5.5三角形内角和定理(1)doc
11.18八年级上第七章5 三角形内角和定理
5 三角形内角和定理1．三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．【例1－1】在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角点技巧三角形中，角知多少任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．【例1－2】已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°2．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】如图所示，∠1为三角形的外角的是()．点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征．3．三角形内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．4．三角形内角和定理的运用(1)利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．(2)利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．【例3】如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．证明：连接BD.∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴AD∥BC(平行四边形的定义)，∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∴∠A＋∠1＋∠2＝∠A＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．同理可证∠3＋∠4＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.点技巧辅助线的作用辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．【例4－1】若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【例4－2】△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．【例4－3】如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE 的度数．5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明(1)三角形内角和定理的推论1推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点三角形的外角①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律灵活使用三角形的外角①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．【例5－1】如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于()．【例5－2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为()．A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3【例5－3】如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．6．三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．析规律灵活运用三角形的内角和①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．【例6－1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．【例6－2】如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.7.辅助线与角的转化应用(1)辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．析规律辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．(2)等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解．①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角．【例7－1】如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.【例7－2】等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．【例7－3】已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．。
第5节三角形内角和定理(教案)
在总结回顾环节，学生们对三角形内角和定理的知识点有了更深刻的认识。但我也意识到，有些学生对知识点的掌握仍不够牢固，需要在课后加强复习。因此，我计划在课后布置一些针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形内角和定理及其应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程，我会通过辅助线和全等三角形的运用来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形内角和定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量三角形的内角度数，验证内角和定理的正确性。
举例：给出具体题目，指导学生运用三角形内角和定理进行解答，强调解题步骤和关键点。
2.教学难点
（1）证明三角形内角和定理：学生需要通过几何证明方法，理解并掌握三角形内角和定理的证明过程。
难点解析：在证明过程中，学生可能对辅助线、全等三角形的运用感到困难，需要教师引导和讲解。
（2）在实际问题中灵活运用三角形内角和定理：学生需学会将三角形内角和定理应用于解决生活中的问题，如测量角度、计算三角形面积等。
难点解析：如何将实际问题转化为数学模型，并运用三角形内角和定理进行解答，是学生需要突破的难点。
（3）几何直观和空间观念的培养：对于部分学生来说，理解三角形的内角和为180度可能存在困难，需要通过观察、操作、画图等活动，培养学生的几何直观。
难点解析：教师应提供丰富的教学资源，如教具、多媒体演示等，帮助学生形成空间观念。
三角形的内角和定理与证明
证明三角形的内角和定理1、过三角形的一个顶点做对边的平行线，该顶点处有三个角，相加为180，然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角，从而得证。
2、任意绘制一个平行四边形，将其分割成两个三角形，这两个三角形全等，然后平行四边形相邻两角相加为180，可以找到三个角的和为180，而其中两个角是一个三角形的内角，还有一个角同样可以通过平行线关系代换成此三角形内角，从而得证。
3、任意做三角形的一条高线，然后过高线所在边的一个顶点，做高线的平行线，然后可以证明出被高线分割出来的三角形的两个不是直角的内角互余，然后同理另外一个三角形的两角也互余，这四个角相加等于大三角形的内角和，等于一百八十度，从而得证。
扩展资料：一、内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
