中考解直角三角形知识点整理复习
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。
下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。
一、基本概念1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。
2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。
二、特殊角度的三角函数值1.0°和90°的三角函数值：正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。
2.30°和60°的三角函数值：正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3三、三角函数在特定角度的性质1. 正弦函数sin的性质：当角A的终边经过点(x,y)时sinA = y/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
2. 余弦函数cos的性质：当角A的终边经过点(x,y)时cosA = x/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
3. 正切函数tan的性质：当角A的终边经过点(x,y)时tanA = y/x其中x不等于0。
4.三角函数的周期性：三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。
四、特殊角的三角函数值的计算1.特殊角度的三角函数值：根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。
2.夹角的三角函数值：两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。
初三数学：《解直角三角形》知识点总结
初三数学：《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。
1解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA 即aAAAb的对边的邻边cot 锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900;(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sin=∂+COSα(2)倒数关系：tana cota=1(3)商数关系：∂∂=∂∂∂=sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
(2)()∂∂sinsin22是的简写，读作“∂sin的平方”，不能将∂∂22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22=•=∂+∂οο，而1cossin22=+∂β就不一定成立。
中考解直角三角形知识点整理复习
x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角 一锐角
锐角，对边 （如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用 应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾 器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系
解直角三角形知识点九年级
解直角三角形知识点九年级直角三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它与勾股定理有着密切的联系。
在解直角三角形的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，以便能够准确地计算三角形的边长和角度。
本文将围绕直角三角形的定义、勾股定理、三角函数以及解题技巧展开讨论。
一、直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角是 90 度的三角形。
直角三角形的另外两个角分别被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是其中一个角是 90 度，而且满足勾股定理。
二、勾股定理勾股定理是解直角三角形的重要工具，它描述了直角三角形中三条边的关系。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角三角形的两条直角边，c 是斜边。
根据勾股定理，我们可以解决一些直角三角形的边长和角度问题。
例如，已知两条直角边的长度，我们就可以利用勾股定理计算斜边的长度。
同样地，如果已知斜边的长度和一条直角边的长度，我们也可以通过勾股定理计算另一条直角边的长度。
三、三角函数除了勾股定理，三角函数也是解直角三角形的重要工具之一。
在解题过程中，我们常用到的三角函数有正弦、余弦和正切。
正弦（sin）是指在直角三角形中，对于一个角度的正弦值等于对边与斜边的比值。
余弦（cos）是指对于一个角度，余弦值等于邻边与斜边的比值。
正切（tan）是指对于一个角度，正切值等于对边与邻边的比值。
通过利用三角函数的定义，我们可以求解直角三角形中的边长和角度。
例如，已知一个角的正弦值，我们可以使用反正弦函数来计算该角的度数。
同样地，如果已知一个角的余弦值，我们可以使用反余弦函数来计算该角的度数。
四、解题技巧解直角三角形的过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算。
以下是一些常用的解题技巧：1. 利用相似三角形：有时候，直角三角形与其他的三角形相似，我们就可以通过相似三角形的性质来求解直角三角形的边长和角度。
2. 利用特殊三角函数值：特殊角有比较特殊的三角函数值，如30 度/60 度/45 度三角函数值都很容易记忆，因此在解题过程中可以灵活地利用这些特殊角的三角函数值。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角指的是一个角度为90°的角。
二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。
3.直角三角形中的两个锐角互余。
4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。
三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。
性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。
2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。
性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。
3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。
性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。
四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。
a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。
a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。
3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。
精编初三数学《解直角三角形》知识点归纳
精编初三数学《解直角三角形》知识点归纳
精编初三数学《解直角三角形》知识点归纳
不定期的对知识点进行归纳总结，有利于知识点的掌握，查字典数学网初中频道给大家编辑了解直角三角形知识点归纳，供大家参考复习。
三、正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理的应用：
1.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.
2.三角形解的个数
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形(已知a,b 和A)，用正弦定理求B时的各种情况：
⑴若A为锐角时:
，如下图所示：
⑵若A为直角或钝角时:
余弦定理的应用：
利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：
(1)已知三边，求各角;
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。
1.直角三角形两个锐角互余。
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理
九年级数学下册《解直角三角形》知识点整
理
第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
一、三角函数
．定义：在Rt△ABc中，∠c=Rt∠，则sinA=;cosA=;tanA=;
．特殊角的三角函数值：
0°
°
0°
sinαcosαtanα3．互余两角的三角函数关系：sin=cos α;…
．三角函数值随角度变化的关系
．查三角函数表
二、解直角三角形
．定义：已知边和角→所有未知的边和角。
．依据：①边的关系：初中数学复习提纲
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
．初中数学复习提纲俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：
．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例。
中考解直角三角形知识点整理复习
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）
1、解直角三角形的类型与解法
已知、解法
三角已知条件解法步骤
类型
Rt△ABC
两直角边（如a，b）
a
由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－A，c＝
b
2b
a
2
B
两
斜边，一直角边（如c，a）
a
由Sin A＝，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
sinA
A
的对边
斜边
a
c
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
cosA
A
的邻边
斜边
b
c
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
tanAA的对边A来自的邻边ab
1
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
cotA
A
的邻边
A的对边
b
a
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
三角形的边角关系
aa2
1
皮尺
水平距离a2
倾斜角α
h＝a1＋a2tanα
侧倾
h
1
器
α
β
a
1
h
2
h
仰角α
俯角β
tanα＝
h
1
a
1
, tanβ＝
h
2
a
1
矩形的性质和直角
三角形的边角关系
h＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ）
水平距离a1
3）测量底部不可到达的物体的高度（1）
数学模型所用应测数据数量关系根据
人教版九年级数学下 第18讲 解直角三角形 中考知识点梳理
一、知识清单梳理
知识点一：锐角三角函数的定义
关键点拨与对应举例
1.锐角பைடு நூலகம்角函数
正弦:sinA＝ ＝
余弦:cosA＝ ＝
正切:tanA＝ ＝ .
