概率论与数理统计--第二章
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20 P X k (0.2)k (0.8)20k ， k k 0， 1， ， 20
将计算结果列表如下：
k
PX k
k
PX k
0 1 2 3 4 5
0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175
6 7 8 9 10 ≥11
1, w 合格品； X 0, w 不合格品.
例2 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分， 未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得 分，它是一个随机变量，可以表示为
1, w 击中； X 0, w 未中.
例3 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接 到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 { X k} (k 0,1,2,) 表示一随机事件， 显然 { X k} (k 0,1,2,)也表示一随机事件．
求X的分布函数，并求P0 X 1
P 0 X 1 P 0 X 1 P X 0 F (1) F (0) P X 0 3 1 1 4 2 3 . 4
例1 某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台 与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解 设Ai 表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
P{ X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26
n k nk n ( p q ) 注意到 p q 刚好是二项式 的展开式中 k
出现p k的那一项，故称随机变量X服从参数为n, p的二项分布
记为X ～ B( n, p)
例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产 品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,…,20)件次品 的概率是多少？ 解 这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大， 且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小， 因而可以当作放回抽样来处理．这样做会有一些误 差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看 成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利 试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X 是一个随机变量，且X～B(20,0.2) 则所求的概率为
而取各个值的概率为 k e
PX k k！
k 0， 1， 2， ， 其中 0是常数
则称X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ ( )
显然，P{X k} 0, k 1,2,, 且有
PX k
k 0 k 0
k e
k！
按题意要求为 PX n 0.95
X服从 10的泊松分布，则有
由附录的泊松分布表知
14 15
10 k 10 e 0.9166 0.95 ， k 0 k！ 10 k 10 e 0.9513 0.95 . k 0 k！
10k 10 e 0.95 k 0 k！
第二节
离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量. 一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k 1,2,)
X 取各个可能值的概率，即事件 { X xk } 的概率为
P{X xk } pk , k 1, 2,
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 随机变量
第二节
第三节
离散型随机变量
随机变量的分布函数
第四节
第五节
连续型随机变量及其概率密度
随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函 数，称X ＝X (w )为随机变量. 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
以 X 1 表示 20 台设备中同时发生故障的台数， 解 （ 1） 则 X1 B(20,0.01). 用参数为 np 20 0.01 0.2 的 泊松分布作近似计算，得所求概率为
0.2k 0.2 P X 1 1 1 e 1 0.982 0.018. k 0 k !
0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 < 0.001
作出上表的图形，如下图所示
从上图可以看出，当k增加时，概率P{X k}先是随之增加, 直至达到
最大值（k 4），随后单调减少.一般地，对于固定的n及p，二项分布
B( n, p) 都有类似的结果。
（三）泊松分布 1.泊松分布 设随机变量X 所有可能取值为0,1, 2, ，
1
（2）以 X 2 表示 90 台设备中同时发生故障的台数，则 X 2 B(90,0.01). 用参数为 np 90 0.01 0.9 的泊松分布 作近似计算，得所求概率为
0.9k 0.9 P X 2 3 1 e 1 0.987 0.013. k 0 k !
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别 进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨 论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的 随机变量来描述．
（二） 伯努利试验与二项分布
设试验 E 只有两个可能结果： A 及 A , 则称 E为伯努利 （Bernoulli）试验．设P( A) p (0 p 1) ，此时 P( A) 1 p ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重 复的独立试验为n重伯努利试验. 伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同 样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模 型，有着广泛的实际应用．
机试验，可令 X X w w ，则 X 就是一个随机变量，
例如 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量.
电视机的寿命T是一个随机变量.
