高考数学知识点：简单随机抽样知识点_知识点总结

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高三数学知识点归纳概率

高三数学知识点归纳概率概率是数学中一个非常重要的分支，它可以帮助我们理解事件发生的可能性。

在高三数学中，概率是一个必学的知识点。

本文将对高三数学概率知识点进行归纳总结，旨在帮助高三学生加深对概率的理解和掌握。

一、基础概念概率是指事件发生的可能性，用来表征事件的随机性。

它的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

常用的求概率的方法有频率法、几何法和古典概型法等。

二、事件的概率计算1.频率法频率法是通过实验的次数和结果的出现次数来计算概率的方法。

当实验的次数足够多时，事件发生的频率将逼近其概率。

2.几何法几何法是通过对样本空间的几何图形进行面积比较来计算概率。

对于连续型随机事件，可以使用几何法计算概率。

3.古典概型法古典概型法适用于样本空间元素个数有限且等可能的随机事件。

通过计算事件的有利结果个数与总结果个数之比来计算概率。

三、概率的性质与公式1.加法公式对于两个互斥事件A和B，其概率之和等于两个事件分别发生的概率之和。

2.乘法公式对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之积。

3.全概率公式全概率公式是在事件A的基础上，将样本空间划分为若干互斥事件，并计算这些事件的概率之和等于事件A的概率。

4.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

通过条件概率，我们可以计算两个事件的相关性。

四、排列与组合排列与组合是概率中常见的计数方法。

排列是指从n个不同元素中选取m个元素按照一定顺序排列的方法数，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。

组合是指从n个不同元素中选取m个元素并不考虑顺序的方法数，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。

五、常见的概率模型1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本的抽样方法，其样本容量n较小时，可以近似认为是简单随机抽样，使用古典概型法计算概率。

2.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于只有两种可能结果的重复试验。

高考数学概率统计知识点总结(文理通用)

概率与统计知识点及专练（一）统计基础知识：1. 随机抽样：（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2. 普通的众数、平均数、中位数及方差：（1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数（2）.平均数：常规平均数：12nx x x x n ++⋅⋅⋅+=（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数（4）.方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-（5）.标准差：s3 .频率直方分布图中的频率：（1）.频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数；频数=总数*频率（2）.频率之和等于1：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；即面积之和为1： 121n S S S ++⋅⋅⋅+=4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差：（1）.众数：最高小矩形底边的中点（2）.平均数：112233n n x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值（4）.方差：22221122()()()nn s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-5.线性回归直线方程：（1）.公式：ˆˆˆy bx a=+其中：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑（展开）ˆˆa y bx=-（2）.线性回归直线方程必过样本中心(,) x y（3）.ˆ0:b>正相关；ˆ0:b<负相关（4）.线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a=+的斜率ˆb中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到6. 回归分析：（1）.残差：ˆˆi i ie y y=-（残差=真实值—预报值）分析：ˆie越小越好（2）.残差平方和：2 1ˆ() ni iiy y =-∑分析：①意义：越小越好；②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()() ni i n niy y y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑（3）.拟合度（相关指数）：2 2121ˆ()1()ni iiniiy y Ry y==-∑=--∑分析：①.(]20,1R∈的常数；②.越大拟合度越高（4）.相关系数：()()n ni i i ix x y y x y nx y r---⋅∑∑==分析：①.[1,1]r∈-的常数；②.0:r>正相关；0:r<负相关③.[0,0.25]r∈；相关性很弱；(0.25,0.75)r∈；相关性一般；[0.75,1]r∈；相关性很强7. 独立性检验：（1）.2×2列联表（卡方图）：（2）.独立性检验公式①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．上界P 对照表：（3）.独立性检验步骤：①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k③．下结论：0k k ≥即认为有P 的没把握、有1-P 以上的有把握认为两个量相关；0k k <：即认为没有1-P 以上的把握认为两个量是相关关系。

高二数学--概率与统计-(1)

高二数学概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．（2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．（3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式．（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。

高中数学高考统计知识点总结

第二章：统计 1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++=Λ321；取值为n x x x ,,,21Λ的频率分别为n p p p ,,,21Λ，则其平均数为n n p x p x p x +++Λ2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21Λ方差：212)(1∑=-=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=-=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x 。

第三章：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点： ①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

