自动控制原理-孟华-习题答案

自动控制原理课后习题答案

第一章 （略） 第二章

2.1 试分别写出图2.68中各无源电路的输入u r (t )与输出u c (t )之间的微分方程。

图2.68 习题2.1图

解：

(a) 11r c u u i R -=，2()r c C u u i -=，122c u i i R +=，12122121212

c c r r R R R R R Cu u Cu u R R R R R R +=++++

(b) 11()r

c C u u i -=，

1

21

r u u i R -=，1221i i C u +=，121c u i R u =+， 121211122112121121()()c c c r r r R R C C u R C R C R C u u R R C C u R C R C u u ++++=+++

(c) 11r c

u u i R -=，112()r C u u i -=，1122u i i R +=，112

1c u i dt u C =+⎰， 121212222112122221()()c c c r r r R R C C u R C R C R C u u R R C C u R C R C u u ++++=+++

2.2 试证明图2.69(a)所示电路与图2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。图2.69(b)中X r (t )为输

入，X c (t )为输出，均是位移量。

(a) (b)

图2.69 习题2.2图

解：

(a) 11r c

u u i R -=，12()r c C u u i -=，12i i i +=，22

1c u idt iR C =

+⎰

， 121211122212121122()()c c c r r r R R C C u R C R C R C u u R R C C u R C R C u u ++++=+++

(b) 2121()c

B x x K x -=，1121()()()r c r c c B x x K x x B x x -+-=-，

121221212121211212

()()c c c r r r B B B B B B B B B

x x x x x x K K K K K K K K K ++++=+++

2.3 试分别求出图2.70中各有源电路的输入u r (t )与输出u c (t )之间的微分方程。

(a)

(b) (c)

图2.70 习题2.3图

解：

(a) 12c r r u u Cu R R +=-，221

c r r R

u R Cu u R =--

(b)

12c r c u u Cu R R =--，221

c c r R R Cu u u R +=-

(c) 211

1r r c

u u

u R dt R C R =-

-

⎰，12c r r R Cu R Cu u =-- 2.4 某弹簧的力-位移特性曲线如图2.71所示。在仅存有小扰动的情况下，当工作点分别为x 0 =-1.2、0、2.5时，试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。

图2.71 习题2.4图

解：

设力f 与位移x 的关系为f=g (x )。取增量方程：

()x dg x f x dx

∆=

∆， x 0 =-1.2、0、2.5

()x dg x dx

为工作点处的弹性系数，分别从曲线中量出为

302016

60,20,80.512

=== 2.5 设某系统的传递函数为G (s )，在初始条件为零时，施加输入测试信号r (t )= t （t ≥0）,测得其输出响应

为c (t )=1+sin t +2 e -2t （t ≥0）,试确定该系统的G (s )。 解：

21)(s

s R =，22

111)(2++

++=s s s s C ，222533)(23234++++++=s s s s s s s s G 2.6 系统的微分方程组如下：

)(d )

(d )( , )(d )(d )()()()( , )()()(d )

(d )( , )()()(54435553422311121t c t

t c T t x K t x K t t x t c K t x t x t x t x K t x t x K t

t x t x t c t r t x +==--==+=-=τ

其中τ，K 1，K 2，K 3，K 4，K 5，T 均为正常数。试建立系统r (t )对c (t )的结构图。

解：

2.7 系统的微分方程组如下：

t t c t

t c t x K t nNN K t x t x x t

t x T

t x t x t x t x K t x t n t c t r t x d )

(d d )(d )( , )()()(d )

(d , )()()()()( , )()()()(2

25022453

452311211+=-==-==+-=

其中K 0，K 1，K 2，T 均为正常数。试建立系统结构图。

解：

2.8 图2.72是一个模拟调节器的电路图。试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调节器的结构图。

图2.72 习题2.8图

解：

(a)

11r c

u u i R -=，)(11211dt du C R u i +-=，312R u i =，⎰

-

=dt i C u 22

21，542R u R u c -=， r c c c u u u R R C

R R R u

R C C R R R -=-+ 5

22431521431

2.9 图2.73是一个转速控制系统，输入量是电压u a ，输出量是负载的转速ω，试写出其输入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。

图2.73 习题2.9图

解：

(a) ωe a a

a a a

K dt di L R i u ++=，a i d i K M =，ωωB dt

d J M d +=， a e

e i a a a e i e i a u K K K B R B L J R K K K K J L 1

)1()(1=++++ωωω

2.10 某机械系统如图2.74所示。质量为m 、半径为R 的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定

圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，试求出其运动方程和结构图。

图2.74 习题2.10图