北师大版平行四边形
北师大版五年级上册《平行四边形面积》教学设计
发现两个版本内容序列基本一致，教学多边形面积都安排在五年级上册。
共同点：都是按照“平行四边形面积”“三角形面积”“梯形面积”的顺序安排在同一单元。
体现出平行四边形面积计算是三角形面积、梯形面积计算的基础。
一方面可以利用平行四边形的面积计算公式推导三角形面积计算公式，更重要的可以借鉴平行四边形转化成长方形的方法，把三角形、梯形转化成学过的图形面积。
转化方法上各版本教材均以“全等拼接，折半求积”的方法作为核心方法。
探究方式上，都是学生讨论、操作，推导出三角形面积公式，这样的设计充分体现了课标中“四基”的要求。
淘气和笑笑分别计算出上面这个平行四边形的面积，都觉得自己的想法有道理，到底谁的正确呢？预设：平行四边形易变形，可以把它拉成一个长方形，长方形面积是长乘宽，所以平行四边形面积可以用邻边×邻边来计算预设：先做一条高，然后沿着高把平行四边形剪开，把剪下的直角三角形移到另一侧，就剪拼成了长方形。
所以平行四边形面积可以用底×高来计算活动一：直观操作得出结论1．明确操作要求：提供给大家学习单和推拉边框，把对于这两种转化方法的想法记录在学习单上，可以数一数、画一画、写一写。
你可以在学习单材料[1]中独立研究，感觉有困难的同学，老师也给你提供了友情支持”，用数格子的方法数一数这个平行四边形的面积是多少。
请把自己数的方法表示出来，让我们一眼就看明白你是怎么数出来的。
（板书：数）2．有序呈现作品汇报交流预设1：直观感受长方形推拉框变化过程中面积变化。
追问：仔细思考，临边相乘算出来的面积应该是谁的面积？能画出这个图形吗？预设：长宽分别为6和5的长方形。
追问：临边是6和5的长方形和平行四边形的面积大小有怎样的关系？预设：动态演示直观感受，压缩过程中面积越来越小，周长不变。
所以不能用临边相乘。
预设2：数方格。
T：这几位同学的做法，有什么共同之处？预设：都是把不满一格的地方补成了满格，都得出平行四边形的面积是24不是30，不能用临边相乘。
北师大版八年级下册数学第六章平行四边形全章教案
-平行四边形性质的推理：对于初学者来说，理解平行四边形性质背后的推理过程可能存在困难，如对角相等、对角线互相平分等。
-特殊平行四边形的判定：学生可能难以区分矩形、菱形、正方形之间的判定条件，特别是它们之间的关系。
-面积公式的运用：学生在运用面积公式进行计算时，可能会对公式的选择和应用场景产生混淆。
-实际问题的解决：将数学知识应用于实际问题时，学生可能难以找到合适的数学模型，从而无法解决问题。
举例：针对难点内容，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-设计具有启发性的问题，引导学生通过观察、猜想、验证等方式，探索平行四边形的性质。
-使用多媒体教学资源，如动画、图片等，直观地展示特殊平行四边形的判定方法和性质。
3.平行四边形的面积
-平行四边形面积公式
-矩形、菱形、正方形面积公式的推导与应用
4.实际应用
-利用平行四边形的性质解决实际问题
-在实际情境中识别和应用特殊平行四边形
5.探究活动
-探索平行四边形的性质
-体验特殊平行四边形的特征与应用
本章内容旨在帮助学生掌握平行四边形的性质与判定，理解特殊平行四边形之间的关系，并能运用相关知识解决实际问题。通过探究活动，培养学生的观察、分析、推理能力和团队合作精神。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
第六章--平行四边形易错题(最新北师大版)
第六章平行四边形1.平行四边形判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形；2.三角形中位线（1）定义：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线；（2）性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；推论：过一边中点平行于另一边的直线必平分第三边.中点四边形：顺次连接四边形个边中点构成的新四边形，新四边形一定是平行四边形.3.多边形【如：n边形有n个顶点、n条边、n个内角】（1）多边形内角和公式：（n-2）.180°（2）所有多边形的外角和都是360°（3）对角线：从一个顶点可以引3-n条对角线；总共有2)3(-nn条对角线.★正多边形：每条边都相等，每个内角都相等镶嵌（密铺）：即用整数个全等的图形将一点围成360°（可以有多种图形组合）平行四边形1.平行四边形具有而非平行四边形的图形不具有的性质是（）A．内角和与外角和都是360°B．不稳定性C．对角线互相平分D．最多有三个钝角2. 在下列命题中，结论正确的是（）A．平行四边形的邻角相等B．平行四边形的对边平行且相等C．平行四边形的对角互补D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够完全重合3.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD， AD∥BC B．AB=CD，AB∥CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC4.下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.下列命题中错误的命题是（）A．（-3）2的平方根是±3 B．平行四边形是中心对称图形C．单项式5x2y与-5xy2是同类项D．近似数3.14×103有三个有效数字6. 已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26 C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确7. 如图①，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．12图①图②图③8. 在▱ABCD中，AD=2，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F．若EF=1，则▱ABCD的周长为_______.如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF9.如图，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，则图中三个阴影三角形的周长和为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm10已知（如图④）△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C的位置，使B′和C 重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18 图④图⑤11.如图⑤，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A．7个B．8个C．9个D．11个12.如图⑥，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．图⑥图⑦图⑧13.如图⑦，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．14.已知：如图⑧，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．15.如图⑨，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．图⑨图⑩图1116.如图⑩，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1（1）线段OA1的长是______，∠AOB1的度数是______；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；（3）求四边形OAA1B1的面积．17.如图11，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE．