实验1 函数的图形讲解
初中数学教案：函数的图像与性质分析
初中数学教案：函数的图像与性质分析一、函数的图像分析函数是数学中常见的概念，它描述了一种特定关系。
在初中数学课程中，我们首次接触到了函数，并开始研究它的图像与性质。
本文将深入探讨初中数学教案：“函数的图像与性质分析”。
我们将从图像方面入手，介绍函数的基本类型以及它们的特点，然后进一步分析函数的部分性质。
1. 直线函数直线函数是最简单也是最基础的一类函数。
它的图像在平面直角坐标系中呈现为一条直线。
而这条直线又可以通过两个关键元素来确定：截距和斜率。
a) 截距：截距即截取到y轴上的值，用b表示。
当x=0时，相应地有y=b，这就是直线与y轴相交于点(0, b)。
b) 斜率：斜率用k表示，可以通过直线上两点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)之间纵坐标差（Δy）除以横坐标差（Δx）计算得出：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)2. 平方函数平方函数属于抛物线类别，其特征是具有一个二次项，常用形式为f(x) = ax² + bx + c。
平方函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的U形曲线。
a) 抛物线的顶点：抛物线的顶点是其最低点（若开口向上）或最高点（若开口向下）。
它的x坐标可以通过以下公式得到： x = -b/2ab) 对称轴：对称轴是通过抛物线顶点且垂直于x轴的一根线。
它也可以通过公式 x = -b/2a 求得。
3. 开平方函数开平方函数类似于平方函数，但它具有一个重要区别。
开平方函数首先对自变量进行求平方根运算，然后再进行其他运算。
开平方函数的常用形式为f(x) =a√(bx + c)。
a) 定义域和值域：由于存在求平方根运算，导致定义域和值域有所限制。
在确定这两个范围时，我们需要考虑底数是否大于零、被开放项是否大于等于零等因素。
b) 升降性：我们需要关注抛物线U形曲线在不同区间内上升还是下降。
这涉及到系数a、b和c对图像形状的影响。
二、函数的性质分析除了图像外，我们还可以通过一些数学上的性质来深入了解函数。
函数的图像及画法解说教案
函数的图像及画法解说教案教案标题：函数的图像及画法解说教案教案目标：1. 了解函数的概念和基本性质。
2. 掌握函数图像的绘制方法。
3. 能够解释函数图像与函数关系的含义。
教学重点：1. 函数的概念和基本性质。
2. 函数图像的绘制方法。
3. 函数图像与函数关系的含义。
教学难点：1. 函数图像的绘制方法。
2. 函数图像与函数关系的含义。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、教学PPT、白板、彩色粉笔、教学实例。
2. 学生准备：笔记本、铅笔、直尺、计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过投影仪展示一个函数图像，引发学生对函数图像的兴趣。
2. 提问：你们对函数的概念了解吗？函数图像与函数有什么关系？3. 学生回答后，教师进行解答和补充，并引导学生思考函数图像的绘制方法。
Step 2：函数的概念和基本性质1. 教师通过PPT或白板讲解函数的概念和基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 教师通过具体的例子帮助学生理解函数的概念和基本性质，并与函数图像进行对应。
Step 3：函数图像的绘制方法1. 教师向学生介绍函数图像的绘制方法，包括确定坐标轴、选择适当的刻度、标注关键点等。
2. 教师通过示范绘制一个简单函数的图像，并解释每一步的操作。
3. 学生跟随教师的示范，练习绘制其他函数的图像。
Step 4：函数图像与函数关系的含义1. 教师通过具体的例子，解释函数图像与函数关系的含义，如函数的增减性、极值点、拐点等。
2. 学生通过观察和分析函数图像，理解函数图像与函数关系的含义，并提出问题进行讨论。
Step 5：练习与巩固1. 学生在笔记本上练习绘制函数图像，并解释函数图像与函数关系的含义。
2. 学生互相交换练习结果，进行讨论和指导。
Step 6：拓展延伸1. 教师提供更复杂的函数图像绘制题目，让学生进行挑战和思考。
2. 学生根据自己的兴趣和能力，选择一个函数图像进行深入研究，并进行展示和分享。
函数的图像与性质课件
函数的图像与性质课件函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。
本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义与图像表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。
其中，图像法是最直观且常用的一种方式。
图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。
在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。
函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。
二、常见函数的图像与性质1. 线性函数线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。
它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。
2. 幂函数幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。
根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。
3. 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。
指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。
