《菱形》典型例题

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菱形中考题(含答案)

菱形中考题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E 在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= _________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

专题25 菱形篇(解析版)

专题25 菱形考点一：菱形的性质1. 菱形的定义：有一组邻边相等的四边形是菱形。

2. 菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。

1．（2022•广东）菱形的边长为5，则它的周长是．【分析】根据菱形的性质即可解决问题；【解答】解：∵菱形的四边相等，边长为5，∴菱形的周长为5×4＝20，故答案为20．2．（2022•通辽）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5故答案为：53．（2022•达州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为．【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理求边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝AC＝12，BO＝BD＝5，在Rt△AOB中，AB＝＝＝13，∴菱形的周长＝13×4＝52．故答案为：52．4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝25cm，AC＝4cm，则BD 的长为 cm．【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，∵AB＝2cm，∵BO＝＝4cm，∴DO＝BO＝4cm，∴BD＝8cm，故答案为：8．5．（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 cm2．【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，∴菱形的面积是＝24（cm2），故答案为：24．6．（2022•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【分析】根据菱形的性质即可一一判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，故A、B、D正确，无法得出BD，故选：C．7．（2022•贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】根据菱形的对边平行，以及两直线平行，内错角相等即可求解．【解答】解：∵菱形的对边平行，∴由两直线平行，内错角相等可得∠1＝80°．故选：C．8．（2022•德州）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为．【分析】利用勾股定理可得AB＝CD＝5，根据菱形性质可得AD′＝AB＝5，再由平移规律即可得出答案．【解答】解：如图，∵A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），∴AB∥CD，AB＝CD＝5，∵四边形ABC′D′是菱形，∴AD′＝AB＝5，当点D向右平移4个单位，即D′（3，5）时，AD′＝5，当点D向右平移3个单位，向上平移1个单位，即D′（2，6）时，AD′＝5，故答案为：（3，5）或（2，6）．9．（2022•绵阳）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为（23，3），则图象最低点E的坐标为（）A．（332，2）B．（332，3）C．（334，3）D．（3，2）【分析】由函数图象可得点F表示图1中点N与点B重合时，即可求BD，BM的长，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，连接AC，NC，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴AB＝BC，AC垂直平分BD，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝30°，∴AN＝CN，△ABC是等边三角形，∴AN+MN＝CN+MN，∴当点N在线段CM上时，AN+MN有最小值为CM的长，∵点F的坐标为（2，3），∴DB＝2，AB+BM＝3，∵点M是AB的中点，∴AM＝BM，CM⊥AB，∴2BM+BM＝3，∴BM＝1，∵tan∠ABC＝tan60°＝＝，∴CM＝，∵cos∠ABD＝cos30°＝＝，∴BN'＝，∴DN'＝，∴点E的坐标为：（，），故选：C．10．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（）A．4B．43C．8D．83【分析】在Rt△BDH中先求得的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴OD＝4，BD＝8，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝4，∴CD＝＝8，故选C．11．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16B．67C．127D．30【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝2，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．【解答】解：连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×6＝6．故选：B．12．（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝（）A．4B．23C．2D．3【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．13．（2022•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（）A．3B．5+1C．22+1D．2+3【分析】连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB＝AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE＝AE＝DE＝AD，然后设OE＝AE＝DE＝a，则AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF＝∠EFO＝15°，从而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴DB＝AD，∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，∴OE＝AE＝DE＝AD，∴设OE＝AE＝DE＝a，∴AD＝BD＝2a，∴OD＝BD＝a，在Rt△AOD中，AO＝＝＝a，∴AC＝2AO＝2a，∵EA＝EO，∴∠EAO＝∠EOA＝30°，∴∠DEO ＝∠EAO +∠EOA ＝60°，∵∠DEF ＝45°，∴∠OEF ＝∠DEO ﹣∠DEF ＝15°，∴∠EFO ＝∠EOA ﹣∠OEF ＝15°，∴∠OEF ＝∠EFO ＝15°，∴OE ＝OF ＝a ，∴AF ＝AO +OF ＝a +a ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝a ﹣a ，∴＝＝＝2+，故选：D ．14．（2022•湖北）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O ＝60°，则tan ∠ABC ＝（）A ．31B ．21C ．33D ．23【分析】连接CD ，然后证B 、C 、D 三点共线，根据菱形的性质可得：△OBD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BA ⊥OD ，∠ADB ＝60°，进而可得∠ABC ＝30°，进而可得tan ∠ABC 的值．【解答】解：如图，连接CD ，∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，∴∠3＝∠4，OD ∥CE ，∴∠2＝∠5，∵∠1+∠4+∠5＝180°，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴B、C、D三点共线，又∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，∴OD＝OB，OA＝AD，∵∠O＝60°，∴△OBD是等边三角形，∴BA⊥OD，∠ADB＝60°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝，故选：C．15．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48【分析】由菱形的性质可得出⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD为直角三角形．∵OE＝3，点E为线段CD的中点，∴CD＝2OE＝6．＝4CD＝4×6＝24．∴C菱形ABCD故选：C．16．（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB 的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A ．OB ＝21CE B ．△ACE 是直角三角形C ．BC ＝21AE D ．BE ＝CE 【分析】由菱形的性质可得AO ＝CO ＝，AC ⊥BD ，通过证明△AOB ∽△ACE ，可得∠AOB ＝∠ACE ＝90°，OB ＝CE ，AB ＝AE ，由直角三角形的性质可得BC ＝AE ，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝，AC ⊥BD ，∵CE ∥BD ，∴△AOB ∽△ACE ，∴∠AOB ＝∠ACE ＝90°，＝，∴△ACE 是直角三角形，OB ＝CE ，AB ＝AE ，∴BC ＝AE ，故选：D ．17．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，动点P 从点A 出发，沿折线AD →DC →CB 方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，△APB 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）A ．3B ．23C ．33D ．43【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为3解答即可．【解答】解：在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB ＝a ，由图2可知，△ABD 的面积为3，∴△ABD 的面积＝a 2＝3，解得：a 1＝2，a 2＝﹣2（舍去），故选：B ．18．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AE 于点G ．若cos B ＝41，则FG 的长是（）A ．3B ．38C ．3152D ．25【分析】方法一：过点A 作AH ⊥BE 于点H ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，根据cos B ＝＝，可得BH ＝1，所以AH ＝，然后证明AH 是BE 的垂直平分线，可得AE ＝AB ＝4，设GA ＝GF ＝x ，根据S 梯形CEAD ＝S 梯形CEGF +S 梯形GFDA ，进而可以解决问题．方法二：作AH 垂直BC 于H ，延长AE 和DC 交于点M 由已知可得BH ＝EH ＝1，所以＝AB ＝EM ＝CM ＝4设GF ＝x ，则AG ＝x ，GE ＝4﹣x ，由三角形MGF 相似于三角形MEC 即可得结论．【解答】解：方法一，如图，过点A 作AH ⊥BE 于点H ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，∵菱形ABCD 的边长为4，∴AB ＝AD ＝BC ＝4，∵cos B ＝＝，∴BH ＝1，∴AH ＝＝＝，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，∵S梯形CEAD ＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，则FG的长是．或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+x+x＝4，解得x＝，则FG的长是．19．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）．故选：B．20．（2022•鞍山）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF EF的长为．【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝AO＝，FH∥AO，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝AO＝＝DO，∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，∴FH＝AO＝，FH∥AO，∴FH⊥BD，∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝＝＝，故答案为：．21．（2022•青岛）图①他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是　°．【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60．22．（2022•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝6，则BD的长为（结果保留根号）．【分析】连接AC，交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．【解答】解：如图，连接AC，交BD于点H，由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，又∵∠ECM＝30°，∴∠DCF＝50°，∵DF⊥CM，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝40°，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC＝40°，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH＝DF＝，∴DB＝2DH＝．故答案为：．23．（2022•哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为．【分析】由菱形的性质可得AC BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，由勾股定理可求AE的长，BC的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE＝＝＝5，∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC＝＝＝4，∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF＝BC＝2，故答案为：2．24．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．【分析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP＝O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE＝OA＝AC＝，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE ∥AB，从而求出∠EOF＝90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，∴AP是OO′的垂直平分线，∴OP＝O′P，∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此时，OP+PE的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，∵∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AD＝3，∴OD＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2OA＝3，∵CE⊥AH，∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝AC＝，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠EAB，∴∠OEA＝∠EAB，∴OE∥AB，∴∠EOF＝∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠OAB＝∠DAB＝30°，∴OF＝OA＝，∴OO′＝2OF＝，在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，∴OP+PE＝，∴OP+PE的最小值为，故答案为：．25．（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于．【分析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，先证明FH是△CDE的中位线，得FH＝1，再证明△AEG≌△FHG（AAS），得AG＝FG，在Rt△CBM 中计算BM和CM的长，再证明BF是中位线，可得BF的长，由勾股定理可得AF的长，从而得结论．【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH＝CD＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠DAB＝60°，Rt△CBM中，∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝1，CM＝＝，∴BE＝BM，∵F是CE的中点，∴FB是△CEM的中位线，∴BF＝CM＝，FB∥CM，∴∠EBF＝∠M＝90°，Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，∴GF ＝AF ＝．故答案为：．考点二：菱形的判定1. 直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。

