小学奥数之几何五大模型精编版
小升初奥赛几何五大模型精编版
几何五大模型一、五大模型简介(1)等积变换①、等底等高的两个三角形面积相等②、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图1③、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图2④、在一组平行线之间的等积变形,如图3图1 图2 图3例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。
解:;(2)鸟头(共角)定理模型①、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;②、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。
解:由题意知:∴平方厘米(3)蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①梯形两翼相等②③梯形S对应的分数为(例、如图,梯形ABCD,AB与CD平行,对角线AC、BD交于点O,已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米,求梯形ABCD的面积。
解::∴又∴平方厘米2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①或②例、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2,求OC解:OC=(4)相似模型1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线!①②例、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的长度是多少?解:::(5)燕尾模型①②③例、如图,E、D分别在AC、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD与BE交于点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米,求三角形ABC的面积。
(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===;②22:ADE ABC S S AF AG =△△:.所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图,正方形ABCD 的边长为6,AE =1.5,CF =2.长方形EFGH 的面积为 .【解析】 连接DE ,DF ,则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍.三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33.【巩固】如图所示,正方形ABCD 的边长为8厘米,长方形EBGF 的长BG 为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明:连接AG .(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起).∵在正方形ABCD 中,G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高,∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理,12ABG EFGB S S =△.∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)._H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ,E 、F 、G 为各边中点,H 为AD 边上任意一点,问阴影部分面积是多少?E【解析】 解法一:寻找可利用的条件,连接BH 、HC ,如下图:E可得:12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=,而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=; 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影,11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=.所以阴影部分的面积是:1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二:特殊点法.找H 的特殊点,把H 点与D 点重合,那么图形就可变成右图:GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积,根据鸟头定理,则有:11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影.【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P 点连接,求阴影部分面积.【解析】 (法1)特殊点法.由于P 是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设P 点与A 点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16,所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米.(法2)连接PA 、PC .由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16,所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米.【例 3】如图所示,长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70,8AB =,15AD =,四边形EFGO 的面积为 .B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和,以及三角形AOE 和DOG 的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=,所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=,所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=; 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,所以四边形EFGO 的面积为302010-=.另解:从整体上来看,四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积,而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即1207050-=,所以四边形的面积为605010-=.【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是36,E 是AD 的三等分点,2AE ED =,则阴影部分的面积为 .BB【解析】 如图,连接OE .根据蝶形定理,1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===,所以12OEN OED S S ∆∆=; 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===,所以15OEM OEA S S ∆∆=.又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形,26OEA OED S S ∆∆==,所以阴影部分面积为:1136 2.725⨯+⨯=.【例 4】已知ABC 为等边三角形,面积为400,D 、E 、F 分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点,所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线,也就与对应的边平行,根据面积比例模型,三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半,即为200.根据图形的容斥关系,有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙,即400 200200AMHN S S -=+-丙,所以AMHN S S =丙. 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影,所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影.【例 5】如图,已知5CD =,7DE =,15EF =,6FG =,线段AB 将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面积是 .GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ,BD .根据题意可知,571527CF =++=;715628DG =++=;所以,1527BE CBF F S S ∆∆=,1227BE CBF C S S ∆∆=,2128AEG ADG S S ∆∆=,728AED ADG S S ∆∆=, 于是:2115652827ADG CBFS S ∆∆+=;712382827ADG CBF S S ∆∆+=; 可得40ADG S ∆=.故三角形ADG 的面积是40.【例 6】如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?EDCBAABCDE【解析】 连接BE .∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V .【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲.【例 7】如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =, :3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△. 所以213618ABCDEFGHS S ==.【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少?DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此,原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示,ABC ∆中,90ABC ∠=︒,3AB =,5BC =,以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ,中心为O ,求OBC ∆的面积.【解析】 如图,将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒,到达OCF ∆的位置.由于90ABC ∠=︒,90AOC ∠=︒,所以180OAB OCB ∠+∠=︒.而OCF OAB ∠=∠, 所以180OCF OCB ∠+∠=︒,那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF =,90BOF AOC ∠=∠=︒,所以BOF ∆是等腰直角三角形,且斜边BF 为538+=,所以它的面积为218164⨯=.根据面积比例模型,OBC ∆的面积为516108⨯=.【例 11】 如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ,90AEB ∠=︒,AC 、BD 交于O .已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ,求三角形OBE 的面积.F【解析】 如图,连接DE ,以A 点为中心,将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置.