解直角三角形的知识点总结

解直角三角形

直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余。 表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2

1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。表示为： ∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD=2

1

AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2 ，AB AD AC •=2， AB BD BC •=2 6、常用关系式: 由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC 锐角三角函数的概念

1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°

c

a

sin =

∠=

斜边的对边A A

c b cos =∠=

斜边的邻边A A b

a

tan =∠∠=的邻边的对边A A A

2、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系: 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系: tanA=A

A

cos sin 特殊角的三角函数值

α sin α cos α tan α 30° 45° 60°

说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上. 对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角、坡度.

补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

典型例题：

1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦 （ ）

（A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=

5

4

，则cosB 的值等于（ ） A ．5

3 B. 5

4 C. 4

3 D. 5

5

3.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）

A ．

1

2 B 2 C

3 D 34.在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ）

（A ）2：3 （B ）3：2 （C ）3：1 （D ）1：3 5.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）

（A ） 600

（B ） 900

（C ） 1200

（D ） 150

0\

6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( ) 同学 甲 乙 丙 放出风筝线长 100m 100m 90m

线与地面夹角

40º

45º

60º

A 、甲的最高

B 、丙的最高

C 、 乙的最低

D 、丙的最低

7..如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O

方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半

小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15O

方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．km 27 Ｂ．km 214 Ｃ．km 7 Ｄ．km 14

６０Ｏ

Ａ

Ｂ

Ｍ

东

仰角 俯角

北

东

南

α

h

l i

i=h/l= tan α

8、河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1

：3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．53米

B ．10米

C ．15米

D ．103米

9.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为

A ．12秒．

B ．16秒．

C ．20秒．

D ．24秒． 10、084sin 45(3)4-︒+-π+-= 11、在△ABC 中，∠A=30º，tan B=

1

3

，BC=10，则AB 的长为 . 12、锐角A 满足2 sin(A-150

)=3,则∠A= .

13、已知tan B=3，则sin

2

B

= . 14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 .

15、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（保留根号）．

16.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．

17.△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，若3AD 的长．

A B

C

D α

1l

3l 2

l 4l