八年级数学《菱形》练习题含答案

八年级数学《菱形》练习题随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为，周长为 .2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为，，， .3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .4．已知在菱形ABCD 中，E ，F 是BC ，CD 上的点，且AE ＝EF ＝AF ＝AB ，则∠B= .5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 .6．已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .7．已知菱形ABCD 中AE ⊥BC ，垂足E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么∠EAF 的度数为 .8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且对角相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（）A ．相等B ．互相垂直且不平分C ．互相平分且不垂直D ．垂直且平分3．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=34AC ，则菱形的面积为（） A ．96cm 2 B ．94cm 2 C ．92cm 2 D ．90cm 24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等6．下列说法正确的是（）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。

菱形性质习题精选（含答案）

菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等．错解：（1）（√）（2）（×）正解：（2）（×）（2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复．例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

中考数学复习之菱形习题(含答案)

中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。

在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。

本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。

习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BAD=∠DAC=60°。

又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。

又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。

因此，∠CBD的度数为0°。

习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BOA=∠COD=90°。

又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。

根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。

因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。

因此，∠AOB的度数为180°。

习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。

设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。

又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。

根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。

九年级- 菱形知识点典型例题及练习

菱形一、菱形的性质菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称和中心对称图形.推论对角线垂直的四边形面积=两条对角线乘积的一半（由对角线互相垂直可得）二、菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线垂直且平分的四边形是菱形.⑤每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 例题分析例题1 下列命题中，正确的是（） A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形例题2 如图1-1-1，将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。

设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是（）︒+=9031.x y A x y B 21.= ︒+=9021.x y C x y D 31.=图1-1-1图1-1-2例题3 如图1-1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60° ，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.例题4 如图1-1-3，已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长.例题 5 如图1-1-4，在菱形ABCD 中，F E ，分别是CD BC 、上的点，且CEF BAE EAF B ∠18∠60∠∠求，，°=°==的度数.例题6 如图1-1-5，在菱形ABCD 中，作一个正∆AEF ，且AE=AB ，那么∠C 的度数是多少？例题7 已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，求菱形的四个内角.图1-1-3图1-1-4图1-1-5例题8 如图1-1-6，在菱形ABCD中， ABC=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，求边长AB的最大值.1-1-6课堂练习1.下列命题中，正确的是( )A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2B．336 cm2C．672 cm2 D．84 cm23.在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，则，∠CDF=（）A、80°B、70°C、65°D、60°4.在凸四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD需要满足什么条件（）A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是平行四边形C.对角线AC=BDD.AD=BC5.顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A.任意四边形B.两条对角线相等的四边形C.矩形D.平行四边形6.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为_______，边长为________，一条边上的高为_________。

菱形性质经典练习题(详细答案)

