第八章 电磁感应 电磁场
最新8第八章电磁感应电磁场
作由半径L为E iLd 的l环形sd d路B t径dS
L R
Ei
o
rd B
Bd t
有
Ei
dl
L
dB dS dt s
Ei2πrddBt πr2
Ei
r 2
dB dt
8-3 自感 *互感 磁场的能量
预习要点
1. 什么是自感现象? 自感电动势如何计算? 怎样判断 它的指向? 自感系数的物理意义是什么?
dt
例:半径为R的圆柱形空间内存在垂直于纸面向里的均
匀磁场，磁感应强度B
以d B
dt
的变化率均匀增加时，求
圆柱形空间内各点处感生电场的场强.
解: 由于圆柱形空间的对称性
及磁场均匀增加，圆形磁场区
域内 E感线为一系列同心圆.且
同一圆周上
Ei
大 小相等,方向沿
切线,指向与 d B 成左螺旋关系.
dt
8第八章电磁感应电磁场
第八章 电磁感应 电磁场
8-0 第八章教学基本要求 8-1 电磁感应的基本定律 8-2 动生电动势 *涡旋电场 8-3 自感 *互感 磁场的能量 *8-4 位移电流 麦克斯韦方程组
令 mNBS
m si n t ()
(2)I εm sω in N t ω B siS tn ( )
B1N l1I1n1I1
穿过半径为 r2 的线圈的磁通链匝数为
Ψ N 2 Φ 2 1 N 2 B 1 (π r 1 2 )n2lB 1(πr12)
代入 B1计算得 Ψ N 2 Φ 2 1 μ 1 n 2 l n π ( r 1 2 )1I
则 M 12 N 2 IΦ 121μ1n2lπ (r12)
a
Bv
大学物理第8章 电磁感应定律2课时PPT课件
Ii
i R
1 R
dΦ dt
（变化快慢）
3）t t2t1时间内，流过回路的电荷
q
t2 t1
Idt
R 1Φ Φ 12dΦ R 1(Φ 1Φ 2)（变化量）
第八章 电磁感应
4） 感应电动势的方向
i
dΦ dt
B
人为规定回路L方向：
B与回路成右螺旋，则 Φ0 L
反之， Φ 0
N
d Φ Φ (t d t) Φ (t)
回路所围面积的磁通量发
生变化时，回路中会产生
感应电动势，且感应电动
势正比于磁通量对时间变
化率的负值.
i
k
dΦ dt
国际单位制
i
伏特
Φ 韦伯
第八章 电磁感应
B
A
i
i
N
k 1
i
dΦ dt
讨论：
第八章 电磁感应
1）闭合回路由 N 匝密绕线圈组成
i
d
dt
N d dt
磁通匝数（磁链）
NΦ
2）若闭合回路的电阻为 R ，感应电流为
线路； （3）钳形安培表测回路中交流电大小； （4）感应线圈使低压直流电变为高压脉冲，形
成高压放电，用于点火装置等; （5）电焊机利用互感产生低压大电流熔化金属进
产生感生电动势的非静电场
感生电场
麦克斯韦假设 变化的磁场在其周围空间激发一
种电场, 这个电场叫感生电场 Ek。
闭合回路中的感生电动势
i
dΦ LEkdl dt
d
ΦSB i dSLE kdlL E k dS l B tdd tS SBdS
第八章 电磁感应
感生电场和静电场的对比
大学物理第八章课后习题答案
大学物理第八章课后习题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第八章电磁感应电磁场8 －1一根无限长平行直导线载有电流I，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（）（A）线圈中无感应电流（B）线圈中感应电流为顺时针方向（C）线圈中感应电流为逆时针方向（D）线圈中感应电流方向无法确定分析与解由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱．因而当矩形线圈朝下运动时，在线圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定．因而正确答案为（B）．8 －2将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（）（A）铜环中有感应电流，木环中无感应电流（B）铜环中有感应电流，木环中有感应电流（C）铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小（D）铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大23分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等，但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A ）．8 －3 有两个线圈，线圈1 对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且ti t i d d d d 21<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为ε12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）．（A ）2112M M = ，1221εε=（B ）2112M M ≠ ，1221εε≠（C ）2112M M =， 1221εε<（D ）2112M M = ，1221εε<分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 12121=；ti M εd d 21212=．因而正确答案为（D ）． 8 －4 对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ）（A ） 位移电流的实质是变化的电场（B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷（C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律（D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理分析与解 位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）．48 －5 下列概念正确的是（ ）（A ） 感应电场是保守场（B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线（C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比（D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而正确答案为（B ）．8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为()Wb π100sin 100.85t Φ⨯=，求在s 100.12-⨯=t 时，线圈中的感应电动势．分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成tψt ΦN ξd d d d -=-=，其中ΦN ψ=称为磁链． 解 线圈中总的感应电动势()()t tΦNξπ100cos 51.2d d =-= 当s 100.12-⨯=t 时，V 51.2=ξ． 8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以tI d d 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示．求线圈中的感应电动势．5分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律tΦξd d -=来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用⎰⋅=SΦS B d 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B 1 与B 2 之和）． 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即()B B x =，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx 、长为d 的面元ｄS ，如图中阴影部分所示，则x d S d d =，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元y x S d d d =，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式tl M E M d d -=求解． 解1 穿过面元ｄS 的磁通量为()x d xI μx d d x I μΦd π2d π2d d d d 0021-+=⋅+⋅=⋅=S B S B S B 因此穿过线圈的磁通量为()43ln π2d π2d π2d 02020Id μx x Id μx d x Id μΦΦd d dd =-+==⎰⎰⎰ 再由法拉第电磁感应定律，有6tI d μt ΦE d d 43ln π2d d 0⎪⎭⎫ ⎝⎛=-= 解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为 43ln π20dI μΦ=线圈与两长直导线间的互感为 43ln π20d μI ΦM == 当电流以tl d d 变化时，线圈中的互感电动势为 tI d μt I M E d d 43ln π2d d 0⎪⎭⎫ ⎝⎛=-= 试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t ，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量()ξf ΦS,1d =⋅=⎰S B ，它表现为变量I 和ξ的二元函数，将Φ代入t ΦE d d -= 即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中v =tξd d ，再令ξ＝d 即可求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势．8 －8 有一测量磁感强度的线圈，其截面积S ＝4.0 cm 2 、匝数N ＝160 匝、电阻R ＝50Ω．线圈与一内阻R i ＝30Ω的冲击电流计相连．若开始时，线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直，然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行．此时从冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=⨯．问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少7分析 在电磁感应现象中，闭合回路中的感应电动势和感应电流与磁通量变化的快慢有关，而在一段时间内，通过导体截面的感应电量只与磁通量变化的大小有关，与磁通量变化的快慢无关．工程中常通过感应电量的测定来确定磁场的强弱． 解 在线圈转过90°角时，通过线圈平面磁通量的变化量为NBS NBS ΦΦΦ=-=-=0Δ12 因此，流过导体截面的电量为ii R RNBS R R Φq +=+=Δ 则 ()T 050.0=+=NSR R q B i 8 －9 如图所示，一长直导线中通有I ＝5.0 A 的电流，在距导线9.0 cm 处，放一面积为0.10 cm 2 ，10 匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是均匀的．今在1.0 ×10－2 s 内把此线圈移至距长直导线10.0 cm 处．求：（1） 线圈中平均感应电动势；（2） 设线圈的电阻为1.0×10－2Ω，求通过线圈横截面的感应电荷．8分析 虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用NBS ψ=来计算线圈在始、末两个位置的磁链．解 （1） 在始、末状态，通过线圈的磁链分别为1011π2r ISμN S NB ψ==,2022π2r IS μN S NB ψ== 则线圈中的平均感应电动势为 V 1011.111πΔ2ΔΔ8210-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==r r t IS μN t ΦE 电动势的指向为顺时针方向．（2） 通过线圈导线横截面的感应电荷为tΦE d d -= 8 －10 如图（ａ）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高9分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由tΦE d d -=求解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式()l B d ⋅⨯=⎰l E v 求解．在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl 上的动生电动势()l B d d ⋅⨯=v E .在一般情况下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函数．矢量（v ×B ）的方向就是导线中电势升高的方向． 解1 如图（ｂ）所示，假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或端点P 距 形导轨左侧距离为x ，则B R Rx Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2π212 即B R tx RB t ΦE v 2d d 2d d -=-=-= 由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E ＝－2R v B ．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高． 解2 建立如图（c ）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl ，则()θR θB l θB E o d cos d cos 90sin d d v v ==⋅⨯=l B vB R θθBR E v v 2d cos d E π/2π/2===⎰⎰- 由矢量（v ×B ）的指向可知，端点P 的电势较高．10 解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量==BS Φ常数.