二、多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。
因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）所以n边形的内角和是（n-2）×180°。
证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n为边数）。
5. 5 三角形内角和定理 (1) 导学案
5. 5三角形内角和定理（1）一、课程标准：掌握三角形内角和定理及推论的证明过程。
二、学习目标：掌握“三角形内角和定理及推论”的证明过程，并能根据这个定理及推论解决实际问题。
三、学习重点难点：重点：三角形内角和定理及推论的证明过程。
难点:如何添加辅助线。
四、突破重难点的设想：五、学前准备：六、学情分析：七、使用说明与学法指导：1、在充分预习自学的前提下，认真完成导学案。
2、将预习中不能解决的问题标注出来，并填写到后面“我的疑问”处。
3、限时完成。
预习案一．自主预习：阅读课本p170—p171内容，思考下列问题：（课前完成）1、三角形的内角和是多少度？你是怎样知道的？2、如何证明此命题是真命题呢？要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？①平角，②两平行线间的同旁内角。
1A B CD E A B C E D 3、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。
如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？预习疑难摘要： 探究案探究一：探究三角形内角和定理1、已知：∠A, ∠B, ∠C 是△ABC 的三个内角。
（尝试独立思考完成）求证：∠A+∠B+∠C=180°。
2、你能用如图所示的的方法证明三角形的内角和吗（小组合作交流）除上述两种方法外，你还能想出这一定理的其他证明方法吗？（看谁的证明方法多）探究二：探讨三角形外角的性质：3问题1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A 、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A 、∠B 有什么关系？问题2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出： 推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．_______________________________________________________叫做推论。
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形的内角和定理是数学中一个重要的定理，它描述了任意三角形内角的和。
三角形是由三条线段连接起来的图形，它有三个顶点和三条边。
我们可以把三角形的内角分为三个部分，分别称为三角形的内角A、内角B和内角C。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角A、内角B和内角C的和等于180度。
证明这个定理可以使用几何方法或者代数方法。
接下来，我将用几何方法来证明这个定理。
我们先假设有一个任意三角形ABC。
我们可以通过辅助线BD将这个三角形分成两个小三角形，即三角形ABD和三角形CBD。
通过划分这些线段，我们可以得到以下几个角度：角BAD、角ADC、角BDC和角BCA。
根据三角形的性质，直角的两条边相互垂直。
因此，角BAD和角ADC是直角。
由于直角的度数为90度，我们可以得出角BAD和角ADC分别为90度。
接下来，我们继续观察三角形ABD和三角形CBD。
由于它们共用边BD，并且角BAD和角ADC都是直角，我们可以推断出这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，它们对应角的度数相等。
因此，我们可以得到角ABC和角BCD的度数相等。
最后，我们将所有角度的度数相加：90度（角BAD）+ 90度（角ADC）+ 角ABC + 角BCD + 角BCA = 180度。
因此，我们证明了三角形的内角和定理，即三角形的内角A、内角B和内角C的和等于180度。
三角形的内角和定理在解决与三角形相关的问题时非常有用。
无论是计算未知角度，还是研究三角形的性质，这个定理都能够帮助我们更好地理解和解决问题。
总结一下，三角形的内角和定理指出了三角形内角的和为180度。
这个定理通过几何方法证明，并在数学中起着重要的作用。
理解和掌握这个定理对于解决三角形相关的问题非常重要。
青岛版八年级数学上册三角形内角和定理
5.5 三角形内角和定理（1）1．根据下列条件，求ABC ∆中，C ∠的大小： （1）︒=∠︒=∠36,65B A ；（2）A C B ∠=∠=∠2； （3）︒=∠-∠︒=∠15,105C B A ；（4）C B A ∠=∠=∠．2．（1）一个直角三角形的两个锐角相等，这两个锐角各多少度？（2）一个直角三角形的两个锐角中，一个角是另一个角的2倍，这两个锐角各多少度？3．已知：如图，︒=∠︒=∠70,60,//ADE C BC DE ，求B A ∠∠、的度数．4．已知：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，︒=∠∠=∠80,ADC BAD B ，求ABC ∆各内角的度数．5．一个三角形中能不能有两个直角或两个钝角？为什么？ 6．如图，已知AB CD ACB ⊥︒=∠,90，垂足是D ．（1）2,1∠∠有什么关系？（2）2∠∠、B 有什么关系？为什么？B ∠∠、1不是相等？为什么？7．如图，BD AD ⊥于D ，AE 平分︒=∠︒=∠∠34,70,C B BAC ，求DAE ∠的度数．三角形内角和定理（1） 1．在ABC ∆中，如果C B A ∠=∠=∠2121，那么C B A ∠∠∠,,分别等于多少度？ED CBA 2．已知：如图，E DC AB ,//是BC 上一点，43,21∠=∠∠=∠．求证：ED AE ⊥．3．如图，在ABC ∆中，EC AE B BAC ⊥︒=∠︒=∠,60,50，垂足为CD E ,平分ACB ∠且分别与AE AB,交于点F D ,．求AFC ∠的度数．4．如图，已知BC AD CD AB //,//． 求证：︒=∠+∠+∠18021B ．5．如图，已知︒=∠50A ，（1）如图（1），ABC ∆的两条高CE BD ,相交于点O ，求BOC ∠的度数． （2）如图（2），ABC ∆的两条角平分线CN BM ,相交于P 点，求BPC ∠的度数．6．若一个三角形三个内角度数之比为1：5：6，那么，你能判断出它是一个什么形状的三角形吗？三角形内角和定理（1）一、选择题1.如图所示,BC ⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的关系是( )D CB AA.∠AED>∠BEDB.∠AED<∠BEDC.∠AED=∠BEDD.无法确定2.关于三角形内角的叙述错误的是( ) A.三角形三个内角的和是180°； B.三角形两个内角的和一定大于60° C.三角形中至少有一个角不小于60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长3.下列叙述正确的是 ( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；D.三角形中至少有一个锐角.4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( ) A.50° B.55° C.45° D.40°6.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角C.大于60°的角D.大于等于60°的角 二、填空题1.直角三角形的两个锐角___________.2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________ 三角形.3.