那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,而AEB ∠也是90︒,所以四边形AFBE 是直角梯形,且3AF AE ==, 所以梯形AFBE 的面积为:()1353122+⨯⨯=(2cm ). 又因为ABE ∆是直角三角形,根据勾股定理,222223534AB AE BE =+=+=,所以21172ABD S AB ∆==(2cm ).那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm ), 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm ).【例 12】 如下图,六边形ABCDEF 中,AB ED =,AF CD =,BC EF =,且有AB 平行于ED ,AF 平行于CD ,BC 平行于EF ,对角线FD 垂直于BD ,已知24FD =厘米,18BD =厘米,请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米?FEABDCGFEABDC【解析】 如图,我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合,将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合,这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD ,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米,所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米.【例 13】 如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D 在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一:连接CF ,根据燕尾定理,12ABF ACF S BD S DC ==△△,1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份,则2DCF S =△份,3ABF S =△份,3AEF EFC S S ==△△份,如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二:连接DE ,由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△,11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△,所以11ABD ADE S BF FE S ==△△,111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△,而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△.所以则四边形DFEC 的面积等于512. 【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,2EC DE =,F 是DG 的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份,则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍.ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比.再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题. 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==,∴236OC =⨯=,∴:6:32:1OC OD ==. 解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G .∵13ABDBCD S S ∆∆=,∴13AH CG =,∴13AODDOC S S ∆∆=, ∴13AO CO =,∴236OC =⨯=,∴:6:32:1OC OD ==.【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =?B【解析】 ⑴根据蝶形定理,123BGCS ⨯=⨯V ,那么6BGC S =V ;⑵根据蝶形定理,()():12:361:3AG GC =++=.【例 15】 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6.求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE△的面积.OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616+++=,那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=,所以OCF △的面积为844-=;⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862-=,根据蝶形定理,::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==,那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+.【例 16】 如图,长方形ABCD 中,:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,三角形DFG 的面积为2平方厘米,求长方形ABCD 的面积.ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ,FE .因为:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形.因为12AEDABCD S S =V 长方形,11::5:1210AG GF ==,所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米,所以12AFD S =V 平方厘米.因为16AFDABCD S S =V 长方形,所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米.【例 17】 如图,正方形ABCD 面积为3平方厘米,M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积.CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点,所以:1:2AM BC =,根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△()(),设1AGM S =△份,则123MCD S =+=△ 份,所以正方形的面积为1224312++++=份,224S =+=阴影份,所以:1:3S S =阴影正方形,所以1S =阴影平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 相交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD 面积是 平方厘米.A BCDEF【解析】 连接DE ,根据题意可知:1:2BE AD =,根据蝶形定理得2129S =+=梯形()(平方厘米),3ECD S =△(平方厘米),那么12ABCD S =W (平方厘米).【例 18】 已知ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,三角形ODE 的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.BB【解析】 连接AC .由于ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,所以:2:3CE AD =,根据梯形蝶形定理,22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ,所以6AOC S =V (平方厘米),9AOD S =V (平方厘米),又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米),阴影部分面积为61521+=(平方厘米).【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.BB【分析】 连接AE.由于AD 与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么OCDOAE S S ∆∆=.根据蝶形定理,4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=,故236OCD S ∆=, 所以6OCD S ∆=(平方厘米).【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.BB【解析】 连接AE .由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD OAE S S ∆∆=.根据蝶形定理,2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=,故216OCD S ∆=,所以4OCD S ∆=(平方厘米).另解:在平行四边形ABED 中,()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米), 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米),根据蝶形定理,阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米).【例 19】 如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米.?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形,所以EOD FOC S S ∆=V ,又根据蝶形定理,EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅,所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=,所以4EOD S ∆=(平方厘米),4812ECD S ∆=+=(平方厘米).那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米,四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米).【例 20】 如图,ABC ∆是等腰直角三角形,DEFG 是正方形,线段AB 与CD 相交于K 点.已知正方形DEFG 的面积48,:1:3AK KB =,则BKD ∆的面积是多少?BB【解析】 由于DEFG 是正方形,所以DA 与BC 平行,那么四边形ADBC 是梯形.在梯形ADBC 中,BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的.而:1:3AK KB =,所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+,那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14. 由于ABC ∆是等腰直角三角形,如果过A 作BC 的垂线,M 为垂足,那么M 是BC 的中点,而且AM DE =,可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半,所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等,为48.那么BDK ∆的面积为148124⨯=.【例 21】 下图中,四边形ABCD 都是边长为1的正方形,E 、F 、G 、H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n,那么,()m n +的值等于 .E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积.