由法拉第电磁感应定律tΦE d d -=可知，E ＝0 又因 E ＝E OP ＋E PO即 E OP ＝－E PO ＝2R v B由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法．8 －11 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是O A 棒与O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而E O A 和E O B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果．解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl ，则()()r L lB ωl lB ωE L-r r AB AB 221d d --=-=⋅⨯=⎰⎰-l B v 因此棒两端的电势差为()r L lB ωE U AB AB 221--== 当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中221r ωB E OA =,()221r L B ωE OB -= 则()r L BL ωE E E OB OA AB 221--=-= 8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO ′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律t ΦE d d -= 计算（此时必须构造一个包含OP 导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO ），也可用()l B d ⋅⨯=⎰lE v 来计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．解1 由上分析，得()l B d ⋅⨯=⎰OP OP E v l αB l o d cos 90sin ⎰=v()()l θB θωl o d 90cos sin ⎰-=l()⎰==L θL B ωl l θB ω022sin 21d sin 由矢量B ⨯v 的方向可知端点P 的电势较高．解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势QO PQ OP E E E t ΦE ++==-=0d d 显然，E QO ＝0，所以()221PQ B ωE E E QO PQ OP ==-= 由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂直切割的情况．8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速12.0m s -=⋅v 平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40A ．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式()l B d ⋅⨯=⎰lE v 求解，建立图（a ）所示的坐标系，所取导体元x l d d =，该处的磁感强度xI μB π20=．（2） 用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB 在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t ，杆AB 距导轨下端CD 的距离为y ，先用公式⎰⋅=SΦS B d 求得穿过该回路的磁通量，再代入公式tΦE d d -=，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势． 解1 根据分析，杆中的感应电动势为()V 1084.311ln 2πd 2πd d 50m 1.1m 1.00-⨯-=-=-==⋅⨯=⎰⎰v v v I μx x μxl E AB AB l B 式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高． 解2 设顺时针方向为回路AB CD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx 、长为y 的面元ｄS ，则穿过面元的磁通量为x y xI μΦd 2πd d 0=⋅=S B 穿过回路的磁通量为11ln 2πd 2πd 0m1.1m 1.00⎰⎰-===S Iy μx y x I μΦΦ 回路的电动势为V 1084.32πd d 11ln 2πd d 500-⨯-=-=-=-=Iy μt y x I μt ΦE 由于静止的形导轨上电动势为零，所以 V 1084.35-⨯-==E E AB式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高．8 －14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：1．当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足()0l B =⋅⨯d v ］，因而线框中的总电动势为()()()()hg ef hgef gh ef E E E -=⋅⨯-⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⎰⎰⎰⎰l B l B l B l B d d d d v v v v 其等效电路如图（ｂ）所示．2．用公式tΦE d d -=求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c ）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有v =tξd d ．在求得线框在任意位置处的电动势E （ξ）后，再令ξ＝d ，即可得线框在题目所给位置处的电动势．解1 根据分析，线框中的电动势为hg ef E E E -=()()⎰⎰⋅⨯-⋅⨯=hgef l B l B d d v v ()⎰⎰+-=2201000d 2πd 2πl l l l d I μl d I μv v ()1202πl d I I μ+=1vI 由E ef ＞E hg 可知，线框中的电动势方向为efgh ．解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为()()ξl ξξx Il μdx ξx Il μΦl 120020ln π2π21++=+=⎰ 相应电动势为()()1120π2d d l ξξl l I μt ΦξE +=-=v 令ξ＝d ，得线框在图示位置处的电动势为 ()1120π2l d d l l I μE +=v 由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．*8 －15 有一长为l ，宽为b 的矩形导线框架，其质量为m ，电阻为R ．在t ＝0时，框架从距水平面y ＝0 的上方h 处由静止自由下落，如图所示．磁场的分布为：在y ＝0 的水平面上方没有磁场；在y ＝0 的水平面下方有磁感强度为B 的均匀磁场，B 的方向垂直纸面向里．已知框架在时刻t 1 和t 2 的位置如图中所示．求在下述时间内，框架的速度与时间的关系：（1） t 1 ≥t ＞0，即框架进入磁场前；（2） t 2 ≥t ≥t 1 ，即框架进入磁场， 但尚未全部进入磁场；（3）t ＞t 2 ，即框架全部进入磁场后．分析 设线框刚进入磁场（t 1 时刻）和全部进入磁场（t 2 时刻）的瞬间，其速度分别为v 10 和v 20 ．在情况（1）和（3）中，线框中无感应电流，线框仅在重力作用下作落体运动，其速度与时间的关系分别为v ＝gt （t ＜t 1）和v ＝v 20 ＋g （t －t 2 ）（t ＞t 2 ）．而在t 1＜t ＜t 2这段时间内，线框运动较为复杂，由于穿过线框回路的磁通量变化，使得回路中有感应电流存在，从而使线框除受重力外，还受到一个向上的安培力F A ，其大小与速度有关，即()A A F F =v ．根据牛顿运动定律，此时线框的运动微分方程为()tv v d d m F mg A =-，解此微分方程可得t 1＜t ＜t 2 时间内线框的速度与时间的关系式．解 （1） 根据分析，在1t t ≤时间内，线框为自由落体运动，于是()11t t gt ≤=v 其中1t t =时，gh 2101==v v（2） 线框进入磁场后，受到向上的安培力为v Rl B IlB F A 22== 根据牛顿运动定律，可得线框运动的微分方程tv m v d d 22=-R l B mg 令mRl B K 22=，整理上式并分离变量积分，有 ⎰⎰=-t t t g 110d d vv Kv v 积分后将gh 210=v 代入，可得()()[]1212t t K e gh K g g K----=v （3） 线框全部进入磁场后（t ＞t 2），作初速为v 20 的落体运动，故有()()()[]()222031221t t g e gh K g g Kt t g t t K -+--=-+=--v v 8 －16 有一磁感强度为B 的均匀磁场，以恒定的变化率t d d B 在变化．把一块质量为m 的铜，拉成截面半径为r 的导线，并用它做成一个半径为R 的圆形回路．圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为td d π4B d ρm I =式中ρ 为铜的电阻率，d 为铜的密度． 解 圆形回路导线长为πR 2，导线截面积为2πr ，其电阻R ′为22rR ρS l ρR ==' 在均匀磁场中，穿过该回路的磁通量为BS Φ=，由法拉第电磁感应定律可得回路中的感应电流为t t t d d 2πd d π1d d 122B ρRr B R R ΦR R E I ='='='= 而2ππ2r R d m =，即dm Rr π2π2=，代入上式可得 td d π4B d ρm I = 8 －17 半径为R ＝2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零．若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率td d B 为常量，且为正值，试求：（1） 管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2） 如1s T 010.0d d -⋅=tB ，求距螺线管中心轴r ＝5．0 cm 处感生电场的大小和方向．分析 变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的空间分布与场源———变化的磁场（包括磁场的空间分布以及磁场的变化率td d B 等）密切相关，即S B l E d d ⋅∂∂-=⎰⎰S S k t .在一般情况下，求解感生电场的分布是困难的．但对于本题这种特殊情况，则可以利用场的对称性进行求解．可以设想，无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示．由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆．同一圆周上各点的电场强度E k 的大小相等，方向沿圆周的切线方向．图中虚线表示r ＜R 和r ＞R 两个区域的电场线．电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当0d d <t B 时，电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系；当0d d >t B 时，电场线绕向与前者相反．解 如图所示，分别在r ＜R 和r ＞R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l （半径为r 的圆），依照右手定则，不妨设顺时针方向为回路正向．（1） r ＜R ， tB r t r E E k l k d d πd d d π2d 2-=⋅-=⋅=⋅=⎰⎰S B l E tB r E k d d 2-= r ＞R ， t B R t r E E k lk d d πd d d π2d 2-=⋅-=⋅=⋅=⎰⎰S B l E tB r R E k d d 22-= 由于0d d >tB ，故电场线的绕向为逆时针． （2） 由于r ＞R ，所求点在螺线管外，因此tB r R E k d d 22-= 将r 、R 、tB d d 的数值代入，可得15m V 100.4--⋅⨯-=k E ，式中负号表示E k 的方向是逆时针的．8 －18 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率tB d d 为常量．试证：棒上感应电动势的大小为分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由⎰⋅=lk E l E d 计算棒上感生电动势．此外，还可连接OP 、OQ ，设想PQOP 构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP 、OQ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度E k 处处垂直，故0d =⋅l E k ，OP 、OQ 两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ 上的电动势．证1 由法拉第电磁感应定律，有 22Δ22d d d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==l R l t B t B S t ΦE E PQ 证2 由题８ －17可知，在r ＜R 区域，感生电场强度的大小tB r E k d d 2= 设PQ 上线元ｄx 处，E k 的方向如图（b ）所示，则金属杆PQ 上的电动势为()()222202/2d d d 2/d d 2d cos d l R l t B x r l R t B r x θE E l k k PQ -=-==⋅=⎰⎰x E 讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势 该如何求解8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式IΦL =计算L ．