对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需 要设计随机变量。
例 1 检验一个产品，只考察其合格与否，则其样本 空间为 W 合格品，不合格品 . 这时可设计一个随机 变量 X 如下：
称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
（1 ）
分布律也可以直观地用下面的表格来表示：
X
pk
x1 x2 xn p1 p2 pn
由概率的定义，式（1）中的 p k应满足以下条件：
1
。
p k 0, k 1,2,,
2。
Βιβλιοθήκη Baidup
k 1
k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量 X的 各个取值所 对应的概率
n
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可 以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．
2.二项分布的泊松近似
定理（泊松定理） 在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生概率为 pn （注意这与实验的次数 n 有关） ，如果 n 时， npn （ 0 为常数） ， 则对任意给定的非负整数 k，有
下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图
e1
W
e3
e2
x
这个定义表明，随机变量 X是样本点 w 的一个函 数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数， 也允许多个样本点对应同一个实数.这个函数的自变 量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量 一定是实数. 根据讨论可知，对实验结果 w 本身就是一个数的随
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴． 在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
X
x
分布函数具有以下基本性质： 1. 0 F ( x) 1 2. F ( x)是x的不减函数 3. F () lim F ( x) 0， F () lim F ( x) 1
则称 X 服从（0－1）分布或两点分布． （0－1）分布的分布律也可写成 抛一枚硬币，观察出
现正面H还是反面T， 正面X＝0,反面X＝1
X
0
q
1
p
pk
H T
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元 素，即 W {w1 , w2 }，我们总能在W上定义一个服从（0 －1）分布的随机变量．
0, 当w w1 , X X (w ) 1, 当w w 2 . 来描述这个随机试验的结果。
P{X 2} P( A1 A2 ) 0.1 0.2＝0.02
故所求概率分布为：
X
0
0.72
1
0.26
2
0.02
pk
（一）（0－1）分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是
P{ X k} p k q1k , k 0,1 (0 p 1, p q 1)
二项分布
n k nk P X k p q ， k
k 0， 1， 2， ，n
显然 PX k 0
n k nk n P X k p q ( p q ) 1 k 0 k 0 k
n n
即PX k满足分布律的两个条件
3
注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低， 而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台 设备，工作效率是（1）中的1.5倍.
（3）以 X 3 表示 500 台设备中同时发生故障的台数，则 X 3 B(500,0.01). 用参 数 为 np 500 0.01 5 的泊 松分 布作近似计算，得所求概率为 10 5k 5 P X 3 10 1 e 1 0.986 0.014. k 0 k ! 注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名 维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备， 工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.
x x
4. F ( x 0) F ( x)
即F ( x)是右连续的
例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk ¼ ½ ¼
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0 1 4 F ( x) 3 4 1 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1
一般的, 若I是一个实数集合,{X I }记为事件B
即
B w X (w ) I
于是P X I P( B) P w X (w ) I .
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率. 按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
n k k n k lim pn 1 pn e . n k k!
证明略．
由于泊松定理是在 npn 条件下获得的， 故在计算二项分布
B n, p 时，当 n 很大，p 很小，而乘积 np 大小适中时，
可以用泊松分布作近似，即
e
e e 1 k 0 k！
k
即P{X k}满足分布律的两个条件
例3 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销 售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的 概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
n k p 1 p k
n k
np
k!
k
e np , k 0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备 发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01. 试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率. (1) 一名维修工负责 20 台设备. (2) 3 名维修工负责 90 台设备. (3) 10 名维修工负责 500 台设备.
将计算结果列表如下：
k
PX k
k
PX k
0 1 2 3 4 5
0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175
6 7 8 9 10 ≥11
1, w 合格品； X 0, w 不合格品.
例2 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分， 未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得 分，它是一个随机变量，可以表示为
1, w 击中； X 0, w 未中.
例3 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接 到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 { X k} (k 0,1,2,) 表示一随机事件， 显然 { X k} (k 0,1,2,)也表示一随机事件．
求X的分布函数，并求P0 X 1
P 0 X 1 P 0 X 1 P X 0 F (1) F (0) P X 0 3 1 1 4 2 3 . 4
例1 某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台 与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解 设Ai 表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
P{ X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26
n k nk n ( p q ) 注意到 p q 刚好是二项式 的展开式中 k
出现p k的那一项，故称随机变量X服从参数为n, p的二项分布
记为X ～ B( n, p)
例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产 品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,…,20)件次品 的概率是多少？ 解 这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大， 且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小， 因而可以当作放回抽样来处理．这样做会有一些误 差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看 成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利 试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X 是一个随机变量，且X～B(20,0.2) 则所求的概率为
而取各个值的概率为 k e
PX k k！
k 0， 1， 2， ， 其中 0是常数
则称X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ ( )
显然，P{X k} 0, k 1,2,, 且有
PX k
k 0 k 0
k e
k！
按题意要求为 PX n 0.95
X服从 10的泊松分布，则有
由附录的泊松分布表知
14 15
10 k 10 e 0.9166 0.95 ， k 0 k！ 10 k 10 e 0.9513 0.95 . k 0 k！
10k 10 e 0.95 k 0 k！
第二节
离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量. 一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k 1,2,)
X 取各个可能值的概率，即事件 { X xk } 的概率为
P{X xk } pk , k 1, 2,
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 随机变量
第二节
第三节
离散型随机变量
随机变量的分布函数
第四节
第五节
连续型随机变量及其概率密度
随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函 数，称X ＝X (w )为随机变量. 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
以 X 1 表示 20 台设备中同时发生故障的台数， 解 （ 1） 则 X1 B(20,0.01). 用参数为 np 20 0.01 0.2 的 泊松分布作近似计算，得所求概率为
0.2k 0.2 P X 1 1 1 e 1 0.982 0.018. k 0 k !