如下图所示,在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M .左图中AEGD 为长方形,可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14,所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=.又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=.BEE如上图所示,在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF ∥AC 且2AC EF =.那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14,所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=,梯形AEFC 的面积为113288-=. 在梯形AEFC 中,由于:1:2EF AC =,根据梯形蝶形定理,其四部分的面积比为:221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=,所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++,那么四边形BENF 的面积为1118246+=.而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=.那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=,即32m n =, 那么325m n +=+=.【例 22】 如图, ABC △中,DE ,FG ,BC 互相平行,AD DF FB ==,则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 .EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份,根据面积比等于相似比的平方,所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△, 因此4AFG S =△份,9ABC S =△份,进而有3DEGF S =四边形份,5FGCB S =四边形份,所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图,DE 平行BC ,且2AD =,5AB =,4AE =,求AC 的长.A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===,所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图, ABC △中,DE ,FG ,MN ,PQ ,BC 互相平行,AD DF FM MP PB ====,则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形. 【解析】 设1ADE S =△份,22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,因此4AFG S =△份,进而有3DEGF S =四边形份,同理有5FGNM S =四边形份,7MNQP S =四边形份,9PQCB S =四边形份.所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图,已知正方形ABCD 的边长为4,F是BC 边的中点,E 是DC 边上的点,且:1:3DE EC =,AF 与BE 相交于点G ,求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一:连接AE ,延长AF ,DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏,所以有::1:1AB CM BF FC ==,因此4CM =,根据题意有3CE =,再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==,所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△.方法二:连接,AE EF,分别求4224ABF S =⨯÷=△,4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△,根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△,所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△.【例 24】 如图所示,已知平行四边形ABCD 的面积是1,E 、F 是AB 、AD 的中点, BF 交EC 于M ,求BMG ∆的面积.Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一:由题意可得,E 、F 是AB 、AD 的中点,得//EF BD ,而::1:2FD BC FH HC ==,::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==,并得G 、H 是BD 的三等分点,所以BG GH =,所以 ::2:3BG EF BM MF ==,所以25BM BF =,11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ; 又因为13BG BD =,所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=. 解法二:延长CE 交DA 于I ,如右图,可得,::1:1AI BC AE EB ==,从而可以确定M 的点的位置, ::2:3BM MF BC IF ==,25BM BF =,13BG BD =(鸟头定理),可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图,ABCD 为正方形,1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =,请问四边形PQRS 的面积为多少?CACA【解析】 (法1)由//AB CD ,有MP PC MNDC=,所以2PC PM =,又MQ MB QC EC =,所以12MQ QC MC ==,所以111236PQ MC MC MC =-=,所以SPQR S 占AMCF S 的16,所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm ).(法2)如图,连结AE ,则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm ),而RB ER ABEF=,所以2RB AB EFEF ==,22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm ).而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm ),因为MN MP DC PC=,所以13MP MC =,则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm ),阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm ).【例 26】 如右图,三角形ABC 中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3:4BD DC =,:5:6AE CE =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BD DC =,:5:4EA CE =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【例 27】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形ABC 的面积是1,则三角形ABE 的面积为______,三角形AGE 的面积为________,三角形GHI 的面积为______.I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG .由于:3:2CE AE =,所以25AE AC =,故2255ABE ABC S S ∆∆==;根据燕尾定理,::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==,::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==,所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=,则419ACG S ∆=,919BCG S ∆=; 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=; 同样分析可得919ACH S ∆=,则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==,::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==,所以::4:5:10EG GH HB =,同样分析可得::10:5:4AG GI ID =,所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=,55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=.【巩固】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC 的面积.IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ,AGCS △=6份根据燕尾定理,::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△,::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份),9ABG S =△(份),则19ABC S =△(份),因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图,ABC ∆中2BD DA =,2CE EB =,2AF FC =,那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍.BCCB【分析】 如图,连接AI.根据燕尾定理,::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==,::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==,所以,::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=,那么,221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++.同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27,所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=,所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在ABC △中,12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值.IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份,根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份),4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份),因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图,三角形ABC 的面积是1,BD DE EC ==,CF FG GA ==,三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ,BG 与AE 交于点Q ,BF 与AD 交于点M ,BF 与AE交于点N .