n 1, 1 x sin , E1 8ml 2 l l 4h 2 2 2 2 x n 2, 2 x sin , E2 8ml 2 l l
10. 量子力学基本公设 1 表明，一个微观体系的所有信息都可以用一个本征函数来表示，这 个函数既是体系中所有坐标的函数，也是时间的函数。 （×）错误。 量子力学基本公设 1 表明，一个微观体系的所有信息都可以用一个波函数来表示， 这个函数既是体系中所有坐标的函数，也是时间的函数。该波函数并不一定是体系 某物理量算符的本征函数，也可以是非本征函数。 二、写出 Li 原子的 Schröndinger 方程。 参考答案： 不做任何近似，Li 原子的 Schrödinger 方程可以表示为：
3.
微观粒子的全波函数对两粒子坐标的交换必为反对称。 （×）错误。 费米子的全波函数对两粒子坐标的交换必须为反对称，而玻色子则为对称。
4.
ˆ 满足 A
ˆ c A ˆ c11 c22 c1 A 1 2 2 (c1, c2 是常数)的算符是线性算符。
（√）正确。 此为线性算符的定义。
8.
对应同一力学量算符的本征态的线性组合仍然是体系的本征态。 （×）错误。 简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，并且本征值不变；非简并本征态的线 性组合也仍是该体系的可能状态，但一般不再是本征态，而是非本征态。
9.
一维势箱中动量平均值为 0，表明粒子的动量为 0。 （×）错误。 一维势箱中粒子波函数不是动量算符的本征函数，其平均值 0 是对所有可能动量求 平均的结果，并不表示动量恒等于 0。若取势箱中点（即 l/2）为零点，那么粒子沿 x 轴正向运动与逆向运动的机会应该相等，因为动量是矢量，故其平均值为 0。此结 论即使零点取在其他位置亦成立。
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3
此表示为全粒子的 Schrödinger 方程。 其中 M 为核的质量， m 为电子的质量， M 为
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核的 Laplace 算符， i 为电子的 Laplace 算符，
2
3 4 0 ri
为电子与核之间的吸引能，
1 4 0 rij
为电子与电子之间的排斥能。
上式 原子单位下，可表示为：