4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。
对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。
5. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。
三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。
三、函数图像的应用函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动轨迹函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。
2. 经济学中的供需关系函数图像可以用于表示市场的供给和需求关系，帮助分析市场的平衡点和价格变化。
(整理)实验一特殊函数与图形37346
第一周特殊函数与图形一、问题背景与实验目的著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢？除了最上面那几点，其他都很难画吧？你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢？还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢？这些，都离不开绘图．实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现．比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效．它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一部分精力．此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力．同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图．借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识．如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解．又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合．传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想．计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察．本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点，另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍．大家将会看到，Matlab 的作图功能非常强大．二、相关函数（命令）及简介1．平面作图函数：plot，其基本调用形式：plot(x,y,s)以x作为横坐标，y作为纵坐标．s是图形显示属性的设置选项．例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,'--rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')图1在使用函数plot时，应当注意到当两个输入量同为向量时，向量x与y必须维数相同，而且必须同是行向量或者同是列向量．绘图时，可以制定标记的颜色和大小，也可以用图形属性制定其他线条特征，这些属性包括：linewidth 指定线条的粗细．markeredgecolor 指定标记的边缘色markerfacecolor 指定标记表面的颜色．markersize 指定标记的大小．若在一个坐标系中画几个函数，则plot的调用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,……)2．空间曲线作图函数：plot3，它与plot相比，只是多了一个维数而已．其调用格式如下：plot3(x,y,z,s)．例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三维螺旋线：图23．空间曲面作图函数：（1）mesh函数．绘制彩色网格面图形．调用格式：mesh(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)．其中，mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图．若x、y均为向量，则length(x)=n，length(y)=m，[m,n]=size(z)．（2）surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图．调用格式与mesh类似．（3）ezmesh用符号函数作三维曲面网格图．调用格式：ezmesh(x,y,z)其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)．画图区域默认为：-2*pi < s < 2*pi 且-2*pi < t < 2*pi.或者用格式：ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])（4）ezsurf用符号函数作三维曲面图．调用格式与ezmesh类似．（5）sphere画球体命令．4．meshgrid，调用格式：[x,y]=meshgrid(m,n)，这里的m，n为给定的向量，可以定义网格划分区域和划分方法．矩阵x和矩阵y是网格划分后的数据矩阵．5．图像的修饰与其他函数：（1）axis equal 控制各个坐标轴的分度，使其相等；（2）colormap设置绘图颜色．调用格式：colormap([r g b])其中r,g,b都是0-1之间的数．或者用格式：colormap(s)s（3（4）find找出符合条件的元素在数组中的位置．