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

菱形性质习题精选含答案

菱形性质习题精选．填空题（共 26 小题）1．（ 2015?模拟）如图，在菱形 ABCD 中，点 E是AB 上的一点，连接 DE交AC 于点 O，连接 BO，且∠ AED=50 °，则∠CBO= 度．2．（ 2015?模拟）如图，在四边形 ABCD 中， AB=6 ，∠ABC=90 °，E在 CD上，连接 AE，BE，∠DAE=75°，若四边形 ABED 是菱形，则 EC 的长度为3．（ 2015?模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，其中 AC=8 ，BD=6 ，以 OC、OB 为边作矩形 OBEC ，矩形 OBEC 的对角线 OE、BC 交于点 F，再以CF、FE 为边作第一个菱形 CFEG，菱形 CFEG 的对角线 FG、CE 交于点 H ，如此继续，得到第 n 个菱形的周长等于4．（ 2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为 8，则这个菱形的周长为．5．（ 2015?模拟）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为 E，若CD=4cm ，则菱形 ABCD 的面积是．6．（ 2015?模拟）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H为AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 40 ，则 OH 的长等于．7．（2014?）菱形 ABCD 中，若对角线长 AC=8cm ，BD=6cm ，则边长 AB= cm．8．（ 2014?）菱形的周长为 20cm，两个相邻的角的度数之比为 1：2，则较长的对角线长度是 cm ．9．（ 2014?）如图，菱形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 O，若∠BCO=55 °，则∠ADO= ．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣ 3， 0），（ 2， 0），点 D 在 y轴上，则点 C 的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD 中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于 G，连接 GF．若∠ A=80 °，则∠ DGF 的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF 的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是 BC、CD 的中点，连接 AE 、EF、AF，则△AEF 的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC=6cm ，BD=8cm ，则菱形的高 AE 为cm．15．（ 2014?简阳市模拟）如图，边长为 a 的正方形发生形变后成为边长为 a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为 h，记=k ，我们把 k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的16．（2014?淮区一模）如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，BC=1cm，以 DC为边在菱形的外部作正三角形 CDE ，连接 AE，则 AE= cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形 ABCD 的边长是 2cm，∠ A=60 °，点 E、F 分别是边 AB、 CD 上的动点，则线段 EF 的最小值为cm．18．（ 2013 秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF．若菱形 ABCD 的边长为 4cm，∠A=120 °，则 EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形 AOBC 的顶点 O 为原点，对角线 OC 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，若OB= ，点C的坐标为（4，0），则点 A 的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形 ABCD 中， AB=13cm ，BC 边上的高 AH=5cm ，那么对角线 AC 的长为cm．21．（2014 春?泰兴市校级期末）如图，菱形 ABCD 的周长为 16cm， BC 的垂直平分线 EF 经过点 A ，则对角线 BD 长为cm．22．（2014 春?建湖县期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O，点 E 在 BD 的延长线上，且△EAC 是等边三角形，若AC=8 ，AB=5 ，则ED 的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形 ABCD 中， BE⊥AD ，垂足为 E，且 E为AD 为中点．则∠ADC= °．24．（2014春?定县期末）如图，菱形 ABCD 中， AB=2 ，∠BAD=60 °，E是AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，当 P移动到 AC 的中点时，则 PE+PB 的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形 ABCD 中，∠ BAD=120 °，CF⊥AD 于点 E，且 BC=CF ，连接 BF 交对角线 AC 于点 M，则∠FMC= 度．26．（ 2014 秋 ?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为 2，则第 2013 个菱形的面积为二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形 ABCD 是菱形， CE⊥AB 交 AB 延长线于 E，CF⊥ AD 交 AD 延长线于 F，求证： CE=CF ．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形 ABCD 中，点 M 是对角线 AC 上一点，且MC=MD ．连接 DM 并延长，交边 BC 于点 F ．（1）求证：∠ 1=∠ 2；（2）若 DF⊥BC，求证：点 F是边 BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点 D从点C出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D、E运动的时间是 t秒（ t>0）．过点 D作DF⊥BC于点 F，连接 DE、EF．（1）求证： AE=DF ；（2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠B=60 °，点P、Q 分别是边 BC、CD 上的动点（不与端点重合），且 BP=CQ ．（1）图中除了△ABC 与△ADC 外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点 P、 Q 在运动过程中，四边形 APCQ 的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点 P在什么位置时，△PCQ 的面积最大，并请说明理由．31．（ 2013 秋?东海县月考）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合），延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接MD ，AN ．（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形．（2）若 ∠DAB=60 °，当点 M 位于何处时，四边形 AMDN 是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012 秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形 ABCD 中， AB=4cm ，BC=8cm 、点点 D 出发向点 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，点 P 、 Q 的速度都是 1cm/s （1）在运动过程中，四边形 AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形 AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形 AQCP的周长、面积．P 从参考答案2∴∠ CBE=∠FDC 又 BC=DC, ∴Rt △BEC ≌ Rt △DFC, ∴CE=CF.28、证明：（ 1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB ∥ CD ，∴∠ 1=∠ ACD ， ∵MC=M ，D∴∠ ACD=∠2，∴∠ 1=∠2；（2）连接 BD ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ ACB=∠ACD ， BC=CD ，∵∠ ACD=∠2，∴∠ ACB=∠ACD=∠ 2， ∵DF ⊥ BC ， ∴3∠2=90°， ∴∠2=30°， ∴∠ BCD=∠ACB+∠ACD=6°0 ，∴△ BCD 是等边三角形， ∴BF=CF ，即点 F 是边 BC 的中点．29、（1）在△ DFC 中，∠ DFC =90°，∠ C =30°， DC =2t ， ∴DF =t .又∵ AE=t ，∴AE=DF（2）能. 理由如下： ∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又 AE =DF ，∴四边形 AEFD 为平行四边形 . ∵AB =1 AC BC= 5 32AB 2 BC 2 AC 2∴AC=10AD AC DC 10 2t.30、（ 1）△ ABP ≌△ ACQ ，△ APC ≌△ AQD ；（2）∵△ ACP ≌△ ADQ ，∴S △ ACP =S △ADQ ，1即 S 四边形 APCQ =S △ ACD = 1 2 3；（ 3 为菱形的高）2（3）∵△ PAQ 是等边三角形，点 P 是 BC 的中点时， AP 垂直于 BC ， AP 最小， ∴当 AP ⊥ BC 时，三角形 APQ 的面积最小，故在四边形 APCQ 的面积一定，△ APQ 面积最小时，△ PCQ 的面积最大此时 BP=1， 31、证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴∠ DNM=∠ AMN 又∵ DE=AE ，∠ NDE=∠ MAE ∴△ NDE=△ MAE ∴ND=AM∴ND ∥ AM∴四边形 ANDM 是平行四边形AD=A∴AM=1 AB2即 M 是 AB 的中点32、解：(1)经过 x 秒后，四边形 AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm ∵DP2+CD2=PC2∴16+X2=(8-X) 2 解得 x=3即经过 3 秒后四边形是菱形（2）由（ 1）得菱形的边长为 5 ∴菱形 AQCP 的周长 =5× 4=20（㎝）菱形 AQCP 的面积 =5× 4=20（㎝2） 12AC 5 3 2 AC2 若使 AEFD 为菱形，则需 AE AD.即 t 10 2t,t 10 3即当 t 10 时，四边形AEFD 为菱形。