第九章高考数学统计知识总结

第九章统计知识点一：抽样方法从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本.1．简单的随机抽样简单随机抽样的概念：设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．①用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时，任一个体被抽到的概率为1N ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为nN；②简单随机抽样的特点是：不放回抽样，逐个地进行抽取，各个个体被抽到的概率相等；③简单随机抽样方法体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．简单抽样常用方法：①抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n 的样本．适用范围：总体的个体数不多．优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．②随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码．2．分层随机抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层．知识点二：用样本估计总体二、用样本估计总体1．频率分布直方图可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律．2．百分位数与总体百分位数的估计(1)第p百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数．3．众数、中位数和平均数与总体集中趋势的估计4．总体集中趋势的估计类型一抽样方法的运用例1为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学，初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.按学校分层抽样解析：由于小学、初中、高中三个学段学生的视力情况差异较大，而男女视力差异不大，则需按学段分类抽样.答案：C例2总体由编号为0.10.2,1920⋅⋅⋅,，,的20个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）解析：由随机数表法抽取样本的过程可知，选出的5个个体的编号是08，02，14，07，01 ，所以第五个个体的编号01.答案D类型二用样本的频率分布估计总体分布例3某学校随机抽取20个班，调查个班中有网上购物经历的人数，所得茎叶图如图，以组距为5将数据分组成[)[)[)[]05,10,15,30,35,35,40⋅⋅⋅,，时，所作的频率分布直方图是（）解析：方法1：由题意如样本容量为20，剧组为5列表解后反思：（1）在茎叶图中，要弄清“茎”和“叶”表示的意义.在本题中，“茎”表示的是数据的十位数字，“性叶”表示’的是数据的个位数字.（2）排除法是做选择题的一种非常简单有效的方法.类型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例4 茎叶图记录了甲乙丙组各五名同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（）A.2.5B.5.5C.5.8D.8.解析：因为甲组数据的中位数为1510x =+，所以5x =.因为乙组的平均数为()91510182416.85y +++++=，所以8y =，所以,x y 得值分别为58，.答案：C解后反思：中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数或中间两个数的平均数；平均数等于所有数据之和除以数据个数.例5将某选手的9个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的九个分数的茎叶图，后来有1个数据后来有一个数据模糊，无法辨别，在图中用x 表示：则7个剩余分数的方差为（）A ．1169 B ．367C ．36 D解析：根据茎叶图，去掉1个最低分87，去掉一个最高分99，则()187949091909091917x +++++++=⎡⎤⎣⎦，所以4x =，所以 ()()()()()()()22222222136879194919091919190919491919177s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦答案：B解后反思：（1）由茎叶图可知，选手的9个得分均为两位数，故最高分为99分. （2）方差的计算公式：()()()2222121.n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦类型四统计案例例6为了调查甲，乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两个学校的学生各抽取30名高三学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0，05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次数学联考的及格率（60分以及60分以上算是及格）（2）设甲，乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,,x x 估计12x x -. 分析：（1）由样本数除以所占的比例得总体n ，计算样本中的及格率，利用样本估计总体，（2）阅读茎叶图，带入平均数公式计算可解.解：（1）设甲校高三学生总数为n ，又题意得，知300.05n=，解得600.x =样本中甲校高三年极数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为551.306-= （2）设甲、乙两校样本平均数分别为``12,.x x根据样本茎叶图，知()````1212303030x x x x -=-()()()()()7555814241265262479222092=-++-+--+--+-+249537729215.=+--++=因此``120.5x x -=，所以``12x x -的估计值为0.5分.解后反思：（1）在计算一组数据的平均数时，如果数据较大，可将这组数据同时减去一个数，计算所得新数据的平均数，然后将这个平均数加上减去的那个数即为所求.。

第10章第1节随机抽样-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

[巩固演练] 1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( B ) A．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
解析 (2)该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为 10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.抽样方法有哪几种？
1.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，体现了这两种抽样方法的
►规律方法应用简单随机抽样应注意以下两点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02， 03，…，32，33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为( C )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75
[自主解答] 因为高一年级抽取学生的比例为 1224000＝15，所以k＋5k＋3＝15，解得 k＝2，故高三年级抽取的人数为 1 200×2＋35＋3＝360.

