4-误差传播律习题课

单个观测值的权和协因数
pi


2 0

2 i
Qii

1 pi


2 i
2 0
Qij

ji

2 0
称pi为观测值Li的权。 Qii为观测值Li的协因数， Qij为观测值Li关于Lj的互协因数。
二、观测值向量的 自协方差阵


2 x1
DXX
n,n



x2

x1
x1x2

2 x2
• 问:可设多少个测站?
• 4、有一个角度测了20 回，得中误差 为 ±0。42〞。
• 问：需要再增加多少测回，其中误差 可达 ±0。28〞。
• 5、以相同精度测定支导线各转折角 L1、L2。。。LN ,观测中误差为 σ。
• 设起始方位角α无误差。
• 求：导线边A-1,1-2，2-3,…(n-1)B的方位角的中误差。



x2

y1
x2 y2



x2 ym


xn y1 xn y2 xn ym

2 i
02Qii
ji 02Qij

2 j
02Q jj
观测值向量 L 的协因数阵 n1
Q11 Q12 Q1n
QXX
n,n
Q21
• 6、设附合水准线路长 SAB=80km ， 每公里观测高差的权为 1 。设A、B 点高程无误差。
• 求：最弱点平差前后的高程的权。
• 7、对 A 角观测 4 次，每次观测中误 差为 ±3〞；
• 对 B 角观测 9 次，每次观测中误差 为 ±4〞。
•
根据公式：
Pi

Ni C
• 今设C=1，则PA=4，PB=9， • 即：PA：PB=4：9。 • 对吗？为什么？
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
频数/d
f ()
1
e
2 2 2
2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
精度：误差分布的密集或离散 程度。
精度评定指标：中误差（方差） 相关性评定指标：协方差
一、单个观测值的方差/中误差
方差：
2 lim [] D() E(2 )
Qn1
Q22
Qn2

Q2n



Qnn
DXX


Q 2
0 XX
三、二观、观测测值值函线性数函的数误的方差差传播
1、线性函数 ：
X
n,1

[X1,
X
2,...X n
来自百度文库
]T
,
DXX
Z K X K0
t ,1
t , n n,1
t ,1
Y F X F0
r ,1
r , n n,1
X
P
A
Y A
S
S cos AP
sin
AP
AP
AP
（1） （2）
S
S
sin L 2
（3）
AP
AB sin L
3
P
L
（4）
AP
AB
1
• 10、已知： • SAB=106.00m±0.06m, • L3=29°39′±1′, • L2=120°07′±2′.
• 求：SAC及其中误差。
误差理论习题课
误差理论基础
L~ L L~ L
• 受观测条件的限制，观测值不可避免
地存在观测误差
•观测条件：
• • 观测仪器、观测者、观测环境
• 观测条件的好坏将直接影响测量成果 的质量
根据观测误差对测量结果的影响性 质，观测误差可分为：
偶然误差、系统误差、粗差
同时产生于观测过程中，同时综合 影响着观测值。
r ,1
2、非线性函数的线性化：
X
n,1

[
X1,
X
2
,...X
n
]T
,
DXX
Z f (X ) f (X1, X2, Xn )
X 0 [ X 0 , X 0 ,...X ]0 T 近似值
n ,1
1
2
n
将Z=f(X)按台劳级数在X0处展开：
Z f ( X 0, X 0, X 0 )
r ,1
F X
r , n n,1
F0
r ,1
协方差传播律
协因数传播律
DZZ K DXX KT t,t t,n n,n n,t
DZY K DXX FT
t,r t,n n,n n,r
QZZ
tt

K
tn
QXX
nn
KT
nt
QZY K QXX FT
tr tn nn nr
五、误差传播律在测量中的应用


x1xn

x2 xn




xn
x1
xn x2


2 xn

DXX特点：
对称可逆方阵
主对角线上元素为对应观测值的方差; 非主对角线上元素为对应两个观测值的协方差
观测值向量间的 互协方差阵
x1y1 x1y2 x1ym
DXY
n,m
• 单个误差在大小和符号上都没有任 何规律，表现出随机性，每个误差对 总体的影响很小，没有哪个误差在整 个误差中占优势，
• 但大量误差的总体却呈现出一定的 统计规律。
偶然误差的统计规律性
1、在一定的观测条件下，误差的绝对值 有一定的限值（界限性 ）；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误 差出现的概率大（聚中性 ）；
11 、 如 图 AB 两 点 间 的 已 知 高 程 分 别 为 10.000m和12.000m，P为待定点，A至P 点 3km ， B 至 P 点 6km ， 测 得 hAP=4.615m,hBP=2.620m, 若 每 公 里 观 测 高差的精度均为2mm， 求P点高程的带权均值及其精度
P
A
12、对某图形的面积用不同的器械测定三次， 获得下列附有中误差的结果（单位为cm2)， 求该图形面积的带权均值及精度。
45.4±0.30; 45.1±0.12; 44.9±0.18;
2 0

