第二课堂 电介质电容器及能量

U U0 Ed E A : E A0 1 : 1
ε 0S C0 d
电介质的击穿场强——该电介质所允许最大场强。 超过击穿场强——电介质（绝缘体）变为导体。 击穿场强对应的电压——最大电压值（耐压值） 击穿场强对应的电荷——最大能储存电量 例6、一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直 径可以适当选择。若其间充满各向同性的均匀介质， 该介质的击穿场强是200V/cm，试求该电容器可能承 受的最高电压。（自然对数的底e=2.7183）

（自测练习） P23 计算题1 半径为a的导体球A接地，与A球同心放置的导体球 壳B，内外半径分别为3a和4a，B球壳上带有正电荷+Q ，A、B间充满 r=2，试求 （1）A球上的电荷； （2）B球壳的电势； Q （3）介质中的电场能量。
4a
UBA UB
场具有球对称性
a
3a
解： a r 3a
P
A外 A静
1 1 2 2 mv mv 0 2 2
静电场的能量 电容器的能量
2 1 Q W = CU 2 = 2 2C
1 We D EdV 2 V
1 n W q U i i 点电荷系相互作用能(互能） 2 i 1
电势能
WP qUP
带电体的静电能 (自能)：
3
5
2 m1
例5、1、2、3分别是半径各为R1、R2、R3 (R1<R2<R3) 的三个同心导体球面，中间的导体球面接地。 试求：1）球面1和球面3之间的等效电容。 2）用导线连接球面1和球面3后，球面1与地之间 的等效电容。 解：构成图示的三个电容器 3
R1R2 1、 2构成电容：C1 4 0 , R2 R1 R2 R3 2、 3构成电容：C2 4 0 , R3 R2 3与无限远（地）构成电 容：C3 4 0 R3
r -
r ' 2 E E0 E' E0 2 0 4 0 ( h )
2
方向向下
2
2r 2 r 1 1 2 h r
2r 2 r 1 D 0 r E r 2 h
当 h r 时
S
1 2
ˆ
r1
r2
ˆ ˆ E d l E l E l ( ) 1 2
L
(E1t E2t )l 0
E1 t E 2 t
n
S
r1
r2
ˆ D2 Sn ˆ q0 D dS D1 S n
D dS Q0
S
n
E’
n
E0
E E 0 E'
介质中电场强度的计算 原则：场的叠加原理 介质中的高斯定理
（自由电荷和束缚电荷的分布均有对称性） D dS Q
S
Q q' E dS
S
0
Q
- ’
+ ’
•计算步骤：
r2 E 1 0 h2
D r
三、电容器
求电容值的三步曲： 0 rS 1）设q、-q C 1）如何求电容？ 2）求U d AB 3） C q
U AB
C 40 R
C rC0
2）电容器的串联和并联 并联
C Ci
1 1 C Ci
串联
2 a a 例4（书 p80 9-9） 证明： C (1 ) 0 d 2d 0 0 a dC dS dl a l d l d l
由于dq为无限小，所以U为带电体上所有电荷在
1 W Udq 2q
该处产生的电势
例： 均匀带电球面，半径为R，总电量为Q，求这一 带电系统的静电能。 （均匀带电球面系统的自能） 解：以无穷远为势能零点，其电势为： dq Q U 4 o R R 此电荷系的静电能为： Q 1 1 Q Q2 W Udq dq 2 2 4 o R 8 o R
（习题12）厚度为b的无限大平板内分布均匀电荷密度
（>0）自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为1、
2的电介质，求（1）板内外的电场分布；（2）板外的
A点与B点分别距左右两板壁为l，求电势差UAB
解：分析可得 空间的电场由自由 电荷的厚板和两块极化电荷板叠加
E1 E2 D1 1E1 D2 2 E2
A
1
2
B
1
b
作图示高斯面1得 D dS D1S D2 S bS
s
b 板外： E1 E2 1 2
1b D1 1E1 1 2
2 b D2 2 E2 1 2
板内： s D dS D1S Dx S xS
r +
端点
E1t E2t 0 D2t D1t 0 D2n S 0( D1n 0) S
h
r -
E2 D2n D2 0 r 0 r ' Pn e 0 E2 r 1 r
D2
中点场强
r + h
e l P 3 0 3 0
o r
l
例2、将一个介电常数为r均匀介质球，放在电场强度为
E0的均匀外场中，被均匀极化，试求球的极化强度矢量
P和球心的电场强度EC. ' P n Pcos
介质球面的法向与E0的夹角

E0
EC E0 E' EC E0 E'
x(1 2 ) 1b Dx 1 2 x(1 2 ) 1b Ex d d 1 (1 2 )
A
1 1 2
2
1b EX 0 当 x 1 2
BbBiblioteka 二、介质中静电场的边界条件
E dl 0 L D dS q 0
(D1n D2 n )S
q0 D dS (D1n D2n )S
q0 D 2 n D1n 0 S
若界面无自由电荷的存在
D2n D1n
D线的折射定律：
E1 D1 1 r1 r2 E 2 2 D 2
t an1 D1n D1t r1E1t r1 t an 2 D 2 t D2 t r 2 E 2 t r 2 D2n
D1 t
例3 练习册P67 2 平行板电容器两极板上自由电荷面
密度分别为 ．今在其中放入一细长圆柱形各向同性
均匀电介质棒，其半径为r，高度为h，相对介电常量
为r，其轴线与板面垂直，如图所示．试求圆柱电介质
中点的电场强度 和电位移矢量 ．并求当h>>r时，介质
中点E 、D 的近似值． 解：假设极板上的电荷仍均匀分布 根据场的分布及边界条件得
高等数学上 p159
x x x m1 sin x x (1) 3! 5! (2m 1)!
2m x2 x4 x m 1 cos x 1 (1) 2! 4! (2m)! n x 2 x3 x n 1 ln(1 x) x (1) 2 3 n ( 1) 2 ( 1) ( n 1) n (1 x) 1 x x x 2! n! 1 1 2 (1 x) 1 x (1 x)1 1 x 2
0 a C dC dl d l 0 0 0 a d a ln d
a a
d

a
高等数学上p158
d a a a 1 ( a ) 2 a (1 1 a ) ln ln(1 ) d 2 d d 2 d d d
a2 a C 0 (1 ) d 2d
D dS Q 0
S
D
D E
P 0 ( r 1) E ’ P E
σ ' Pn
例1、求均匀极化电介质球的退
极化场。设极化强度矢量为 P 。
o r
e E r 3 0
E'
E0
E' (r ) = E+ (r - l ) + E- (r + l ) 2 2 e e l (r ) (r l ) 2 3 2 3 0 0
则：C13 1 1 1 C1 C2 C3
1
C1
R3
R2

R1
1
2
2
2 3
C2 C3
3
(2)用导线连接球面1和球面3后，球面1与地面间的电容 为三电容的并联
2 1
1
C1
2
2 3
C2 C3
2 3
C2
C1
C ＝C1 C2 C3

R3 R2

3
C3
3
R1
1
2
3
自测练习 p27 3
P p 2 E' cos sin d 2 0 3 0 0
P E C E 0 E ' E0 3 0 P P r 1 0 E C r 1 0 ( E0 ) 3 0 3 r 1 0 P E0 r 2 3 EC E0 r 2
PC r 1 0EC
E
qx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
解： dE'
' dSRcos
4 0 (( R cos ) ( R sin ) )
2 2 3 2
P cos 2R sin Rd cos P 2 cos sin d 2 4 0 R 2 0
R1
L