人教版高中数学必修三 2.1《随机抽样》知识梳理+跟踪检测

人教版高中数学必修三第二章统计2.1《随机抽样》知识梳理知识点一：简单随机抽样1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样⎩⎨⎧随机数法抽签法 3．简单随机抽样的优点及适用类型简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个体数不多的情况下是行之有效的．知识点二：系统抽样1．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n(n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k)，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．知识点三：简单随机抽样1．分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．人教版高中数学必修三第二章统计2.1《随机抽样》跟踪检测一、选择题1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行()A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况2．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量3．某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是()A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则()A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1 5B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( )A ．16B ．14C ．28D ．126．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为( )A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，87．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．8．某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和2s ,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. 22,100x s +B. 22100,100x s ++C. 2,x sD. 2100,x s +9．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概念进行分析；②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是()A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样11．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.16712．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为()A．2个B．3个C．5个D．13个13．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,614．对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,5315．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在用分层抽样法抽取20人，则各年龄段人数分别是()A．7,4,6 B．9,5,6 C．6,4,9 D．4,5,916．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36二、填空题17．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________. 18．博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是________人．19．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．20．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．21．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.人．三、解答题22．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？23．某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？24．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的调查方案：学生A：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快估计出小区平均每户居民的月用水量．学生B：我给我们居民小区的每一个住户发一个用水量调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．学生C：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量．请问：对上述3种学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有什么建议？2.1《随机抽样》跟踪检测解答一、选择题1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行()A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况[答案] D2．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量[答案] C3．某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是()A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对[答案] C[解析]按照一定的规律进行抽取为系统抽样．4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则()A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此 C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同[答案] A[解析] 无论采用哪种抽样,每个个体被抽到的概率相等.5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( )A ．16B ．14C ．28D ．12[答案] A[解析] 运动员共计98人，抽取比例为2898＝27，因此男运动员56人中抽取16人．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为( )A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8[答案] C[解析] 由题意得x ＝15，16.8＝51(9＋15＋10＋y ＋18＋24) y ＝8，选C. 7．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．8．某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和2s ,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A. 22,100x s + B. 22100,100x s ++ C. 2,x s D. 2100,x s +[答案] D[解析] 设增加工资后10位员工下月工资均值为'x ,方差为2's , 则平均数()()()12101'10010010010x x x x =++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦ ()1210110010010x x x x =++++=+; ()()()222212101'100'100'100'10s x x x x x x ⎡⎤=+-++-+⋅⋅⋅++-⎣⎦ ()()()22221210110x x x x x x s ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦.故选D . 9．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概念进行分析；②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④[答案] D10．下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是( )A ．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B ．某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[答案] C[解析] A 中总体有明显层次，不适用系统抽样法；B 中样本容量很小，适宜用简单随机抽样法中的随机数法；D 中总体数很小，故适宜用抽签法，只有C 比较适用系统抽样法．11．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167[答案] C[解析] 由图可知该校女教师的人数为()11070%150160%7760137⨯+⨯-=+= 故选C12．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．13个[答案] A[考点]分层抽样方法[分析]由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x 个，则30030＝20x ，即可得出结论．解：由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x 个，则30030＝20x ， ∴x=2，故选A ．[点评]本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．13．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,6[答案] D[解析]由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×4 20＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.14．对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,53[答案] A[解析]样本中共有30个数据,中位数为4547462+=;显然样本中数据出现次数最多的为45,故众数为45;极差为68－12＝56,故选A.15．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在用分层抽样法抽取20人，则各年龄段人数分别是()A．7,4,6 B．9,5,6 C．6,4,9 D．4,5,9[答案] B[解析]各年龄段所选分别为20100×45＝9，20100×25＝5，20100×30＝6.16．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36[答案] B[解析]设该单位老年职工有x人，从中抽取y人．则160＋3x＝430⇒x＝90，即老年职工有90人，则90160＝y32⇒y＝18.故选B.二、填空题17．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________. [答案]30[解析]由题意，知22＋3＋5×n＝6，∴n＝30.18．博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是________人．[答案]760[解析]设该校女生人数为x，则男生人数为(1 600－x)．由已知，2001 600×(1 600－x)－2001 600·x＝10，解得x＝760.故该校的女生人数是760人．19．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．[答案] 5.7%[解析]∵990∶99 000＝1∶100，∴普通家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为50×100＝5 000(户)．又∵100∶1 000＝1∶10，∴高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为70×10＝700(户)．∴3套或3套以上住房的家庭约有5 000＋700＝5 700(户)．故5 700100 000＝5.7%.20．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．[答案]3720[解析]由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．21．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.生活能否自理人数性别男女能178 278不能23 21人．[答案]60[解析]由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以该地区15 000位老人生活不能自理的男性比女性多2×15 000500＝60(人)．三、解答题22．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2 435 4 5673 926 1 07260人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？解：可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占2 43512 000，应取60×2 43512 000≈12(人)；“喜爱”占4 56712 000，应取60×4 56712 000≈23(人)；“一般”占3 92612 000，应取60×3 92612 000≈20(人)；“不喜爱”占1 07212 000，应取60×1 07212 000≈5(人)．因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．23．某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？解：(1)将624名职工用随机方式编号由000至623.(2)利用随机数法从总体中剔除4人．(3)将剩下的620名职工重新编号由000至619.(4)分段，取间隔k＝62062＝10，将总体分成62组，每组含10人．(5)从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l.(6)按编号将l,10＋l,20＋l，…，610＋l，共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本．24．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的调查方案：学生A：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快估计出小区平均每户居民的月用水量．学生B：我给我们居民小区的每一个住户发一个用水量调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．学生C：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量．请问：对上述3种学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有什么建议？解：学生A的方法得到的样本不能够反映不上网的居民情况，是一种方便样本，所得的结果代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量；学生B 的方法实际上是普查，花费的人力物力要多一些，但是如果统计过程不出错，可以准确地得到平均每户居民的月用水量；在小区的每户居民都装有电话的情况下，学生C的方法是一种随机抽样方法，所得的样本具有代表性，可以比较准确地获得平均每户居民的月用水量．在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样的方法获取数据，即用学生C的方法，以节省人力物力，并且可以得到比较精确的结果.5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆy x =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆy x =-+ [答案] A[解析] 变量x 与y 正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.∵变量x 与y 正相关,∴可以排除C,D;样本平均数3x =, 3.5y =,代入A 符合,B 不符合,故选A.。