（1）请指出图中哪些线段与线段CF相等；（2）试判断四边形DBCF是怎样的四边形，证明你的结论．18.已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）．（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C′，使得∠APF=∠BPC′，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，连接FC′，取FC′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．三角形中位线◆若两个三角形的两条中位线对应相等且两条中位线与一对应边的夹角相等，则这两个三角形的关系是（） A、全等 B、周长相等 C、不全等 D、不确定1.已知三角形三边之比为2：3：4，且此三角形的三条中位线围成的三角形的周长是9，则原三角形的最长边是______.2. 如图①，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是_____度．图①图②3. 如图②，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连接AM，则AM= ____cm．4. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是_____．5. 已知（图③）：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．图③图④图⑤6.已知：如图④，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．7.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC 并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB=CE，∠BAE=60°，∠DCE=20°，求∠CBE的度数多边形1.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形D．六边形2.一个多边形的内角和为540°，则其对角线的条数是（）A. 3条 B. 5条 C. 6条 D. 12条3.当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加___°，外角和增加______°.4.如果一个正多边形的内角等于它的外角和的5倍，那么这个正多边形的一个内角是___°.5. 一个n边形的每个外角都等于36°，则n=_____.6.一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能镶嵌（密铺）1.只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形2.下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正六边形C．正方形D．正五边形。
北师大版八年级数学下册6.2《平行四边形的判定》教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：平行四边形的判定方法及其性质的应用。
2.难点：理解并灵活运用多种判定方法，解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生自主探究平行四边形的判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
1.充分调动学生的几何基础知识，引导学生将已学习的平行线、三角形等知识与平行四边形相结合，形成知识体系。
2.关注学生的学习难点，针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的教学，帮助学生克服困难。
3.创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生将所学知识应用于解决实际问题。
4.注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.作业完成后，请认真检查，确保答案正确。
3.家长签字确认，以便教师了解学生在家的学习情况。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.引导学生观察生活中的平行四边形实例，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活实践中发现数学问题的能力。
2.通过小组合作、讨论、交流等学习方式，让学生自主探索平行四边形的判定方法，培养学生合作学习、自主探究的能力。
3.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中掌握平行四边形的性质和判定方法，提高学生的实际操作能力。
（2）提高题：设计具有一定难度的题目，让学生在解决实际问题时，灵活运用所学知识。
（3）开放题：鼓励学生发挥想象，运用平行四边形的性质解决生活中的实际问题。
4.教学评价：
（1）关注学生的学习过程，评价学生在课堂上的参与程度、合作意识、探究能力等。
二年级数学下册教案 - 《平行四边形》 北师大版
二年级数学下册教案 - 《平行四边形》北师大版教学内容本节课主要学习平行四边形的基本概念、性质和在实际生活中的应用。
教学内容包括：1. 平行四边形的定义：介绍平行四边形的定义，即有两对对边分别平行的四边形。
2. 平行四边形的性质：探讨平行四边形的性质，如对边相等、对角相等、邻角互补等。
3. 平行四边形的判定：如何判断一个四边形是平行四边形。
4. 实际应用：将平行四边形的知识应用到实际问题中，如计算周长、面积等。
教学目标通过本节课的学习，学生应达到以下教学目标：1. 知识与技能：学生能够准确理解平行四边形的定义和性质，并能用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法：学生能够通过观察、思考和动手操作，培养空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高他们解决实际问题的能力。
教学难点1. 平行四边形性质的推导：理解并推导平行四边形的性质可能对学生来说是一个挑战。
2. 平行四边形的判定：如何准确判断一个四边形是平行四边形，需要学生有扎实的几何基础。
教具学具准备1. 教具：多媒体投影仪、平行四边形的模型或图片。
2. 学具：直尺、量角器、彩笔、剪刀、胶水等。
教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入平行四边形的概念，激发学生的兴趣。
2. 新知识学习：详细讲解平行四边形的定义、性质和判定方法。
3. 动手操作：让学生通过剪纸、拼图等实践活动，加深对平行四边形的理解。
4. 例题讲解：通过例题，展示如何用平行四边形的性质解决实际问题。
5. 课堂练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
6. 总结与反思：对本节课所学内容进行总结，让学生分享他们的学习心得。
板书设计板书设计应清晰、条理分明，主要包括以下内容：1. 平行四边形2. 定义：有两对对边分别平行的四边形3. 性质：对边相等、对角相等、邻角互补等4. 判定方法：如何判断一个四边形是平行四边形5. 应用实例：展示一两个实际应用的例子作业设计作业设计应注重巩固学生对平行四边形的知识，可以包括以下内容：1. 基础题：让学生画出几个平行四边形，并标出其性质。
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。
6.2平行四边形的判定(1) 课件 2023—2024学年北师大版八年级数学下册
附加
如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，线段AE与线段DF平 行，AE=DF. 求证：四边形EBFC是平行四边形.