八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案解析

八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案解析一．选择题1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm22．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°3．在小正方形组成网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是（）A．AD∥BC B．DC＝ABC．四边形ABCD是菱形D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合4．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A．150°B．135°C．120°D．100°5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．70°6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（）A．4B．2C．D．47．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（）A．4B．2C．2D．18．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A．B．C．3cm D．10．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD11．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，点E在BC上，且∠CAE＝15°，AE与BD 相交于F，下列结论不正确的是（）A．∠EBF＝30°B．BE＝BF C．F A＞EF D．OE⊥BC12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．513．下列说法中，错误的是（）A．对顶角相等B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．两直线平行，同位角相等D．两边及一角对应相等的两个三角形全等14．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB 长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16B．15C．14D．1315．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为（）A．54°B．64°C．74°D．26°二．填空题（共5小题）16．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是．17．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．18．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF 的面积为4cm2，则△BDH的面积是cm2．19．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF ⊥AD于F．则OE+OF＝．20．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是．三．解答题（共5小题）21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形．（2）若BD＝30，MN＝16，求菱形BNDM的周长．22．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．24．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．（1）求证：四边形ABOE是菱形；（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．25．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．参考答案与解析一．选择题1．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm；∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形；∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC；∵DH⊥AB；∴DH⊥CD，∠DHB＝90°；∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线；∴OH＝OD＝OB；∴∠1＝∠DHO；∵DH⊥CD；∴∠1+∠2＝90°；∵BD⊥AC；∴∠2+∠DCO＝90°；∴∠1＝∠DCO；∴∠DHO＝∠DCA；∵四边形ABCD是菱形；∴DA＝DC；∴∠CAD＝∠DCA＝20°；∴∠DHO＝20°；故选：A．3．解：A、由图形可知：BC和AD是连接7×2的图形的对角线，即AD∥BC，故本选项错误；B、设小正方形的边长是1，由勾股定理得：DC＝＝，AB＝，即AB＝CD，故本选项错误；C、由图形可知：AD∥BC，CD∥AB，即四边形ABCD是菱形，但BC＝＝≠AB，故本选项正确；D、将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合，正确，故本选项错误；故选：C．4．解：过A作AE⊥BC；由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点；则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC；∴∠ABC＝60°；∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．5．解：∵四边形ABCD是菱形；∴AD＝AB；∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°；由作图可知，EA＝EB；∴∠ABE＝∠A＝30°；∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°；故选：A．6．解：∵菱形的面积等于12；∴AC•BD＝12；∵AC＝6；∴BD＝4；∵菱形ABCD对角线互相垂直平分；∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝3；∴AB＝＝＝；∴菱形的周长为4．故选：D．7．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为8；∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AD∥BC；∴∠B+∠BAD＝180°；∴∠B＝180°﹣120°＝60°；∴△ABC为等边三角形；∴AC＝AB＝2；即该菱形较短的对角线长为2；故选：C．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°；∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO；∵DE⊥BC；∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°；∴∠ODE＝∠OED＝20°；故选：B．9．解：如图，∵菱形的一个内角是60°，边长是3cm；∴AB＝BC＝3cm，△ABC是等边三角形；∴AC＝AB＝3cm；即这个菱形的较短的对角线长为3cm；故选：C．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD；∴∠ABD＝∠CDB；又∵∠ABD＝∠CBD；∴∠CDB＝∠CBD；∴BC＝DC；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD；∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：D．11．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD；∵AB＝AC；∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC；∴△ABC和△ADC都是等边三角形；∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°；∵BD＝BD（公共边）∴△ABD≌△CBD（SSS）；∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；∴∠EBF＝30°．∴A正确；∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°；∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°；∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°；∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°；∴∠BEF＝∠BFE；∴BE＝BF．∴B正确；过点F作FG∥BC，交AD于点G；∵AB＝BC＞BE；∴F A＞EF；∴C正确；假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°；∵∠BEF＝75°；∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE；∴OE＝OA＝OC；∴∠OEC＝∠OCE＝60°；∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾；∴假设不成立；∴OE⊥BC错误；∴D不正确．故选：D．12．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O；∵两条纸条宽度相同；∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC；∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD；∴四边形ABCD是菱形；∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD；∴BO＝＝＝2；∴BD＝4；∴四边形ABCD的面积＝＝4；故选：A．13．解：A、对顶角相等，本选项说法正确，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，本选项说法正确，不符合题意；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项说法错误，符合题意；故选：D．14．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图；∵AO平分∠BAD；∴∠1＝∠2；∵四边形ABCD为平行四边形；∴AF∥BE；∴∠1＝∠3；∴∠2＝∠3；∴AB＝EB；同理：AF＝BE；又∵AF∥BE；∴四边形ABEF是平行四边形；∴四边形ABEF是菱形；∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE；在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8；∴AE＝2OA＝16．故选：A．15．解：∵四边形ABCD为菱形；∴AB∥CD，AB＝BC；∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO；在△AMO和△CNO中；；∴△AMO≌△CNO（ASA）；∴AO＝CO；∵AB＝BC；∴BO⊥AC；∴∠BOC＝90°；∵∠DAC＝26°；∴∠BCA＝∠DAC＝26°；∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．故选：B．二．填空题16．解：∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°；∴AC＝4，∠AOB＝90°；∴∠ABO＝30°；∴AB＝2OA＝4，OB＝2；∴BD＝2OB＝4；∴该菱形的面积是：AC•BD＝×4×4＝8．故答案为：8．17．解：根据作图，AC＝BC＝OA；∵OA＝OB；∴OA＝OB＝BC＝AC；∴四边形OACB是菱形；∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2；∴AB•OC＝×2×OC＝4；解得OC＝4cm．故答案为：4．18．解：如图，连接FH；∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E；∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2）；∴BD∥FH；∴△BDH的面积＝△BDF的面积；∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2）；故答案为8.5．19．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO；∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8；根据勾股定理得：AG＝＝＝6；∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD；即BD•AG＝AB•OE+AD•OF；∴16×6＝10OE+10OF；∴OE+OF＝9.6．故答案为：9.6．20．解：如图，设CD与AB1交于点O；∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高；∴AE＝；由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形；∴S△ABB1＝BA•AB1＝2，S△ABE＝1；∴CB1＝2BE﹣BC＝2﹣2；∵AB∥CD；∴∠OCB1＝∠B＝45°；又由折叠的性质知，∠B1＝∠B＝45°；∴CO＝OB1＝2﹣．∴S△COB1＝OC•OB1＝3﹣2；∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．三．解答题21．（1）证明：∵AD∥BC；∴∠DMO＝∠BNO；∵MN是对角线BD的垂直平分线；∴OB＝OD，MN⊥BD；在△MOD和△NOB中；；∴△MOD≌△NOB（AAS）；∴OM＝ON；∵OB＝OD；∴四边形BNDM是平行四边形；∵MN⊥BD；∴平行四边形BNDM是菱形；（2）解：由（1）可知，OB＝BD＝15，OM＝ON＝MN＝8，四边形BNDM是菱形；∴BN＝DN＝DM＝BM；∵MN⊥BD；∴∠BON＝90°；∴BN＝＝＝17；∴菱形BNDM的周长＝4BN＝68．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD；∴∠DEA＝∠F AE；∵AE平分∠BAD；∴∠DAE＝∠F AE；∴∠DEA＝∠DAE∴AD＝ED；∵AD＝AF；∴DE＝AF；∴四边形AFED是平行四边形；又∵AD＝ED；∴平行四边形AFED是菱形；（2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示：∵∠DAB＝60°；∴∠ADG＝90°﹣60°＝30°；∴AG＝AD＝2；∴DG＝＝＝2；由（1）得：四边形AFED是菱形；∵AF＝AD＝4；∴菱形AFED的面积＝AF×DG＝4×2＝8．23．（1）证明：∵AD∥BC；∴∠ADB＝∠CBD；∵BD平分∠ABC；∴∠ABD＝∠CBD；∴∠ADB＝∠ABD；∴AD＝AB；∵AB＝BC；∴AD＝BC；∵AD∥BC；∴四边形ABCD是平行四边形；又∵AB＝BC；∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2；在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4；∴BD＝2OD＝8；∵DE⊥BC；∴∠DEB＝90°；∵OB＝OD；∴OE＝BD＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴OB＝OD＝BD；∵BD＝2AB；∴AB＝OB；∵AE∥BD，OE∥AB；∴四边形ABOE是平行四边形；∵AB＝OB；∴四边形ABOE是菱形；（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：∵四边形ABOE是菱形；∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE；∵S四边形ABOE＝4；S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE；∴BE＝4；∴BF＝2；∴OB＝＝＝；∴BD＝2OB＝2．25．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB；∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线；∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°；∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6；∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形；∴DE＝BC＝6．∴．。