调用格式：y=find(条件)例如：输入：a=[4 5 78 121 4 665 225 4 1];b=find(a>7)输出：b =3 4 6 7三、实验内容数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了．此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示，所以也只能用参数来实现．用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方．所以要找的参数最好是有几何意义的．当然这也不可一概而论，需要多积累经验．1．利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像，要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记．函数为：sin(),cos(),sin(2),(0,2)===∈．x t y t z t tπ程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t, x, '--k*', t, y, '-rs', t, z, ':bo')图像如下：图32．绘制类似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计)．程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t));y=2*(sin(t)-t.*cos(t));z=1.5*t;plot3(x,y,-z) %取–z 主要是为了画图看起来更清楚axis equal图像如下：图43．利用函数2222sin x y zx y+ =+程序如下：[a,b]=meshgrid(-8:.5:8); %先生成一个网格c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b,z)axis square图像如下：图5思考：这里的 eps 是什么？其作用是什么？4．利用surf 绘制马鞍面图形（函数为：2294x y z =-）． 程序如下：[x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25); z=x.^2/9-y.^2/4; surf(x,y,z) title('马鞍面') grid off图像如下：图65．分别用ezmesh 和ezsurf 各绘制一个圆环面，尝试将两个圆环面放在一个图形界面内，观察它们有什么不同之处．提示：圆环面的方程为： 2 ,6 ,)(22222===+-+r R r z R y x ，而圆环面的参数方程为：]2,0[ ],2,0[ ,sin sin )cos (cos )cos (ππ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=v u u r z v u r R y v u r R x 程序参见附录1． 图像如下：图76．绘制黎曼函数图形，加深对黎曼函数的理解．说明：黎曼函数的定义为1(0,1) 01[01]p p p q x qq q y x x ⎧=∈⎪=⎨⎪=∈⎩,当、为正整数，为既约分数,0，当，及无理点，， 程序参见附录2．图像如下：图8四、自己动手1．做出下图所示的三维图形：图9ezsurf('3*sin(u)*cos(v)','3*sin(u)*sin(v)','3*cos(u)',[0,pi,0,2*pi]);axis equalhold onezsurf('(8+2*cos(u))*cos(v)','(8+2*cos(u))*sin(v)','2*sin(u)',[0,2*pi,0,2*pi]) 2．作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形：图10[a,b]=meshgrid(-8:.5:8); c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps; z=sin(c)./c; mesh(a,b,z) axis square改变a 、b 的取值范围，可得到裁剪后的图。
借助图形直观研究函数性质
一、借助图形直观研究一次函数性质
一次函数 y kx b(k 0) 图象的性质：
1、一次函数的图像： 2、图像所经过的象限： 3、增减性：
一、借助图形直观研究一次函数性质
你能根据一次函数 y kx b(k 0) 的图象确
定 k b ，1. 的符号吗？请具体说明 . k 的符号： 根据直线从左向右的趋势确定 . 根据直线与 y 轴交点的位置确定. 2.b 的符号：
1.双曲线所位于的象限： 2.增减性：
二、借助图形直观研究反比例函数性质
k 你能根据反比例函数 y (k 0) 的图象确 x 定 k 的符号吗？请具体说明. 根据双曲线所位于的象限确定． y
O
x
二、借助图形直观研究反比例函数性质
k 你能根据反比例函数 y (k 0) 的图象确 x 定 k 的符号吗？请具体说明. 根据双曲线所位于的象限确定． y
O
1
x
三、借助图形直观研究二次函数性质
2 例3:(2010年中考第10题)已知二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象
如图所示，有下列结论：① b2 4ac 0 ；② abc 0 ；③ 8a c 0 ； ④ 9a 3b c 0 .其中，正确结论的个数是（ A.1 B.2 C.3 D.4
三、借助图形直观研究二次函数性质
根据抛物线的开口方向确定 1.a的符号：
开口向上 开口向下 根据对称轴的位置确定 2.b的符号：
a0 a0
对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 对称轴是 y 轴
a、 b 同号 b 异号 a、
b0
简记为：左同右异中间0
三、借助图形直观研究二次函数性质
实验1_函数的图形
实验1曲线绘图实验目的•学习Matlab绘图命令；•进一步理解函数概念。