如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABC D的边AB， BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
谢谢！
平行四边形的判定（1）
学习目标
• 1、通过类比、猜想、验证，掌握平行四边形的判定定理 • 2、综合应用平行四边形的性质及判定
课堂导入
平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：
同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
∵AB= DC，AD= BC ∴四边形ABCD是平行四边形
A
D
∵AD∥BC且AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
B
C
随堂练习
1、下列条件中，不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB=CD，AB∥CD
A
B.AB∥CD ,AD∥BC
D
C. AB=CD, AD=BC
D.AB=CD,AD∥BC
对角线互相平分的四边形是平 行四边形.
自主学习
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义
A B
D C
数学语言：
四边形ABCD 中， AB//CD , AD //BC 四边形ABCD 为平行四边形
例1
如图， ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，∠ADC的平分线DF交 BC于点F, 求证：四边形BFDE是平行四边形.
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
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知识应用
例题3：（2015梅州中考）如图，在□ABCD中，BE 平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于
_____2_0________.
A
E
D
3
解题攻略 二
2
B1
C
生命值暂时稳定！
知识应用
例题3：（2015梅州中考）如图，在□ABCD中，BE 平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于
3
多边形与平行四边形
知识导图
多边形与平行四边形
预习反馈
目录
知识导图+中考解读 知识运用
中考演练
知识应用
方问法指题导
正确利用平行四边形的判定方法
例题1：（2015广州中考）下列命题中，真命题的个数有（ B ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②两组对角分别相等的四边形是平行四边行
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2 A
2 1
B
6.00
E1
D
3
C 4.00
综合运用
10
A E2
D E1
C 4.00
B
6.00
综合运用
方法思路：
过点B作BM⟘射线AD 构造等腰ΔAMB
等腰三角形三线合一
综合运用
等腰三角形三线合一
能力充足！
多边形与平行四边形
方法小结
回顾知识
总结方法
避免错误
满血复活！
多边形与平行四边形
目录
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
生命值偏弱！
知识应用
例题2：(2016广东中考变式)如图1，正方形ABCD中，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连 接PA、QD，线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四 边形？请说明理由.
解题攻略 翻折、旋转、平移不改变 一 图形的形状和大小
1 2
战斗力基本恢复！
综合运用
（提升训练）如图，在□ABCD中， AB=4,BC=6，∠B=30︒,若点 E沿着射线DA运动，速度是1cm/s, （1）在运动过程中，存在多少个这样的点E，使得ΔBAE为等
腰三角形?请在图中标出来.
(2)请求出点E在相应位置时，t的值？
A
ED
B
C
独学+合学
1.先独立思考，努力探究 2.在2min钟内进行组内交流, 明晰思路
_____
3
解题攻略 二
2
B1
C
多边形与平行四边形
变式训练
知识应用
2
4
A
F
E
D
B
C
知识应用
变式3：如图5，在□ABCD中，AB=4,BC=6,BE平分∠ABC,BE，
CD的延长线相交于点F,求DF的长.
∵BC=6,AB=CD=4 ∴DF=CF-CD=6-4=2
4 3
中考第一轮复习课 多边形与平行四边形
生命值警告！警告！
多边形与平行四边形
预习反馈
目录
知识导图+中考解读 知识运用
中考演练
多边形与平行四边形
预习反馈
选择题
填空题
知识图
生命值警告！
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
多边形与平行四边形
预习反馈
目录
中考解读+知识导图 知识运用
预习反馈 考纲解读+知识导图
知识运用
中考演练
反馈案答案
1. D 2. D 3. A 4. 8cm 5. 平行四边形
反馈案答案
6
∵四边形ABCD是平行四边形
B
2 1
A
E
3
B'
l C
D
为学应须毕生力，攀高贵在少年时 ——“数学之王“苏步青
谢谢
中考演练
多边形与平行四边形
观看要求： 1.回顾知识 2.解决例题1
多边形与平行四边形
中考 2014 2015 2016
题型
内容 分值 题型 内容 分值
选择题
平行四边形性质
3 选择题
多边形内角和
3
填空题
多边形外角和
4 解答题
平行四边形的性 质和判定
6
选择题
平行四边形中心 对称
3 解答题
平行四边形的性 质
综合运用
如图，在□ABCD中， AB=4,BC=6，∠B=30︒,若点E沿着射线 DA运动，速度是1cm/s, （1）在运动过程中，存在多少个这样的点E，使得ΔBAE为等
腰三角形?请在图中标出来.
A
ED
B
C
综合运用
如图，在□ABCD中，AB=4cm,BC=6cm∠B=30︒,若点E沿
着射线DA运动，速度是1cm/s,当t为何值时，ΔBAE为等腰三 角形.