(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型
① 等底等高的两个三角形面积相等；
② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图
S 1：S a:b
③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
E A CD
足BCD ；
反之，如果S ACD S A BCD ，则可知直线AB 平行于CD .
④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）；
⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
如图在A ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上）,
贝S S A
ABC
: S A ADE （AB AC ）： （AD AE ）
图⑵
任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S ：S 2
S 4 ：S 3 或者 S i
S 3 S 2
S 4 ② AO:OC S i
&
: S 4
S 3
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
Si S
2
a
A B
C D
C
D
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ① S ：S a 2：b 2
② S 1 : S 3 : S 2: S 4 a 2: b 2: ab: ab ; ③ S 的对应份数为a b 2 . 四、相似模型
（一）金字塔模型
①
AD
AE DE AB AC BC
^②
ADE
:& ABC
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具
/、・ 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点O ，那么
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为
ABO
:S ACO
BD:DC .
二）沙漏模型
AF AG ；
AF 2
:AG 2
.
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .
典型例题
【例1】
如图，正方形ABC 啲边长为6，AE 1.5，CF 2.长方形EFGH 勺面 积为 _______
【解析】
连接DE DF,则长方形EFG 啲面积是三角形DEF 面积的二倍. 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S ^ DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4
2 16.5 ,所以长方形 EFGH
面积为33.
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘
米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.
证明：连接AG .（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一
起）.
F , 、
,
1
、. ••在正方形 ABCD 中 , S A ABG
2
1
二S A ABG 2 S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半）
8 8 10 6.4（厘米）.
同理, S A ABG
2S
EFGB •
二正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等.
长方形的宽
D G
C
【例2】
长方形ABCD 的面积为36cm 2, E 、F 、G 为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】
解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图:
解法二：特殊点法.找H 的特殊点，把H 点与D 点重合,
那么图形就可变成右图:
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边 二
等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接，求阴影部分面积.
可得：
S
EHB
1S 2 AHB
、
S 1
FHB — 2
S
CHB
、 S DHG
1S
S DHC
,
S A BCD S AHB
S CHB S CHD
36
即 S EHB S
BHF
S
D HG
AHB
S
CHB
S
CHD )
1 2
36
18
；
而
S EHB S BHF S DHG
S 阴影
S
EBF
而
S EBF
1
2 BE BF - (- AB) (- BC) - 36 4.5 2 2 2 8
S S S S 1 1
1 1 1
1 1
S ABCD
S
AED
S
BEF
S
CFD
36
— 36
36
36
2 2 2 2 2 2 2
S 阴
影
H 为AD 边上任
所以阴影部分的面积是: S 阴影 18
S EBF
18 4.5 13.5 这样阴影部分的面积就是
DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:
【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1，所以阴影部分的面积为
4 6
62（1 1） 15平方厘米.
4 6
（法2）连接PA、PC .
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知
4 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的丄，所以阴
6 影部分的面积为62（1 1） 15平方厘米.
4 6
【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8 , AD 15，四边形EFGO的面积为 _________ .
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.
由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为120 1 30，所
以三角形AOE和DOG的面积之和为120 - 70 20 ；
4 4
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以
2 4
四边形EFGO的面积为30 20 10 .
另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面
积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
【解析】
因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三
角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200.
根据图形的容斥关系，有S ABC 鬲 即 400 S 丙 200 200 S AMHN ，所以 S W
S ABN S AMC
S AMHN
.
S AMHN
,
又
S 阴影
S ADF
S 甲S 乙 S AMHN ，所以
S
阴影
S
F
S
^
S
丙
S
ADF
143 1 400 43
4
分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .
【例4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400, D 、E 、F 分别为三边的中点， 已
知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形
HBC ）
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是 阴影部分的面积为 36, E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则
【解析】
如图，连接OE . 根据蝶形定理，ON : ND
S OEN — S
2
S COE
: S
CDE
1
2 S
CAE ：
S CDE
1:1
,所以
OM : MA S BOE : S BAE
1
——S 巨形 ABCD
3 4
1
1 3
6
2.7 .
又 S OED
S BDE : S BAE 2
3 ， s OEA
s 1S OEM 5
2S OED 6，所以阴影部分面积为:
1:4，所以
OEA •
【例5】
如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB 将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面 积是 . 连接AF , BD .