1.曲线图Matlab作图是通过描点、连线来实现的，故在画一个曲线图形之前，必须先取得该图形上的一系列的点的坐标（即横坐标和纵坐标），然后将该点集的坐标传给Matlab函数画图.命令为：PLOT(X,Y,’S’)线型X,Y是向量,分别表示点集的横坐标和纵坐标PLOT(X,Y)--画实线PLOT(X,Y1,’S1’,X,Y2,’S2’,……,X,Yn,’Sn’)--将多条线画在一起例1在[0,2*pi]用红线画sin(x),用绿圈画cos(x). x=linspace(0,2*pi,30);解：y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,'r',x,z,‘g o')G 绿色o 圈表1 基本线型和颜色符号颜色符号线型y黄色.点m紫红0圆圈c青色x x标记r红色+加号g绿色*星号b兰色-实线w白色:点线k黑色-.点划线--虚线2.符号函数(显函数、隐函数和参数方程)画图(1) ezplotezplot(‘f(x)’,[a,b])表示在a<x<b绘制显函数f=f(x)的函数图ezplot(‘f(x,y)’,[xmin,xmax,ymin,ymax])表示在区间xmin<x<xmax和ymin<y<ymax绘制隐函数f(x,y)=0的函数图ezplot(‘x(t)’,’y(t)’,[tmin,tmax])表示在区间tmin<t<tmax绘制参数方程x=x(t),y=y(t)的函数图例2 在[0,pi]上画y=cos(x)的图形解输入命令ezplot('cos(x)',[0,pi])解输入命令ezplot('cos(t)^3','sin(t)^3',[0,2*pi])例4 在[-2，0.5]，[0，2]上画隐函数0)sin(=+xy e x的图 解输入命令ezplot('exp(x)+sin(x*y)',[-2,0.5,0,2])例3 在[0,2*pi]上画t x 3cos =，t y 3sin =星形图如何利用ezplot画出颜色图(2) fplotfplot(‘fun’,lims)表示绘制字符串fun指定的函数在lims=[xmin,xmax]的图形.注意：[1] fun必须是M文件的函数名或是独立变量为x的字符串.[2] fplot函数不能画参数方程和隐函数图形，但在一个图上可以画多个图形。
matlab--函数图形绘制实验报告1
实验报告课程名称: 数学实验学院名称: 数学与统计学院班级:姓名:学号:2012-2013 学年第学期数学与统计学院制（二）参数方程作图例2: 画出星形线{ 及旋轮线{ 的图形解: 输入以下命令:%星形线作图t=linspace(0,2*pi,5000);x=2*(cos(t)).^3;y=2*(sin(t)).^3;plot(x,y),grid;结果：%旋轮线作图t=linspace(0,4*pi,5000); x=2*(t-sin(t));y=2*(1-cos(t));plot(x,y),axis equal; axis(0,8*pi,0,5);grid;结果:（三）极坐标方程图形例3:画出四叶玫瑰线的图形。
知其极坐标方程: ρ=acos（2 ）。
解: 取a=5做图。
在命令窗口输入下命令theta=linspace(0,2*pi);r=2*cos(2*theta);polar(theta,r)结果：（四）空间曲面（线）的绘制例4: 绘制双曲抛物面z= 。
解：将其化为参数方程：{ , 编写m文件运行以下命令r=linspace(-4,4,30);s=r;[u,v]=meshgrid(r,s);x=u;y=v;z=(u.^2-v.^2)./4;surf(x,y,z);bix on;结果：（五）空间曲线在坐标平面上的投影曲面和投影柱面例5: 画出螺旋线{ , 在xOz面上的正投影曲线的图形。
解：化为参数方程{ , 运行下列程序t=linspace(-2*pi,2*pi);x=10*cos(t);z=2*t;h=plot(x,z);grid;xlabel('x');ylabel('z');set(h,'linewidth',2);结果：（一）实验分析:（二）在本次实验中我们初步了解了matlab。
（三）学会了一些简单绘图。
（四）在编制中我们要很明确“点乘的重要性”。
函数图像的详解教案
函数图像的详解教案教案标题：函数图像的详解教学目标：1. 理解函数图像的基本概念和特点；2. 掌握绘制函数图像的方法；3. 能够分析函数图像的性质和变化规律。
教学重点：1. 函数图像的基本概念和特点；2. 函数图像的绘制方法。
教学难点：1. 函数图像的性质和变化规律的分析。
教学准备：1. 教师：投影仪、计算器、白板、彩色粉笔；2. 学生：笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，复习函数的定义和性质；2. 引导学生思考：函数图像与函数之间的关系是什么？二、讲解函数图像的基本概念和特点（10分钟）1. 定义函数图像：函数图像是由函数的自变量和因变量之间的对应关系所确定的点的集合；2. 解释函数图像的特点：连续性、单调性、奇偶性等。
三、讲解函数图像的绘制方法（15分钟）1. 介绍绘制函数图像的步骤：确定定义域和值域、找出关键点、绘制曲线；2. 示范绘制简单函数图像的方法，并解释每一步的操作。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生使用计算器或手工计算，绘制给定函数图像；2. 学生分组讨论各自绘制的函数图像的特点和变化规律。
五、总结与拓展（10分钟）1. 教师总结函数图像的基本概念、特点和绘制方法；2. 引导学生思考：如何利用函数图像分析函数的性质和变化规律？六、课堂作业（5分钟）1. 要求学生完成课堂练习中未完成的部分；2. 布置下节课预习内容。
教学反思：本节课通过引入函数图像的概念，讲解了函数图像的基本特点和绘制方法，并通过练习和讨论加深了学生对函数图像的理解和应用能力。
在教学过程中，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，确保教学内容的有效传达和学生的参与程度。
函数的图像1解读
变量与常量
变量：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：