数学高二上册知识点归纳

数学高二上册知识点归纳数学高二上册知识点归纳一：总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。

②把每个研究对象叫做个体。

③把总体中个体的总数叫做总体容量。

④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x1，x2，....，研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。

简单随机抽样也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随。

机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础,高三。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

数学高二上册知识点归纳二：简单随机抽样常用的方法①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。

抽签法①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查。

数学高二上册知识点归纳三：函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;数学高二上册知识点归纳四：立体几何初步(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

高考数学知识点总结整理

高考数学知识点总结整理高考数学知识点总结整理「篇一」(1)随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

(2)用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

(3)变量的相关性①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

统计知识点已经呈现在各位考生面前，希望同学们认真阅读学习，更多精彩尽在高考频道!高考数学知识点总结整理「篇二」一次函数的定义一次函数，也作线性函数，在x，y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

高考数学系统抽样知识点

高考数学系统抽样知识点
(1)系统抽样(等距抽样或机械抽样)：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合,考试技巧。

(2)系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

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抽样方法高考知识点考点

抽样方法高考知识点考点在高考备考过程中，抽样方法是数学中一个重要的考点。

抽样方法是统计学中的一个概念，它是指从一个个体总体中选取一部分个体进行研究，再通过研究结果进行推断总体特征的过程。

在高考中，准确地运用抽样方法既可以帮助我们解决问题，也可以提高我们的分数。

首先，我们来了解一下常见的抽样方法。

常见的抽样方法主要有随机抽样、系统抽样和分层抽样。

随机抽样是指在个体总体中随机选择样本，以保证每个个体都有同等机会被选中。

系统抽样是指按照一定的规则从个体总体中选取样本，如每隔固定个体选取一个样本。

分层抽样是指将个体总体分成若干层，从每一层中随机选择样本。

这三种抽样方法都有各自的适用场景，我们应根据实际情况选择合适的方法。

接下来，我们讨论一下抽样方法在解决实际问题中的应用。

在高考数学中，抽样方法常常通过解决概率问题来进行应用。

例如，某年高考的数学选择题中有一个问题是：有一个班级共有100名学生，其中60%是男生，40%是女生。

现在要从这个班级中随机抽取10名学生，问至少有2名男生的概率是多少？对于这个问题，我们可以运用随机抽样的方法来解决。

首先，计算男生的数量是60的60%即36名，女生的数量是40的40%即64名。

然后，我们可以列出男生和女生的名单，将名字标上编号，然后使用随机数表或者随机数发生器来进行随机抽样，每次抽取到男生就记录下来。

重复这个过程10次，就得到了10名学生的随机抽样结果。

最后，我们统计抽样结果中男生数量大于等于2的情况，计算出这个概率。

抽样方法的应用不只限于高考数学，它在其他学科中也有广泛的应用。

例如，在生物学中，科学家们常常使用抽样方法来进行实验和观察。

他们从大自然中抽取一部分生物个体进行观察和研究，通过这些样本的特征和行为，推断出整个物种的特征和行为模式。

在社会学中，抽样方法也常被用来进行调查和实证研究。

社会学家通过对抽取出的个体或家庭进行问卷调查或深入访谈，来推断整个人群的意见和行为。

高中数学高考数学知识点归纳总结精华版

高中数学高考数学知识点归纳总结精华版高中数学是一门重要的学科，对于高考来说更是关键。

以下为大家精心归纳总结高考数学的重要知识点。

一、函数函数是高中数学的核心内容之一。

1、函数的概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

2、函数的性质：单调性：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)（或 f(x1)＞f(x2)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。

奇偶性：对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)＝f(x)（或f(x)＝f(x)），那么函数 f(x)就叫做偶函数（或奇函数）。

3、常见函数：一次函数：y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k≠0）。

二次函数：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a≠0），其图像是一条抛物线。

对称轴为 x ＝ b/2a，顶点坐标为（b/2a，（4ac b²)／4a）。

反比例函数：y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）。

二、三角函数1、任意角和弧度制：了解任意角的概念，包括正角、负角和零角。

掌握弧度制与角度制的换算。

2、三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标为（x，y），它与原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²)），则sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x。

3、同角三角函数的基本关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。

4、诱导公式：用于将不同象限的角的三角函数值进行转化。

5、三角函数的图像和性质：正弦函数 y ＝ sin x：定义域为 R，值域为-1,1，周期为2π，是奇函数。

高考数学复习点拨细说“三种随机抽样”