根据题意可知，CF 5 7 15
于是：28 S A DG
2I S CBF 65
； 28
S ADG
^I
S CBF
38
可得s ADG 40 .故三角形ADG 的面积是40.
【例6】
如图在 △ ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , S A ADE 16平方厘米，求△ ABC 的面积.
【解析】
连接 BE , s ADE ： S A ABE AD ：AB 2:5
(2 4):(5 4),
S
^ ABE : S A ABC AE : AC 4 :
7
(4
5)
： (7 5), 所以 ADE : S A ABC
(2 4)
: (7
5)
, 设
S A ADE 8份，则S A ABC 35份，S ^ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，
35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个
重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比.
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形
ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
【解析】
所以，S BEF
15
27
S
CBF S BEC
27 S
CBF , S AEG
S ADG , S
AED
28
箱S
ADG
G
G
27 ； DG 7 15 6 28 ；
连接AD . •/ BE 3 , AE 6 …AB 3BE , S V ABD 3S VBDE 又 v BD DC 4 ,
…S V ABC 2S VABD ，…S V ABC 6S VBDE ,
【例7】
如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB: AD 5:2 , AE:EC 3:
2 , ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积.
【解析】
连接 BE , ADE ： ABE AD ： AB 2:5
(2 3):(5 3)
S ABE : S ^ ABC AE:AC 3: (3
2) (3 5): (3 2) 5 ,
所以 S ^ADE : S ^ ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25，设 ADE 6 份，贝S $△ ABC 25 份， S SDE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
…S
vABC
3
S
vABE
又v AB 5AD
…S vADE
S
VABE
5 S
VABC
15
【巩固】如图,
三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, BE 3， AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍?
BD DC 4 ,
【解析】
【例8】
如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平 行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面 积比.
【例9】
如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】
题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接 求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理） 【例10】
如图所示， ABC 中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC 的面积.
又
S ^
ABC 1，所以 S ^ FBE
3 .
同理口」彳得 S ^ GCF 8 , S ^ DHG 15 ,
S ^ AEH
8
•
以 S EFGH S ^ AEH S ^CFG 所以 SABCD
2 1
. S
EFGH
36
18
S ^ DHG S ^ BEF S
ABCD
8 8 15+3+2
【解析】
连接AC 、BD .根据共角定理
•.•在△ ABC 禾口 △ BFE 中， ABC 与 FBE 互补, • ABC AB BC 11 1
S ^FBE
BE BF 门 3 .
36
.
H
E
E
【解析】
如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置.
由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.
由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边
BF 为5 3 8，所以它的面积为82 - 16 .
4
根据面积比例模型，OBC 的面积为16 5
10 .
8
【例11】
如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 AEB 90 , AC 、BD 交于 O . 三角形OBE 的面积.
【解析】
如图，连接DE ,以A 点为中心，将ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是90，所以四边 形AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ,
所以梯形AFBE 的面积为：
1 / 2\ 3 5 3
12( cm ).
2
又因为ABE
是直角三角形，根据勾股定理，
AB 2 AE 2 BE 2 3 2 52 34 ,
所以S A
BD
那么S BDE 1 2
-AB 2
17( cm 2). 2 /
S ABD
S ABE S ADE
S ABD S AF BE
17 12 5
( Cm ),
所以S OBE
1 2 s BDE
2
・5 ( cm 2).
ABE , 5cm ,求
已知AE 、BE 的长分别为3cm 、 E
S A
ADE ADC
1 2S
2 3 S ABC
1BF S A ABD
3，所以FE S
3
【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF，且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD
18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形
BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为
24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.
【例13】如图，三角形ABC的面积是1 ,
BD:DC 1:2 , AD 与BE 交于点 F .
E是AC的中点，点D在BC上，且则四
边形DFEC的面积等于____________ ,
1
方法二：连接DE，由题目条件可得到S A ABD ABC
【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,
设BDF
如图所标
所以S DCEF
1 份，则S A
DCF
5 5
ABC
12 12
2份,
S A ABF BD 1S A ABF AE
S
A ACF
DC 2，S
△CBF
EC
S A ABF
3份，S
A AEF
S A EFC
1
3份,
3
13
1 s 1 1 s 1
1 1
s 1
—S ^ DEB
二 二
S
^ BEC
二 二 二ABC 二,
2
2 3
2 3 2 12
而S A CDE
S A ABC .所以则四边形DFEC 的面积等于—.