在△ABC 中,∠A=∠B=110∠C,则∠C=_______. 4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=•120°,•则∠A=• ,• ∠B=______.5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,则∠B=∠________,∠C=∠________.6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.三、计算题1.如图,已知:∠A=∠C. 求证:∠ADB=∠CEB.E DCA2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.ED CBA3.如图,在正方形ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.E FDCBA四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120°,•∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDCBA五、小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长BC 到D,延长AC 到E,过点C 作CF ∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?EFDC BA六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.DCBA七、我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n 边形的内角和等于多少度?三角形内角和定理（2）一.选择题1.以下命题中正确的是（ ）A.三角形的三个内角与三个外角的和为540°B.三角形的外角大于它的内角C.三角形的外角都比锐角大D.三角形中的内角中没有小于60°的2.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列说法正确的有（ ）①三角形的外角大于它的内角；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③三角形的外角中至少有两个钝角；④三角形的外角都是钝角. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.三角形的三个外角之比为2∶2∶3，则此三角形为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形5.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形6.如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x 为（ ）βαxA.α－βB.β－αC.180°－α＋βD.180°－α－β二.填空题7.直接根据图示填空：（1）∠α＝_________ （2）∠α＝_________ （3）∠α＝_________; （4）∠α＝_________ （5）∠α＝_________ （6）∠α＝_________α38°62° 20°α°30°25°150°α（1） （2） （3）70°α°70°60°20°α20°135°45°α（4） （5） （6） 8.如图△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF ＝________.ABC D FE 123 AC DE12B C AED9.在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于等于∠B 的两倍，那么∠A ＝______，∠B ＝_______，∠C ＝_______.10.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝________. 11.如图，比较∠A.∠BEC.∠BDC 的大小关系为_______________________.12.如图，把△ABC 的纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1.∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为___________________. 三.解答题13.如图，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°A BFD E14.D 为△ABC 的边AB 上一点，且∠ADC ＝∠ACD.求证：∠ACB ＞∠BA15.如图，D 在BC 延长线上一点，∠ABC ，∠ACD 平分线交于E. 求证：∠E ＝12∠A AE16.如图，D 为AC 上一点，E 是BC 延长线上一点，连BD ，DE.求证：∠ADB ＞∠CDE.四.拓展探究（不计入总分）17.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计算一下，∠ABP ＋ ∠ACP ＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？把你的想法与同伴交流，看谁说得更有道理．ABCPD三角形内角和定理（2）一、选择题：1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.下列叙述正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形的外角大于内角C.三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角D.三角形每一个内角都只有一个外角 3.下列说法正确的是( )A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角C.三角形的外角和等于180°D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角4.在△ABC 中,∠A 、∠B 的外角分别是120°、150°,则∠C=( ) A.120° B.150° C.60° D.90°5.如图1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5是∠1的( ) A. 2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍5432180︒30︒1EDCBA(1) (2) (3) 6.三角形的外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形是( )三角形. A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 二、填空题1.在△ABC 中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的外角等于________.2.如图2,∠1=________.3.五角形的五个内角的和是________.4.由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.5.如图3,∠BAC_______∠BEC.6.在△ABC,∠A:∠B:∠C=∠1:∠2:∠3,则它们外角的比是_______. 三、计算题1. 如图,△ABC 中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B 、∠C 的度数.D CA2. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.DCBA3.