中考解直角三角形常见类型(最新整理)

角三角形。 3、 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 的 三 边 长 a、 b、 c 满 足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、 股四、弦五）
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为 c）； （2）若 c2＝a2＋b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若 a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）； 若 a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）
h1
h β
x
tanα＝ h1
a1 x
tanβ＝ h1
x
∴h1＝
a1 tan tan
tan tan
根据 原理
β a
αx
h＝a2＋h1＝a2＋
a1 tan tan
tan tan
仰角α，
仰角β
水平距 离 a1
皮
h1
尺
h
侧
倾
器
侧倾器 高 a2
h
h－a
tanα＝ , tanβ＝
x
x
仰角α 仰角β 高度 a
tanβ－tanα
根据 原理
直角 三角 形的 边角
皮
关系
尺
2)测量底部可以到达的物体的高度
数学模型
所 应测数
用
据
工
具
h
a1 镜子
a2
a3
皮
尺
镜 子
目高 a1 水平距 离 a2 水平距 离 a3
h
a3
a1 a2
皮 标杆高 a1
数量关系
h ＝ a1 ，h＝ a1a3
a3 a2
a2
h ＝ a3 ,h＝ a1a3
中考解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90° ∠A+∠ B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2、测量物体的高度的常见模型
1）利用水平距离测量物体高度
数学模型
ι αx1 ax2 β
ι αβ
ax
所 应测数据 用 工 具
数量关系
tanα＝ ，tanβ＝
x1
x2
tanα·tanβ ＝a·
tanα＋tanβ
tanα＝ tanβ＝
ax
x
侧 α、β、
倾 水平距离
器 a
tanα·tanβ ＝a·
a1 a2
a2
根据 原理
反射 定律
同一时刻物高 与影长成正比
尺 标杆影
标
长 a2
杆 物体影
长 a3
α
a1
a2
h
h1
侧倾器
高 a1
水平距 皮
尺
离 a2
倾斜角 侧
α 倾
器
tanα＝ h a1 ,
a2
h＝a1＋a2tanα
矩形的性质和 直角三角形的
边角关系
α β
a1
h
h2
α
tanα＝ h1 , tanβ＝ h2
a1
a1
h＝h1＋h2＝a1（tanα＋
矩形的性质和 直角三角形的
仰角α tanβ） 俯角β 水平距 离 a1
边角关系
3）测量底部不可到达的物体的高度（1）
数学模型
所 应测数
用
据
工
具
数量关系
根据 理论
h1
α
h
β
x
tanα＝ h1 ，tanβ＝ a
x
x
仰角α 俯角β
tanα
h＝
a＋
h1＝
a＋
a＝ tanβ
tanα a(1＋ )
tanβ
高度 a
矩形的性质
αβ a
h x
皮
a－h tanα＝ ,
tanβ＝ a
和直角三角
x
x
尺
形的边角关
a－h a
侧
∴x＝ ＝
∴h＝
俯角α
tanα tanβ
系
倾
atanα a－
俯角β
tanβ
器
高度
测量底部不可到达的物体的高度（2）
数字模型
所 应测距
用
离
工
具
数量关系
A
α
a2 a1
sin A A的对边 a 斜边 c
② 锐 角 A 的 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 余 弦 ， 记 为 cosA， 即
cos A A的邻边 b 斜边 c
③ 锐 角 A 的 对 边 与 邻 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 正 切 ， 记 为 tanA， 即
tan A A的对边 a A的邻边 b
tanα h＝
tanα－tanβ
h
h－a
tanα ＝ , tanβ ＝ 、 h＝
x
x
tanα tanα－tanβ
矩形的 性质和 直角三 角形的 边角关
系
a h αβ x
仰角α 仰角β 高度 a
h
a＋h
tanα＝ , tanβ＝
x
x
tanα h＝
tabβ－tanα
h
i h:l
α
l
(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表
示，即 i h 。坡度一般写成1: m 的形式，如 i 1:5等。
l
平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 i h tan 。
l
把坡面与水
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位 角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45°、135°、 225°。
4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为 n 的线段
考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ① 锐 角 A 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 正 弦 ， 记 为 sinA， 即
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：正弦 sin，余弦 cos，正切 tan
(4) 面积公式：
（hc 为 c 边上的高）
考点五、解直角三角形 应用 1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和
几何知识综合求解 2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
④ 锐 角 A 的 邻 边 与 对 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 余 切 ， 记 为 cotA， 即
cotA A的邻边 b A的对边 a
2、锐角三角函数的概念
锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 sinα cosα tanα cotα
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ°
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）
1、解直角三角形的类型与解法
已知、
解 已知条件
法
解法步骤
三角
类型
Rt△ABC
两直角边（如 a，b）
a 由 tan A＝ ，求∠A；∠B＝90°－A，c＝
b
a2 b2
两
斜边，一直角边（如 c，
a 由 Sin A＝ ，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c
a）
c2 - a2
B 弦c
a勾
A
C
b股
勾：直角三角形较短的直角边
边
弦：斜边
股：直角三角形较长的直角
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a2＋b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形 是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
1 2
3 2
3 3
3
45°
2 2
2 2
1
1
4、各锐角三角函数之间的关系
60°
3 2 1 2
3
3 3
（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；
（2）平方关系： sin 2 A cos2 A 1 （3）倒数关系：tanA tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA= sin A
B 边
c 一
锐角，邻边
b ∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝
cosA
边 一角边 （如∠A，b） cosA a
A
一 b
和
锐角，对边
a
a
∠B＝90°－A，b＝ ，c＝
tanA sinA
C
角 一锐角 （如∠A，a）
斜边，锐角（如 c，∠A） ∠ B＝ 90° － A， a＝ c· Sin A， b＝ c·cos A
cos A
5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余 弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着 角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增 大（或减小）而减小（或增大）
考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角， 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做 解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c （1）三边之间的关系： a2 b2 c2 （勾股定理）