连接CP ,CQ ,CM ,CN .根据燕尾定理,::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△,::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△,设1ABP S =△(份),则1225ABC S =++=△(份),所以15ABP S =△ 同理可得,27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△,所以2137535APQ S =-=△,1213721AQG S =-=△.同理,335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形,13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图,ABC ∆的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点,点F 、G 是AC边的三等分点,那么四边形JKIH 的面积是多少?K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ.根据燕尾定理,::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==,::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==, 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=,那么111247ACK S ∆==++,11321AGK ACK S S ∆∆==. 类似分析可得215AGI S ∆=. 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==,::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==,可得14ACJ S ∆=. 那么,111742184CGKJS =-=. 根据对称性,可知四边形CEHJ 的面积也为1784,那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=,所以四边形JKIH 的面积为61917070-=.【例 29】 右图,ABC △中,G 是AC 的中点,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,AD 与BG 交于M ,AF 与BG 交于N ,已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米,则ABC △的面积是多少平方厘米?N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN .根据燕尾定理,::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△,::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△,所以15ABM ABC S S =△△;再根据燕尾定理,::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△,所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△,所以:4:3AN NF =,那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△,所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△.根据题意,有157.2528ABC ABC S S -=△△,可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI 与CD 的交点为M ,AF 与CD 的交点为N ,BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形:在ABC △中,根据燕尾定理,::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份),则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△,所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形:在ABC △中,根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中,根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△,所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105,所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ,连接CR在ABC △中根据燕尾定理,::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△,同理17MNP S =△根据容斥原理,和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习: 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积.FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是 平方厘米.H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积.由题意可得到:::1:2EG GC EB CD ==,所以可得:13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点,可得::::1:1BM DC MF FD BF FC ===,而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=,得25CH CE =,而12CF BC =,所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形.EF ,确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图,已知4cm AB AE ==,BC DC =,90BAE BCD ∠=∠=︒,10cm AC =,则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm .DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o,构成三角形'AEC 和'A DC ,再连接''A C ,显然'AC AC ⊥,'AC A C ⊥,''AC A C AC ==,所以''ACA C 是正方形.三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称,在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系: ''AEC A DC S S ∆∆=;''AEC A DC S S ∆∆=;'CED C DE S S ∆∆=.所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W .练习5. 如图,正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是_____平方厘米.EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份,根据燕尾定理2CHD S =△份,2BHD S =△份,因此122)210S =++⨯=正方形(份,127236BFHG S =+=,所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图,ABC ∆中,点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边BC 的三等分点,若ABC ∆的面积为1,那么四边形CDMF 的面积是_________.。
小学奥数几何五大模型.pdf
(4)相似模型
1、相似三角形:形状相同、大小不相等的两个三角形相似;
2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;
②相似三角形周长的比等于相似比;
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论:因为DE BC ∥,所以ADE ABC △∽△,则
①AD AE DE
==;②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△;
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 (1)等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?
G
F
E D C
B
A。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要,小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACDBCD S S =△△;反之,如果ACDBCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;经典例题:1S 2S 解析:连接CE ,如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为:BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评:此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明!因为S △ABC =AB ×ACsinA ,S △ADE =AD ×AEsinA所以:S △ABC :S △ADE= (AB ×ACsinA ):(AD ×AEsinA )=(AB ×AC ):(AD ×AE )经典例题:S △ADF :S △ABC=(AD ×AF ):(AB ×AC )=(2BD ×AF ):(3BD ×4AF )=1:6 S △BDE :S △ABC=(BD ×BE ):(AB ×BC )=(BD ×BE ):(3BD ×2BE )=1:6 S △CEF :S △ABC=(CE ×CF ):(CB ×CA )=(CE ×3AF ):(2CE ×4AF )=3:8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评:本题直接用到鸟头模型,先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例,再求出S △DEF 占S △ABC 的比例,就能直接求出S △ABC 的面积。
小学奥数几何五大模型
(4)相似模型1、相似三角形:形状相同、大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论:因为DE BC ∥,所以ADE ABC △∽△,则①AD AE DE==;②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△;ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 (1)等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?GFE D CBA解析:把另外三个三等分点标出之后,正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接,这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形,同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1~6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一;阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知,CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等;BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等;AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此,阴影面积是空白面积的二分之一,是正方形面积的三分之一,即:12×12÷3=48。