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,•求∠DOB 的度数.ODCBA四、如图,△ABC 中,∠A=90°,∠C 的平分线交AB 于D,已知∠DCB=2∠B.•求∠ADC 的度数.DCBA五、如图,P 是△ABC 内的一点,连接PB 、PC,求证:∠BPC>∠A.PCBA六、如图,E是BC延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC>∠B21EDCBA七、如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P=90°-12∠A;△ABC•两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC=90°+12∠A;那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM•的夹角∠M=_____∠A.MQPCBA三角形内角和定理（2）1．如图，已知：︒=∠︒=∠⊥29,29,DAABDE，求ACB∠的度数．2．如图，已知：在ABC∆中，43,21,90∠=∠∠=∠︒=∠B，求D∠的大小．3．如图，P 是ABC ∆内一点，延长BP 交AC 于点D ．用符号“＜”表示A ∠∠∠,2,1的关系．4．如图，已知：D 是ABC ∆的外角平分线与BA 的延长线的交点．求证：B BAC ∠>∠．5．如图，已知：P 是ABC ∆内一点．求证：BAC BPC ∠>∠．6．已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分AD CE BAC ⊥∠,，垂足为E ． 求证：（1）ADC AEC ∠>∠；（2）B AEC ∠>∠．7．如图，在ABC ∆中，AB CE B A ⊥︒=∠︒=∠,70,30，垂足为CF E ,平分ACB ∠，求FCE ∠的度数．8．如图，在ABC ∆中，DB 和DC 分别平分内角ABC ∠和BG ACB ,∠和CG 分别平分外角CBE ∠和︒=∠∠40,A BCF ，求BDC ∠和G ∠的度数．9．如图，已知在五角形ABCDE 中，求证：︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A ．10．如图，ABC ∆中，B C ∠>∠，D 为BC 上一点，（且不与C B ,重合） 求证：B ADB ∠>∠．11．如图，ABC ∆的两个外角EAC ∠和FCA ∠的平分线交于D 点． 求证：ABC ADC ∠-︒=∠2190．12．如图，ABC ∆中，AE BC AD C B ,,⊥∠>∠平分BAC ∠． 求证：)(21C B DAE ∠-∠=∠．三角形内角和定理（2）1、已知∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角.（如图）求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE =360°.2、已知，如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上的一点，BE 、CD 相交于点F ， ∠A =62°，∠ACD =35°，∠ABE =20°求：（1）∠BDC 的高度； （2）∠BFD 的度数.3、已知，如图，BE 、CE 分别是△ABC 的内角、外角的平分线，若∠A =40°.求∠E 的度数.三角形内角和定理一、选择题:1．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠BOC=α，则∠A 等于（ ）A ．90°-2αB ．90°-2α C ．180°-2α D ．180°-2α图1 图2 图3 图42．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（ ） A ．5：4：3 B ．3：2：1 C ．1：2：3 D ．2：3：43．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A．55° B．70° C．55°或70° D．以上均有可能5．如图2，射线BA，CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B=40°，那么x的值是（• ）A．40 B．60 C．80 D．100二、填空题:6．如果三角形三个外角度数之比为4：2：•3，•则这个三角形的各外角度数分别为______．7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______．9．如图4所示，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=•DC，•则∠C=________.三、解答题:10．已知：如图所示，P是△ABC内一点，求证：∠BPC>∠BAC．ACPB11．如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC，求证：∠ACD>•∠ABC．12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°，•求这个等腰三角形的各内角的度数．三角形内角和定理一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD•的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，•∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A= ，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B间的夹角）•就越大，如图所示，你如何证明．四、经典题6．如图所示，∠1大于∠2的是（）7．如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E•的大小是（）A．30° B．40° C．50° D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B•顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，•小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1 图2 图3 小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=•180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．。
北师大版数学八年级上册5《三角形内角和定理》说课稿1
北师大版数学八年级上册5《三角形内角和定理》说课稿1一. 教材分析《三角形内角和定理》是人教版初中数学八年级上册第五章《三角形的内角和》的课题，它是研究三角形的基本性质的重要内容。
本节课的内容包括两个方面：一是证明三角形内角和等于180度，二是理解三角形内角和定理的应用。
教材首先通过设置问题情境，引导学生思考三角形的内角和问题，然后通过欧几里得平行公理和几何画图工具，引导学生进行证明。
在证明过程中，学生可以加深对三角形内角和的理解，提高几何思维能力。
接着，教材介绍了三角形内角和定理的应用，帮助学生理解和掌握这一重要性质。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的概念、性质和分类，对三角形有了基本的认识。
同时，学生已经掌握了角的度量知识，能够进行角的计算。
但是，学生对于证明过程的理解和运用还有一定的困难，需要通过本节课的学习进行提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形内角和定理，并能够运用定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过证明三角形内角和等于180度，提高几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学活动，体验成功的喜悦，培养对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形内角和定理的理解和运用。