细说“三种随机抽样”一、简单随机抽样1.简单随机抽样的特点（1）适用于被抽取的样本总体的个数不多，否则较难“搅拌均匀”，且样本特征的普遍性较差；（2）每个个体被抽到的机会都是均等的；（3）从总体中不放回地逐个抽取；（4）做到了抽样的客观性和公平性，抽样方法简便可行，是其他较为复杂抽样的基础.2.常用的简单随机抽样方法（1）抽签法抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平.（2）随机数表法利用随机数表产生的随机数进行抽样，叫随机数表法.用随机数表法抽样的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③从选定的数开始，确定一个读取方向（向左、向右、向上、向下均可），读数获取样本，如果有重复的数要舍去.随机数表法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，这两种方法都只适用于总体容量较少的抽样类型.二、系统抽样1.定义：当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时可将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样，又叫等距抽样.2.步骤：①采用随机抽样的方法将总体中的N 个个体编号；②将整体按编号均衡分段，确定分段间隔k ，当n N 是整数时n N k ；nN 不是整数时，从N 中剔除一些个体，使得其为整数；③在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号l （l ≤k ）；④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l 加上间隔k 得到第2个个体编号l+k ，再加上k 得到第3个个体编号l+2k ，这样继续下去，直到获取整个样本.例1 从N =103的总体中采用系统抽样，抽取一个容量n =10的样本，写出抽取过程. 解：抽样过程具体如下：第一步：将总体的103个个体按随机方式编号001，002，003， (103)第二步：抽取容量为10的样本，因为10103不是整数，所以应从整体中剔除3个（剔除方法用随机数表法：如以随机数表的第20行第9列的4开始向右连续取数字。

2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：10.1随机抽样

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：10.1随机抽样(一)简单随机抽样※相关链接※1．简单随机抽样的特点:(1)抽取的个体数较少;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.注:抽签法适于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.3．利用随机数表法抽取样本的步骤(1)编号：将每个个体编号，各号数的位数相同.(2)选起始号码：任取某行、某组的某数为起始号码.(3)确定读数方向：一般从左到右读取.※例题解析※〖例〗某大学为了支持2010年亚运会,从报名的24名大三的学生中选6人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.思想解析:(1)总体的个体数较少,利用抽签法或随机数表法可容易获取样本;(2)抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取;(3)随机数表法的操作要点:编号、选起始数、读数、获取样本.解答:抽签法第一步:将24名志愿者编号,编号为1,2,3, (24)第二步:将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;第三步:将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.随机数表法第一步:将24名学生编号,编号为01,02,03,……24;第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;第三步:凡不在01～24中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数;第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组.(二)系统抽样※相关链接※系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体;(2)各个个体被抽到的机会均等;(3)总体分组后,在起始部分采用的是简单随机抽样;(4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除,则抽样间隔为N k n =,如果总体容量N 不能被样本容量n 整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.注:系统抽样的四个步骤可简记为“编号——分段——确定起始的个体号——抽取样本”.※例题解析※〖例〗某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3,……,295,为了了解学生的学习情况,要按1:5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.思路解析:按比例分组→每组编号→用简单随机抽样确定每一组的学生编号→间隔相同抽取→组成样本.解答:按1:5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,关键是确定第1段的编号.按照1:5的比例,应该抽取的样本容量为295÷5=59,我们把295名同学分成59组,每组5人.第一组是编号为1～5的5名学生,第2组是编号为6～1的5名学生,依次下去,第59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法,从第1组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为(15)l l ≤≤,那么抽取的学生编号为5(0,1,2,,58),l k k +=得到59个个体作为样本,如当3l =时的样本编号为3,8,13,……,288,293.(三)分层抽样〖例〗某政府机关有在编有员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.思路解析:(1)机构改革关系到名种人不同的利益;(2)不同层次的人员情况有明显差异,故采用分层抽样.解答:用分层抽样方法抽取.具体实施抽取如下:(1)∵20:100=1:5,∴10/5=2,70/5=14,20/5=4,∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.(2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1～10编号与1～20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,，……，69编号，然后用随机数表法抽取14人。

抽样检的基础必学知识点

抽样检的基础必学知识点
抽样检的基础知识点包括以下内容：
1. 抽样方法：在进行抽样检时，需要选择适当的抽样方法，常见的抽
样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。

2. 抽样误差：抽样误差是指抽样所引入的估计误差，其大小通常取决
于样本容量的大小和抽样方法的选择。

抽样误差越小，样本代表性越好，估计结果越可靠。

3. 样本容量：样本容量是指进行抽样检的样本数量，通常样本容量越大，估计结果越可靠。

样本容量的确定需要考虑抽样误差允许范围、
资源和时间等因素。

4. 抽样分布：抽样分布是指某一统计量在大量独立抽样情况下的分布。

常见的抽样分布有正态分布、t分布、卡方分布等。

根据不同的情况选择适当的抽样分布进行参数估计和假设检验。

5. 抽样误差的控制：为了减小抽样误差，可以采取增加样本容量、改
进抽样方法、增加抽样次数等方法进行控制。

合理选择抽样方法和样
本容量可以有效控制抽样误差。

以上是抽样检的基础必学知识点，通过学习这些知识点可以帮助我们
正确进行抽样检，得到可靠的估计结果。

高中数学必修3：第2章统计 2.1 随机抽样(含高考真题演练)