3 2
3
12
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE ,F 是DG 的中点.阴 影
部分的面积是多少平方厘米？
平方厘米.
【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0（如图所示）.如果三角形ABD
的面积等于三角形BCD 的面积的1 ,且AO 2 , DO 3 ,那么CO 的长度
3
是DO 的长度的 _________ 倍.
【解析】
在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无 外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形 .看到题目中给出条件
S/ABD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又
观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边
形”，于是可以作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出
结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一：T AO ：OC s ABD : s BDC 1： 3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .
解法二：作 AH BD 于H , CG BD 于G .
S A DEF
【解析】
设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S
阴影
职BCD
12
5
12
•/ s
ABD
3S BCD ，…AH 1 CG ，…s
AOD
1
—s DOC
3
D E C
1
3
y
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，
求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ？
【例15】
如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于0点，A CEF 、△OEF 、△ODF 、 △ BOE 的面积依次是 2、4、4和6.求：⑴求厶OCF 的面积；⑵求△ GCE 的面积.
【解析】
⑴根据题意可知，A BCD 的面积为2 4 4 6 16，那么△ BCO 和CDO 的 面积都是16 2 8，所以A OCF 的面积为8 4 4 ；
⑵由于A BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,所以△ OCE 的面积为 8 6 2 ,
根据 蝶 形定理
EG :FG S COE : S COF 2:4 1: 2 , 所 以
S
GCE : S
GCF
EG
:FG
"2 ,
那么S G CE
1
S
S
CEF
1 2 2
1 2
3 3 •
为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.
【例16】
如图，长方形ABCD 中, BE:EC 2:3 , DF : FC 1:2，三角形DFG 的面积
【解析】
⑴根据蝶形定理, ⑵根据蝶形定理,
因为M 是AD 边上的中点，所以AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道
S A AMG : S A ABG : S A MCG : S A BCG 1 ： (1 2) : (1 2) : 2
1: 2:2:4 , 设S △ AGM 1份，则
S A MCD 1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份， s 阴影 2 2 4份，所以 s 阴影：S 正
【解析】
S
VDEF
【例17】
（3 1 1）S
丄乩
（5 3 2）S
长方形
ABCD
和
8
长方形
ABCD
因为 S VA ED 2 S 长方形 ABCD , AG : GF
厘米，所以S/AFD
1 2 12平方厘米.
ABCD 的面积是72平方厘米.
DF:FC 1:2
1
10 因为
5:1，所以
S V AGD
1 、
S
VAFD S
长方形 ABCD
, 所以长方形
6
如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米, 阴影部分的面积
.
5S VGDF
10 平方
M 是AD 边上的中点.求图中
【解析】
D F
连接AE , FE . 因 为 BE:EC 2:3
D F
1: 3, 所以S阴影1平方厘米.
方形
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得
2
S弟形（1 2）9（平方厘米），ECD 3（平方厘米），那么S WABCD 12（平方厘米）•
BC:CE 3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘
平方厘米.
【解析】连接AC .
由于ABCD是平仃四边形，BC:CE 3:2，所以CE::AD2:3 ,
根据梯形蝶形定理，S VCOE
:S AOC : S VDOE2
:S VAOD 2: 23: 23: 324: 6:6:9
,所
以S VAO C6（平方厘米），S
VAOD 9 （平方厘米），又
【例18】已知ABCD是平行四边形,
米.则阴影部分的面积是
A D
A D
S
VA BC
S VA CD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面
积
只
为
6 1521
（平方
厘
米）.
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.
【分析】
连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么 S
OCD S
OAE .
2 根据蝶
形疋理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36
，故 S OCD 36
, 所以S 6（平方厘米）.
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所 示
（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 _________ 平方厘米.
【解析】
连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么
根据蝶形定理，S OCD S
OAE S
OCE S
OAD 2
8
16
，故 S
OCD 16
, 所以S OCD 4（平方厘米）.
另解：在平行四边形ABED 中，S ADE - S Y ABED - 16 8
12 （平方厘
米），
2 2
所以 S
AOE S
ADE S
AOD 12
8
根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.
【例19】
如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中 3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 ______________ 平方厘米.