2.教学难点：证明三角形内角和等于180度的过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画图工具和黑板进行教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过设置问题情境，引导学生思考三角形的内角和问题，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：学生利用几何画图工具，尝试证明三角形内角和等于180度。
3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的证明过程和思路，互相学习和提高。
4.教师讲解：教师引导学生总结证明过程，解释三角形内角和定理的含义。
5.应用拓展：学生运用三角形内角和定理解决相关问题，巩固所学知识。
三角形内角和定理
？ ？
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
×
？ 。 ？
A
E
。 ×2
C D
1
B
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，ABCD
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD， 画CE∥BA， 于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换). A 评： 。 图形相同，
＝１８０°－９０°－７２° ＝１８° （ 三角形内角和是180° ）
三角形的内角和定理与计算
三角形的内角和定理与计算三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。
在三角形中，我们可以研究它的内角和定理以及如何计算三角形的内角和。
本文将详细介绍该定理的应用和计算方法。
一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理指出，三角形的三个内角的和等于180度（即180°）。
这个定理是数学中的重要定理之一，可以用数学公式表示为：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。
二、计算三角形的内角和计算三角形的内角和可以通过以下几种方法：1. 已知两个内角求第三个内角：若已知三角形的两个内角的度数，可以通过三角形的内角和定理求解第三个内角的度数。
例如，已知三角形的内角A为60°，内角B为45°，则内角C = 180° - 60° - 45° = 75°。
2. 已知三边长度求内角：若已知三角形的三边长度，可以通过三角形的余弦定理或正弦定理求解内角。
根据余弦定理和正弦定理的公式，可以得到各内角的度数。
3. 特殊三角形的内角：对于特殊的三角形，其内角和有固定的度数。
例如，等边三角形的内角都是60°，直角三角形的两个锐角和为90°。
三、三角形内角和的应用三角形的内角和定理在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 角度计算：我们可以利用三角形的内角和定理来计算各种角度，如多边形的内角和、扇形的圆心角等。
2. 三角形分类：通过计算三角形的内角和，可以将三角形进行分类。
例如，内角和为180°的三角形为普通三角形，内角和小于180°的三角形为非欧几里德几何中的超几何三角形。
3. 平行线与三角形：利用三角形的内角和定理，我们可以推导出平行线与三角形的关系，如同位角定理、内错角定理等。
四、实例应用为了更好地理解三角形的内角和定理与计算方法，下面举两个具体的实例进行说明：例1：已知三角形ABC，AB = 4cm，BC = 5cm，AC = 6cm，计算三角形ABC的各个内角的度数。
三角形内角和定理的证明1
6.5 三角形内角和定理的证明教材与学生现实的分析1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。
在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。
其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。
3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。
用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。
尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。
因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。
辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可发完成的，并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。
从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的证明思路，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。
把三个内角集中在一起有很多种方法，下面提供其中的我们证明了一个很有用的三角形内角和定理，证明思想。
5.5三角形内角和定理(1)
C
E
R
图2
A 3
F 4 C B
A E
1 2
1 2
C
B
D
图5
C
图6
D
…………
交流与发现
• 三角形内角和定理的两个推论：
• 推论1 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
• 推论2 三角形的一个外角大于与它不相邻 的任意一个内角。
我学我用
1、证明：四边形四个内角的和等于3600
2、已知D是△ABC内的一点，求证：∠BDC﹥∠A
证法二Leabharlann 三角形的内角和等于1800.
E
2
A
1
F
B
C
证法二
三角形的内角和等于1800.
E
1
A
B
C
开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
A A S F E C B N P R
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
E A
Q M
B 图1 S P Q M B T 图4 N A
C B
D
T 图3
快乐丰收园
实践操作
你有什么办法可以验证呢?
言必有“据”
从刚才拼角的过程你能 想出证明的办法吗?
证法一
三角形的内角和等于1800.
过C作CE∥BA， 证明：延长BC到D， ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
为了证明的需 ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等） 要，在原图上 添加的线叫做
∵∠1+∠2+∠ACB=180 （平角的定义） 辅助线 ° ∴∠A+∠B+∠ACB=1 A 80° E （等量代换） 1 2 B C D
三角形的内角和定理
实际运用
分析：A、B、C三岛的
北 北 E C D 40° 50° 80° B A 连线构成△ABC，所求的 ∠ACB是△ABC的一个内角。 如果能求出∠CAB，∠ABC， 就能求出∠ACB。
你还有其它的解题方法吗？
课堂小结:
度量、拼合 猜想
三角形的内角和等于180 º
︵添 转加 移辅 角助 ︶线
转化的 数学思想 理论证明
我们所学的知识里哪些和180 °有关呢？
拼
求证： 三角形的内角和等于180°.
