大学物理麦克斯韦方程组

一般情形下, ΦD = ID = dΦD d = dt dt ˆ
S S
ˆ D · dS , ˆ
S
D · dS =
∂D · dS , ∂t
∂D ∂D . : 位 移 电 流 密 度 , 用 JD 表 示 , JD = ∂t ∂t 注意: 位移电流产生磁场.
什么是麦克斯韦第二基本假设?
已知两极板之间的随时间变化的电场产生位移电流. 位移电流产生磁场. 麦克斯韦第二基本假设: 变化的电场将在周围空间激发磁场. 考虑到位移电流, 如何重写安培环路定理?
∇ · D = ρ, ∇ × E = − ∂ B , ∂t 麦克斯韦方程组: ∂D ∇ · B = 0, ∇ × H = j + . ∂t 洛伦 兹力 公式 : f = q (E + v × B ). B 物 质 方 程 : D = εE , H = , j = σ E . µ
电磁波的能流密度是什么?
电磁波的能流密度由下式给出 S = E × H. 在真空中, 有 S= 1 1 E × B, S = EB = c ε0 E 2 = cw . µ0 µ0
S : 玻印廷矢量.
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电磁波谱是什么样的?
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什么 是 介质 的 电 磁 性质 方 程 (物 质 方程 )?
D = εE , H = B , j = σE . µ
ε : 介电常数. µ : 磁导率. σ : 电导率.
经典电磁理论的基本框架包含什么内容?
经典电磁理论的基本框架包含麦克斯韦方程组、洛伦兹力公 式、物质方程.
L
B0 · dS = 0, H0 · d =
i
Ii .
恒定磁场是无源、非保守、有旋场.
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麦 克 斯 韦方 程 组 的 积分 形式 是 什么?—续
感 生 电场 的高斯 定˛ 理、环路定理: ˛S D · dS = 0, ˆ ∂B E ·d =− · dS . L S ∂t
L
∇ × A · dS =
麦克斯韦方程组的微分形式是什么?
借 助 于 散 度 定 理 、 斯 托 克 斯 定 理 、 电 荷 密 度 ρ、 电 流 密 度 j , 可 由 麦克斯韦方程组的积分形式写下其下列微分形式 ∇ · D = ρ, ∂B ∇×E = − , ∂t ∇ · B = 0, ∇ × H = j + ∂D . ∂t
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物理与光电工程学院
电磁场
大连理工大学
”From Newtonian mechanics, through quantum theory, without physics, life would be dreary.”
October 20, 2013
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如何计算电磁波的能量?
在真空中, 电磁波的能量密度为 1 1 2 1 1 w = we + wm = ε0 E 2 + B = ε0 E 2 + ε0 (cB )2 . 2 2µ0 2 2 在 真空中 , E = cB . 因 此, w = 2we = 2wm = ε0 E 2 = B 2 /µ0 .
为引入位移电流, 考虑电容器的充、 放电过程. 对于 ˛ 安培 环路L, 有 H ·d =
L i
Ii .
为 找到穿 过L的电 流总和 , 可考 虑以L为 边界的 任何曲 面. 考 虑图中 的两个以L为边 界的曲 面S1 、S2 .
穿过 S1 的 总电 流为 I ,
i
Ii = I . Ii = 0. (电容 器两 极 板 间无 自由 电 流 .)
1
2
把∇ × H = ε∂ E /∂ t 两 边取 旋度 , 有 ∂ ∇ × (∇ × H ) = ε ∇ × E . ∂t 利用 ∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ · H ) − ∇2 H 、∇ × E = −µ∂ H /∂ t , 有 ∇(∇ · H ) − ∇2 H = −εµ ∂2H . ∂t 2
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位移电流与传导电流有什么异同点?
1
起源不同
传导电流由带电粒子的运动产生. 位移电流由电场随时间的变化产生.
2
物理本质不同
传导电流为实际电流. 位移电流是与电场随时间变化等效的电流.
3
位移电流和传导电流在产生磁场上是等价的.
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例 10.1 平行 板 电 容 器两 极板 之 间 的位 移 电 流 、磁 感 应 强 度.