【解析】
连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S V FOC
,又根据蝶形定理，
S EOD 4（平方厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD 的面 积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 5 2 8 9（平方厘
OCD
S OAE .
S EOD S FOC S EOF S COD , 所以 S EOD S
FOC S EOF S COD 2
8 16，所以
米).
【例20】如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交 于K
点.已知正方形DEFG 的面积48, AK:KB 1:3，贝卩BKD 的面积是 多少？
【解析】
由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形.在 梯形ADBC 中，BDK 和ACK 的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以ACK 的面积是ABC 面积的丄 丄，那么BDK 的面积也是 ABC 面积的-.
1 3 4
4
由于ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且AM DE ，可见 ABM 和ACM 的面积都等于正方 形DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为 48. 那么BDK 的面积为48 - 12 .
4
【例21】
下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分 的面积之比是最简分数 印，那么，(m n)的值等于 ___________
n
【解析】
左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求， 所以可以先求出空白部 分的面积，再求阴影部分的面积.
如下图所示，在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形AEGD 面积的-，所
4
以三角形AMD 的面积为1
2 1 1
1
.又左图中四个空白三角形的面积是
2 4
8
相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.
8 2
B F C
如上图所示，在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF // AC 且AC 2EF .那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的
1
,所以三角形BEF 的面积为12 1 --，梯形AEFC 的面积为---. 4 2 4 8
2 8 8
在梯形AEFC 中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面 积比为：12：1 2:1 2: 22 1:2: 2: 4 ,所以三角形EFN 的面积为
24，那么四边形
BENF
的面积为1 24 i .而右图中四个空
白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 1
4〕.
6 3 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为
3:2 ,
2 3
m 3 n 2，
那E 么 m n 3 2 5 .
【例22】 如图， A ABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB , 贝y 足 ADE : S
四边形
DEGF
:
S 四边形FGCB ________________________________________ .
【巩固】 如图， DE 平行BC ，且 AD 2 , AB 5 , AE 4，求 AC 的长
.
3 1
8 12 2 4
【解析】
设S A
ADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,
所以 S A ADE : S A AFG AD : AF 1:4 , 因此S △ AFG 4份， S A ABC 9份，
S A ADE : S
A ABC
AD 2: AB 2
1:9 ,
进而有Sg 边形DEGF
3份, S 四边形FGCB 5份，所以S A ADE
:乐边形DEGF :足边形FGCB
1:3: 5
11
11
4
22
A
【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: AC
DE: BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10
【巩固】如图， A ABC 中，DE ， FG ，
相平行，
MN ，
PQ ，
BC 互
AD DF
FM MP PB , 则
S A ADE : S 四 边形DEGF : S 四边形FGNM :s 四边形
MNQP
: S 四边形PQCB
设 S
A ADE
1
份，S A ADE : S A AFG AD 2 :AF 2 1: 4，因此 S A AFG
4份，进而有 §四边形DEGF 3份，
同理有
S
四边形FGNM
5
份，§四边形MNQP 7份 ,&边形PQCB 9
份.
【解析】 所以有
S A ADE
: S
四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP : S 四边形PQCB
1: 3: 5:7: 9
【例23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上 的
点，且 DE:EC 1:3 ,
B
AF 与BE 相交于点G ，求S A ABG
【解析】 【例24】
F
C
M
方法一：连接AE ，延长AF , 所以有AB:CM 沙 S ABG
S A ABE
方法
AEF
BF:FC 1:1，因此 CM 4 漏 -(4
11
连
2
S A ABF : S AEF
BG:GE
4 2)
AE, EF
2 4
DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏，
再根据另 所 GB:GE 32 11 .
4:7 ,所以
S
A ABG
，根据题意有CE 3，
AB: EM 4:7
S
A ABE
S
A ABF
蝶
4 已知平行四边形ABCD 的面积是1 , 如图所示，
点， BF 交EC 于M ，求 BMG 的面积.