0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 < 0.001
作出上表的图形，如下图所示
从上图可以看出，当k增加时，概率P{X k}先是随之增加, 直至达到
最大值（k 4），随后单调减少.一般地，对于固定的n及p，二项分布
B( n, p) 都有类似的结果。
（三）泊松分布 1.泊松分布 设随机变量X 所有可能取值为0,1, 2, ，
1
（2）以 X 2 表示 90 台设备中同时发生故障的台数，则 X 2 B(90,0.01). 用参数为 np 90 0.01 0.9 的泊松分布 作近似计算，得所求概率为
0.9k 0.9 P X 2 3 1 e 1 0.987 0.013. k 0 k !
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别 进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨 论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的 随机变量来描述．
（二） 伯努利试验与二项分布
设试验 E 只有两个可能结果： A 及 A , 则称 E为伯努利 （Bernoulli）试验．设P( A) p (0 p 1) ，此时 P( A) 1 p ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重 复的独立试验为n重伯努利试验. 伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同 样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模 型，有着广泛的实际应用．
机试验，可令 X X w w ，则 X 就是一个随机变量，
例如 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量.
电视机的寿命T是一个随机变量.
对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需 要设计随机变量。
例 1 检验一个产品，只考察其合格与否，则其样本 空间为 W 合格品，不合格品 . 这时可设计一个随机 变量 X 如下：
称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
（1 ）
分布律也可以直观地用下面的表格来表示：
X
pk
x1 x2 xn p1 p2 pn
由概率的定义，式（1）中的 p k应满足以下条件：
1
。
p k 0, k 1,2,,
2。
Βιβλιοθήκη Baidup
k 1
k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量 X的 各个取值所 对应的概率
n
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可 以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．
2.二项分布的泊松近似
定理（泊松定理） 在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生概率为 pn （注意这与实验的次数 n 有关） ，如果 n 时， npn （ 0 为常数） ， 则对任意给定的非负整数 k，有
下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图
e1
W
e3
e2
x
这个定义表明，随机变量 X是样本点 w 的一个函 数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数， 也允许多个样本点对应同一个实数.这个函数的自变 量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量 一定是实数. 根据讨论可知，对实验结果 w 本身就是一个数的随
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴． 在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
X
x
分布函数具有以下基本性质： 1. 0 F ( x) 1 2. F ( x)是x的不减函数 3. F () lim F ( x) 0， F () lim F ( x) 1
则称 X 服从（0－1）分布或两点分布． （0－1）分布的分布律也可写成 抛一枚硬币，观察出
现正面H还是反面T， 正面X＝0,反面X＝1
X
0
q
1
p
pk
H T
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元 素，即 W {w1 , w2 }，我们总能在W上定义一个服从（0 －1）分布的随机变量．
0, 当w w1 , X X (w ) 1, 当w w 2 . 来描述这个随机试验的结果。
P{X 2} P( A1 A2 ) 0.1 0.2＝0.02
故所求概率分布为：
X
0
0.72
1
0.26
2
0.02
pk
（一）（0－1）分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是
P{ X k} p k q1k , k 0,1 (0 p 1, p q 1)
二项分布
n k nk P X k p q ， k
k 0， 1， 2， ，n
显然 PX k 0
n k nk n P X k p q ( p q ) 1 k 0 k 0 k
n n
即PX k满足分布律的两个条件
3
注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低， 而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台 设备，工作效率是（1）中的1.5倍.
（3）以 X 3 表示 500 台设备中同时发生故障的台数，则 X 3 B(500,0.01). 用参 数 为 np 500 0.01 5 的泊 松分 布作近似计算，得所求概率为 10 5k 5 P X 3 10 1 e 1 0.986 0.014. k 0 k ! 注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名 维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备， 工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.
x x
4. F ( x 0) F ( x)
即F ( x)是右连续的
例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk ¼ ½ ¼
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0 1 4 F ( x) 3 4 1 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1
一般的, 若I是一个实数集合,{X I }记为事件B
即
B w X (w ) I
于是P X I P( B) P w X (w ) I .
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率. 按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
n k k n k lim pn 1 pn e . n k k!
证明略．
由于泊松定理是在 npn 条件下获得的， 故在计算二项分布
B n, p 时，当 n 很大，p 很小，而乘积 np 大小适中时，
可以用泊松分布作近似，即
e
e e 1 k 0 k！
k
即P{X k}满足分布律的两个条件
例3 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销 售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的 概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
n k p 1 p k
n k
np
k!
k
e np , k 0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备 发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01. 试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率. (1) 一名维修工负责 20 台设备. (2) 3 名维修工负责 90 台设备. (3) 10 名维修工负责 500 台设备.