6. 简单随机抽样的结果( ) A.完全由抽样方式所决定 B.完全由随机性来决定 C.完全由人为因素所决定 D.完全由计算方法所决定解析：简单随机抽样的结果完全由随机性来决定. 答案：B
7. 为了了解某县中考学生数学成绩的情况,从中抽取20本密封
试卷,每本30份试卷,这个问题中的样本容量是( )
最常用的简单随机抽样方法有两种：
抽签法随机数法
随机数表法
抽签法
（1）对总体的N个个体进行编号（2）把N个号码写在同样的号签上（3）将号签放在一个容器中，搅拌均匀（4）每次从中抽取一个号签，连续抽取n次（5）得到一个容量为n的样本步骤：编号→制签→搅匀→抽签→定样.
例1 某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽选，并写出过程．
简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加间隔获取样本。
例1 某中学有高一学生322名，为了了解学生的身体状况，要抽取一个容量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？
第一步，随机剔除2名学生，把余下的320名学生编号为1，2 ，3，…320. 第二步，把总体分成40个部分，每个部分有8个个体.
例1 某中学有高一学生322名，为了了解学生的身体状况，要抽取一个容量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？
系统抽样的特点：
(1) 总体容量较大 (2) 属于不放回抽样 (3) 每个个体被抽到的可能性相同（公平性）
系统抽样的步骤
（1）对总体的N个个体进行编号；（2）确定分段间隔k，对编号进行分段，当N/n是整数时，取k＝N/n；当N/n不是整数时，从总体中随机剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，并将剩下的总体重新编号、分段；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；（4）将编号为l+k, l+2k, …, l+(n－1)k的个体抽出。

高考数学复习知识点讲解教案第55讲随机抽样

[解析]
1
14−1
第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则
5
−1
即 − 1 = 65，则 = 66,∴
=
1
，
5
14
在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为
66
=
7
.
33
[总结反思]
（1）简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法
（适用于总体中个体数较多的情况）；（2）简单随机抽样中每个个体被抽中的
愿者和20余万人次城市志愿者参与服务．据统计，某高校共有本科生1600人，硕
士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，若用比例分配的分层随机抽样方法
从中抽取博士生30人，则抽取的总人数为(
A.300
B.320
[解析] 根据题意知分层抽样比例为
D
)
C.340
30
老年人所占的比例如图①所示，且游泳组的市民人数是登山组市民人数的3.5倍，
在登山组中，青年人、中年人、老年人所占的比例如图②所示.为了了解各组不同
年龄层市民对本次活动的满意程度，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从参
加活动的全体市民中抽取一个样本量为900的样本，则应从游泳组的中年人与登
415
山组的老年人中共抽取______人.
2.［教材改编］
完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收
入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标．此调查
分层随机抽样
宜采用的抽样方法是_________________．②从某中学的15名艺术特长生中选出3
简单随机抽样
名调查学习负担情况．此调查宜采用的抽样方法是_________________．