(4 4
2 4
疋
2) 32 F 是AB 、AD 的中
【解析】 AD 的中点, 得 EF//BD
【例25】 【解析】 FD:BC FH : HC 1:2 ,
EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH : CF GH : EF 并得G 、H 是BD 的三等分点， BG: EF BM : MF 2:3，所以 BM
又因为BG 1BD ，所以S BMG
3
解法二：延长CE 交DA 于I 1:1，
可得， BM : MF
可得S AI:BC AE: EB BC: IF 2:3 , 2 1
BMG —
_
S BDF
5 3
BM
所以 2
BF
5
1 2 3 5
BG
2:3， GH ，所以
1S
2
2 5
BFD
ABD
BFD
1 1S
2 2S YA BCD
1
30 °
如右图， 从而可以确定 2 -BF ，
5
—S/ABCD
4
1 BG - BD
3
丄 30
M 的点的位置,
（鸟头定
理），
如图，ABCD 为正方形，AM 形PQRS 的面积为多少?
（法1）
由
AB //CD
，有 MN
PC DC
，
MQ QC 1MC
，所以 PQ 级C
NB DE
FC 1cm 且 MN 2 cm ，请问四边
所以PC 2PM
，又器
MB EC
， 所以
3MC i MC ，所以 S SPQR 占 S AMCF
的i ，
以 S SPQR
1(112) (cm ).
6
3
(法 2)如图，连结 AE ，则 S ABE - 4 4 8 ( cm 2),
2
RB ER
RB AB
小 2小 2
16 2\
而
，所以
2 , S ABR S ABE
8
( cm ).
AB EF
EF EF 3
3 3
112
MN MP
而 S MBQ S ANS 3 4
3 ( cm )，因为 --- 2
2 DC PC 所以MP -MC ，则S MNP -24- -( cm 2)，阴影部分面积等于
3
2
3
3
【例26】
如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB .
【解析】
根据燕尾定理得S A AOB ：S A AOC BD :CD 4:9
12:27
（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 S A AOC : S A BOC 27:16
AF : FB
【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们
用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3: 4 , AE:CE 5:6，求AF :FB .
【解析】
根据燕尾定理得S A AOB S AOC BD :CD 3： 4 15:20
S A AOB : S A BOC AE : CE 5： 6
15:18
(都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数) ^所以 S A AOC : S A BOC 20 ：18
10:9
AF : FB
S
ABR S ANS S
MBQ S
MNP
16
3 3 3
4 -(cm 2). 3
3
S
^ AOB : S
A BOC
AE : CE 3: 4 12:16
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC 2:3 , EA:CE 5: 4，求AF : FB .
【解析】
根据燕尾定理得 S ^AOB S AOC BD :CD 2:3 10:15
S ^AOB : S ^ BOC AE : CE 5: 4
10:8
（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 S ^ AOC : S ^BOC 15:8 AF : FB
【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们
用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例27】
如右图，三角形 ABC 中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形 ABC 的 面积是1，则三角形 ABE 的面积为 ____________ ，三角形AGE 的面积为 ________ ，三角形GHI 的面积为 ______ .
A
A
的面积是1，求三角形ABC 的面积
.
【分析】
连接AH 、BI 、CG . 由于CE: AE 3:2，所以AE 根据燕尾定理，
S ACG : S ABG : S BCG
S
ACG : S ABG 4:6:9，贝y 2 j4 _8 5 19
95 ' 2
AC ,
5
CD : BD
■4 19
S ACG
同样分析可得
S ACH
EG : EB S ACG : S ACB 4:19 ,
AG:GI : ID 10:5: 4 ,
所以 S BIE ?S BAE @ 2 -
10
10 5
5
【巩固】如右图，三角形ABC 中，
故 S ABE
2:3
2S S ABC 5
S
BCG : S ABG BCG
19
_9 19
EG:GH:HB
A S A S BIE 19
19 AF : FB BD: DC S GHI
CE:EA 3:2，所以
S
ACG : S ACH 4: 9
,
4:5:10 ,同样分析可得
EG : EH
1
丄
5 19 •
CE: AE 3: 2，且三角形 GHI
A
H
同理可知A CG
和ABH 的面积也都等于ABC 面积的f ，所以阴影三角
积的7倍.
【解析】
连接BG
根据燕
S A ABG : S A AGC BD : DC 3: 2
9:6
得 S A BGC
4（份）,
ABG
9（份）， S AGC : S A BGC
AF : FB 3: 2 6:4
则 S A ABC 19（份）， 因此呂
GC
S
A ABC
2所以- S A GHI
19 6 6
19
S
A ABC
同理连接AI 、CH 得4 2, A
S
A ABC
19 S
A ABC
三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 勺面积是 19
19
19
【巩固】 如图， ABC 中BD 2DA , CE 2EB , AF 2FC ，那么 影
三角形面积的 ___________ 倍.