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动势E L ，由公式t I E L L d /d =计算L ．式中E L 和tI d d 都较容易通过实验测定，所以此方法一般适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R 1 ＜r ＜R 2 范围内的磁场分布为xNI μB π20=由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为 12200ln π2d π2d 21R R hI N μx h x NI μN N ψS R R ==⋅=⎰⎰S B 则1220ln π2R R h N μI ψL = 若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr 倍．8 －20 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1 和S 2 ，磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感．（设管的截面很小）分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B 0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B 0 和μ2 B 0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S 1 和S 2 的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为I L N μnl μB 111==,I LN μnl μB 222== 通过N 匝回路的磁链为221121S NB S NB ΨΨΨ+=+=则自感2211221S μS μlN I ψL L L +==+= 8 －21 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I ，然后计算图中阴影部分（宽为d 、长为l ）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间的磁感强度为()r d I μr I μB -+=π2π200 穿过图中阴影部分的磁通量为 aa d l μr Bl ΦS a d a -==⋅=⎰⎰-ln πd d 0S B 则长为l 的一对导线的自感为aa d l μI ΦL -==ln π0 如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为212L L L +=．L 1 称为外自感，即本题已求出的L ，L 2 称为一根导线的内自感．长为l 的导线的内自感8π02l μL =，有兴趣的读者可自行求解． 8 －22 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A ′B ′，每个线圈的自感均为L ，求：（1） A 和A ′相接时，B 和B ′间的自感L 1 ；（2） A ′和B 相接时，A 和B ′间的自感L 2 ．分析 无论线圈AB 和A ′B ′作哪种方式连接，均可看成一个大线圈回路的两个部分，故仍可从自感系数的定义出发求解．求解过程中可利用磁通量叠加的方法，如每一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为Φ，则穿过两线圈回路的磁通量为2Φ；而当两组线圈按（1）或（2）方式连接后，则穿过大线圈回路的总磁通量为2Φ±2Φ，“ ±”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反．解 （1） 当A 和A ′连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故总通量为0221=-=ΦΦΦ，故L 1 ＝0．（2） 当A ′和B 连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故总通量为ΦΦΦΦ4222=+=， 故L I ΦI ΦL 4422===． 本题结果在工程实际中有实用意义，如按题（1）方式连接，则可构造出一个无自感的线圈．8 －23 如图所示，一面积为4.0 cm 2 共50 匝的小圆形线圈A ，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ－1 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．分析 设回路Ⅰ中通有电流I 1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M 21 ＝Φ21I 1 ；也可设回路Ⅱ通有电流I 2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则21212I ΦM M == ． 虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS ．反之，如设线圈A 通有电流I ，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度R I μN B B 200=穿过小线圈A 的磁链近似为 A B A A A A S RI μN N S B N ψ200== 则两线圈的互感为H 1028.6260-⨯===RS μN N I ψM A B A A （2）V 1014.3d d 4-⨯=-=tI M E A 互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．8 －24 如图所示，两同轴单匝线圈A 、C 的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ．若r 很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁感强度近似为()2/322202d R IR μB +=穿过线圈C 的磁通为 ()22/32220π2r d R IR μBS ψC +==则两线圈的互感为 ()2/3222202πdR R r μI ψM +== 若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍． 8 －25 如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm 2 ，沿环每厘米绕有100 匝线圈，通有电流I 1 ＝4.0 ×10 －2 A ，在环上再绕一线圈C ，共10 匝，其电阻为0.10 Ω，今将开关Ｓ 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为2.0 ×10 －3C ．求：当螺绕环中通有电流I 1 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr ．分析 本题与题８ －８ 相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C 的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的． 解 当螺绕环中通以电流I 1 时，在环内产生的磁感强度110I n μμB r =则通过线圈C 的磁链为S I n μμN BS N ψr c 11022==设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为q C ，则有()RS I n μμN ψR ψR qc r c c 110201Δ1=--=-= 由此得 T 10.02110===S N Rqc I n μμB r 相对磁导率1991102==I n μS N Rqc μr8 －26 一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少 磁能密度是多少*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1） 如回路自感为L （已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能221LI W m =，通常称为自感磁能．（2） 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即V w W V m m d ⎰=，式中m w 为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空间．由于μB w m 22=，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用V w LI V m d 212⎰=求解L ． 解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感l S N L 2=，电流稳定后，线圈中电流RE I =，则线圈中所储存的磁能为J 1028.3221522202-⨯===lRSE N μLI W m 在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管。
第8章_电磁感应_电磁场[1]
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第8章 电磁感应 电磁场参考题（1）填空题第8章 参考题1 4． 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆，使这根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转，整个电路的电阻为R ，（1）感应电流的表达式（()tf RBf r Rt I ⋅⋅⋅==ππε2sin 22）；（2）感应电流的最大值（RfBr Im22π=）。
选择题 电子教案 8-3 自感和互感 3. 如图所示，在一无限长的长直载流导线旁，有一正方形单匝线圈，导线与线圈一侧平行并在同一平面内，问：下列几种情况中，它们的互感产生变化的有（B ，C ，D ）（该题可有多个选择）(A) 直导线中电流不变，线圈平行直导线移动； (B) 直导线中电流不变，线圈垂直于直导线移动；(C) 直导线中电流不变，线圈绕AB 轴转动； (D) 直导线中电流变化，线圈不动 证明题8-14 2．如图所示，在一无限长直载流导线的近旁放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向移动，证明：在图示位置处线框中的感应电动势大小为（()12102l d l Ivl +=πμε）马文蔚物理学中册第四版楞次定律 1.在电磁感应定律dtd i φε-=中，负号的意义是什么？答：楞次定律表明，“闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因”。
所以，感应电流的方向必须使楞次定律所规定的方向。
电磁感应定律dtd iφε-=中的负号，正表明了电磁感应现象和能量守恒定律之间的必然联系。
8-22 4． 在一个圆筒骨架上，采用双线并绕法线制两个线圈，如图所示．线圈a a '和线圈b b '的自感都是50mH ，今将两线圈的a '端和b '端相连，a 、b 端通交流电流，则a 、b 间呈现出的自感是（ 0 ） 选择题电子教案 8-3 自感和互感3. 如图所示，两个环形线圈a 、b 互相平行放置，当它们的电流同时发生变化时，在下列情中，正确的是：（ C ）（A ）a 中产生自感电流，b 中产生互感电流； （b ）b 中产生自感电流，a 中产生互感电流； （c ）a 、b 中同时产生自感和互感电流； （d ）a 、b 中只产生自感电流，不产生互感电流教材上册8-2动生电动势和感生电动势 6. 由于电磁感应强度变化而引起的感应电动势是（1）（感生电动势）；由于回路所围面积的变化或面积取向变化所引起的感应电动势是（2）（动生电动势）。
电磁感应与电磁场(1)ppt课件
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第八章 电磁感应与电磁场
1. 电磁感应景象
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第八章 电磁感应与电磁场
2. 法拉第电磁感应定律
电源内部: 电流从负极板到 正极板叫内电路。
电源外部: 电流从正极板到 负极板叫外电路。
+–
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第八章 电磁感应与电磁场
电动势 把单位正电荷从负极板经内电路搬至
正极板, 电源非静电力做的功。
dA
dq
规定 的方向由负极板经内电路指 向正极板, 即正电荷运动的方向。
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L
i 0 vBdl
L
0 lBdl
×
×
×
o
l
×
×
v × × × × ×
×××××
i
1 2
BL2
i :O
P
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第八章 电磁感应与电磁场
例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的 均匀磁场相垂直,在此矩形框上，有一质量为
m 长为 l 的可挪动的细导体棒 MN ; 矩形框
还接有一个电阻 R, 其值较之导线的电阻值
第八章 电磁感应与电磁场
电动势越大表示电源将其它方式能量转换
为电能的身手越大, 其大小与电源构造有关, 与
外电路无关。
电源电动势
E i n k
dl
内电路
非静电场
由于电源外部没有非静电力,上式也可写为：
Ekdl
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普通物理课件- 第八章电磁感应电磁场
外涡旋电场的场强EV 。
解：
EV
dl
dΦ
dt
× ××
L
×
R
××
EV dl EV dl EV 2 r r × × × ×
EV
1
2 r
dΦ dt
××
(1) 在圆柱体内，r < R = r2B dΦ r2 dB
dt
dt
EV
1 2 r
r2
dB dt
r dB 2 dt
(2) 在圆柱体外， r > R = R²B
i
en
B
0 d 0
dt
S
N
i 0
感应电动势的方向与绕行方向相反
说 明
1.
