三角函数应用题练习及问题详解

三角函数的应用题

第一阶梯

[例1]如图，AD ∥BC ，AC ⊥BC ，若

AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。

解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD 2

=AD 2

+AC 2

∵AD=3，DC=5 ∴AC=4 ∵∠B=30°∴AB=2AC ∴AB=8

[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且

AD=DC ，若tg ∠DAC=41

,

求tg ∠BAD 。

探索：已知tg ∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD

的正切值需要满足怎样的条件？

点拨：由于已知中的

tg ∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，

即可地D 点作AC 的垂线。

又要求∠BAD 的正切值应已知Rt △BAD 的三边长，或两条直角边

AB 、BD 的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的

tg ∠DAC 的条件。由于

AD=DC ，即∠C=∠DAC ，这时也可

把正切值直接移到

Rt △ABC 中。

解答：过D 点作DE ⊥AC 于E ，

41DAC tg 且

AE

DE DAC

tg 设DE=k ，则AE=4k ∵AD=DC,

∴∠DAC=∠C ，AE=EC ∴AC=8k

∵

4

1BC

AB tgC

设AB=m ，BC=4m 由勾股定理，有AB 2

+BC 2

=AC

2

∴

k

m

17

178k

BC

17

1732由勾股定理，有CD 2

=DE 2

+EC

2

k

CD

17k

BD

17

1715由正切定理，有

.

8

15BAD

tg AB DB BAD tg [例3]如图，四边形

ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，

AD=3，DC=4，可提供什么知识？求

sinB 应放在什么

图形中。

点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，

所以可证△ABC 是Rt △，因此可求

sinB 。

解：连结AC

∵∠D=90°由勾股定理，有AC 2

=CD 2

+CD 2

∵AD=3，CD=4，

∴AC=5

∵AB=13，BC=12 ∴132

=122

+5

2

∴∠ACB=90°由正弦定义，有

13

5sin sin B

AB

AC B 第二阶梯

[例1]如图，在河的对岸有水塔

AB ，今在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，前进20米后到D 处，又测得A 的

仰角为45°，求塔高AB 。

探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C 、D 两处测得仰角的含义是什

么？怎样用CD 的长？

点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及

CD 长，由于塔身与地面垂直，且

C 、

D 、B 三点共线这时可以构成一个直

角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。

解：根据仰角的定义，有∠ACB=30°，∠ADB=45°

又AB ⊥CB 于B 。∴∠DAB=45°∴DB=AB

设AB=x 由正切定义，有

20

)

13(,

20)13(.

x CD

x CD CB AB

ACB tg DB AB

ADB

tg 及解得)

13

(10x

即塔高)

13(10AB

答：塔高AB 为)13

(10米。

第三阶梯

[例1]已知等腰三角形的顶点为

A ，底边为a ，求它的周长及面积。

探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为

a ，

能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？

点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，

再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。

设已知△ABC 中，AB=AC ，BC=a （如图）解：过A 点作：AD ⊥BC 竽D 点，设∠BAD=α

∵AB=AC

∴BD=CD=

CAD

BAD a

,2根据正弦定义，有

sin

2.

sin 2sin

2sin a AC

a a AB AB BD BAD

同理即∴AB+AC+BC=a+

sin a

由余切定义，有

DB

AD BAD

ctg ∴AD=ctg

a

2