ABC 的面积是阴
【分析】
如图，连接AI .
根据燕尾定理，S BCI :S ACI BD : AD 2:1 , S BCI : S ABI CF : AF 1: 2 ,
所以， S ACI : S BCI : S ABI
1:2:4，那么，S BCI
-S ABC -S
1 2 4
7
ABC •
形的面积等于 ABC 面积的1 +，所以ABC 的面积是阴影三角形面 【巩固】如图在△ ABC 中,罟EA
FB FA
r 求x ABC 的面积的值.
E
D
【解析】
连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理
S A AGC : S A BGC AF : FB 2
：1 , S A ABG : S A AGC BD : DC
S A ABG 4（份）
，则S A
ABC
7（份
），因此 仏 ？，同理连接AI 、CH 得
S A ABC
7
S A ABH 2 S A BIC
【点评】如果任意一
个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线•
【例28】 如图，三角形 ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ，三角形ABC 被分
成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？
【解析】
设BG 与 AD 交于点P, BG 与 AE 交于点Q BF 与AD 交于点M BF 与AE 交于点N 连接CP CQ CM CN
根据燕尾疋理， 5A ABP : S A CBP AG ： GC 1:2 , S A ABP : S A ACP BD : CD 1: 2 ,设
1
3
5
1 1 _5
1
1
丄 1
5
S 四边形MNED
—
S
四边形NFCE
S
四边形GFNQ
3 35 70 42
3 21 42 6
3 21 6 42
5
A ABC
7 S
A ABC
2:1 ,得 S A AGC 2（份）,
7
，所以
S A GHI
S
A ABC S A ABP 1（份），则 S A ABC 122 5（份）,所以S A ABP S A AQG
同理可得,
1 ? 丄
S A ABQ -, S A ABN 丄i
而 S A ABG
1
所以S A APQ
7
2
3
同理, S A BPM
2S
S A BDM
35 21,所以
s
四边形
PQMN
35
70
A A
_2 1 3 7 5 35
【巩固】如图，ABC 的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC
根据对称性，可知四边形CEHJ
的面积也为84，那么四边形JK |H
周围的
图形的面积之和为S CGKJ 2 S AGI S ABE □ 2 2 1里，所以四边形JKIH
84
15 3 70
的面积为1 61 2 .
70
70
［例 29】右图，△ ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，
AD 与BG 交于M , AF 与BG 交于N ,已知△ ABM 的面积比四边形FCGN 的 面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？
【解析】连接CM 、CN .
1S ； SA ABC
，
根据燕尾定理,
S
A ABM : S
A CBM
AG : GC 1:1，
S
A ABM : S
A ACM
BD :CD
1:3，所以
再根据燕尾定理,
S ABN : S A CBN
AG :GC 1:1
，所以
2 ABN : S A FBN
S
A CBN : S
A FBN
4:3，所以 AN : NF
4:3，那么邑遊
S
A AFC
边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少
?
【解析】
连接CK 、CI 、CJ . 根据燕尾定理， S ACK : S ABK 所以 S ACK : S ABK : S CBK 类似分析可得
S AGI
CD:BD 1 :2 ， S ABK : S CBK
1：2：4，那么 S ACK
1
1
，
12 4 7
2 AG :CG 1:2， -S 3
S AGK
1
ACK
21
那么,
15 S
CBJ
AF :CF
2 :
1
S CGKJ
1 1 17 — ——
4 21 84
，S ABJ ： S ACJ BD:CD 2:1，可得
S ACJ
ABM
又 S
【例30】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BC CA 的
三等分点，求阴影部分面积.
【解析】
三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理 吧!