只
i
与
dΦ dt
成
正
比
，
而
不
是
与Φ或dΦ成
正
比
。
2 .设回路中电阻为R，则
1 dΦ
Ii
RR
dt
dq Ii dt
dq 1 dΦ R
设在t1和 t2 时刻，通过回路的磁通量分别为1和 2，
则在t1 t2时间内，通过回路任一截面的感应电量为：
② 由于“阻碍”、反抗的作用，获得感应电流的代价是外界必须 做功。
步骤：
① 确定原磁场的方向。
② 判断通过导体回路的磁通量的增减给出B′方向 。 ③ 由B′确定感应电流的方向（右手螺旋）
例1 设有长方形回路放置在稳恒磁场中，AB边可以 左右滑动，如图磁场方向与回路平面垂直，设导体以 速度 v 向右运动，求回路上感应电动势的大小及方向。
ab
l位置的B
0I
2l
故 : MON
第八章_电磁感应与电磁场
B
v
A
dl
O
OA d B
L
0
1 rdr BL2 2
电动势的方向由 A 指向 O, O点电势高。
哈尔滨工业大学大学物理教研室 8
8.2 动生电动势 感生电动势
8.2.2 感生电动势 感生电场
由于磁场随时间变化而产生的电动势称感生电 动势，相应的电场就叫感生电场。 即必然存在：
哈尔滨工业大学大学物理教研室
4
8.2 动生电动势
8.2.1 动生电动势
感生电动势
1.中学知道的方法：
B
N
i Bl
v
右手法则定方向
2. 由法拉第电磁感应定律 任意时刻，回路中的磁通量是
S
L
l
a b
a
i
均匀磁场 B
Blx t
d dx i Bl Bl dt dt
L
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
说明感生电场是非保守场
说明感生电场是无源场 S2
哈尔滨工业大学大学物理教研室
L
S1
10
若I=I(t),v,求=? B A I
a
方法一:分别考虑动生电动势和感生电动势 AC:
v
c
Cb D
1 vc
0 I
磁通量的值取正，否则磁通量的值取负
3) 计算结果的正负给出了电动势的方向
0 :说明电动势的方向就是所设的计算方向 哈尔滨工业大学大学物理教研室 0 :说明电动势的方向与所设计算方向相反
3
第八章 电磁感应 电磁场
d B ds B (v dl )dt
由于d l 的运动而产生的动生电动势为：
动
dΦ dt
B
(V
dl )
(V
B) dl
理学院 物理系 张建锋
导线 Lab 产生的电动势为
b
ab
(V B) dl
a
说明： （1）上式对任意形状的导线或回路，在任意
非匀强磁场中以任意方式运动都是用适用
21
d 21
dt
M
21
dI1 dt
同理可得
12 M12I2
12
M12
dI2 dt
理学院 物理系 张建锋
可以证明 M 21 M12 M 互感系数
无铁磁质时，M与两个线圈中的电流无关，只由 线圈的形状、大小、匝数、相对位置及周围磁介质
的磁导率决定。
互感电动势 互感系数
ij
M
dI j dt
M
ij
M ij
开路时的路端电压等于电源电动势
电势是保守场的线积分，与路径无关 不同点：
电动势是非保守场的线积分，与路径有关 对电势：某点的电势或两点间的电势差 对电动势：只能说某段路经上的电动势
理学院 物理系 张建锋
2.法拉第电磁感应定律
感应电动势 dΦ
dt
一个闭合回路上的感应电动势等于穿过该回路 的磁通量对时间的变化率的负值。 说明：（1）由产生原因不同，可以分为两类
四、 涡旋电场的应用
1. 电子感应加速器
Fe eEv 提供切向加速度
Fm evB 提供法向加速度
×××
× ×
××F×m×
× ×
× × × Fe
2. 涡电流
块状金属在变化磁场中，会产生感生电流
物理学-第八章电磁感应 电磁场
1 = B ( R12 22 ) = 226V R 2
盘边缘的电势高于中 心转轴的电势。
8-2 动生电动势和感生电动势
二 感生电动势
产生感生电动势的非静电场
感生电场
麦克斯韦假设：变化的磁场在其周围空间激发一种电场，这个电 场叫感生电场 E k 。
闭合回路中的感生电动势：
l
8-1 电磁感应定律
楞次定律是能量守恒定律的一种 表现。
要移动导线，就需要外力对它作 功，这样就把某种形式的能量转 换为其它形式的能量。 (1)稳恒磁场中的导体运动,或者回路面积变化、取向变化等 动生电动势 (2)导体不动、磁场变化
感生电动势
= Ek d l Ek
非静电的电场强度
H =0
R1 < r < R 2 , H =
wm
r > R 2, H = 0 I2 1 I = H2= )2= ( 82 r 2 2 2r 2
I 2r
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
I2 W m = Vw m dV = V 2 2 dV 8 r
单位长度壳层体积：
= 2 rdr × 1 R2 I 2 I2 R 2 dr = ln Wm= R1 4 r 4 R1 dV
8-1 电磁感应定律
一 电磁感应现象
法拉第（1791-1867）：伟大的英 国物理学家和化学家。他创造性地提出 场的思想，磁场这一名称是法拉第最早 引入的。他是电磁理论的创始人之一， 于1831年发现电磁现象，后又相继发现 电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以 及光的偏振面在磁场中的旋转。
N
S
当穿过闭合导体回路所围面积的磁通 量发生变化时，不管这种变化是由于 什么原因所引起的，回路中就有电 流。这种现象叫做电磁感应现象。回 路中所出现的电流叫做感应电流。
第08章电磁感应 电磁场.
感生电场
非保守场 dΦ L Ek dl dt 0 由变化的磁场产生
静电场
保守场 E静 dl 0
L
由电荷产生
28
第八章 电磁感应 电磁场
物理学
第五版
8-3
自感和互感
一
自感电动势
自感
由线圈电流变化产生的感生电动势又分为 自感和互感 （1）自感 Φ LI L Φ I B 若线圈有 N 匝， I NΦ 磁通匝数 自感 L I 注意 无铁磁质时, 自感仅与线圈形 状、磁介质及 N 有关.
第八章 电磁感应 电磁场
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物理学
第五版
8-3
自感和互感
（2）自感电动势 dΦ dI dL L ( L I ) dt dt dt dL 0 时， 当 dt
dI L L dt
I
B
自感 L L
dI dt
30
第八章 电磁感应 电磁场
物理学
第五版
8-3
自感和互感
电磁感应定律
B
B
I
S N
v
N S
I
v
第八章 电磁感应 电磁场
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物理学
第五版
8-1
电磁感应定律
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的 感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗 任何引发电磁感应的原因.
×B × × × × × × F ×m ×
× ×
× × ×
×
× ×
×
× ×
×
I × i×
×
i
第八章 电磁感应 电磁场
17
物理学
第五版
8-2
L
第八电磁感应电磁场知识课件
解 由于B随时间变化，同时ab导线切割磁场线， 故回路中既存在感生电动势，又存在动生电动势。
由法拉第电磁感应定律可知，t时刻金属框中感 应电动势的大小为
d d(BS) B dS S dB
dt dt
dt dt
B d (1 lx) 1 lx d (1 t2) dt 2 2 dt 2
动 感
8B0R2
说明 本题中虽然线圈未运动，但空间中的磁场为时
间t的函数，结果使通过线圈的磁通量随时间变化，
因此在线圈中产生感应电动势。采用的方法仍是先 确定磁通量，然后由法拉第电磁感应定律求解。
例4 如图所示，在均匀磁场中有一金属框架aOba，ab边可无摩 擦自由滑动，磁场随时间变化规律为Bt=t2/2。若t=0时，ab边由 x=0处开始以速率v作平行于x轴的匀速滑动。试求任意时刻t金 属框中感应电动势的大小和方向。
的方向。 dl
V B dl 中任意两个量平行，电动势为0。
动生电动势
推导
d a
当导线 以ab速度 向v右运动时，
导线内每个自由电子也就获得向 右的定向速度 ，由v于导线处在磁
B
v
场为中，自F由电 子受到 的洛 仑兹力 F evB
F
o x b
X
若以 E表k 示非静电场强，则有 eE k ev B E k vB
感应电动势，叫做感生电动势。
B
t
变化的磁场在其周围激发了一种电场，
这种电场称为感生电场（涡旋电场）。
以 表E示i 感生电场的场强，根据电源电
Ei
动势的定i 义及LE 电i磁d 感l应定律，则有 i d dΦ t d dtSB dS
L E id l d d tSB d S 变化的磁场与感生电场的联系
物理学(马文蔚)8-1
第八章 电磁感应 电磁场
§8-1
问题的提出
电磁感应定律
1831年法拉第
实验
电 流
产 生
磁 场
?