在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
复 习
函 数
在一个变化过程中，如果有两个变 量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯 一确定的值与其对应，那么我 们就说y是x的函数。 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x 的值为a时y的函数值。
一、由函数图象的定义可知：
(1)函数图象上的点一定满足函数解析式。
(2)满足函数解析式的点的一定在函数图象上。 即：函数图象上的点与函数的每一对对应值是一一 对应的。 二、判断点在函数图象上的方法： 将这个点的坐标(x, y)代入函数解析式中，若满 足函数解析式，那么点就在函数的图象上；如果不满 足函数解析式，那么点就不在函数的图象上。
象有什么性质？
1.判断点A(-2.5,4) 、B(1,3) 、C(2.5,4) 是否在函数y=2x-1的图象上; 点C 2.点D(17,30)和点E(-8,-17)在函数y=2x-1 的图象上吗?为什么? 点E 3.已知点F(-3,a)和G(b,9)在函数y=2x-1的图象 5 上,则a=_____,b=______. -7
如何在坐标系中表示S=x2？
(1) 列表:
x S
0 0
0.5
0.25
1 1.5
1 2.25
2
4
2.5
3 3.5
4
6.25 9 12.25 16
(2)描点：表示与的对应的点有无数个，但是 实际上我们只能描出其中有限个点，同时想 象出其他点的位置．
（3）连线：用平滑的曲线去连接画出的点．
描点法画函数图象的一般步骤 :
x
当 x = 6时, y=10 – 2x
用几何画板探究一次函数的图象和性质
用几何画板探究一次函数的图象和性质资料编号:202310050906一次函数是最简单的基本初等函数,是学生们学习的第一类具体的函数,主要学习的是一次函数的定义、图象及其性质、性质的应用等.作为初学者,函数的知识是比较抽象的,抽象就意味着难懂、不易理解,为了降低学习的难度,提高学生们对函数知识的理解水平,引导学生们动手触摸数学,通过实验进行探究是行之有效的方法.借助于几何画板,学生们可以很好的探究一次函数图象的形状、升降性（即函数值的变化规律）、与坐标轴的交点等,并在探究的过程中形成对知识的深刻印象,有利于培养学生们的“四基”和“四能”,从而促进学生们数学综合素养的发展.探究一一次函数图象的形状用描点法画函数的图象时,给出几个具体的一次函数,老师会让学生们描出比较多的点,以画出比较精确的图象.通过画出所给函数的图象,得出一次函数的图象是一条直线的结论.然而问题是,一次函数自变量的取值范围是全体实数,学生们描出的点再多,与整个函数的图象比起来,都是微不足道的,是否会描出一些点,它们不是呈直线分布的呢?这个问题对于爱思考爱较真的学生们而言还是很有思考价值的.借助于几何画板,可以很好的解决上面的问题.【探究步骤】y的图象为例.=x以画一次函数2-1. 打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”.2. 单击“点工具”,移动鼠标指针到x轴上（此时x轴为红色的粗实线）单击释放,即可在x轴上画出一个自由点.3. 单击“文字工具”,然后双击画出的点,在弹出的对话框中设置“标签”为A.4. 单击“移动箭头工具”,左单击选中点A（在鼠标箭头为水平状态时左单x的值.如下页图1所击）,再依次单击“度量”、“横坐标（X）”,这时显示出A示.x的值”,再依次5. 依次单击“数据”、“计算”,在弹出的对话框中,先单击“A输入“-”、“2”,单击“确定”.如图2所示,得到“2-A x ”的值.6. 依次单击“绘图”、“绘制点”,在弹出的对话框中保持选择“直角坐标系”,单击“A x 的值”作为点的横坐标,单击“2-A x 的值”作为点的纵坐标,单击“绘制”、“完成”.如图3所示.7. 设置绘制的点的标签为P .8. 单击选中点P ,依次单击“显示”、“追踪绘制的点”.9. 单击选中“A x 的值”、“2-A x 的值”,依次单击“显示”、“隐藏度量值”,隐藏“A x 的值”和“2-A x 的值”.10. 在x轴上来回拖动点A,可得到许多不同位置的点P,如图4所示.提出问题y图象上的=x（1）由作图可知,点P________（填“是”或“不是”）一次函数2-点.（2）在拖动点A的过程中,点P的位置也随之改变,这些点P很明显是呈y的图象是一条_________.=x-_________分布的,于是我们大胆猜想,一次函数2为了验证我们的合情猜想,继续进行下面的探究:11. 先后单击选中点A和点P,依次单击“构造”、“轨迹”,得到一条直线,这条y的图象.如图5所示.=x-直线就是一次函数212. 依次单击“显示”、“檫除追踪踪迹”;选中点P,依次单击“显示”、“追踪绘制的点”,此时解除对点P的追踪.经过第12步,可以肯定我们的猜想是正确的.这时再来回拖动点A,可以发现点y上移动.如图6所示.=x-P在直线2按照上面介绍的探究方法,我们可以探究其它一次函数图象的形状.探究二一次函数图象的性质在前面探究的基础之上,我们可以继续探究下面的问题:y=x （1）既然一次函数的图象是一条直线,是不是所有的一次函数都和函数2-一样,它们的图象从左到右都是上升的?如果不是,其图象的升降取决于什么呢?（2）一次函数的图象与y 轴的交点有什么规律吗?（3）如果几个一次函数的图象是上升的直线,那么这些直线的倾斜程度是否一样?倾斜程度取决于什么?一次函数的关系式为()0≠+=k b kx y ,不同的一次函数是k 或b 不同而已,于是我们有理由相信:一次函数的图象和性质取决于k 和b .至于是取决于k 和b 的符号还是它们的值,以及k 和b 是怎样影响一次函数的图象的,则是我们要展开探究的内容.【探究步骤】我们的探究思路和方法是这样的:分别控制k 和b 的值（包括符号）在一定范围内变化,观察一次函数图象的变化,从而得出一次函数的图象和性质与b k ,的关系.1. 打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”.2. 