完整版)菱形的性质和判定练习题

完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。

2.较短对角线长为10cm。

3.边长为5cm。

4.各角分别为72°和108°。

5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。

6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。

7.对角线互相垂直。

8.菱形。

9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。

10.周长为40cm。

11.互相垂直且不平分。

12.AB长为8cm。

13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。

18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。

又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。

$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。

设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。

由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。

由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。

又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。

设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。

20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。

(完整版)菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．(1)求证:四边形ABED是菱形;（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图,四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M,N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC,BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E,F分别是BC，AB，AC的中点．（1)求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm,求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E,F．已知BE=BP．求证：（1)∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点,E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC;（2）若∠BAC=90°，求证:四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证:四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,再将三角板绕点C 顺时针方向旋转60°得到△DEC,点F在AC上,连接AE．(1)求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G,连接CG．请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC,垂足分别是为E F,并且DE=DF．求证:四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中,DE∥B C，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C;（2）▱ADFE是菱形．10．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．(1）求证：△AEG≌△AEC;（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；(3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图,在△ABC中,AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证:四边形MENF为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图,在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证:四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中,∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证:四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF,AB交EC于点N,CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗?如果是，请写出证明过程;如果不是，说明理由．18．已知如图所示,AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证:四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2)已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF,过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中,AB=4cm，AD=8cm,作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．(1）求证：AECF是菱形;（2)求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图:在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧,AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2)请连接BF,CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2)下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论．29．如图,在△ABC中，AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．(1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30题参考答案：(完整版)菱形的判定专项练习30题1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形;(2）解:过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵CD=D E=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形,∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO ，∴MN=BC,∴BC=2DN3．（1)∵D,E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm,因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1)∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF,∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC,∵AF=CD，∴AF=DB,∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点,∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC,∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE,又∵∠ECF=60°,∴AC=EC=AE,∴AD=DC=CE=AE,∴四边形ADCE是菱形；（2）证明:由（1)可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，(完整版)菱形的判定专项练习30题∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°,且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC,∵AG∥BC,∴∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC,（7分）∴四边形ABCG是平行四边形,∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF,∴∠EHC=∠B（两直线平行,同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C(等边对等角)，∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC(已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C,∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°,∴AC⊥EC．又∵EG⊥AB,AE是∠BAC的平分线，∴GE=CE．在Rt△AEG与Rt△AEC中,，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下:∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB,∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA,∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,即△CEF是等腰三角形;（3)解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1)知,Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF,∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC,∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC,EF AB,∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB,∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB,∴四边形MENF是平行四边形,∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC,∵AB=CD,∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，…（1分）在△BAE和△DAE中，∵，(完整版)菱形的判定专项练习30题∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点,∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC,NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形(四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一:∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°,∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC,∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等),∵CE=CE，∴由勾股定理得:AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC,EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF,AE∥GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2,∵AD∥EF，∴∠2=∠3,∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF,∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF(等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，,∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，,∴△ADM≌△CFM（AAS）,∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC,∴∠AMB=∠MBN,∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF,又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴BM=BN，同理,△EMD≌△CND，∴DM=DN，∵ED=BF=AB,∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM,(完整版)菱形的判定专项练习30题∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图,由于DE∥AC，DF∥AB,所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2,又∠1=∠2，∴∠1=∠3,∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分)又∵∠AOE=∠COF,AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．(8分）∴AF=AE，CF=CE,又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．(5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴四边形AFCE是菱形．（10分）方法三:同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分)又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB,所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2)如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15,则DO=10，EO=7。

菱形练习题(含答案)

6、二氧化碳气体有什么特点？解：解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，BD平分∠ABC， CD=DE，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5， ∠3=∠4． CF=CD．
CF=DE．因为CF DE．所以四边形CDEF是平行四边形．所以□CDEF是菱形．
13.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
复习：
1.如图，在中，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点；（2）若，试猜测四边形的形状，并证明．
解答：（1）证明：，．∵E是的中点，．
又，．．∵ ，．
（2）解：四边形是矩形，证明：∵ ，，四边形是平行四边形．∵ ，是的中点，．即．四边形是矩形．
1、世界是由物质构成的。我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。 M为AD的中点.又∵AD=2AB, CD=DM CDMN是棱形,所以CE⊥DF.
3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。 12.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为65°

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菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( ）A．M（5，0)，N(8,4）B．M（4,0），N(8，4）C．M(5，0），N（7,4）D．M（4，0），N（7，4）2．(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳)菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为( ）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7。

5 D．二．填空题（共15小题)5．（2011•铜仁地区)已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8,BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．7．(2011•南京）如图,菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点,且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图 7题图 8题图 9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________ 度．10．(2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1=_________ 度．10题图12题 13题图 14题图11．（2009•朝阳)已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ．12．（2009•安顺）如图所示,两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D ﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________ 点．13．（2008•长沙）如图,P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________ cm．14．(2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________ ．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm,则它的面积是_________ cm2．17．（2004•贵阳)如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C 重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________ ．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ．19．如图:点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________ 度．三．解答题(共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B(﹣3，0）．(1）求点D的坐标；(2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB,垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县)如图，四边形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1)求证:BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳)如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明:∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．(2006•大连)已知：如图,四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可)．（1）连接_________ ；（2)猜想：_________ = _________ ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示,在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,4）,则顶点M、N的坐标分别是（)A．M(5，0），N（8，4） B．M(4，0），N(8，4）C．M（5,0），N（7,4）D．M（4，0），N(7，4）考点：菱形的性质;坐标与图形性质.专题：数形结合。

(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)

专题01菱形的性质与判定(四大类型)(题型专练)(原卷版)

专题01 菱形的性质与判定（四大类型）【题型1 菱形的性质】【题型2 菱形的判定】【题型3 菱形的性质与判定综合运用】【题型4 菱形中最小值问题】【题型1 菱形的性质】1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是（）A．对角线垂直B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分2．（2023春•鹤山市校级期中）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．24C．20D．16 3．（2023•邗江区一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4.（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（）A．B．C．D．5．（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O 为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（）A．（﹣5，4）B．（﹣6，3）C．（﹣8，4）D．（2，4）6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC 的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．247．（2023春•江阴市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S＝24，则OH的长菱形ABCD为（）A．6B．5C．3D．2.5 8．（2023春•金坛区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积是（）A．B．C．D．9．（2023春•鄞州区期中）如图，菱形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x 轴，则菱形ABCD的边长值为（）A．9B．C．6D．3 10．（2023春•朝阳区校级期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，则菱形ABCD 的等积线段长度a取值范围是（）A．B．C．D．11．（2023•川汇区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足为点H，则AH的长为（）A．3B．4C．4.8D．5【题型2 菱形的判定】12．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC 13．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A．B．C．D．14．（2023•新城区校级一模）在平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AB＝CD 15．（2023春•长寿区校级月考）下列说法错误的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．同旁内角互补C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形16．（2023春•秦皇岛月考）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（）A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲17．（2022秋•兴平市期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线垂直B．两对角线相等C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分18．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件．19．（2023春•通州区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于点C，CD ∥AB交AE于点D．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC 至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O．（1）求证：AC＝DE；（2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形．21．（2023•崂山区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．（1）证明四边形BPCO为平行四边形；（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．22．（2023春•栖霞区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）当△ABC满足条件时，▱EMFN是菱形．23．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）求证：四边形AFBE是菱形．【题型3 菱形的性质与判定综合运用】24．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．25．（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．4B．8C．4D．26．（2022秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝．27．（2022春•互助县期中）如图，线段AB＝10，分别以A、B两点为圆心，以6长为半径画弧，两弧交于点C、点D，连接CD，则CD＝．28．（2023春•长沙期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的长．29．（2023春•璧山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积．30．（2023•安岳县一模）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF ⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的长．31．（2023•市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的长．32．（2023•九台区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC 的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．33．（2023春•天津期中）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（2）若∠BAC＝90°，且，求四边形AFDE的面积．34．（2023•长沙模拟）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DE＝，求菱形ABCD的面积．【题型4 菱形中最小值问题】35．（2022春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（）A．2B．2.4C．3D．2.5 36．（2022春•东营区期末）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC ＝S△EGC．A．①②B．①③C．①②④D．①②③37．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．38．（2022春•余姚市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B ＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．2D．339．（2023•泰山区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD ＝8，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．40．（2023春•溧阳市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是．41．（2022春•东城区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF ＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．42．（2022春•泗阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E 和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为4．【答案】4．43．（2022春•民勤县校级期中）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB（提＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．示：根据轴对称的性质）44．（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD ＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．。

