小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

①AD AE DE AF AB AC BC AG

===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长

度是多少？

【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，

所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4

10814

FC =⨯=+．

【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。

如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？

【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。

【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。

【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，

22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，

任意四边形、梯形与相似模型

设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以

:4:15ADE ECB S S =△△。

【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 。

【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此

4AFG S =△份，9ABC S =△份，

进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长。

【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=

【巩固】如图， ABC △中，DE ，

FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====， 则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 。

【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有

3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．

所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，

若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △。

【解析】 根

据

金

字

塔

模

型

::2:(23)2:5

AD AB DE BC ==+=，

22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421DBCE S =-=梯形份，DBCE S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5cm ，所以212.5cm ABC S =△

【例 6】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度

【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：

::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以

642cm BM =-=

【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________。

【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得

::2:3AD AB DE BC ==．

【例 7】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，1

4

AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1

平方厘米。那么AED ∆的面积是 平方厘米。

【解析】 因为14AE AB =，1

4

AD AC =，ED 与BC 平行，

根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ∆∆==平方厘米，

则415CDE S ∆=+=平方厘米，

又因为::1:3AED CDE S S AD DC ∆∆==，所以15

533

AED S ∆=⨯=(平方厘米)．

【例 8】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO 的面积是ABO 面

积的几倍？

【解析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且

::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO 的面积等于CBO 的面积；由

11

24

OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==，即CDO 的面积是

ABO 面积的3倍。

【例 9】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分

面积是多少？

【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴

看看．

作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =，DBO EBO S S =，且

:4:62:3ADO DBO S S ==．

设ADO 的面积为2份，则DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份． 因为610230ABE S =⨯÷=，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．

解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，

根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯=，

所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即15

32ADEC

S S

=

阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以15

1532

ADEC S S ==阴影梯形．

【例 10】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形

ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．