令BI 与CD 的交点为M AF 与CD 的交点为N, BI 与AF 的交点为P, BI 与CE 的交点为Q 连接AM BN CP
⑴求 S 四边形ADMI : 在A ABC 中，根据燕尾定理,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ ABC 面积的£
⑵求s 五边形
DNPQE
:在A ABC 中，根据燕尾定理
同理另外两个五边形面积是△ ABC 面积
所以&CGN
S A AFC 7
5 1S A ABC
7 4
根据题意，有5S A ABC 28S A ABC
S A ABC •
28
7.2，可得 S A ABC
336 （平方厘
米）
S A ABM : S A CBM
AI : CI
1:2 S A ACM : S A CB M
AD : BD 1: 2
设 S A ABM 则 S A CBM
2 （
份）,S A ACM
1（
份
）,
S A ABC
4（份）,
所以S A ABM S A ACM —S A ABC
, 4
所以S A ADM
—S A ABM
3
S
A ABC , S
A AIM
12
—S 12
△ ABC 5 所以窃边形
ADMI
^'）
S A ABC
1
S A
ABC
,
S
A ABN : S
A ACN BF
: CF 1: :2 S A ACN : S A BCN
AD : BD 1:2,
所以 S A ADN — S A ABN 1 1s
S A ABC 1 S A ABC
,同理S A 在
3 A ABC 3 7 中
21 1
根
据
S
A ABP : S
A ACP
BF
:CF 1: 2 , S A ABP : S A CBP
AI :CI 1:2
所
以
S A ABP 1 S A ABC
燕
八
S
五边形DNPQE
S
A ABP S
A ADN
S
A BEP
5 21
丄S
△ ABC
21
^S A AB C
s
阴影
11 3
3 13
105
70
5
BEQ — S A ABC
21
【例31】
如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BG CA 的三等分点，求中心六边形面积.
【解析】
设深黑色六个三角形的顶点分别为 N R 、P 、 在△ ABC 中根据燕尾定理，S A
ABR : S A
ACR BG : CG.
S \
ABR
:S 4CBR
AI : C I 1: 2
所以 S
\ ABR
2S A
ABC 5 同理S
2
S
S
S
2
S
A CQB
S \ ABC
7
7
7
所以 S\ RQS
2 1 -
2 2 1 ,同理 S A MNP
1
7 7 7 7
7
根据容斥原
和上题结果S 六边形1
1 13
1
7 7 70 10
课后练习：
练习1.已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的 面积.
【解析】S A BDE :S A ABC
(BD BE): (BA BC)
(1 1):(2 3) 1:6 , S A CEF
:S A ABC (CE CF):(CB CA)
(1 3):(2 4) 3:8
S\ ADF :S A ABC (AD AF): (AB AC)
(2 1):(3 4) 1:6
设 S A ABC 24 份，则S A BDE 4份， S A ADF 4
份，
S A CEF
9
份，S A DEF
24 4 4 9 7
份，恰好是7平方厘米，所以$△ ABC 24平方厘米
练习2.如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB , CB BF , DC CG , HD DA ，
求四边形ABCD 的面积.
S 、M Q 连接CR
2 :1 ,
练习3.正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点, 四
边形BGHF 的面积是 平方厘米.
而EH :HC E M :CD ( 1 — AB 2
AB) :CD 3: 2 , 而
CF 1 BC 所以 S CHF 1 2 S BCE 1 S BC 2
1
1
2 5
5
S BCE
1 AB BC 120 30
2 2
4
1
1
7
7 S
四边形BGHF S EBC 上EB C -S EBC —S EBC
3
5
15
15
BM : DC MF: FD BF : FC
30
14
.
1:1 ,
得 CH -CE , 5 连接BD .
由共角 定理得 S A BCD : S ACGF (CD CB) : (CG
S \ CGF
2S
^ CDB
同理A B
D :S A AHE
1: 2
，即 S A AHE
2S
A ABD
所以AHE S
A CGF
2(S
A CBD
S
A AD
B )
2S
^边形 ABCD
连接
AC , 同理可以得到 S\ DHG
S A BEF
2
S 四边形 ABCD
S
四边形EFGH
S A AHE
CGF
S A HDG S A BEF S
四边形 ABCD 5S 四边形 ABCD
所以S 四边形ABCD 66 5 13.2平方米
EBG 和 【解析】
欲求四边形BGHF 的面积须求出 由题意可得到： EG:GC EB:CD 1:2 , 将AB 、DF 延长交于M 点，可得： CHF 的面积.
所以可得：S EBG
〕S BCE
3
本题也可以用蝶形定理来做, FH : HD ），同样也能解出. 连接 EF ，确定H 的位置（也就是 H
G B
F
E
【解析】
CF) 1:2 ,即
D
C。