电磁感应
闭合回路
m 变化
产生
感应电流
1. 电磁感应现象
法拉第（Michael Faraday, 1791－1867） 英国物理学家和化学家， 电磁理论的创始人之一. 他创造性地提出场的思想， 最早引入磁场这一名称. 1831年发现电磁感应现象， 后又相继发现电解定律， 物质的抗磁性和顺磁性， 及光的偏振面在磁场中的 旋转.
d o R B l
Blx Φ BS
回路的感应电动势为:
a
i d Φ Bl d x Bl dt dt
b
矩形线圈，分别作如图所示的运动。 判断回路中是否有感应电流。
思 考
I
(a ) 0
(b) 0
(c )
0
(d ) 0
2 楞次定律（判断感应电流方向）
闭合回路中感应电流具有确定的方向， 它总是使感应电流所产生的穿过回路的磁 通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁 通量的变化。
0 I B 2r
I
dr
l
b
0 lI 0 sint b ln 2 a 0 lI 0 cost b dΦ i ln dt 2 a
a
r
法拉第电磁感应定律：
dΦ i dt
i 是回路中的 感应电动势
电动势i是非静电力作功!
Φ 的变化方式：
导体回路运动，B不变~~动生电动势 导体回路不动，B变化~~感生电动势
大学物理讲稿(第8章电磁感应 电磁场)
第8章 电磁感应 电磁场电与磁之间有着密切的联系,上章所讨论的电流产生磁场以及磁场对电流的作用,就是这种联系的一个方面.这种联系的另一方面就是随时间变化的磁场可以产生电场以及随时间变化的电场也可以产生磁场.这些现象的发现,使人们有可能大规模地把其它形式的能转化为电能,为广泛使用电力创造了条件,大大推动了生产力的发展.本章在介绍法拉第电磁感应定律的基础上,研究随时间变化的磁场产生电场的规律；在麦克斯韦位移电流假设的基础上研究随时间变化的电场产生磁场的规律,并简单介绍麦克斯韦的电磁理论.§8.1 电磁感应定律一、电磁感应现象1820年奥斯特关于电流的磁效应的发现,引起了科学界的普遍关注,对其逆现象是否能够发生进行了大量的研究.英国物理学家法拉第(M.Faraday,1791—1867)经过十多年的辛勤努力,终于在1831年发现电磁感应现象.其内容为：不论采用什么方法,只要使通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化,则回路中便会有电流产生.这种现象称为电磁感应,这种现象所产生的电流称为感应电流.关于感应电流的方向,楞次(Lenz)于1833年从实验中总结出一条规律称为楞次定律,其内容为：感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化.二、法拉第电磁感应定律在闭合导体回路中出现了电流,一定是由于回路中出现了电动势.当穿过导体回路的磁通量发生变化时,回路中产生了感应电流,就说明此时在回路中产生了电动势.由这一原因产生的电动势叫感应电动势,其方向与感应电流的方向相同.但应注意,如果导体回路不闭合,则回路中无感应电流,但仍有感应电动势.因此,从本质上说,电磁感应的直接效果是在回路中产生感应电动势.关于感应电动势,法拉第通过对大量实验事实的分析,总结出如下结论：无论什么原因,使通过回路的磁通量发生变化时,回路中均有感应电动势产生,其大小与通过该回路的磁通量随时间的变化率成正比.这一规律称为法拉第电磁感应定律.在SI 单位制中,其数学表达式为dtd i Φ-=ε (8.1) 式中Φ是通过导体回路的磁通量,若回路由N 匝线圈组成,且通过每匝线圈的磁通量均相等,则式中磁通量Φ要用磁通匝数(磁链)Φ=ψN 代替.式中负号是考虑i ε与Φ的标定正方向满足右手螺旋关系所引入的,它是楞次定律ε与Φ在此都是代数量,其正负要由预先标定的正方向来决定,与标定正方向相的反映.i同为正,与标定正方向相反为负.如图8.1所示,任取绕行方向作为导体回路中电动势的标定正方向(图中虚线箭头所示方向),取以导体回路为边界的曲面的法向单位矢量n 的方向为磁通量的标定正方向,并且规定这两个标定正方向满足右手螺旋关系.在图8.1中,如果磁场由下向上穿过回路, 0>Φdtd/),由式(8.1)就有>Φ,同时磁场在增大(0ε< 0,此时感应电动势的方向与虚线箭头的方向相反.其i他情形同学们可自行分析.作业(P198)：8.8，8.10§8.2 动生电动势一、动生电动势电磁感应现象虽然种类繁多,但可以把它们分为两大类,一类是磁场相对于线圈或导体回路改变其大小和方向而引起的电磁感应现象,另一类是线圈或导体回路相对于磁场改变其面积和取向而引起的电磁感应现象.我们将磁场不随时间变化,仅由导体或导体回路相对于磁场运动所产生的感应电动势称为动生电动势.如图8.2 所示,在方向垂直于纸面向里的匀强磁场B 中放置一矩形导线框abcd ,其平面与磁场垂直；导体ab 段长为l ,可沿cb 和da 滑动.当ab 以速度υ向右滑动时,线框回路中产生的感应电动势即为动生电动势.某时刻穿过回路所围面积的磁通量为B l x BS ==Φ随着ab 的运动,其磁通量在变化,由式(8.1)可得动生电动势为ab Bl dtdx Bl dt d ε-=υ-=-=Φ-=ε 即 υ=εBl ab (8.2)负号表示动生电动势的方向与标定正方向相反,即从a →b .二、动生电动势的电子论解释我们知道,电动势是非静电力作用的表现.引起动生电动势的非静电力是洛仑磁力.当导体ab 向右以速度υ运动时,其内的自由电子被带着以同一速度向右运动,因而每个电子都受到洛仑磁力作用B e f ⨯υ-=把这个作用力看成是一种等效的“非静电场”的作用,则这一非静电场的场强应为B ef E k ⨯υ=-= (8.3) 根据电动势的定义有Bl l d B l d E b ak ab υ=⋅⨯υ=⋅=ε⎰⎰+- )( (8.4) 这一结果与直接用法拉第电磁感应定律所得结果相同.以上结论可推广到任意形状的导体或线圈在非均匀磁场中运动或发生形变的情形.这是因为任何形状的导体或线圈可以看成是由许多线段元组成,而任一线段元dl 所在区域的磁场可看成是匀强磁场.每段dl 对应有一个速度, 这时,任一线段元dl上所产生的动生电动势为l d B d ⋅⨯υ=ε)(整个导线或线圈中产生的动生电动势为⎰⋅⨯υ=εLl d B )( (8.5) 这是计算动生电动势的一般公式,它与法拉第电磁感应定律完全等效.由于B l d l d B ⋅υ⨯=⋅⨯υ)()( 而B l d ⋅υ⨯)(是线元d l 在单位时间所切割磁感应线数目.故式(8.5)表示了在整个导线L 中所产生的动生电动势等于整个导线在单位时间内所切割的磁感应线数目.对于闭合回路,也就等于单位时间内通过回路的磁感应通量的变化量.可见(8.5)与法拉第电磁感应定律式等效.它提供了一种计算动生电动势的方法.值得注意,导线在磁场中运动产生感应电动势是洛仑磁力作用的结果.在闭合电路中,感应电动势是要做功的.但前已说过,洛仑磁力不做功,对此作何解释呢？如图8.3所示,随同导线一起运动的自由电子受到洛仑磁力的作用,电子将以速度'υ沿导线运动,而速度'υ的存在使电子还要受到一个垂直于导线的洛仑磁力B e f ⨯υ-=''的作用.电子受洛仑磁力的合力为'f f F +=,电子运动的合速度为'υ+υ= V ,所以洛仑磁力合力做功的功率为)'()'(υ+υ⋅+=⋅ f f V Fυ⋅+υ⋅= ''f f 0=υυ-υυ=''B e B e这一结果表示洛仑磁力的合力做功为零,这与洛仑磁力不做功是一致的.从上述结果中可以看到υ⋅-=υ⋅→=υ⋅+υ⋅ ''''f f f f 0为了使自由电子以速度υ 匀速运动,必须有外力ext f 作用到电子上,而且'f f ext -=.因此有υ⋅-=υ⋅ ext f f '此等式左侧表示洛仑磁力的一个分力使电荷沿导线运动所做功的功率,宏观上就是感应电动势驱动电流做功的功率.等式右侧是同一时刻外力反抗洛仑磁力的另一个分力做功的功率,宏观上就是外力拉动导线做功的功率,洛仑磁力总体做功为零,它实际上表示了能量的转换和守恒.洛仑磁力在这里起了一个能量转化者的作用,一方面接受外力的功,同时驱动电荷运动做功.例题 8.1如图8.4所示是半径为R 的导体圆盘.刷子a-a ' 与盘的轴及边缘保持光滑接触,导线通过刷子与盘构成闭合回路.求当导体圆盘绕通过中心的轴在均匀磁场B (B 与盘面垂直)中以角速度ω旋转时,盘心与盘边缘a-a' 的电动势.