描述电磁波中电、磁场的方程为 ∇2 E = εµ ∂2H ∂2E 2 , ∇ H = εµ . ∂t2 ∂t 2
注意: 描述电磁波中电、磁场的方程具有相同的形式! 很多不同类型的波皆满足这种形式的方程. 这种方程称为波动方程.
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什么是平面电磁波?
考虑这样的电磁波:
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1 dE ε 0 µ0 r ≈ 5.6 × 10−5 r T. 2 dt
8
麦克斯韦方程组的积分形式是什么?
静 电 场 的 高 斯 定 理 、˛ 环路定理: D0 · dS = ˛
S i
Qi ,
E0 · d = 0.
L
静电场是有源、保守、无旋场. 恒定磁场的高斯定理、 ˛安培环路定理: ˛S
感生电场是无源、非保守、有旋场. 变化的电场所激发 ˛ 的磁场的高斯定理、安培环路定理: B · dS = 0, ˛ ˆ ∂D H ·d = · dS = ID . L S ∂t
S
变化的电场所激发的磁场是无源、非保守、有旋场.
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麦 克 斯 韦方 程 组 的 积分 形式 是 什么?—续
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什么是电磁波? 亦即, 描述电磁波的方程是什么?
考虑均匀各向同性介质、无自由电荷、无自由电流的情形. 利 用 D = εE 、 B = µ H , 可 把 麦 克 斯 韦 方 程 组 写 成 ∂H ∇ · E = 0, ∇ × E = −µ , ∂t ∇ · H = 0, ∇ × H = ε ∂ E . ∂t 要做的事情: 从上述麦克斯韦方程组出发, 推导出描述电磁波的方程. 需要用到的数学工具: 矢量恒等式 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A.
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关键点
1 2 3 4 5 6 7 8
位移电流。 麦克斯韦第二基本假设。 全电流安培环路定理。 麦克斯韦方程组的积分、微分形式。 电磁波的概念、平面电磁波、电磁波谱。 波动方程。 电磁波的能量密度、能量、能流密度、玻印廷矢量。 电磁势、四维电磁势。
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什么是位移电流?
ˆ = ex . 沿 正 x 轴 传 播 , 即 传 播 方 向 为 ex , k k : 波矢. E = Ey ey 、H = Hz ez . Ey = Ey (x , t )、 Hz = Hz (x , t ).
波动方程的解为 Ey = E0 cos[ω (t − x /u )], Hz = ε/µ E0 cos[ω (t − x /u )]. √ √ ˆ u = 1/ εµ, u = (1/ εµ)k : 波速. ω: 角频率. 这样的电磁波称为平面电磁波. √ √ 注 意 : E ⊥ H 、 µ H z = ε Ey . 注意: E 、H 、k 满足右手螺旋关系。
i
穿过 S2 的 总电 流为 0,
存在非唯一性! 如何解决此非唯一性?
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什么 是 位移 电 流 ?—续
注意: 在电容器的充、放电过程中, 极板上的电荷不断变化. 因此,
电容器两极板之间的电位移D 不断变化, D = σ; σ: 极板上的电荷面密度. dD = 0. dt dΦD = 0. dt
什么是电磁势?
由麦克斯韦方程 组 ∇ · D = ρ, ∇ × E = − ∂ B , ∂t ∂D ∇ · B = 0, ∇ × H = j + , ∂t 以 及矢量 恒等式 ∇ · (∇ × A) = 0、∇ × (∇ϕ) = 0, 可见
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什么 是 电磁 波 ? 亦 即, 描 述 电磁 波 的 方 程 是什么 ?— 续
推导E 满足的方程:
1
2
把∇ × E = −µ∂ H /∂ t 两 边取 旋度, 有 ∂ ∇ × ( ∇ × E ) = −µ ∇ × H . ∂t 利用 ∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ · E ) − ∇2 E 、 ∇ × H = ε∂ E /∂ t , 有 ∇(∇ · E ) − ∇2 E = −εµ ∂2E . ∂t2
总电场、总磁场: D = D0 + D , E = E0 + E , B = B0 + B , H = H0 + H . 由 上述结果, 有下列麦克斯韦方程组的积分形式 ˛
D · dS = ˛
S
Qi , ˆ
i
(电场 的高斯 定理, 或电 场通量 定理), (法拉 第电磁 感应定 律, 或电场 环流定 理), (磁场 的高斯 定理, 或磁 场通量 定理),