高一数学《概率与统计》

考点1：抽样方法一．随机抽样随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：1．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．⑴抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．⑵简单随机抽样必须具备下列特点：①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的． ②简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ． ③简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ④简单随机抽样是一种不放回的抽样．⑤简单随机抽样的每个个体被抽取的可能性均为nN．<教师备案>样本获取分为两种，一种是全面统计，一种是样本统计．全面统计的例子非常多，比如美国大选，每个州的选民都是通过投票选出每个州的负责人．也就是每个人都表达了自己的意见．再比如我们调查学生是海淀还是非海淀，我们也是给每个学生打了电话，访谈出结果，每个同学也都表达了自己的意见．再比如一些小事，像一群人中午的时候讨论去哪吃饭，每个人都可以说自己喜欢的地方．全面统计的好处在于无遗漏，数据准确无偏差，但是缺点也很明显，那就是非常的繁琐、麻烦．对于大数据的处理很无力，所以我们需要有样本统计．样本统计的意义就是从一个大数据中抽取数据样本分析，通过对样本的分析来估计原数据的性质．于是首要的问题就是如何抽样．一个合理的抽样方法的基本要求是“平等”，也就是每个个体被抽取的可能性是相同的．比如我们发现，老师选出的学生代表很可能不能真正代表全体同学的意见，因为老师选取的一定是自己比较熟悉的学生，这类学生平时一定非常活跃．而对于一些比较内向，“存在感”比较低的同学来说，老师可能就不会关注，被选中的可能性就会降低．由此可以推知，人为的抽样一般是不靠谱的．再比如，现在很多的新闻都有网上的调查，有的媒体通过网上调查的数据来分析广大人民对新闻的反馈．这样的调查也是不靠谱的，因为网上调查反映出来的大多是经常上网的人的意见，而对于平时不上网的人就没有调查，所以这样的抽样也是不合理的．最常见的合理抽样方式是“抓阄”，这可以保证每个个体都能“等可能”的被选中．当然抓阄的方式有很多，比如很多时候我们不需要每个人都去抓一次，我们可以把每个人编一个号，然后由一个人来抽号就可以了．比如我们常见的彩票大致就是这个原理．不过需要注意的是彩票里面的等可能是对彩票是等可能的，对人不一样，因为一个人可以买很多彩票．6.1随机抽样知识点睛第6讲概率默统计类<教师备案>老师在讲完简单随机抽样后可以让学生做例1的【铺垫】⑴，本小题主要是让学生理解什么是总体，什么是个体，什么是样本容量，因为简单随机抽样比较简单，而且在后边要讲的系统抽样和分层抽样中都要用到，所以这里就不再详细讲解了．2．系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．⑴抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设Nkn=，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作为2(1)s k s k s n k+++-，，，个数，这样就得到容量为n的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．⑵系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取Nkn=；若Nn不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量n的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等为nN．<教师备案>随着数量的增大，抓阄的方式效率会比较低．当然，随着现在计算机的发展，数据量很大的时候也是可以通过“选号”的方式进行随机抽样．课本上提到的系统抽样其实现在已经不怎么使用了．不过作为传统意义下的抽样方法，我们还是有必要介绍一下．系统抽样的核心是“选出代表”，每个代表会直接代表一个群体的意见．系统抽样的方式分为两种，一种是横向抽样，也就是我们教科书上的抽样方式，这种例子非常多，比如军训的时候，可能我们出现过“一到三”报数，这样就把我们分成了“一”“二”“三”三个组，然后就可以随机选一个数“一”，然后所有的“一”就被选中了．同样的道理，我们对1000人，选取一个100人的样本，那么我们就需要把总数分成100组，每组10个人，然后让第一组的人抓阄（为的是随机抽样），比如“4”抓到，那么每一组的“4”就被选中了．另一种系统抽样的方式是“纵向抽样”，它出现的原理是这样的：原始的系统抽样方法会造成直观上的不公平．比如我们1000人里面选100人去叙利亚旅游，大家肯定都不愿意去，第一组的人抓阄之后，由于第一组的4号被选中，那么每一组的4号就都被选中了，其他组的4号会认为被第一组的4号连累，因为他们是“被”选中的．虽然从可能性上说，这没有道理，不过直观上确实有点“躺枪”的意思．于是人们改变了方式，也就是纵向系统抽样．比如现在我们还是1000人里面选100人去叙利亚，我们把所有人分成10组，每组100人，然后每组自行推举一个代表上台抓阄，被选中的人所在的组，整组都被选中．这样我们每个组都有人去抓阄，也就实现了直观上的公平．但是在可能性的角度，横向和纵向抽样都是“等可能”的，没有本质区别．<教师备案>老师在讲完系统抽样后就可以让学生做例1的铺垫⑵，例1⑵以及尖子班拓展⑵，这几个题都是系统抽样，老师可以选择几个让学生做做，不一定都让学生做，老师自己选择．3．分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．<教师备案>简单随机抽样（抓阄）和系统抽样都是绝对意义上的公平，但是分层抽样就是相对意义上的公平，因为我们人为的干扰了抽样的过程．不过现实意义之下我们统计数据必须进行分层，否则统计数据会闹出笑话．常见的一个就是我家房子10平米，后来搬过来一个邻居，房子面积是100平米，那么我家的生活状况有没有改变．实际上没有，但是统计数字可能告诉你，你们的平均面积增加了．现实生活中，很多的统计需要分层，比如统计收入水平的时候需要分不同的城市，统计生育问题的时候要分城市和农村，统计化妆品消费水平的时候要分性别等等．所以分层抽样就是为了保证每个层面上的公平性，我们按照每个层次占到总体的多少来分配选取的比例．这里老师可以开发更多的统计实例，一定要讲出现实意义来．<教师备案>老师在讲完分层抽样后可以让学生做例1的铺垫⑶，例1⑶以及目标班专用⑷，让学生熟练掌握分层抽样，因为在以后考试和北京高考中，三个抽样重点考察分层抽样．老师在讲完三个抽样后一定要让学生明白什么情况下用什么抽样，这个时候就可以让学生做例1⑴，尖子班拓展⑴．【铺垫】⑴为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有（）个①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的概率相等A．1B．2C．3D．4⑵从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．510152025，，，，B．313233343，，，，C．12345，，，，D．2461632，，，，⑶某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7【解析】⑴ B；④⑤正确，①②③错误⑵ B；⑶ C；20(1020)640103020+⨯=+++．