解：首先考虑圆盘任一半径上距轴心为r处的一段微元dr 以速度υ垂直于磁场而运动,υ=ωr,微元dr 上的动生电动势为Brdr Bdr r d B d ω=υ=⋅⨯υ=ε )(在整个半径上的电动势为2021BR rdr B R ω=ω=ε⎰ 在盘上其它半径中,也有同样大小的动生电动势.这些半径都是并联着的,因此整个盘可以当作一个电动势源.轴是一个电极,边缘是另一个电极.这可看成是一个简易直流发电机的模型.刚性N 匝线圈在均匀磁场中,绕垂直于磁场的轴以角速度ω转动时.由法拉第电磁感应定律式或式 (8.5)可得在匀强磁场中转动的线圈产生的感应电动势为t t N B S ωε=ωω=εs i n s i n 0 S 是线圈所围面积.所产生的电动势是交变电动势.这是交流发电机的基本原理. 作业(P198)：8.11，8.13§8.3 感生电动势和感生电场一、感生电动势和感生电场我们把处于静止状态的导体或导体回路,由于内部磁场变化而产生的感应电动势称为感生电动势.由于产生感生电动势的导体或导体回路不运动,因此感生电动势的起因不能用洛仑磁力来解释.由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受非静电力作用形成的,而静止电荷受到的力只能是电场力,所以这时的非静电力也只能是一种电场力.由于这种电场是由变化的磁场引起的,所以叫感生电场,即产生感生电动势的非静电场是感生电场.以i E 表示感生电场,则根据电动势的定义,感生电动势可表为⎰⋅=εL i i l d E根据法拉第电磁感应定律应该有⎰⎰⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅-=Φ-=⋅=εSS L i i S d t B S d B dt d dt d l d E 即 ⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅=εSL i i S d t B l d E (8.6) 上式是感生电场与变化磁场的一般关系,同时它也提供了一种计算感生电动势的方法.感生电动势的计算,可先计算出导体内感生电场,然后通过对感生电场的积分来计算感生电动势；也可直接利用法拉第电磁感应定律计算.利用后者计算一段非闭合导线ab 的感生电动势时,要设想一条辅助曲线与ab 组成闭合回路,但求得的感生电动势不一定等于导线ab 上的感生电动势,因为辅助曲线上的感生电动势不一定为零.因此所选的辅助曲线应当满足：它上面的感生电动势或者为零,或者易于求出.值得指出,在磁场变化时,不但在导体回路中,而且在空间任一地点都会产生感生电场,这与空间中有无导体或导体回路无关.然而,感生电动势虽不要求导体是闭合电路,但却必须在导体中才能产生.由于感生电场的环路积分一般不等于零,故它不是保守力场,所以又叫它涡旋电场.涡旋电场不同于静电场的重要方面就在于它不是保守力场. 例题 8.2 匀强磁场局限在半径为R 的柱形区域内,磁场方向如图8.5所示.磁感应强度B 的大小正以速率dB/dt 在增加,求空间涡旋电场的分布.解：取绕行正方向为顺时针方向,作为感生电动势和涡旋电场的标定正方向,磁通量的标定方向则垂直纸面向里.在r <R 的区域,作半径为r 的圆形回路,由⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅=εSL i i S d t B l d E 并考虑到在圆形回路的各点上, i E 的大小相等,方向沿圆周的切线.而在圆形回路内是匀强磁场,且B 与dS 同向,于是上式可化为dtdB r rE i 22π-=π 所以可解得r dt dB E i 21-= (8.7) 式中负号表示涡旋电场的实际方向与标定方向相反,即逆时针方向.在r > R 的区域,作半径为r 的圆形回路,同上可得rR dt dB E i 221-= (8.8) 方向也沿逆时针方向.由此可见,虽然磁场只局限于半径为R 的柱形区域,但所激发的涡旋电场却存在于整个空间.例题 8.3 如图8.6所示,在半径为R 的圆柱形空间存在有一均匀磁场,其磁感应强度的方向与圆柱轴线平行.今将一长为l 的导体杆ab 置于磁场中,求当dB/dt > 0 时杆中的感生电动势.解法1：通过感生电场求感生电动势取杆的中点为坐标原点建立X 轴如图所示.在杆上取一线元dx ,由式(8.7)知,该点感生电场的大小为r dtdB E i 21= 方向如图.故ab 杆上的感生电动势为⎰⎰-θ=⋅=ε222//cos l l bai i dx dt dB r i dx E dt dB l R l dx r h dt dB r l l 22222212)/(//-==⎰- i ε的方向由b a →解法2：利用法拉第电磁感应定律求感生电动势如图8.6所示,作辅助线o'a 和o'b .因为i E 沿切向,则它沿着bo'及o'a 的线积分等于零,所以闭合回路aboa 上的感生电动势也就等于ab 段上的感生电动势.穿过该闭合回路的磁通量为hl B BS 21==Φ 于是所求的感生电动势为b a dt dB l R l dt d i →-=Φ=ε由楞此定律知方向22221)/( * 二、电子感应加速器电子感应加速器是利用在变化磁场中产生涡旋电场来加速电子的,图8.7(a)是这种加速器的原理示意图,在由电磁铁产生的非均匀磁场中安放着环状真空室.当电磁铁用低频的强大交变电流励磁时,真空室会产生很强的涡旋电场.由电子枪发射的电子,一方面在洛仑磁力的作用下作圆周运动,同时被涡旋电场所加速.前面我们得到的带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的规律表明,粒子的运动轨道半径R 与其速率υ成正比.而在电子感应加速器中,真空室的径向线度是极其有限的,必须将电子限制在一个固定的圆形轨道上,同时被加速.那么这个要求是否能够实现呢？根据洛仑磁力为电子作圆周运动提供向心力,可以得到R e R B m =υ (8.9)式中R B 是电子运行轨道上的磁感应强度.上式表明,只要轨道上磁感应强度随电子动量成正比例的增加,电子就能够在一个固定的轨道上运行并被加速.可以证明当2/BBR(B是轨道所围面积内的平均磁感应强度)时,被加速的电子可稳定在半径为R的圆形轨道上运行.由此可见,在磁场变化的一个周期内,只有其中四分之一周期才可以用于电子的加速(如图8.7(b)).若在第一个1/4周期开始时将电子引入轨道,1/4周期即将结束时将电子引离轨道,进入靶室,可使电子获得数百兆电子伏的能量.这样的高能电子束可直接用于核物理实验,也可用于轰击靶以产生人工γ射线,还可以用来产生硬X射线,作无损探伤或癌症治疗之用.作业(P199)：8.14§8.4 自感和互感一、自感现象当一线圈的电流发生变化时,通过线圈自身的磁通量也要发生变化,进而在回路中产生感应电动势.这种现象称为自感现象,这种电动势称为自感电动势.设某线圈有N 匝,据毕奥-萨伐尔定律,此电流所产生的磁场在空间任一点的磁感应强度与电流成正比.因此通过此线圈的磁链也与电流成正比,即LI =ψ (8.10)式中比例系数L 称为自感系数,简称自感.其数值与线圈的大小、几何形状、匝数及磁介质的性质有关.在线圈大小和形状保持不变,并且附近不存在铁磁质的情况下,自感L 为常数,利用法拉第电磁感应定律可得自感电动势为dtdI L dt d L -=ψ-=ε (8.11) 这表明,当L 恒定时,自感电动势的大小与线圈中的电流变化率成正比.当电流增加时,自感电动势的方向与电流方向相反.在国际单位制中,自感的单位是亨利,简称为亨(H).11A s 1V A 1Wb 1H --⋅⋅=⋅=亨利这个单位太大,平时多采用mH(毫亨)或μH(微亨).自感现象在日常生活及工程技术中均有广泛的应用.日光灯上的镇流器,无线电技术中的扼流圈,电子仪器中的滤波装置等都要应用自感现象.但自感现象有时也会带来危害.例如在大自感和强电流的电路中,接通或断开电路时会产生很大的自感电动势,从而击穿空气,形成电弧,造成事故,或烧坏设备,甚至危及工作人员的生命安全.为避免这类事故的发生,电业部门须在输电线路上加装一种特殊的灭弧开关——油开关或负荷开关,以避免电弧的产生.二、互感现象根据法拉第电磁感应定律,当一个线圈的电流发生变化时,必定在邻近的另一个线圈中产生感应电动势,反之亦然.