单击“点工具”,移动鼠标箭头至y 轴上（此时y 轴为红色的粗实线）,单击释放,即可在y 轴上绘制出一个自由点.3. 单击选中自由点和y 轴,依次单击“构造”、“垂线”.4. 单击“点工具”,分别在垂线位于y 轴两侧的部分各绘制一个自由点,分别为点A 和点B .5. 选中点A 和点B ,依次单击“构造”、“线段”,画出线段AB ,此时垂线变成虚线.6. 选中垂线和y 轴上的自由点,依次单击“显示”、“隐藏对象”.7. 按照同样的方法画出线段CD .8. 单击“点工具”,分别在线段AB 和CD 上各绘制一个自由点,标签分别为E 、F .9. 单击“移动箭头工具”,分别选中点E 和点F ,依次单击“度量”、“横坐标”,得到E x 的值和F x 的值.如图1所示.10. 选中“E x 的值”右单击,从弹出的列表中选择“度量值的标签”,在弹出的对话框中设置标签为k .用同样的方法设置“F x 的值”为b 的值.如图2所示.11. 依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“k的值”、“*”、“x”、“+”、“b的值”,如图3所示,单击“确定”.=,单击“显示”,修改“线型”为“中等”.y+12. 单击选中直线bkx13. 选中点E和点F,单击“显示”,修改点的颜色为“浅蓝色”,表示这是两个可以拖动的点.如图4所示.问题探究=,依次单击“显示”、y+kx先来探究k对一次函数图象的影响: 单击选中直线b“追踪函数图象”.（1）拖动点E在线段AB位于y轴左侧的部分上移动,可以发现在拖动的过程中, k的值为_________（填“正”或“负”）,函数的图象都是_________（填“上升”或“下降”）的.如图5所示;（2）拖动点E到线段AB位于y轴右侧的部分上,依次单击“显示”、“檫除追踪踪迹”.在右侧拖动点E,可以发现在拖动的过程中,k的值为_________（填“正”或“负”）,函数的图象都是_________（填“上升”或“下降”）的.如图6所示;于是得到下面的结论:k,当0结论1对于一次函数b≠=()0kxy+k时,其图象从左到右是________的,>表明y随x的增大而_________;当0k时,其图象从左到右是_________的,表明<y随x的增大而_________.（3）重新探究图5的过程,可以发现,当0k时,k的值越小,直线越_________<（填“陡”或“缓”）;重新探究图6的过程,可以发现,当0k时,k的值越大,直线越>_________（填“陡”或“缓”）.于是得到下面的结论:≠=()0k,k越_________（填“大”或“小”）,其图象kx结论2对于一次函数by+越陡,即越靠近于y轴.y+=和y轴,依次单击“构kx接着来探究b对一次函数图象的影响:选中直线b=和y轴的交点G.y+kx造”、“交点”,得到直线b选中点G,依次单击“度量”、“坐标”,得到点G的坐标.拖动点F在线段CD上移动,如图7所示,可以发现:（4）当0b时,> b时,点G在y轴的_________（填“正半轴”或负半轴）上,当0<点G在y轴的_________（填“正半轴”或负半轴）上.（5）点G的纵坐标与b值的关系是_________.（6）追踪函数图象所得的直线都是平行的.于是得到下面的结论:=()0≠k,其图象与y轴的交点为_________.y+结论3对于一次函数bkx结论4两个一次函数的图象互相平行的条件是k值_________,b值_________.总结通过上面的探究我们可以发现,借助于几何画板,能为我们的教学和学生的学习带来很好的效果,但是,也要看到,在探究的过程中,几何画板提供的是几何直观,我们通过观察得到的结果,还必须经过严格的证明才能被人们所信服.。
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
实验特殊函数与图形
圆环面
15
find 命令
find(A)：找出矩阵非零元素所在的下标 例：>> A=[0,4,0;-1,0,0];
>> [I,J]=find(A) >> A=[0,4,0,-1,0,0]; >> b=find(A)
find(条件)：找出符合条件的元素所在的位置
>> a=[4,5,78,121,3,65,24,2]; >> b=find(a>10)
自动截取坐标轴显示范围
26
双叶双曲面
双叶双曲面标准方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
x a tan cos
y
b
tan
sin
z c sec
0 2 / 2 3 / 2, / 2
第一自变量的取值范围 第二自变量的取值范围
按字母顺序
符号作图无需
用数组运算
21
球面的绘制
法三、利用 sphere 函数数值作图
>> [X,Y,Z]=sphere(60); >> R=3; >> X=R*X; Y=R*Y; Z=R*Z; >> surf(X,Y,Z); 注：该方法不推荐！
22
椭球面
3
plot举例
4
上机作业
1、用 plot 函数在一个坐标系下绘制以下函数的图形：
y1 sin( x), y2 cos( x), y3 sin(2x), 0 x 2
y1 用黑色间断线点标记为星号 y2 用红色实线点标记为小方格 y3 用蓝色虚线点标记为小圆圈
数学实验报告实验一一元函数的图像详解
数学与统计学院实验报告实验项目名称所属课程名称实验类型实验日期班级学号姓名成绩3.掌握用Mathematica，AMGS作平面曲线的方法与技巧；4.掌握用高等数学图形系统；5.完成数学实验报告，总结方法，增强数学思维能力。