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菱形【知识梳理】1.定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形: 一组邻边相等）2.性质: （1）边: 四条边都相等；（2）角: 对角相等、邻角互补；（3）对角线: 对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形.3.菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形4.识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.（2）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD的四条相等.5、面积:设菱形ABCD的一边长为a, 高为h, 则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b, 则S菱形=ab【经典题】一、选择题1.(201.广东省珠海市.边长为3 cm的菱形的周长是.. )A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.15 cm3.(201.贵州省毕节地区.如图所示, 菱形ABCD 中, 对角线AC.BD 相交于点O, H 为AD 边的中点, 菱形ABCD 的周长为28, 则OH 的长等于. ）A.3.5B.4C.7D.14B C（第8题图）4.(201.湖南省长沙市.如图, 已知菱形ABCD 的边长等于2, ∠DAB=60°,则对角线BD 的长....)A. 1B.C. 2D. 25.(201.江苏省徐州市.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形, 则该四边形一定是矩形 B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.(201.山东省枣庄市.如图, 菱形ABCD的边长为4, 过点A.C作对角线AC的垂线, 分别交CB和AD的延长线于点E, F,AE=3, 则四边形AECF的周长为.. ）A. 22B. 18C. 14D. 117.(201.浙江省宁波市.菱形的两条对角线长分别是6和8, 则此菱形的边长...... .. ）A.1.......B........C.......D.58.(201.黑龙江省农垦牡丹江管理局.如图, 在菱形ABCD中, E是AB边上一点, 且∠A=∠EDF=60°, 有下列结论: ①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF, 其中结论正确的个数是（）A. 3B. 4C. 1D. 29.(201.上海市.如图, 已知AC.BD是菱形ABCD的对角线, 那么下列结论一定正确的是.. ）.(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的周长相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍.10.(201.浙江省台州市.如图, 菱形ABCD的对角线AC=4cm, 把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH, 则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A．4：3 B．3：2 C．14: 9 D．17: 9二、填空题11.(201.吉林省长春市.如图, 在边长为3的菱形ABCD中, 点E在边CD上, 点F为BE延长线与AD延长线的交点. 若DE=1, 则DF的长为.. .12.(201.福建省莆田市.如图, 菱形ABCD的边长为4, ∠BAD=120°, 点E是AB的中点, 点F是AC上的一动点, 则EF+BF的最小值是2 ．13.(201.甘肃省陇南市.如图, 四边形ABCD是菱形, O是两条对角线的交点, 过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和8时, 则阴影部分的面积为12.14.(201.甘肃省兰州市.如果菱形的两条对角线的长为a 和b, 且a, b 满足（a ﹣1）2+=0, 那么菱形的面积等于 _________ .15.(201.湖北省十堰市.如图, 在△ABC 中, 点D 是BC 的中点, 点E 、F 分别在线段AD 及其延长线上, 且DE=DF, 给出下列条件: ①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB=AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形, 你认为这个条件.... （只填写序号）DAB C F E16.(201.江苏省宿迁市.如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 若菱形ABCD 的顶点A, B 的坐标分别为(－3, 0), (2,0), 点D 在y 轴上, 则点C 的坐标......17.(201.辽宁省大连市.如图, 菱形ABCD 中, AC.BD 相交于点O, 若∠BCO=55°, 则∠ADO=. .18.(201.四川省宜宾市.菱形的周长为20cm, 两个相邻的内角的度数之比为l ∶2, 则较长的对角线长度是cm.19.(201.四川省凉山州.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形... , 学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6m 和8m, 则这个花圃的面积......20.(201.四川省泸州市.一个平行四边形的一条边长为3, 两条对角线的长分别为4和, 则它的面积...... .21.(201.福建省漳州市.若菱形的周长为20cm, 则它的边长是 cm ．22.(201.重庆市A 卷.如图, 菱形ABCD 中, ∠A=60°, BD=7, 则菱形ABCD 的周长为________.CAB23.(201.辽宁省锦州市.菱形ABCD 的边长为2, ,E 是AD 边中点, 点P 是对角线BD 上的动点, 当AP+PE 的值最小时, PC 的长是__________.24.(201.山东省淄博市.已知□ABCD, 对角线AC, BD 相交于点O, 请你添加一个适当的条件, 使□ABCD 成为一个菱形. 你添加的条件........三、证明题25.(201.福建省厦门市.如图6, 在四边形ABCD.., AD ∥BC, AM ⊥BC, 垂足为M, AN ⊥DC, 垂足为N. 若∠BAD ＝∠BCD, AM ＝AN, 求证四边形ABCD 是菱形.B D(第15题图)图626.(201.贵州省贵阳市.如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, D.E 分别为AB, AC 边上的中点, 连接DE, 将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE, 连接AF, CD.（1）求证: 四边形ADCF 是菱形；（5分）（2）若BC =8, AC =6, 求四边形ABCF 的周长．（5分）27.(201.江苏省淮安市.如图, 在三角形ABC 中, AD 平分∠BAC, 将△ABC 折叠, 使点A 与点D 重合, 展开后折痕分别交AB.AC 于点E 、F, 连接DE 、DF.求证: 四边形AEDF 是菱形.28.(201.四川省乐山市.如图, 在△ABC 中, AB=AC, 四边形ADEF 是菱形, 求证: BE=CE.29.(201.湖南省张家界市.如图, 在四边形ABCD 中, AB ＝AD, CB ＝CD, AC 与BD 相交于O 点, OC=OA, 若E 是CD 上任意一点, 连结BE 交AC 于点F, 连结DF.（1）证明: △CBF ≌△CDF ；（2）若AC=2, BD=2,求四边形ABCD 的周长；（3）请你添加一个条件, 使得∠EFD ＝∠BAD, 并予以证明.第18题图 E D C A四、猜想、探究题30.(201.四川省攀枝花市.如图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1cm, 一只电子甲虫, 从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行, 当电子甲虫爬行2014cm时停下, 则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C。

菱形性质练习题(详细答案)

菱形性质练习题一．选择题（共4小题）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2B．C．1D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15B．C．7.5D．二．填空题（共15小题）5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．10如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．13如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是______cm．14已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图19题图19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？。