T P n
ˆ
2 0

V T PV nt
•误差传播定律的
•
应用算例
• 1、设有函数：Y = F * X1 + F0 ，
•
Z = K * X2 + K0 。
• 已知：向量X = [ X1 ， X2 ]T的方差-
协方差阵为： DXX

DX1

DX
2
X
1
DX1X 2
DX
2

n n
2 f ()d
中误差：
2 lim []
n n
两个观测值之间的协方差
xy
lim [ x y ] n n

DXY
E{( X E( X ))(Y E(Y ))}
E{ x y }
方差反映了X的误差分布的离散程度; 协方差反映了X和Y之间的相关关系.
• 求：Y关于Z的协方差DYZ。
• 2、在单一水准路线AB上，P为待定高 程点，A、B点高程已知，且无误差。
• 今观测了高差h1,h2和对应水准距离
S1,S2。已知：
Dhh



2 1
0
0


2 2

• 试确定将观测高差闭合差按距离分配
后，高差平差值的协方差阵 。 Dhˆhˆ
•
• 3、在水准测量中,每测站观测高差的 中误差为±1cm.今从已知点推算待定 点的高程,要求高程中误差不大于 ±5cm.
1、由三角形闭合差计算测角中误差的 菲列罗公式：
ˆ 2 WW
3n

2 w

3
2
ˆ WW
3n
w 3
2、独立等精度观测量算术平均值的中 误差公式：
Lˆ

1
2

n
2

n
1
n
3、等精度独立观测两水准点间观测高 差的中误差公式：
h n
hs h
pc hN
h
• 8、图示三角网中，A,B为已知三角点. 有观测量Li，i=1…6；DLL=E。
• 求: CD边边长的相对中误差 σSCD/SCD .
• 9.如图，已知观测角 Li , i=1,2,3 ; DLL=E . A、B为已知三角点，坐 标无误差。
• 求：待定点P的点位误差 。
X YP
• 经典平差的前提条件之一： 观测值中只含偶然误差，或偶然误差占
主导地位
• 经典平差的前提条件之二： 观测值互不相关(任意两个观测值之间
的协方差为零）
• 经典平差的前提条件之三： • 平差前，观测值的先验统计信息已知
（观测值的中误差或权已知）
偶然误差表现：
• 在相同的观测条件下进行一系列观 测，
1
2
n
( f ) ( X X 0 ) ( f ) ( X X 0 ) ( f ) ( X X 0 )
X 0 1
1
X 0 2
2
X 0 n
n
1
2
n
(略去二次以上项）
四、观测值函数的误差D 传02Q播
Z K X K0
t ,1
t , n n,1
t ,1
Y
2、独立等精度观测量算术平均值的中 误差公式：
Lˆ

1
2

n
2

n
1
n
3、等精度独立观测两水准点间观测高 差的中误差公式：
h n
h
S
1
s

S
4、独立等精度观测量算术平均值的权：
P n Lc
5、等精度独立观测两水准点间观测高 差的权：
c p
h
S
1
s

S
4、独立等精度观测量算术平均值的权：
P n Lc
5、等精度独立观测两水准点间观测高 差的权：
c p
hs h
pc hN
h
6、等精度观测数据均值中误差 （白赛三尔、公协式方）差传播率的应用
VV
Ln
n(n 1)
7、单位权方差：
ˆ
3、绝对值相等的正负误差出现的概率相 同（对称性 ）；
4、偶然误差的数学期望为零
偶然误差的统计规律性
偶然误差 ，服从正态分布N(0, 2 )
f ()
σ不同，曲线的位置不变，形 状却变化:σ愈小，曲线顶点愈 高，形状愈陡峭，误差分布 密集于随机变量的数学期望 附近。

0
偶然误差的概率密度函数是图：2.2.1
f ()

1
2
exp

E()2
2 2



1
2
exp
2
2 2


频数/d
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。