【实验原理】1．在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot命令Plot的基本使用形式是Plot[f[x],{x,min,max,选项}]其中f[x]要代入具体的函数，也可以将前面已经定义的函数f[x]代入，min和max 分别表示自变量x的最小值和最大值，即说明作图时自变量的范围，必须输人具体的数值．Plot可以有很多选项(Options)，这样才能满足作图时的种种需要，例如输入Plot[x^2，{x，-1，1}，AspectRatio1，PlotStyle RGBColor[1，0，0]，PlotPoints30]然后同时按下shift和Enter键，则作出函数y=x2在区间-1≤x≤1上的图形，选项AspectRatio1使图形的高与宽之比为1﹕1．如果不输入这个选项，则命令默认图形的高宽之比为黄金分割值．选项PlotStyle RGBColor[1，0，0]使曲线采用某种颜色．选项PlotPoints30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点，增加这个选项会使图形更加精细．注符号“一>”是通过输入减号键和大于号键得到的．Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形，只要用集合的形式jfl[x]，f2[x]，…}代替f[x]．例如输入Plot[{x^2，Sqrt[x]}，{x，0，2}]则在同一坐标系内作出了函数y=x2和y= Sqrt[x]的图形2．在平面直角坐标系中利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot 命令ParametricPlot的基本形式是ParametricPlot[{g[t],h[t]},{x,min,max},选项]其中g(t)，h(t)是曲线的参数方程．例如输入ParametricPlot[{Cos[t]，Sin[t]}，{t，0，2Pi}，AspectRatio1]则作出了一个单位圆3．极坐标方程作图命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图，则首先要打开作图软件包，输入<<Graphics’Graphics’执行以后，可使用PolarPlot命令作图，其基本形式是PolarPlot[f[t],{t,min,max,选项}]例如曲线的极坐标方程为r=3cos 3t，要作出它的图形，输入<<Graphics`Graphics`PolarPlot[3Cos[3t]， {t， 0， 2Pi}]便得到了一条三叶玫瑰线4．隐函数作图命令ImplicitPlot先打开作图软件包，输入<<Graphics\Implicit.m命令ImplicitPlot的格式是ImplicitPlot [隐函数方程，自变量的范围，作图选项]例输入ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2x^2-y^2， {x， -1， 1}]输出的图形是一条双纽线【实验环境】Lenovo：Intel(R)Core(TM)i5-2430M CPU @2.40GHz 4.00GB的内存Windows-7 PCMathematic 5.2附录1：源程序附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
《函数的图像》课件
一次函数பைடு நூலகம்
具有形如y = kx + b的定义式，图像为一条直线， 斜率决定了线的倾斜方向和斜率大小。
二次函数
具有形如y = ax²+ bx + c的定义式，图像为一 个抛物线，开口方向由a的正负决定。
正弦函数
具有形如y = A*sin(kx)的定义式，图像为一条波 浪线，幅度A和周期2π/k决定了图像的特征。
余弦函数
具有形如y = A*cos(kx)的定义式，图像为一条波 浪线，幅度A和周期2π/k决定了图像的特征。
一次函数和二次函数的图像特征
一次函数
斜率决定了线的倾斜方向和斜率大小，截距决定 了线与y轴的交点。
二次函数
开口方向由a的正负决定，顶点坐标由b和c确定。
正弦函数和余弦函数的图像特征
正弦函数
特殊函数的图像特征
特殊函数如双曲函数和阶乘函数，具有独特的图像特征和性质。通过观察函数的定义式和图像，我们可 以了解这些特殊函数的行为。
应用题：解析一个函数的图像 以及其物理意义
通过绘制函数的图像，我们可以解析出该函数的特征，理解函数在特定场景 中的物理意义。
应用题：为特定函数画出一个 图像，并做出分析
通过为特定函数画出图像，并分析其特征和性质，我们可以深入理解函数的 行为和规律。
应用题：如何利用已知函数画出复合函 数的图像？
通过已知的基本函数对函数进行组合，我们可以画出复合函数的图像，并理解函数组合的效果。
函数的极值、最大值和最小值
函数的极值是指函数的最大值和最小值，可以通过求导数和检查导数的零点 来找到函数的极值点。
平移、放和反转函数的图像
通过对函数的定义式进行变换，我们可以实现函数图像的平移、放大、缩小 和反转。
实验一一元函数的图形课件
图1-18
1.2.5分段函数的作图
输入命令： ezplot('x-floor(x)',[-4,4]) 得到函数y=x-[x]的图形(见图1.19)。这是锯齿形曲
线。 注意，它是周期为1的函数。
图1-19
【例13】作出符号函数y=sgn(x)的图形。 输入命令： ezplot('sign(x)',[-2,2]) 就得到符号函数的图形(见图1.20)。点x=0是它的
命令ezplot的格式是：
ezplot(f(x,y),[xmin,xmax,ymin,ymax])
该命令执行后绘制出由方程f(x,y)=0所确定的隐函数在区域： xmin≤x≤xmax，ymin≤y≤ymax内的图形。
命令中的第二项[xmin,xmax,ymin,ymax]给出了变量x与y的 范围。当省略第二项时，默认变量x与y的范围都是[-
2 ,2 ]。
例如方程(x²+y²)²=x²-y²确定了y是x的隐函数。为了作出它 的图形，输入：
ezplot('(x^2+y^2)^2-x^2+y^2',[-1,1,-0.5,0.5])输出图形是一 条双扭线(见图1.5)。
图1-5
1.1.5 分段函数作图
分段函数的定义用到条件语句，而条件语句根据具体条件分支的方式 不同，可有多种不同形式的if语句块。这里仅给出较为简单的三种条 件语句块：
g绿
. 点 v 上三角形 : 虚线
r红
o 圈 ^ 下三角形 -. 点画线
c青
+ 十字 < 左三角形 -- 画线
m 品红
* 星 > 右三角形
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的图形 .
注意：
[1] fun 必须是M文件的函数名或是独立变量为 x的字符串.