菱形证明专题训练

绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.【答案】∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.∵DF∥BE,∴∠BEF=∠DFE,∴∠AEB=∠CFD.又∵AE=CF,∴△AEB≌∠CFD,∴AB=CD.∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF.又∠BAE=∠DCF,∴∠DAF=∠DCF,∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.2. 如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.求证:(1)四边形EBFD是菱形;【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴B,D,O三点共线且BD=DO=CO=AO.在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO.在△CFO和△AEO中，∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO.又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形.∵BO=CO，∠COB=60°，∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.第2页共20页※※请※※不※※要※※订※※线※※内※※答※...........o .............o .............装.........订.............o .............o .............线.. ∴∠FCO =∠DCB -∠OCB =30°. ∵FO =FC ，∴∠FOC =∠FCO =30°. ∴∠FOB =∠FOC +∠COB =90°.∴EF ⊥BD .∴平行四边形EBFD 是菱形.(2)MB ∶OE =3∶2.【答案】∵BO =BC ，∴点B 在线段OC 的垂直平分线上. ∵FO =FC ，∴点F 在线段OC 的垂直平分线上. ∴BF 是线段OC 的垂直平分线. ∴∠FMO =∠OMB =90°. ∴∠OBM =30°.∴OF =BF .∵∠FOC =30°，∴FM =OF .∴BM =BF -MF =2OF -OF =OF .即FO =EO ，∴BM ∶OE =3∶2.3. 如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,BD 为AC 边上的中线,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,过点A 作BD 的平行线,交CE 的延长线于点F ,在AF 的延长线上截取FG =BD ,连接BG ,DF .求证:四边形BGFD 是菱形.【答案】∵FG ∥BD ,BD =FG ,∴四边形BGFD 是平行四边形. ∵CF ⊥BD ,AG ∥BD ,∴CF ⊥AG .又∵∠ABC =90°,点D 是AC 的中点,∴BD =DF =AC ,∴平行四边形BGFD 是菱形.4. 如图,点O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD ,连接OE . 求证:OE =BC .【答案】∵DE ∥AC ,CE ∥BD , ∴四边形OCED 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OB=OD,∴∠BOC=∠COD=90°,∴四边形OCED是矩形,∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,∴BC=,OE=,∵DE=OC.∴OE=BC.5. [2015·兰州中考,25](9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.(1)求证:AD=BC;【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD.1分∵AB∥CD,BM∥AC,∴四边形ABMC为平行四边形.2分∴AC=BM.∵BD=AC,∴BM=BD.∴∠BDM=∠BMD.∴∠BDC=∠ACD.在△BDC和△ACD中,∴△BDC≌△ACD.4分∴BC=AD.5分(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.8分∴四边形EGFH为菱形,∴EF与GH互相垂直平分.9分第4页共20页※不※※要※※在※※装※※订※※线※※※答※※题※※※※※※※※※※※ ...........装.............o .............o .............订.............o ...............线.............o .............o ..............o .....................6. [2015·长春中考,18] (7分)如图,CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线,AF ∥CD 交CE 于点F ,FG ∥AC 交CD 于点G ,求证:四边形ACGF 是菱形.【答案】因为AF ∥CD ,FG ∥AC , 所以四边形ACGF 是平行四边形①, 又因为∠ACE=∠ECG ,∠ECG=∠AFC , 所以∠ACE=∠AFC ,所以AC=AF ②, 由①②得四边形ACGF 是菱形.7. [2010·上海中考，23]已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD (如图所示)，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连结DE .(1)在图中，用尺规作∠BAD 的平分线AE (保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形；【答案】∵∠BAE ＝∠DAE ， ∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，AB ＝BE ＝AD ，AD ∥BE ，∴四边形ABED 的平行四边形，又AB ＝AD ， ∴四边形ABED 为菱形(2)∠ABC ＝60°，EC ＝2BE ，求证：ED ⊥DC . 【答案】过D 作DF ∥AE ，则DF ＝CF ＝1， ∴∠C ＝30°，而∠DEC ＝60°， ∴∠EDC ＝90°，∴ED ⊥DC .8. [2010·沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形.【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE＝AB，AF＝AD(2分)又∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∴AE＝AF(4分)又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴O为BD的中点∴OE，OF是△ABD的中位线(6分)∴OE∥AD，OF∥AB∴四边形AEOF是平行四边形(8分)∵AE＝AF∴四边形AEOF是菱形(10分)第6页共20页不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※ .....装.............o .............o .............订.............o .............o .................9. [2010·安徽中考，20]如图，AD ∥FE ，点B ,C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC .(1)求证：四边形BCEF 是菱形；【答案】∵AD ∥FE ，∴∠FEB ＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠FEB ＝∠1. ∴BF ＝EF∵BF ＝BC ，∴BC ＝EF .∴四边形BCEF 是平行四边形 ∵BF ＝BC ，∴四边形BCEF 是菱形(5分)(2)若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE .【答案】∵EF ＝BC ，AB ＝BC ＝CD ，AD ∥FE ，∴四边形ABEF 、四边形CDEF 均为平行四边形，∴AF ＝BE ，FC ＝ED .(8分) 又∵AC ＝2BC ＝BD ，(9分) ∴△ACF ≌△BDE .(10分)10. [2013·长沙中考，24]如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND ＝90°，连接CM 交DN 于点O .(1)求证：△ABN ≌△CDM ；【答案】∵∠ABN ＝∠CDM ，AB ＝CD ， BN ＝BC ＝AD ＝DM ，∴△ABN ≌△CDM (SAS).(2)过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE ＝1，∠1＝∠2，求AN 的长.【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，∴AN∥MO且AN＝2MO，∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，在Rt△MOD与Rt△NEC中，∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，∴MO＝NE.根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，即AN＝2.11. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC 于点F,求证:四边形AEFD是菱形.【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.又∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴△ABE≌△FBE.∴∠BAE=∠BFE.又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.∴四边形AEFD是平行四边形.又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.12. [2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.图1图2(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；第8页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※ 外.............o .............o .............装.............o .............o .............订........o .............o .............线.............o .............o ..............o ..............o ..............o .......................【答案】证法一：证明：在矩形ABCD 中,CD ∥AB ∴∠1＝∠3(1分)由折叠可知：AG ＝EG ,∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3 ∴EF ＝EG (2分) ∴EF ＝AG∴四边形AGEF 是菱形(3分) 证法二：证明：连接AF ,由折叠可知OA ＝OE ,AG ＝EG (1分) 在矩形ABCD 中,AB ∥CD ∴∠AEF ＝∠EAG ∵∠AOG ＝∠EOF∴△AOG ≌△EOF (ASA )(2分) ∴AG ＝EF∴四边形AGEF 是菱形(3分)(2)如图2,当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时,求证,点N 是线段BC 的中点；【答案】证明：连接ON ,O 是Rt △ADE 外接圆圆心.∵⊙O 与BC 相切于点N ∴ON ⊥BC (4分)在矩形ABCD 中,DC ⊥BC ,AB ⊥BC ∴CD ∥ON ∥AB ∴＝(5分)∵OA ＝OE ∴CN ＝NB 即N 为BC 的中点(6分)(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG 的长.【答案】解法一：过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x(7分)∵AB＝4,AD＝2 ∴AM＝4－x由第2问得,NB＝OM＝1在Rt△AOM中,OA2＝AM2＋OM2∴x2＝(4－x)2＋12∴x＝(8分)AM＝4－＝∵∠FEO＝∠OAM又∵∠FOE＝∠OMA＝90°∴Rt△EFO∽Rt△AOM∴＝∴＝(9分)∴OF＝∴FG＝2OF＝(10分)解法二：延长NO交AD于点M∴四边形ABNM是矩形∴AM＝BN＝AD＝1∵O为Rt△ADE外接圆圆心∴OA＝OE＝ON设ON为x,则OM＝4－x(7分)在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2即12＋(4－x)2＝x2x＝(8分)∴OM＝4－＝∵FG⊥AE,MN∥DC∴∠FEO＝∠MOA∠AMO＝∠EOF＝90°∴△EOF∽△OMA第10页共20页※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※ .....o .............线.............o .............o ..............o ........................o .......................∴＝ ∴＝(9分)∴OF ＝ FG ＝2OF ＝(10分)13. [2013·葫芦岛中考,20] (本小题满分8分)如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,BA ⊥AD ,BC=DC ,BE ⊥CD 于点E.(1)求证:△ABD ≌△EBD ;【答案】如图,∵AD ∥BC , ∴∠1=∠DBC.∵BC=DC ,∠2=∠DBC. ∴∠1=∠2. 2分又∵∠BAD=∠BED=90°,BD=BD ,∴△ABD ≌△EBD. 4分(2)过点E 作EF ∥DA ,交BD 于点F ,连接AF.求证:四边形AFED 是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED ,∠1=∠2. ∵EF ∥DA ,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3. ∴EF=ED. 5分 ∴EF=AD. 6分∴四边形AFED 是平行四边形. 又∵AD=ED.∴四边形AFED 是菱形. 8分。