改写成:如果_______，那么_________。 已知：△ABC。 E A 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 1 证明：过点A作EF∥BC 2
∴∠1=∠B (两直线平行,内错角相等) ∠2=∠C B (两直线平行,内错角相等) ∵∠BAC+∠1+∠2=180° (平角的定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
已知一个三角形三个内角的度数 的比为2∶3∶4，求这个三角形各内 角的度数。
探究
在△ABC中， ∠B=∠C=2∠A， 求∠B和∠C的度数。 ∠B=∠C=72 °
分析：(1)设∠A为x，则∠B ＝ ∠C=2x.
得x+2x+2x=180°.
C岛在A岛的北偏东50° 方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C 岛在B岛的北偏西40°方向。从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB是多少度？
方法一：度量法
任画一个三角形，量出三个内角的度数,
把量得的三个度数相加就可以求出三角形
三个内角的和。
如果你现在没有量角器，怎么求出三
个内角的和呢？
方法二： 折叠法
方法三：剪拼法
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，而三角形的内角和定理是描述三角形内角和的数学定律。
本文将介绍三角形的内角和定理，并探讨其相关性质和证明方法。
一、三角形的内角和定理概述三角形的内角和定理是数学中一个基本且重要的定理，它表明三角形的三个内角之和等于180度（或π弧度）。
这个定理适用于任何类型的三角形，包括等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
二、三角形的内角和定理证明方法证明三角形的内角和定理有多种方法，其中一种常用的方法是利用平行线、相似三角形或三角形的外角来推导。
下面我们将介绍其中一种证明方法。
假设有一个三角形ABC，我们可以通过以下步骤证明其内角和为180度：1. 延长边BC，假设延长线与AB的延长线交于点D。
2. 利用同位角、内错角的性质可得∠DAB是三角形ABC的外角。
3. 根据三角形外角和定理可知，三角形ABC的三个外角之和等于360度，即∠CBA + ∠BAC + ∠DAB = 360度。
4. 由于∠DAB是三角形ABC的外角，所以∠CBA + ∠BAC +∠DAB = 180度。
5. 化简得到∠CBA + ∠BAC = 180度 - ∠DAB。
通过以上证明，我们可以得出结论：三角形的内角和等于180度。
三、三角形的内角和定理相关性质三角形的内角和定理还具有一些相关的性质，对于解题和推导其他几何定理有一定的帮助。
下面我们将介绍其中几个常见的性质。
1. 三角形内角和的关系：对于任意三角形ABC，设∠A、∠B、∠C分别为三角形的内角，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 等边三角形的内角：对于等边三角形来说，三个内角均相等，即∠A = ∠B = ∠C = 60度。
3. 等腰三角形的内角：对于等腰三角形来说，两个底角相等，即∠A = ∠B，而顶角∠C 则可以通过补角关系求得。
4. 直角三角形的内角：对于直角三角形来说，其中一个内角是直角（90度），而其他两个内角之和为90度。
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理三角形是平面上最简单、最基本的几何图形之一。
它由三条线段所围成，每条线段称为三角形的边，两条相邻的边所夹的角称为三角形的角。
在三角形中，有一些角具有特殊的性质，它们的和也有着特别的规律。
本文将介绍三角形中的三角形内角和定理，帮助读者更好地理解和应用平面几何。
一、三角形的内角和对于任意一个三角形ABC，三个内角的和应该等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
这个结论可以用多种方法来证明。
方法一：利用三角形的等角定理。
我们先假设三角形ABC中的角A等于90度，则∠B和∠C互为余角，即∠B=90°－∠C。
将等式代入∠A+∠B+∠C=180°中，可以得到∠A+（90°－∠C）+∠C=180°，化简后得到∠A+90°=180°，即∠A=90°。
因此，三角形ABC是一个直角三角形。
方法二：利用平行线与交线的性质。
我们用线段AC作为三角形ABC的一条边，通过点B画一条平行于线段AC的直线DE，使DE与BC相交于点F。
因为AC与DE平行，所以∠A=∠E。
同时，∠EBF和∠CBF都是180度减去∠C，即∠EBF=∠CBF=180°－∠C。
因此，∠E+∠B+∠F=∠A+∠B+∠C=180°，即∠E+∠B+（180°－∠C）=180°，化简后得到∠E=∠C。
所以，∠A+∠B+∠C=∠E+∠B+∠C=180°。
方法三：利用三角形的面积公式。
我们将三角形ABC绕某个顶点旋转，使其底边平移至一条与底边平行的直线上，然后将三角形划分成两个梯形和一个三角形。
根据相似三角形的性质，两个梯形面积之和与三角形面积之比等于梯形的中线之比，即hA：hB=AC：BD。
因为BD=AC，所以hA=hB。
同理，再用梯形的面积公式，可得hA=hB=hC，即三角形ABC的三个高相等。
三角形内角和,外角和定理
三角形内角和，外角和定理三角形是我们初中数学学习的重点，而三角形内角和，外角和定理是我们学习三角形时需要掌握的基础知识。
本文将详细介绍三角形内角和，外角和定理，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，让我们来看一下三角形内角和定理。
三角形的内角和是指一个三角形内部所有角度之和。
对于任意一个三角形ABC，它的内角和可以表示为：∠A+∠B+∠C=180°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角。
那么如何证明这个定理呢？这里我们来介绍一种简单的证明方法。