例2、如图所示,Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点,且DQ CP ME 、、彼此平行,已知5753AD BC AE EB ====、、、,求阴影部分三角形PQM 的面积。
五年级奥数几何专项五 五大模型(一)
一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACDBCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.DC BA知识框架专项五 五大模型(一):():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =;③S 的对应份数为()2a b +.(1)(2)(3)(4)S 4S 3S 2S 1O DCBA四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:.所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理(燕尾定理)有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;五大模型1S 2S二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质:金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===; ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学的奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD SS =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;五大模型1S 2S二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质:金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===; ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
(完整版)小学奥数-几何五大模型(相似模型)
8.模型四 相似三角形模型① AD AE DE AF AB ACBC AG所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例1】如图,已知在平行四边形 ABCD 中,AB 16 , AD 10, 度是多少?任意四边形、梯形与相似模型(一)金字塔模型()沙漏模型② S ^ ADE : ABC AF 2: AG 2。
BE 4,那么FC 的长【解析】图中有一个沙漏,也有金字塔,所以 BF : FC BE:CD 4:16 但我们用沙漏就能解决问题,41:4,所以FC 10——因为AB 平行于CD ,【例2】如图,测量小玻璃管口径的量具ABC , AB的长为15厘米,AC被分为60等份。
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB),那么小玻璃管口径DE是多大?【解析】有一个金字塔模型,所以DE: AB DC: AC,DE:15 40:60,所以DE 10厘米。
【例3】如图,DE平行BC,若AD: DB 2:3,那么S^ ADE : S^ ECB【解析】根据金字塔模型AD :S^ ADE : S^ ABC22:52 4 :25 ,设S^ ADE 4份则S^ ABC25& ADE :ECB 4 :15。
AB AE : AC DE : BC2: (23) 2:5 ,份 , S4BEC25 5 3 15份,所以【例4】如图,△ ABC中,DE,FG,BC互相平行,AD DF FB,贝U ADE : &边形DEGF : S四边形FGCB _____________________________________________________ 。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要,小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACDBCD S S =△△;反之,如果ACDBCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;经典例题:1S 2S 解析:连接CE ,如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为:BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评:此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明!因为S △ABC =AB ×ACsinA ,S △ADE =AD ×AEsinA所以:S △ABC :S △ADE= (AB ×ACsinA ):(AD ×AEsinA )=(AB ×AC ):(AD ×AE )经典例题:S △ADF :S △ABC=(AD ×AF ):(AB ×AC )=(2BD ×AF ):(3BD ×4AF )=1:6 S △BDE :S △ABC=(BD ×BE ):(AB ×BC )=(BD ×BE ):(3BD ×2BE )=1:6 S △CEF :S △ABC=(CE ×CF ):(CB ×CA )=(CE ×3AF ):(2CE ×4AF )=3:8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评:本题直接用到鸟头模型,先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例,再求出S △DEF 占S △ABC 的比例,就能直接求出S △ABC 的面积。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要,小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACDBCD S S =△△;反之,如果ACDBCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;经典例题:1S 2S 解析:连接CE ,如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为:BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评:此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明!因为S △ABC =AB ×ACsinA ,S △ADE =AD ×AEsinA所以:S △ABC :S △ADE= (AB ×ACsinA ):(AD ×AEsinA )=(AB ×AC ):(AD ×AE )经典例题:S △ADF :S △ABC=(AD ×AF ):(AB ×AC )=(2BD ×AF ):(3BD ×4AF )=1:6 S △BDE :S △ABC=(BD ×BE ):(AB ×BC )=(BD ×BE ):(3BD ×2BE )=1:6 S △CEF :S △ABC=(CE ×CF ):(CB ×CA )=(CE ×3AF ):(2CE ×4AF )=3:8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评:本题直接用到鸟头模型,先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例,再求出S △DEF 占S △ABC 的比例,就能直接求出S △ABC 的面积。
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(4)相似模型1、相似三角形:形状相同、大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论:因为DE BC ∥,所以ADE ABC △∽△,则①AD AE DE==;②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△;ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 (1)等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?GFE D CBA解析:把另外三个三等分点标出之后,正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接,这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形,同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1~6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一;阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知,CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等;BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等;AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此,阴影面积是空白面积的二分之一,是正方形面积的三分之一,即:12×12÷3=48。
例2、如图所示,Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点,且DQ CP ME 、、彼此平行,已知5753AD BC AE EB ====、、、,求阴影部分三角形PQM 的面积。
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(4)相似模型
1、相似三角形:形状相同、大小不相等的两个三角形相似; 2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两 边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质: ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比; ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
小学奥数几何五大模型
一、五大模型简介
(1)等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比, 如图 1 所示, S△ABD : S△ACD BD : CD ; 3、两个三角形底相等,面积之比等于高之比, 如图 2 所示, S△ACD : S△BCD AE : BF ; 4、在一组平行线之间的等积变形, 如图 3 所示, S△ACD S△BCD ;反之,如果 S△ACD S△BCD ,则直线 AB∥CD 。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有
DE∥BC 。 (一)金字塔模型
(二) 沙漏模型
A
E
D
A
D
E
B
C
B
C
结论:因为 DE∥BC ,所以△ADE∽△ABC ,则
①
AD AB
AE AC
DE BC
;② S△ADE
: S△ABC
AD2
: AB2 。
例、如图,已知在平行四边形 ABCD 中, AB 16 、 AD 10 、 BE 4 ,那么 FC 的长度是多少?