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菱形
例1 如图,在菱形ＡBCD 中,E 就是ＡB 得中点,且,求:
（1）得度数;(２)对角线A Ｃ得长;(3)菱形A ＢCD 得面
例2 已知:如图,在菱形ABCD 中,于于 F 。

求证:AE=ＡＦ
例４如图,中,,、在直线上,且。

求证:.
例5 如图,在△中,,为得中点,四边形就是平行四边形.求证:与互相垂直平分
例6、如图,在就是△ＡB Ｃ中,∠ACB ＝9０°,B Ｃ得垂直平分线DE 交BC 于Ｄ,交AB 于E,点
F 在直线DE 上,AF=CE 。

(１)说明,四边形ACEF 就是平行四边形;(５分)
(2)当∠B 得大小满足什么条件时,四边形ACEF 就是菱形？说明理由、(4分)
例7、如图,△ABC 中,点O 就是ＡC 边上一动点,过点Ｏ作直线ＭN ∥BC,设ＭN 交∠BC Ａ得平分线于Ｅ,交∠BCA 得外角平分线于点Ｆ
.
(1)说明:ＥＯ＝O Ｆ
(２)当点O 运动到时,四边形BE ＦC 可能就是菱形不？并说明理由.
(3)当点O 运动到何处时,四边形ＡＥCF 就是矩形？并说明理由. (4)在(3)得条件下,当△ABC 满足什么条件时,四边形A ＥCF 就是正方形?并说明理由、
巩固练习１、梯形ＡＢCD 中,ＡD ∥BC,BD 平分∠ＡBC,∠C=６0°,当AB=C
Ｄ=4时,梯形A ＢCD 得周长
2、在等腰梯形A ＢC Ｄ中,AB ∥CD, 对角线A Ｃ平分∠BA Ｄ,∠B ＝60
º,CD=2ｃm,则梯形ＡBCD 得面积为 3.如图,梯形ABCD 中,ＡD ∥BC ,A Ｃ为对角线,ＡE ⊥BC 于E ,ＡB
⊥AC ,若
∠AC Ｂ=30°,BE =2。

则EC ＝__＿__＿_＿_＿_、 5。

在梯形ＡＢCD 中,ＡＤ∥BC ,AB ＝ＡC ,若∠D =１10°,∠A Ｃ
D =30°,则∠BAC 等于
７.直角梯形一腰长16 ｃm,该腰与一个底所成得角为30°,那么另一腰长＿_＿__＿＿＿
cm 。

9、如图,等腰梯形ＡBCD 中,AD ∥B Ｃ,AB =D Ｃ,AC ⊥ＢD ,过D 点作DE ∥A Ｃ交BC 得延长线于Ｅ
点。

⑴求证:四边形ACED 就是平行四边形;
⑵若AD =３,ＢC =7,求梯形ABCD 得面积、
菱形得测试题
一．填空题
1．若平行四边形ABC Ｄ就是菱形,则与AD 2．如图,菱形ABCD 中,对角线ＡC,BD 相交于点Ｏ,如果∠A=60º,对角线BD ＝７ｃm,则菱形
得周长=_＿_ｃm
3．若菱形得两条对角线长分别为6cm 与８ｃm,则菱形得面积就是＿__,周长就是_＿_、
4. 若菱形得高为3ｃm,较小得内角就是３0º,则菱形得边长为＿＿＿,面积为_＿＿。

５。

已知菱形得周长为20cm,两条对角线得比为3 :4,则菱形得面积为＿＿_c ｍ。

二．选择题
1。

菱形具有其它平行四边形不一定具有得性质( )
A 。

对边平行
B 。

对角相等
C 、对角线互相平分Ｄ。

对角线互相垂直
２、在菱形AB ＣD 中,AEBC 于E,AFCD 于F,且Ｅ,Ｆ分别就是BC,CD 得中点,那么
C D E A B F O F E C
D B N M A
E
∠E ＡF 等于( )
A.7５º B 。

5５º C 。

45º D.60º
3.菱形ABCD 得周长２０c ｍ,∠A:∠B ＝2:1,则顶点Ａ到对角线BD 得距离就是( )
A 、5ｃm Ｂ、4cm Ｃ。

3ｃm D 、2、5cm
4。

菱形得一边与等腰直角三角形得一直角边等长,若菱形得一个角就是3０º,则菱形与三角
形得面积比为( )
A.1:2 Ｂ。

1:1。

５ C 、 1:1 D 。

2:3
5、菱形得周长为52,较短得一条对角线长为10,那么菱形得面积就是( )ﻫA 。

30 B 、60
Ｃ、 12０ D 、２40
６、能够判定一个四边形就是菱形得条件就是( )
A 、对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直
Ｃ。

对角线相等且两组对角相等 D.两组对角相等且一组对角线平分一组对角
三. 解答题
１,菱形ABCD 得对角线相交于点O,ＡC=8cm,BD ＝6c ｍ,求菱形得高
4、如图,平行四边形ＡB ＣD 得对角线
AC 得垂直平分线与AD,BC,ＡC 分别交于点E,F,O,
求证:四边形AFCE 就是菱形
A E D
Ｂ
F C
8、如右上图,两张等宽得纸条交叉重叠在一起,重叠得部分ＡBCD 就是菱形不？为
什么？
9、如左下图,四边形ABCD 中,对角线ＡC 与ＢＤ相交于点O,且AC ⊥ＢD,点M 、N
分别在BD 、ＡC 上,且A Ｏ＝ＯN ＝N Ｃ,BM=M Ｏ=O Ｄ、求证:ＢC=2 DN
１1、【提高题】如图所示,△ABＣ中,∠ＡCB=90°,∠ABC 得平分线BD•交A Ｃ于点D,C
Ｈ⊥AB 于H,且交ＢＤ于点F,D Ｅ⊥AB 于Ｅ,四边形CD ＥＦ就是菱形不？请说明理由.
菱形得判定证明题练习
1如图,梯形ABCD 中,AB ∥C Ｄ,AC 平分∠BAD ,CE ∥AD 交ＡＢ于点E .求证:四边形AEC Ｄ就是
菱形.
2、如图,在四边形中,点,分别就是得中点,分别就是得中点,满足
什么条件时,四边形就是菱形？请证明您得结论. 3、如图,在平行四边形中,平分交于点,平分交于点.求证:(１);
(２)若,则判断四边形就是什么特殊四边形,请证明您得结论、 4。

如图,O 为矩形A ＢCD 对角线得交点,ＤE ∥ＡC ,CE ∥BD 。

(1)试判断四边形OCED 得形状,并说明理由;
O A B C D E F D
E C
A B
(２)若AB=6,ＢＣ=8,求四边形OCED得面积。

6. 已知:如图,在梯形中,,,,为中点.
求证:四边形就是菱形.
７. 如图,在△ＡBC中,∠ＡＣB=9０°,BC得垂直平分线ＤE交ＢC于D,交AB于E,Ｆ在ＤE上,且ＡF=CE=AE.
(1)说明四边形ACＥF就是平行四边形;
(２)当∠B满足什么条件时,四边形AＣＥF就是菱形,并说明理由。