新教材高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.4正切函数的性质与图像课后课时精练新人教B版第

新教材高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.4正切函数的性质与图像课后课时精练新人教B 版第三册

A 级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．函数y ＝π

4－tan x 的定义域是( )

A ．R

B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠－π

4＋k π，k ∈Z

C.⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

x ≠π

2＋k π，k ∈Z

D ．{x |x ≠k π，k ∈Z } 答案 C

解析 当x ≠π2＋k π，k ∈Z 时，函数y ＝π

4－tan x 有意义，故选C.

2．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交的一条直线是( )

A ．x ＝π

2

B ．y ＝π2

C ．x ＝π8

D ．y ＝π8

答案 C

解析 令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π

8.

3．函数y ＝tan x

1＋cos x ( )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数，也不是偶函数 答案 A

解析 要使函数y ＝tan x

1＋cos x

有意义，必须使

⎩⎪⎨⎪⎧

x ≠π2＋k π，k ∈Z ，1＋cos x ≠0.

即x ≠π

2＋k π且x ≠(2k ＋1)π，k ∈Z .

∴函数y ＝tan x

1＋cos x 的定义域关于原点对称．

又f (－x )＝

tan －x

1＋cos －x

＝

－tan x

1＋cos x

＝－f (x )．

∴函数y ＝tan x

1＋cos x

是奇函数．

4．关于函数f (x )＝|tan x |的性质，下列叙述不正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π

2

B ．f (x )是偶函数

C ．f (x )的图像关于直线x ＝

k π

2

(k ∈Z )对称

D ．f (x )在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )内单调递增 答案 A

解析 由题意得，f (x )＝|tan x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧

tan x ，k π≤x <π

2＋k πk ∈Z ，－tan x ，－π

2

＋k π

根据正切函数的特点作出函数f (x )＝|tan x |的简图，如图所示，

由函数f (x )＝|tan x |的图像知，f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；函数f (x )的图像关于y 轴对称，所以f (x )是偶函数，故B 正确；函数f (x )的图像关于直线x ＝

k π

2

(k ∈Z )

对称，故C 正确；由f (x )的图像知，f (x )在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )内单调递增，

故D 正确．

5．下列不等式中，正确的是( )

A ．tan 4π7>tan 3π7

B ．tan 2π5

5

C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8

D ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4

⎛⎭⎪⎫－12π5 答案 C

解析 对于A ，tan 4π7<0

7，错误；

对于B ，tan 2π5>0>tan 3π

5

，错误；

对于C ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2π＋π8＝tan π8，

π2>π7>π8>0，∴tan π7>tan π

8

，正确； 对于D ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4，

tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2π5＝－tan 2π5， 且tan π4

，

∴－tan π4>－tan 2π

5

，错误．

6．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是( )

A ．π B.2πω

C.πω

D ．与a 的值有关

答案 C

解析 相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y ＝tan ωx (ω>0)，得T ＝π

ω

.

二、填空题

7．函数y ＝2tan ⎝

⎛⎭⎪⎫3x ＋π4－5的单调递增区间是________． 答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )

解析 令－π2＋k π<3x ＋π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π4＋k π3

k π

3，k ∈Z .

8．已知f (x )＝a ·sin2x ＋b ·tan x ＋1，且f (－2)＝4，那么f (2＋π)＝________. 答案 －2

解析 令g (x )＝f (x )－1，易知g (x )为奇函数并且周期为π，从而f (－2)－1＝3⇒f (2)－1＝－3，由函数周期为π，所以f (2＋π)－1＝f (2)－1＝－3⇒f (2＋π)＝－3＋1＝－2.

三、解答题 9．函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫1＋x a ＋b 的周期为π，y ＝sin [ (a －b )x ＋π

4

]的周期为3π，求a ，b 的值．

解 由题意，得⎩⎨

⎧

π

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1a ＋b ＝π，

2π

|a －b |＝3π

⇒⎩

⎪⎨⎪

⎧

|a ＋b |＝1，|a －b |＝2

3.

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝56

，

b ＝1

6

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝16

，

b ＝5

6

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－5

6

，

b ＝－1

6

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1

6

，

b ＝－5

6.

10．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋π3，x ∈[0，π]且x ≠π3的值域． 解 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎦

⎥⎤π3，π，

所以x 2＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤

π2

，5π6.

令t ＝x 2＋π

3

，由y ＝tan t 的图像(如图所示)可得，

函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π的值域为⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[3，＋∞)．

B 级：“四能”提升训练