[2] fplot
函数不能画参数方程和隐函数图形，
但在一个图上可以画多个图形。
例5 在[-1, 2上]画图形,函数为
y ? e2x ? sin(3x2 )
解 先建M文件myfun1.m： function Y=myfun1(x) Y=exp(2*x)+sin(3*x.^2) 再输入命令： fplot(‘myfun1',[-1,2])
(1) ezplot
ezplot('f(x) ',[a,b])
表示在a<x<b绘制显函数 f=f(x)的函数图
ezplot( 'f(x,y) ',[xmin,xmax,ymin,ymax])
表示在区间 xmin<x<xmax 和 ymin<y<ymax 绘制 隐函数 f(x,y)=0 的函数图
ezplot( 'x(t) ', 'y(t) ',[tmin,tmax]) 表示在区间 tmin<t<tmax绘制参数方程
表3 axisBiblioteka 令axis([x，1x2，y1，y2]) 设置坐标轴范围
axis square
当前图形设置为方形
axis equal
坐标轴的长度单位设成相等
axis normal
关闭axis equal和axis square
axis off
关闭轴标记、格栅和单位标志
axis on
显示轴标记、格栅和单位标志
hold off -----释放当前图形窗口
例11 将y=sin(x)、y=cos(x)分别用点和线画出 在同一屏幕上。
解 z=cos(x); y=sin(x); plot(x,z,':') hold on plot(x,y)
x=x(t),y=y(t) 的函数图
例2 在[0,pi]上画y=cos(x)的图形
解 输入命令
ezplot('cos(x)',[0,pi])
例 3 在[0,2*pi上]画 x ? cos 3 t ， y ? sin3 t 星形图
解 输入命令 ezplot('cos(t)^3','sin(t)^3',[0,2*pi])
例 4 在[-2，0.5]，[0，2]上画隐函数 e x ? sin(xy) ? 0 的图 解 输入命令 ezplot('exp(x)+sin(x*y)',[-2,0.5,0,2])
(2) fplot
fplot(‘fun',lims)
表示绘制字符串 fun指定的函数在
lims=[xmin,xmax]
处理图形
1、在图形上加格栅、图例和标注
（1）GRID ON: 加格栅在当前图上 GRID OFF: 删除格栅
（2） xlabel(string): 在当前图形的 x轴上加标 记string
ylabel(string): 在当前图形的 y轴上加标记string zlabel(string): 在当前图形的 z轴上加标记string title(string): 在当前图形的顶端上加 标记string
（3）gtext(‘string')
命令gtext(‘string')用鼠标放置标注 在现有的图上.
-----运行命令gtext(‘string')时， 屏幕上出现当前图形，在图形上出现一个交叉 的十字，该十字随鼠标的移动移动，当按下鼠 标左键时，该标注string放在当前十交叉的 位置.
例9 在区间[0,2*pi] 画sin(x)和cos(x)， 并分别标注“sin(x)”,”cos(x)”.
例8 在区间[0,2*pi]画sin(x)的图形，并加注标记 “自变量X”、“函数Y”、“示意图”, 并加格栅.
解 x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); plot(x,y) xlabel('自变量X') ylabel('函数Y') title('示意图') grid on
线型
X,Y是向量,分别表示点集的横坐标和纵坐标
PLOT(X,Y)-- 画实线 PLOT(X,Y1,'S1',X,Y2,'S2',……,X,Yn,'Sn')
-- 将多条线画在一起
例1 在[0,2*pi] 用红线画sin(x),用绿圈画 cos(x). 解：x=linspace(0,2*pi,30);
解 x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,x,z) gtext('sin(x)');gtext('cos(x)')
2、定制坐标 Axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) x、y、z的最大、最小值
定制图形坐标 Axis auto 将坐标轴返回到自动缺省值
实验 1
曲线绘图
实验目的
? 学习 Matlab 绘图命令； ? 进一步理解函数概念。
1.曲线图 Matlab作图是通过描点、连线来实现的，故在 画一个曲线图形之前，必须先取得该图形上的一 系列的点的坐标（即横坐标和纵坐标），然后将 该点集的坐标传给Matlab函数画图.
命令为： PLOT(X,Y,'S')
例6 在[-2,2范] 围内绘制函数tanh的图形 解 fplot('tanh',[-2,2])
例7 x、y 的取值范围都在[-6, 6]，画函数tanh(x), sin(x), cos(x)的图形
解 输入命令: fplot('[tanh(x),sin(x),cos(x)]',[-66-66])
y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,'r',x,z, 'g o')
表1 基本线型和颜色
符号 y m c r g b w k
颜色 黄色 紫红 青色 红色 绿色 兰色 白色 黑色
符号 . o x + * : -. --
线型 点 圆圈 x标记 加号 星号 实线 点线 点划线 虚线
2.符号函数 (显函数、隐函数和参数方程 )画图
例10 在区间[0.005,0.01]显示sin(1/x)的图形。
解 x=linspace(0.0001,0.01,1000); y=sin(1./x); plot(x,y) axis([0.005 0.01 -1 1])
3、图形保持 (1) hold on ------保持当前图形, 以便继续画图到当前图上