这种现象称为互感现象,这种现象中产生的电动势称为互感电动势.如图8.8所示,设有两个相邻近的线圈1和线圈2,分别通有电流21I I 和.当线圈1中的电流发生变化时,就会在线圈2中产生互感电动势；反之,当线圈2中的电流变化时,也会在线圈1中产生互感电动势.若两线圈的形状、大小、相对位置及周围介质(设周围不存在铁磁质)的磁导率均保持不变,则根据毕奥——萨伐尔定律可知,线圈1中的电流1I 所产生的并通过线圈2的磁链应与1I 成正比,即 11212I M =ψ (8.12)同理,线圈2中的电流2I 所产生的并通过线圈1的磁链亦应与2I 成正比,即22121I M =ψ (8.13)上两式中的12M 和21M 为两个比例系数.理论和实验都证明,它们的大小相等,可统一用M 表示,称为两线圈的互感系数,简称互感,其数值与两线圈的形状、大小、相对位置及周围介质的磁导率有关.于是上两式可简化为221112MI MI =ψ=ψ,根据法拉第电磁感应定律,当线圈1中的电流1I 发生变化时,线圈2中的互感电动势为dtdI M dt d 11212-=ψ-=ε (8.14) 同理,线圈2中的电流2I 发生变化时,线圈1中的互感电动势为dtdI M dt d 22121-=ψ-=ε (8.15) 从以上讨论可以看出,当线圈中的电流变化率一定时,M 越大,则在另一线圈中所产生的互感电动势也越大,反之亦然.可见互感系数是反映线圈间互感强弱的物理量.两线圈的互感系数M 与这两线圈各自的自感系数21L L ,有如下一般关系21L L k M =其中k 称为耦合系数,当线圈1中的电流1I 产生的磁场使穿过线圈2的磁通等于穿过自身的磁通时,耦合系数k = 1,这称为全耦合.互感的单位也是亨利.互感现象也被广泛的应用于无线电技术和电磁测量中.各种电源变压器、中周变压器、输入或输出变压器等都是利用互感现象制成的.但是互感现象有时也会招致麻烦.例如,电路之间由于互感而相互干扰,影响正常工作.人们不得不设法避免这种干扰,磁屏蔽就是避免这种干扰的一种方法.对于自感和互感的计算,都比较繁杂,一般都需要实验确定.只是对于某些结构比较简单的物体(或线圈),其自感或互感才可用定义式进行计算.如下面要介绍的例题8.4 、8.5就是通过定义计算自感和互感的.例题8.4有一长为l ,截面积为S 的长直螺线管,密绕线圈的总匝数为N,管内充满磁导率为μ的磁介质.求此螺线管的自感.解：长直螺线管内部的磁场可以看成是均匀的,并可以使用无限长螺线管内磁感应强度公式)/(l N n nI H B =μ=μ=又通过每匝的磁通量都相等,则通过螺线管的磁链为IV n nI nlS N 2μ=μ=Φ=ψV 是螺线管的体积,所以螺线管的自感为V n I L 2μ=ψ=/可见,长直螺线管的自感与线圈的体积成正比,与单位长度上的匝数的平方成正比,还与介质的磁导率成正比.因此,想要使螺线管的自感系数较大就必须用细线密绕并充以磁导率较大的磁介质.例题8.5 如图8.9所示,一长为l 的长直螺线管横截面积为S,匝数为1N .在此螺线管的中部,密绕一匝数为2N 的短线圈,并假设两组线圈中每一匝线圈的磁通量都相同.求两线圈的互感.解：如果设线圈1中通一电流1I ,则在线圈中部产生的磁感应强度为110I lN B μ= 该磁场在线圈2中产生的磁链为1210212SI lN N BS N μ==ψ 所以两线圈的互感为S lN N I M 210112μ=ψ= 作业(P199)：8.16，8.20§8.5 磁场的能量与电场一样,磁场也具有能量.下面用自感线圈通电的例子来说明.如图8.10所示,将一个自感系数为L 的自感线圈与电源相连.当接通电源时,通过线圈的电流突然增加,因而便在线圈中产生自感电动势以反抗电流的增加.故欲使线圈中的电流由零变化到稳定值,电源必须反抗自感电动势做功.设dt 时间内通过线圈的电荷为dq ,则电源反抗自感电动势做的元功为L I d I I d t dq dA L L =ε-=ε-=当电流由零变化到恒定值0I 时,电源反抗自感电动势做的总功为200210LI LIdI dA A I ===⎰⎰ 由于电源在反抗自感电动势做功的过程中,只是在线圈中逐渐建立起磁场而无其它变化,据功能原理可知,这一部分功必定转化为线圈中磁场的能量(简称磁能),即 2021LI A W W L m === (8.16) 这便是线圈的自感磁能.对于相邻两线圈,若它们分别载有电流21I I 和时,可以推得它们的互感磁能为 21I MI W M = (8.17)若设两线圈的自感系数分别为21L L ,,则这两线圈中储存的总磁能为212222112121I MI I L I L W W W M L m ++=+= (8.18) 磁能应该能表示成用磁感应强度表示的形式.现以自感磁能为例来寻求这一表达式.前已求出,长直螺线管的自感系数V n L 2μ=,当螺线管内充满磁导率为μ的均匀磁介质时,管内的磁场0nI B μ= ,即n B I μ=/0 .将L 及0I 代入自感磁能式 (8.16)得V B n B V n LI W m μ=μμ==2212122220)/( (8.19) 式中V 为长直螺线管内部空间的体积,亦即磁场存在的空间体积.由于长直螺线管内的磁场可以认为是均匀分布的,故管内单位体积中的磁能,即磁能密度为BH H w B V W w m H B m m 2121222=μ=−−→−μ==μ= (8.20) 值得指出,上式虽然是从自感线圈这一特例中导出的,但可以证明它是磁场能量密度的一般表达式.如果磁场是非均匀的,则可将磁场存在的空间划分成无限多个体积元dV ,在每一个体元内,其中的B 和H 均可看成是均匀的.于是体积元内的磁能为dV w dW m m =体积V 内的总磁能为⎰⎰==Vm m m dV w dW W (8.21) 例题 8.6一无限长同轴电缆是由两个半径分别为21R R 和的同轴圆筒状导体构成的,其间充满磁导率为μ的磁介质,在内、外圆筒通有方向相反的电流I.求单位长度电缆的磁场能量和自感系数.解：对于这样的同轴电缆,磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内,由安培环路定理可求得磁场强度的大小为rI H π=2 而在21R r R r ><和的空间,磁场强度为零,所以磁场能量只储存在两圆筒导体之间的磁介质中.磁场能量密度为2222821rI H w m πμ=μ= 单位长度电缆所储存的磁场能量为1224221R R I r d r w W R R m m ln πμ=π=⎰ 根据式(8.16),可以求得单位长度电缆的自感为12222R R I W L m ln πμ== 可见,电缆的自感只决定于自身的结构和所充磁介质的磁导率.作业(P200)：8.22§8.6 电磁场理论的基本概念19世纪60年代,人们对电磁现象已经积累了丰富的资料,对电磁现象的规律也有了比较深刻的认识.为建立统一的电磁理论奠定了基础.麦克斯韦在前人实践和理论的基础上,对整个电磁现象作了系统的研究.提出涡旋电场的概念,建立了磁场和电场之间的一种联系--随时间变化的磁场能够产生电场,并成功的解释了感生电动势.在研究了安培环路定理运用于非闭合电流电路的矛盾之后,他又提出了位移电流假设,即随时间变化的电场可以产生磁场,这反映了电场与磁场的另一联系.在此基础上,麦克斯韦总结出描述电磁场的一组完整的方程式,即麦克斯韦方程组.由此,他于1865年预言了电磁波的存在,以及光是电磁波的一种形态.1888年赫兹首次用实验证实了电磁波的存在.麦克斯韦电磁理论的建立,是继牛顿理论之后,科学发展史上的又一里程碑.他将人类的文明与进步推向了一个新的高潮.一、位移电流在稳恒电流情况下,无论载流回路处于真空还是磁介质中,其磁场都满足安培环路定理,即∑⎰=⋅I l d H L(8.22) 式中∑I 是穿过以闭合回路L 为边界的任意曲面S 的传导电流的代数和.在非稳恒条件下,由上式表示的安培环路定理是否还能成立呢？下面通过考察电容器充电或放电过程来进行具体分析.如图8.11所示,在一正充电的平行板电容器的正极板附近围绕导线取一闭合回路l ,以l 为周界作两个任意的曲面21S S 、,使1S 与导线相交, 2S 与导线不相交,但包含正极板,且与1S 组成闭合曲面S.设某时刻线路中的传导电流为0I .