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度数
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB= ，cosA＝sinB= ，
tanA＝ .
知识点三：解直角三角形的应用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知识点二：解直角三角形
3.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法口诀：
解直角三角形的知识点总结
解直角三角形的知识点总结直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
解直角三角形可以使用三角函数（正弦、余弦和正切）以及勾股定理等相关知识。
以下是解直角三角形的一些重要知识点的总结。
1.勾股定理：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长度平方的和。
勾股定理可以表示为：a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。
2.正弦定理：对于任意一个三角形，正弦定理指出三条边的对应角的正弦比是相等的。
对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为sinθ = a / c 或sinθ = b / c，其中a、b为直角边，θ为斜边与直角边相对的角度，c 为斜边。
3.余弦定理：余弦定理是指两条边和它们之间的夹角的余弦的平方等于第三边的平方。
对于直角三角形来说，余弦定理可以简化为cosθ = a / c 或cosθ = b / c，其中a、b为直角边，θ为直角边与斜边相对的角度，c 为斜边。
4.正切函数：正切函数是指在一个直角三角形中，直角边的比等于斜边与直角边之间角度的正切。
对于直角三角形来说，正切函数可以表达为tanθ = a / b 或tanθ = b / a，其中a、b为直角边，θ为直角边之间的角度。
5.特殊直角三角形：特殊直角三角形是指具有特殊边长比例的直角三角形。
常见的特殊直角三角形包括45-45-90三角形和30-60-90三角形。
对于45-45-90三角形来说，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2、对于30-60-90三角形来说，较小直角边的长度为x，较长直角边的长度为x√3，斜边的长度为2x。
6.三角函数关系：在直角三角形中，三角函数之间也有一些重要的关系。
对于正弦、余弦和正切函数来说，正弦函数等于直角边与斜边之比，余弦函数等于直角边与斜边之比，正切函数等于直角边与直角边之比。
另外，正弦函数和余弦函数互为倒数，正切函数等于正弦函数与余弦函数之比。
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
第16页
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
第25页
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
第26页
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
中考专题复习[26]ZZzzl解直角三角形
![中考专题复习[26]ZZzzl解直角三角形](https://img.taocdn.com/s3/m/fd484299dd88d0d233d46ab5.png)
1 1 ∴ AD = AO = ×16 = 8 2 2
●
解： 设铁塔高AB = x m.
AB 在Rt△ABD中，tan ∠ADB = DB AB ∴ DB = =x tan 45 AB 又在Rt△ACB中，tan ∠C = CB x ∴ tan 30°= 14 x x 3 即 = 14 x 3
A
C
D
B
13
3. 如图，河对岸有铁塔AB在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔 前进14 m到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.