D A
E
B
C
解析:根据鸟头模型可知: S△ABC AB AC , S△ADE AD AE
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任意四边形、 梯形与相似模型模型三 蝴蝶模型 (任意四边形模型)任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理” ) :① S 1:S 2 S 4:S 3或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ②AO:OC S 1 S 2 : S 4S 3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1 】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图,某公园的外轮廓是四边形,被对角线AC 、BD 分成四个部分, △ABCDAOB 面积为 1 平方千米, △ BOC 面积为 2 平方千米 ,△ COD 的面积为 3 平方千米,公园由陆地面积是6. 92 平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米【分析】 根据蝴蝶定理求得 S △ AOD31 2 1.5 平方千米,公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.57.5 平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.92 0.58平方千米【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4 个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形 BGC 的面积;⑵ AG: GC【解析】 ⑴ 根据蝴蝶定理, S V BGC 12 3,那么 S VBGC 6 ; ⑵根据蝴蝶定理, AG:GC1 2 : 3 6 1:3.()【例 2 】四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 。
如果三角形 ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的 1,且 AO 2,DO3 ,那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _________倍。
3【解析】 在本题中,四边形 ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形” ,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件 S V ABD : S V BCD 1:3 ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
小升初奥赛几何五大模型
几何五大模型一、五大模型简介(1)等积变换①、等底等高的两个三角形面积相等②、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图1③、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图2④、在一组平行线之间的等积变形,如图3图1 图2 图3例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。
解:;(2)鸟头(共角)定理模型①、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;②、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点例、如图在Δ 中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ 的面积为12平方厘米,求Δ的面积。
解:由题意知:∴ 平方厘米(3)蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①梯形两翼相等②③梯形S对应的分数为(例、如图,梯形ABCD,AB与CD平行,对角线AC、BD交于点O,已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米,求梯形ABCD的面积。
解::∴又∴平方厘米2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①或②例、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2,求OC解:OC=(4)相似模型1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线!①②例、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的长度是多少?解: : :(5)燕尾模型①②③例、如图,E、D分别在AC、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD与BE交于点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米,求三角形ABC的面积。
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一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△;
反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
五大模型
1S 2
S
二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2
a b +。
四、相似模型
相似三角形性质:
金字塔模型 沙漏模型 ①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
; ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB
典型例题精讲
例1 一个长方形分成4个不同的三角形,绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍,黄色三角形的面积是
21平方厘米。
问:长方形的面积是__________平方厘米。
例1图
例2如图,三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路,他知道DF=DC,且AD=2DE。
则两块地ACF和CFB的面积比是__________。
例2图
【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示,三个三角形的面积分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是多少?
举一反三图
【拓展】如图,已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少?
拓展图
例3如图,将三角形ABC的AB边延长1倍到D,BC边延长2倍到E,CA边延长3倍到F。
如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是__________。
例3图
例4如图,在△ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1,则△MNC的面积是__________。
例4图
例5如图,四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD 的面积。
例5图
例6如右图长方形ABCD中,EF=16,F=9,求AG的长。
例6图
【铺垫】图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角形,已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?
铺垫图
例7如图,长方形ABCD中,E为AD中点,AF与BE、BD分别交于G、H,已知AH=5cm,HF=3cm,求AG。
例7图
例8如右图,三角形ABC中,BD∶DC=4∶9,CE∶EA=4∶3,求AF∶FB。
例8图
例9如右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M,AF与BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?
例9图
例10如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE=2BE,CF=2DF,连接BF,DE,相交于点G,过G作MN,PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG,设正方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,则S1:S2=______。
例10图。