对1S 应用安培定理得0I l d H L=⋅⎰ (8.23)对2S 应用安培定理,并注意到传导电流不能通过电容器两极板间的空间,则得0=⋅⎰Ll d H (8.24) 式(8.23)和(8.24)表明,磁场强度沿同一闭合回路的环量有两种相互矛盾的结果.这说明稳恒磁场的环路定理对非稳恒情况不适用,我们应以新的规律来代替.为探求这一新规律,我们仍以电容器的充放电过程为例.容易理解,当充电电路通一传导电流0I 时,电容器极板上的电荷必然变化.从而导致两极板间电位移矢量的变化,使通过2S 的电位移通量亦随时间而变化.将高斯定理应用于闭曲面S 得q S d D S d D S S D =⋅=⋅=Φ⎰⎰⎰⎰2由此得⎰⎰⎰⎰⋅∂∂=⋅=Φ==220S S D S d t D S d D dt d dt d dt dq I (8.25) 可见,电位移通量对时间的变化率dtd D Φ具有电流的量纲,麦克斯韦将其称为位移电流,用d I 表示,即 ⎰⎰⋅=Φ=2S D d S d D dt d dt d I (8.26) 而电位移矢量的时间变化率tD ∂∂ 则与电流密度同量纲,麦克斯韦将它称为位移电流密度,用d j 表示,即tD j d ∂∂= (8.27) 这样,在电路中就可能同时存在有两种电流,一种是传导电流,由电荷的运动所产生；另一种是位移电流,由电位移通量对时间的变化率所引起.这两种电流之和称为全电流,即 ⎰⎰⋅+=+=Sd d S d j j I I I )(00 (8.28)由此可见,当电容器充电时,d I dtdq ,0>与D,亦即与0I 同向,且与0I 等值.同样,当电容器放电时, d I 亦与0I 同向等值.可见导线中的传导电流与极板间的位移电流总是大小相等,方向相同的.因此我们完全有理由认为,传导电流在哪个地方中断了,位移电流便会在那个地方连起来,使通过电路中的全电流大小相等、方向相同.这就是全电流的连续性.。
第八章电磁感应电磁场
4、了解磁场能量密度的概念
第八章 电磁感应 电磁场
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物法拉第电磁感应定律 自感和 互感
2、难点：感生电动势的计算、自感和互 感的计算
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物理学
第五版
第八章
电磁感应 电磁场
第八章 电磁感应 电磁场
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本章目录
8-0 教学基本要求
8-1 电磁感应定律
8-2 动生电动势和感生电动势
8-3 自感应和互感应
8-4 本章小结
第八章 电磁感应 电磁场
上页 下页 首页 结束
物理学
第五版
教学基本教求
1、了解电磁感现象产生的原因； 2、掌握法拉第电磁感应定律及楞次定律， 理解动生电动势及感生电动势的概念和并 掌握计算两种电动势的方法；
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B
N
F
S
v
7
例题1 判断感生电流方向
v
v
N
N
8
三、法拉第电磁感应定律
4.法拉第电磁感应定律
导体回路中产生的感应电动 势的大小与穿过回路的磁通量的 变化率成正比。 确定Ei 的方向： (1)任意规定回路的绕行方向； (2)用右手定则确定正法线方向； (3)磁通量的正负。
dΦ Ei dt
二、动生电动势的电子理论解释
1.导体内自由电子受洛仑兹力
f m qv B e(v B )
2.电子所受静电力
f e eE
a B fe E v B e v
fm
b
3.当两力平衡时,导体两瑞的电势差在数值上等于电动势. 4.当导体 ab与外电路形成闭合回路时，便出现电流破坏
一、动生电动势
特例
Φ Blx t
L
a
B
d Ei dt dx Bl Blv dt
O b
x
a
Ei
b
15
负号说明电动势方向与所设方向相反。
dΦ ② 0, E i 0, dt E i与绕行方向相同。
n B
Ei 的方向
n B
Ei 的方向
10
例题2：判断感应电动势的方向。
(1)B增加
Ei
(2)B减小
B
en
Ei
B
en
(3)B增加
(4)B减小
B
Ei
en
B
Ei
en
11
5.多匝线圈情况
5
(2)相邻回路的电流发生变化, 则感应电流所激发的磁场 将阻止(或补偿)这一电流的变化。 (3)磁通量的增加 (减少)，则感应电流所激发的磁通量将
阻止(补偿)原磁通的这种变化。
4.楞次定律的物理本质 楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体 体现。要产生电流，就要有外力克服这种“阻碍”而作 功,就要消耗其它形式的能量。
n B
dΦ 的正负 (4)确定 dt
90时, Φ为正; 90时, Φ为负。
9
dΦ dΦ Φ 0, Φ增加时, 0；Φ 0, Φ 增加时, 0。 dt dt
(5)确定Ei 的方向
dΦ Ei dt
dΦ ① 0, E i 0, dt E i与绕行方向相反 ;
o
i
R
13
Ψ NBS cos t
令 E m NBS
E E m sin 2ft
dΨ E NBS sin t dt E E m sin t 2f
Em i sin t I m sin t R
E Em
I Im
正弦交流电—交流电
t
t
14
8－2 动生电动势和感生电动势
适用于切割磁场线的导体。
18
例1 一长为 L的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中,以
角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动 ,
求铜棒两端的感应电动势。
d E i (v B ) dl vBdl Bl d l
解:
在铜棒上取一线元: d l , 速度为: v
d W Ek d l (v B) d l i d E i
3.非静电力移动单位正电荷作的功
a B dl fe E Ek e
fm
v
17
d E i (v B) d l
b
4.动生电动势的 一般表达式
a
Ei
了平衡，电子在洛仑兹力作用下移向 b 端，以维持导体
内的动生电动势和回路中的电流。
16
三、 动生电动势的一般公式 1.产生动生电动势的非静电力
f m e(v B)
洛仑兹力
2.单位正电荷受的非静电力
－ －e (v B ) EK v B e
非静电性场强
L
E i d E i Bl d l
引起感应电流的电动势称为感应电动势，感应电流
是感应电动势的对外表现。 4.引起感应电动势的根本原因 穿过导体回路的磁通量发生了变化。变化得越快， 感应电动势就越大。
4
二、楞次定律
1.楞次定律 闭合回路中感应电流的方向, 总是使它自身所产生 的磁通量阻止引起感应电流的磁通量的变化。 2.用途 用来判断感应电流的方向。 3.引起感应电流的原因 (1) 磁铁与线圈相对运动时，则线圈中感应电流所激发 的磁场将阻止这种运动。
12
例 在匀强磁场中, 置有面积为 S 的可绕 轴转动的N 匝 线圈。若线圈以角速度 作匀速转动。求线圈中的感 应电动势。
设在 t 0时，线圈平面的 正法线 en 的方向与磁感应 强度B的方向相同。
O
N
en
t时刻， t
穿过N匝线圈的磁通链数为:
B
Ψ NΦ NBS cos NBS cos t
b
v B dl
5.特殊情况：当 v B d l
E i (v B ) d l vB d l Blv
L
ba
4.讨论
d Ei dt
适用于一切产生电动势的回路；
Ei
ba
v B d l
第八章 电磁感应 电磁场
1
8－1 电磁感应定律
一、电磁感应的实验现象 1.电磁感应现象 当闭合回路中的磁通量发生变化时，回路中出现电 流的现象称为电磁感应现象。
(1)磁铁与线圈或闭合回路间相对运动；
(2) 闭合导体回路在磁场中面积改变或发生转动等 ,均会 在回路中产生电流。
2
3
2.感应电流 由电磁感应而产生的电流称为感应电流。 3.感应电动势
dΦ d( NΦ) dΨ Ei N dt dt dt
Ψ——磁通链数或磁通量匝数。 Ei N dΦ 6.感应电流 I R R dt 7. 感应电动势的两种基本形式 (1)动生电动势 空间磁感应强度不变，回路的位置、形状、大小等
变化引起的。
(2)感生电动势 回路的位置、形状、大小等不变，由于磁感应强度 随时间变化引起的。