首先，我们假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为三角形ADE和三角形ABC中有两个角相等（∠A和∠D），所以它们的第三个角也相等（∠E和∠C）。
同理，三角形AED和三角形ABC中的第三个角也相等（∠A和∠E）。
因此，我们可以得出以下结论：∠A+∠B+∠C=∠A+∠D+∠E+∠C=180°因此，一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角，也就是三角形内角和定理。
接下来，让我们来看一下三角形外角和定理。
一个三角形的外角是指这个三角形中任意一个顶点所对的补角。
例如，在下题中，∠D是三角形ABC中顶点A所对的外角。
对于任意一个三角形ABC，它的外角和可以表示为：∠A'+∠B'+∠C'=360°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和。
同样地，我们也可以通过证明来理解这个定理。
假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，并且交于顶点A处，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为∠A'是∠D的补角，所以∠D=180°-∠A'。
同理，我们可以得到以下结论：∠A'+∠B'+∠C'=∠D+∠E+∠C'=180°+180°-∠A'=360°-∠A'因此，一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和，也就是三角形外角和定理。
三角形内角和定理推论
三角形内角和定理推论教学目标1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其应用；2、掌握在证明三角形内角和定理时所引辅助线的作用；3、理解、掌握三角形外角的概念、性质及其应用。
教学内容一、重难点讲解知识点一、三角形内角和定理（1）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°（2）辅助线：在证明过程中，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线（3）三角形内角和的证明：①证法一：如右图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°∴∠A+∠B+∠ACB＝180°②证法二：如右图，过点C作DE∥AB，则∠1＝∠B，∠2＝∠A又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°∴∠A+∠ACB+∠B＝180°③证法三：如右图，在BC上任取一点D，作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F则有∠2＝∠B，∠3＝∠C，∠1＝∠4，∠4＝∠A∴∠1＝∠A 又∵∠1+∠2+∠3＝180°∴∠A+∠B+∠C＝180°理解：（1）证明三角形内角和定理的方法有很多，基本思路是：把三角形的三个角“搬”到一起，让三个角的顶点重合、两边形成一条直线，以便利用平角的定义证明。
（2） ①一个三角形中最多只有一个钝角或直角②一个三角形中最少有一个角不小于60° ③等边三角形每个角都是60°知识点二、三角形外角三角形外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
理解：（1）判定一个角是三角形外角的三个条件：一是顶点在三角形的一个顶点上，二是一边是三角形的一边，三是一边是三角形另一边的延长线；（2）三角形的每个顶点处，一个外角和它相邻的内角组成一个平角。
知识点三、三角形内角和定理的推论 推论1：直角三角形的两锐角互余推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 推论3：三角形的外角等于它不相邻的两个内角和 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角二典型例题例1：△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交于点O ，若∠BOC=132°，则∠A =________.例2：如图1，AB//CD ，AE 交CD 于C ，︒=∠︒=∠9056DEC A ，，则D ∠的度数为（ B ） （A ）17° （B ）34° （C ）56° （D ）124°图1 图2例3：设α，β，γ是某三角形的三个内角,则α+β，β+γ，α+γ 中 ( ) （A ）有两个锐角一个钝角 （B ）有两个钝角、一个锐角 （C ）至少有两个钝角 （D ）三个都可能是锐角例4:（1）如图2①，五角形的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________（2）如图2②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=________（3）（3）如图2③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________例5：如图3，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？图3例6：如图4，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．图4例7：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．图5三、过关检测1、如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是( )（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角或直角三角形 2、下列说法正确的是( )（A ）三角形的内角中最多有一个锐角 （B ）三角形的内角中最多有两个锐角 （C ）三角形的内角中最多有一个直角 （D ）三角形的内角都大于60° 3、如图1，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ） （A ）∠2＞∠1＞∠3 （B ）∠1＞∠3＞∠2 （C ）∠3＞∠2＞∠1 （D ）∠1＞∠2＞∠3图14、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )（A ）30° （B ）60° （C ）90° （D ）1205、一个零件的形状如图2，按规定∠A= 90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC = 148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。
