高中数学解析几何总结非常全

高中数学解析几何

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：︒<≤︒1800α

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

αtan =k

（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直

线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2

121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o

90=α；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；

2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距

离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直

线的方程：1

21

121x x x x y y y y --=--；

注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+

b

y

a

x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+222

2

,B A A

B

A B （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）

6(选修4-4)参数式⎩

⎨⎧+=+=bt y y at

x x 00（t 参数）其中方向向量为),(b a ，

单位向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++222

2,b a b b a a ； a b k =；22||||b

a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则2

2

2121||||b

a t t P P +-=

；

⎩

⎨

⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。

三、两条直线的位置关系

设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0

:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或

⎩⎨⎧=++=++0

0222

111C y B x A C y B x A 解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：

),(),(2211B A B A λ=

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=⋅B A B A ②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角

（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它

是有向角，其范围是πθ<≤0；

注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是2

0π

θ<

≤；

（3）设两直线方程分别为： 222111::b x k y l b x k y l

+=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

②若θ为1l 和2l 的夹角，则1

2121tan k k k k +-=

θ或21211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

③当0121=+k k 或02121=+B B A A o

注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2

(πθθα≤=或)2

(π

θθπα>-=；

五、点到直线的距离公式：

1.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

；