优选近世代数图形的对称变换群ppt

，所以 g1g2 g1 g2 .
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其直观意义是，g Dm 对 的作用就是
对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而
g Dm使
g 1 2
1 与 2 是同一类型的 1 与 2 属于同一轨道.
因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同
类型项链数目就是 Dm 对 作用下的轨道数目
4
但其中有一些可以通过旋转一个角
度或翻转180度使它们完全重合，
5
我们称为是本质相同的，我们要考
虑的是无论怎么旋转、翻转都不能
使它们重合的项链类型数。
1 8
7 6
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设X={1，2，…m}, 代表m颗珠子的集合， 它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子 标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.
ik
im
1
c1
2 c2
，其中 ck A
k m
ck
c
m
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定义 g 对 的作用为
g
g 1
c1
g 2
c2
则 e
g
m
cm
i1 c1
i2 c2
im
g
1
cm
g1g 2 g1g 2 1 g21 g11
g1 g2 g1 g21 g21g11
这里所说的不同类型的项链，指两个 项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。
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数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
心按逆时针方向旋转120度、240度的旋转变
换.
1
l4 l2
l1 l3
l3
2
1
O
O
l2
2
3
l1
3
4
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例 2 正方形的对称变换群.
正方形的四个顶点分别可用1、 2、 3、 4来表示. 于是正方形的每一对称变换可用一 个4次置换来表示. 显然， 不同的对称变换 所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对 应了置换的乘积. 这说明，正方形的对称变换 群可用一置换群来表示.
S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
表示正三角形的对称变换群.
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其中(1)为恒等变换, (1 2), (1 3), (2 3) 分
别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,
(1 2 3), (1 3 2)分别表示关于正三角形的中
A
C
D
5：
C
D
B
A
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B
A
A
B
6：
C
D
D
C
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B
7：
C
A
DADC源自B2020/10/13
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B
8：
C
B
C
A
D
A
D
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定理1
正n边形的对称变换群阶为2n. 这种群称
为2n 元二面体群. 记为Dn
0 2
1 123
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一、图形的对称变换群 定义1: 使图形不变形地变到与它重合的变 换称为这个图形的对称变换.
定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘 法构成群，称为这个图形的对称变换群.
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例 1 正三角形的对称变换群.
设正三角形的三个顶点分别为1、 2、 3. 显然，正三角形的每一对称变换都导致正三 角形的三个顶点的唯一一个置换. 反之， 由 正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正 三角形的唯一一个对称变换，从而可用
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B
A
1：
2 Pi
C
D
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B
A
A
D
2：
2 Pi
Pi 2
C
D
B
C
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B
A
D
C
3：
2 Pi
Pi
C
D
A
B
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B
A
C
B
4：
2 Pi
3 Pi
----
2
C
D
D
A
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B
A a1, a2, , an 为n种颜色的集合.
则每一个映射 : X A 代表一个有标号
的项链.
令 | : X A ，它是全部有
标号项链的集合，显然有
nm
，是全部有标号项链的数目.
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现在考虑二面体群 Dm 对集合 的作用：
设
1 2 k m
g
Dm
i1 i2
所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
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平面上正方形ABCD的对称变换群
S(K)={ (1), (1234),(13)(24), (1432), (14)(23), (12)(34), (24), (13)}
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
(16)(25)(34), (12)(36)(45), (14)(23)(56)}
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二、置换类型
一个n次置换 ，如果其循环置换分解式 是由1 个1-循环，2 个2-循环， , n 个n-循环
组成，则称 是一个 11 22 nn 型置换，
其中 1 1 2 2 n n n.
,
1 123 n , n 2 , ,n1
123
n n1 ,
0 2 n (3 n 1) ,
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D6
D6 {
2
1
(1), (123456),
(135)(246),
3
6
(14)(25)(36),
(153)(264),
(165432),
4
5
(26)(35), (13)(46), (15)(24),
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容易看出, 正方形的对称变换有两类:
第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转，
这对应于置换
(1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换
(1 2)(3 4)，(2 4)，(1 4)(2 3)，(1 3).
例： S5 中 (123) (123)(4)(5) 是一个1231 型置换
(12345) 是一个 51 型置换 (12)(34) (12)(34)(5)是一个1122 型置换
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三、项链问题
问题的提法： 用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链， 问可做成多少种不同类型的项链？