最小方差套期保值比率

附录：最小方差套期保值比率（对冲率）
可以通过股票指数期货演示如何得到对冲现货头寸的最优期货合约数量。

假设A 持有充分分散化的股票组合现货头寸，并且完全模拟市场指数（如S&P500），但是担心价格下跌，希望使用期货合约对持有的头寸对冲。

已知：
S=S&P500指数现价
TVS 0=初始持有现货总值（就是150万美元） F=期货价格（S&P500指数期货） FVF 0=一份期货合约的账面价值 N S,0=现货持有的指数单位数量 N f =持有的期货合约数量 S 0=1500 F 0= “合约乘数”或者S&P500指数每点价值z=250美元。

因此
FVF 0=F 0z （） 如果现货头寸是TVS0美元，投资者初始持有NS,0单位指数，则
N S,0=TVS 0/S 0=1500000/1500=1000单位指数 （）
t=0时，对冲者在现货市场上为多头，因此在期货市场上空头卖出N f 份合约。

在t=1时刻，结清持有的头寸，对冲的组合价值变化如下：
z
F N S N z F F N S S N A V f S f S )()()()
3.3(0,01010,∆-∆=---=+=∆期货头寸的变化
即期市场头寸的变化。

其中，0101,F F F S S S -=∆-=∆
对冲组合的方差是
)4.3(2)()(,2
2222A z N N z N N F S f S F f S S V ∆∆∆∆-+=σσσσ
其中，2
V ∆σ是S 的变化的方差。

对公式（）的Nf 微分，并使之为零（来得到最小值），也就
是0
2
=∂∂f V
N σ，得到最优值： )5.3(,0,2
2A z N z N F
S S F f ∆∆∆=σσ
)6.3()(
2,0,A z N N F
F
S S f ∆∆∆=σσ
代替公式（）中的0,S N ，得到最小方差对冲率
)7.3(0)(,2,00A t zS TVS N F
S F
F S f ∆∆∆∆∆⎪⎭⎫
⎝⎛===βσσ时现货指数的价值现货头寸的总价值
其中，“beta ”为现货资产绝对变化量△S 对期货价格绝对变化量△F 回归得到的回归系数：
)8.3()(,0A F S t
F S εβα+∆+=∆∆∆
)9.3(2
,,A F S
F
F S F S ∆∆∆∆∆∆∆⋅==
σσρσσβ
如果投资者手中持有的股票组合精确地反映了S&P500的组成，beta 值就会与之一致，
于是
)10.3(42501000000,A zS TVS z N N S f （份合约）美元
个指数单位
====
期货合约中持有的指数单位数量是()
10000,==S f N zN ，与现货市场中持有的指数单位数量相同。

注意，f N 最优值的分母是0zS ，而不是00zF FVF =。

但是，下面我们可以看到，如果我们采用更为普通的证券组合beta 的定义，以百分比变动来描述的话，就可以合理地以f N 来改写0FVF 。

注意，在一些对冲率的说明中，有如下定义0
,S f N z N h =
，因此公式（）变为
)(0,F h S N V S ∆+∆=∆，方差根据h 最小化。

这样给出的最小对冲率答案自然与前面得到
的相同。

其他一些公式 最小方差对冲率是
)11.3(002,00A zS TVS zS TVS N F S
F
F
S f ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆∆∆∆σρσσσ
相关系数F
S F
S ∆∆∆∆=
σσσρ,。

如果0,0==f N ρ，对冲不能降低风险。

如果
1,=∆∆F S β），（即F S ∆∆==σσρ1，标的股票组合完全模拟S&P500，那么“简单”对冲率
0zS TVS N f =
是最优解（对冲率00
FVF TVS N f =也通常给出合理的对冲率）。

根据公式（），容易得出0
F FVF z =
，这样，我们就可以使最小方差对冲率的公式（）中出现“期货合约的账面价值”0FVF :
)12.3(,0000A S F FVF TVS N F
S f ∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=β
如果
S F 接近于1，利用⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∆∆00,FVF
TVS F S β可以得到与实际最优值相似的结果。

例如，对于支付红利的股票[]T r S F )(10
δ-+=，0025.1,25.0%,4%,500====S F T r δ，非
常接近于1。

股票组合
假设我们持有的股票组合可以充分分散化，但是构成却没有精确地反映“市场指
数”，如S&P500。

尽管前面公式中的f N 使用绝对变化量，但证券组合的报酬率通常以变化的比例（或百分比）表示。

现在来修正这一点，假设A 的标的股票组合没有模拟S&P500指数，但是预期（比例）回报率P R 与“市场指数”回报率m R 相关，这里的指数仍然为S&P500。

单指数模型给出
)13.3(A R R P
m P P εβα++=
其中，t ε为随机误差，描绘股票组合的非系统组合。

从前文的回归中估计股票组合的P β。

如果忽略红利支付，那么S
S
R P ∆≡，S 是A 持有的证券组合的股票价格。

需要补充的是，
如果假设S&P500期货价格和S&P500指数变化情况大致相同（由于指数套利的可能性），那么 )14.3(A R F
F
m ≡∆
因此
)15.3(2,A F
F F F S S P ∆∆∆=
σ
σβ
但是由于0S 和0F 已知（在t=0）： )16.3(0
a A F F
F
F ∆∆=
σσ
并且
)16.3(0
0,,b A F S F
S F
F
S S ∆∆∆∆=
σσ
因此
)17.3(00,002,A S F S F F S F
F F
S S
P ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∆∆∆∆∆βσ
σβ
将公式（）带入公式（）中，最小方差对冲率可以被表示成：“组合beta ”与
0FVF 的形式：
)18.3(00A FVF TVS N P
f β⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=
这个表达式的优点是可以使用基于beta 资料库中的“证券组合beta 值”∑==
n
i i
i
P 1
β
ϖβ（i ϖ是持有的股票中每种股票所占的比例）。

公式（）与公式（）的主要差别是P β是由股票组合回报率P R 与市场组合回报率m R （也是非常好的F
F
∆的代理变量）回归得到的，而
公式（）是建立在绝对变化量△S 与△F 的回归上。

注意公式（），如果不认为m R 是好的F
F ∆的代理变量，我们可以对百分比变动S
S
∆与F
F
∆进行回归，直接得到P β的估计值。

根据
公式（），如果证券组合的beta P β是1，对冲需要的最优期货是0
FVF TVS N f =。

但是，对于一个股票组合，如果变动大于市场（P β>1），由于期货价格变动的比例小于标的股票，则需要更多的期货才能成功地对冲。