西
O 南
Байду номын сангаас
东
5
二、知识点练习 1. 解直角三角形
（1）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a = 5 ，b = 15 则c = _____ 2 5 ， ∠A = _____ 30°， ∠B = _____. 60° 分析：c = a 2 b2 = ( 5)2 ( 15)2 = 20 = 2 5
a ∵ tan ∠A = = b
5 15
B c b = 15
=
1
3 = 3 3
a= 5
C
A
∴ ∠A = 30°， ∠B = 90°- 30°= 60°
6
（2）在Rt△ABC中，∠C = 90°，b = 5，∠A = 30°，
10 5 3 3 则∠B = _____ ， c = _____. 60°，a = _____ 3 3
九年级解直角三角形知识点
九年级解直角三角形知识点直角三角形是初中数学中的重要概念之一，在解直角三角形的问题时，需要运用到多个知识点和技巧。
本文将介绍一些九年级解直角三角形的常见知识点，并阐述其应用。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基本的定理之一，也是解决许多三角形问题的重要工具。
勾股定理表达为：直角三角形的斜边的平方等于其他两边长度的平方和。
即a² = b² + c²，其中a表示斜边的长度，b和c分别表示其他两条边的长度。
二、三角函数与直角三角形相关的三角函数有正弦、余弦和正切。
根据定义，正弦等于对边与斜边的比值，余弦等于邻边与斜边的比值，正切等于对边与邻边的比值。
这些三角函数的计算可通过公式或查表完成。
三、解直角三角形的步骤解直角三角形的一般步骤可以分为以下几个方面：1. 已知条件：根据题目给出的已知条件，确定出直角三角形的相关长度或角度信息。
2. 选择适当的公式：根据已知条件，选择适用的定理或公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
3. 计算并解决问题：根据所选公式，进行计算并求解问题。
注意角度的单位要统一，一般使用弧度或度。
4. 检验答案：通过重新计算或其他方法，检验所得解的准确性。
四、实例分析为了更好地理解解直角三角形的过程，我们来看一个实例。
已知一个直角三角形，其中直角边的长为3，斜边的长为5，求另外一个直角边的长度。
解：根据已知条件，我们可以使用勾股定理来解答。
根据定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即5² = 3² + b²，得到25 = 9 +b²，再经过计算可得b² = 16，最后得到b = 4。
通过这个实例，我们可以看出解直角三角形的过程并不复杂，只需要根据已知条件，灵活运用数学知识进行计算和推导即可获得答案。
五、解直角三角形的应用解直角三角形的知识点在实际中有很多应用。
例如，我们可以用正弦定理和余弦定理解决含有直角三角形的航海、测量、工程设计等实际问题。
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD=21AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°c a sin =∠=斜边的对边A A c bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aabcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.ACBD锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sinα cosα tanα 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习直角三角形是指角度为90度的三角形。
在中考中，解直角三角形是一个重要的考点，需要掌握的知识点包括勾股定理、三角函数的定义和性质以及相关应用。
以下是解直角三角形的知识点整理和复习材料。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基础的定理，也是解题的基础。
勾股定理的表达式为：a²+b²=c²其中，a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
二、三角函数的定义和性质1.正弦函数正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边sinA的性质：（1）sinA在0°~90°区间内递增；（2）sinA在90°~180°区间内递减；（3）sinA在对称轴x=90°处对称。
2.余弦函数余弦函数的定义为：cosA = 邻边/斜边cosA的性质：（1）cosA在0°~90°区间内递减；（2）cosA在90°~180°区间内递增；（3）cosA在对称轴x=90°处对称。
3.正切函数正切函数的定义为：tanA = 对边/邻边tanA的性质：（1）tanA在0°~90°区间内递增；（2）tanA在90°~180°区间内递减；（3）tanA在对称轴x=90°处对称。
4.三角函数的相互关系正弦函数与余弦函数、正切函数的关系：（1）sinA = cos(90° - A)（2）cosA = sin(90° - A)（3）tanA = 1/cotA三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√32.45°角的三角函数值sin45° = cos45° = 1/√2, tan45° = 13.60°角的三角函数值sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3四、应用题1.判断直角三角形当三条边满足勾股定理时，即a²+b²=c²，可以判断为直角三角形。
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。
二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。
锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。
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中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin=∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60° sinα21 22 23cos α 23 22 21tan α 33 1 3cot α31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a=+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：正弦sin ，余弦cos ，正切tan(4) 面积公式： （hc 为c 边上的高）考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hilα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度:i h l=hlα2)测量底部可以到达的物体的高度3）测量底部不可到达的物体的高度（1）测量底部不可到达的物体的高度（2）第三部分真题分类汇编详解2007-2012（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈9 25，tan21.3°≈25， sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且2AB =米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6，最大夹角β为64.5．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字） （参考数据：sin18.60.32=，tan18.60.34=，sin 64.50.90=，tan 64.5 2.1=）（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：ooo o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）ADＤＣBβαCGEDB AF第19题图A解：（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 原来的40º减至35º．已知原楼梯AB 长为5m ，调整后的楼梯所占地 面CD 有多长？(结果精确到0.1m ．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)（2012）20.（8分）B37° 48°DC第19题图40º 35º ADBC附历年真题标准答案：（2007）19．（本小题满分6分）解：过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，得到Rt△ACD 与Rt△BCD． 设BD ＝x 海里，在Rt△BCD 中，tan∠CBD＝CD BD，∴CD＝x ·tan63.5°．在Rt△ACD 中，AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan∠A＝CD AD，∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°． ∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即 ()22605x x =+．解得，x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近． …………………………6′ （2008）19．（本小题满分6分）解：设CD 为x ，在Rt△BCD 中， 6.18==∠αBDC ，B CDA∵CDBCBDC =∠tan ，∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ············2′ 在Rt△ACD 中，5.64==∠βADC ， ∵CDACADC =∠tan ，∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=，∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为1.14米． （2009）19．（本小题满分6分）解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥， ∴90CEF∠=°，设CE x =，在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°；在Rt CEG △中，tan CE CGE GE ∠=，则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠° ∵EF FG EG =+，∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）．答：古塔的高度约是39米． ································ 6分 （2010）19．（本小题满分6分）解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37ADCD︒=， 则34AD x =，∴34AD x =. 在Rt△BCD 中，tan48° = BDCD，则1110BD x=， ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ，∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分（2011）19．（本小题满分6分）CGEDBA F第19题图B37° 48°DCA第19题图（2012）20.（8分）谢谢（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。