三角形的内角和
教学 环节 展 示
教学内容 1. 小组对添加辅助线的方法进行展示汇报 ., 其他小组进行补 充. 2. 派代表对几种方法进行讲解、板演。 3. 教师讲解过程中出现的问题。注意： （1）学生对辅助线的理 解； （2）学生的推理是否严密。 4.三角形内角和定理的两个推论的推导过程
个性备课
拓 展 · 达 标
教
第
课题 教学 目标 重点 难点 教学 环节 激 情 引 入 预 习 · 交 流 . 精 讲 . 点 拨
案
主备人 2013 年 月 日
课型 新授课
周
第
节
5.5 三角形内角和定理（1）
1．掌握三角形内角和定理及其推理过程； 2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 3. 培养学生观察、实验和进行简单逻辑推理的能力． 掌握三角形内角和定理的证明，尝试用多种方法证明三角形内角和定理。 体会证明三角形内角和定理时辅助线的作用. 教学内容 我们知道三角形的内角和等于 180°，即三角形三个内角和等 于平角，你能用剪纸拼图的方法验证这个结论吗？ 个性备课
感悟反思
1.命题“三角形三个内角的和等于 180°的条件和结论分别是 什么？
2、根据上面命题条件和结论画出图形，写出已知和求证。
3. 要证三角形三个内角和是 180°，观察图形，三个角间没什 么关系，能不能像前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么 样的角呢？
4. 平面几何里，添辅助线是解决问题的重要思想方法。 各小组利 用准备好的三角形纸片拼一拼， 画一画,交流得出添加辅助线的 方法.
1. 已知：如图，在△ABC 中，点 D 是 AC 边上的点，点 P 在 BD 上。 求证：∠BPC>∠A
A P B D
C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.5三角形内角和定理（1）
一、教学目标
1.知识与技能目标：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于
︒180，能用三角形内角和等于︒180进行角度计算和简单推
理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解
决问题中的应用。
2.过程与方法目标：通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程。
体现“做中学”
发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研
究的体验。
3.情感态度价值观目标：通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生
的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学
生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯。
二、重点、难点
重点：三角形内角和等于︒180的证明及应用
难点：证明三角形内角和等于︒180
三、教学过程
“三角形的三个内角之和是︒180” 如何证明这个结论的正确性？
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=︒180
证法一
证明：
在△ABC 的外部以CA 为边
作∠ACE=∠A.延长BC 至D
则 C E ∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚
∴∠DCE=∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=︒180 ﹙平角定义﹚
∴∠BCA +∠A +∠B=︒180 ﹙等量代换﹚
∴∠BCA +∠A +∠B = ︒180
2.同学想一想还有没有其他的方法证明这个结论的正确性？
证法二
证明：
延长BC 至D ，过C 作CE ∥BA.
则∠A =∠ACE ﹙两直线平行，内错角相等﹚
∠B =∠ECD ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=︒180 E. D . A E. D .
A
证法三
证明：
过A 作EF ∥BC.
则∠EAB =∠B.∠FAC = ∠C
﹙两直线平行，内错角相等﹚
∵∠EAB+∠BAC+∠CAF=︒180
∴∠B+∠BAC+∠C=︒180
1.三角形内角和定理:
三角形的内角和等于︒180
即△ABC 中，∠A +∠B+∠C=︒180 由证法一中的图可看出∠ACD 是三角形的一个外角，∠A 、∠B 是与
∠ACD 不相邻的两个内角，由三角形内角和定理能推出∠ACD 与∠A 、 ∠B 之间有怎样的数量关系？
∠ACD=∠A +∠B ∠ACD ＞∠A ∠ACD ＞∠B
由此得出：
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
巩固与训练：
1.△ABC 中，∠C =2 (∠B +∠A )，求∠C 度数 。
2.△ABC 中，∠A =∠B +∠C ，△ABC 是什么三角形 ？
3.如图6－46,已知，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50。
作业：课本P174 习题5.5 2、3、4、5.
教学反思： E. A B
F。