【例1】三种抽样⑴现有以下两项调查：①某装订厂装订图书36000册，要求检验员从中抽取500册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1:5:9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法⑵用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，…，153~160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是．⑶某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235∶∶．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=．⑷（目标班专用）某校有500名学生，A型血的有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱有没有关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为人．【解析】⑴ D；①是系统抽样；②明显是分层抽样；⑵6；不妨设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是815126x⨯+=，∴6x=．⑶80；A种型号的产品占总体的比例是210，则样本容量1016802n=⨯=．⑷该学校O型血的人数为50012512550200---=，按照分层抽样的抽样比相等得：500:20200:x=，解得8x=，即O型血应抽取的人数为8人．经典精讲<教师备案>学习了抽样后，需要对收集的这些有代表性的样本数据进行研究，找出有用的信息，然后用这些样本来估计总体．这种估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．用来估计的图表和方法有很多种，本版块在初中的基础上来学习频率分布直方图、茎叶图和方差．考点2：频率分布直方图1．列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：取组距，用极差组距决定组数；③决定分点：决定起点，进行分组；④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．2．频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．3．总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x =来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．<教师备案>这里主要介绍的就是样本分析方法，直方图就是很重要的一种．其实直方图的形成过程就是把数据按大小排序，然后分段截取数据．实际生活中最常见的方法就是“画正字”，比如我们收到了一组数据是学生的跳绳次数，我们就可以把次数分成若干组，然后一个一个数据看落在了哪个组里，利用“画正字”的方式看出每组里有几个数，最后画出直方图．直方图的主要作用是看出数据的分布变化趋势，很容易表示大量数据，缺点是原始数据不能在图上表示出来．通过例2的学习，让学生可以由给出的频率分布直方图算出各组数据的频率和频数，理解横纵坐标代表的意义．频率分布折线图和总体密度曲线不需要深究，在频率分布直方图的基础上，简单介绍即可．【例2】频率分布直方图⑴某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]540，中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，长度在[)3035，内的频率为______，有______根棉花纤维的长度小于20mm ．经典精讲知识点睛6.2用样本估计总体y 510152025303540长度(mm)0.010.020.030.040.050.06频率组距⑵（目标班专用）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（）秒频率/组距1918171615141300.360.340.180.060.040.02A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45【解析】 ⑴ 0.1，30；由频率分布直方图可得，长度在[)3035，内的频率为0.0250.1⨯=．棉花纤维长度小于20mm 的频率为()0.010.010.0450.3++⨯=，则棉花纤维长度小于20mm 的频数为1000.330⨯=根．⑵ （目标班专用）A ．考点3：茎叶图<教师备案>当样本数据较少时，可以用样本分析的另一个常用图表方法――茎叶图，这个图主要作用是两组数据的对比．一左一右很容易估计出两组数据的对比状况，而且茎叶图是把所有的数据都列出来，精确性上比直方图要好一点，但是对于数据特征的分析不如直方图直观．可以结合铺垫讲解知识点，并简单复习一下初中学过的中位数、平均数的概念．1．制作茎叶图的步骤：①将数据分为“茎”、“叶”两部分；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出．<教师备案>“按一定次序”一般是按大小顺序，也可以按统计数据的顺序．2．平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的数据值就称为中位数．当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位数则为处于中间位置的两个数据值的平均数．知识点睛8964553819261846172852乙甲54535251【铺垫】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538 乙：515558521543532559536548527531①用茎叶图表示两学生的成绩；②分别求两学生成绩的中位数和平均分．【解析】 ①两学生成绩的茎叶图如图所示 ②将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512522528534536538541549554556，乙：515521527531532536543548558559．从以上排列可知甲学生成绩的中位数为5365385372+=，乙学生成绩的中位数为5325365342+=．甲学生成绩的平均数为1222283436384149545650053710++++++++++=，乙学生成绩的平均数为1521273132364348585950053710++++++++++=．【例3】茎叶图随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（） A ．甲班同学身高在175以上的人数较多 B ．甲班同学身高的中位数较大C ．甲班同学身高的平均值较小D ．甲、乙班同学身高的平均值一样大【解析】 C ；甲班同学身高175以上的有3人，乙班有4人，故而A 错误．甲班同学身高的中位数为169，乙班同学身高的中位数为171.5．故而B 错误．容易计算得知，=170x 甲，=171.1x 乙，故C 对．考点4：统计数据的数字特征<教师备案>分析样本数据时，我们已经学过了众数、中位数和平均数这些概念，它们都可以用来表示统计数据的特征信息，各有利弊．平均数是统计数据一个非常好的特征，它可以利用所有的样本数据，而且比较好算．也正因为平均数利用了所有的数据，所以它容易受到一些极端数据的影响．比如歌唱比赛时，去掉一个最高分和一个最低分，然后再平均，就是为了避免出现个别评委的极端喜恶，尽量体现评分的准确和公正性．再比如公布一个地区的家庭平均收入时，平均数也掩盖了一些极端情况的存在，而这些是不容忽视的．怎么样能反映这些极端情况呢，也就是数据的离散程度呢，从运算方便等各方面考虑，引入了方差或标准差来进行衡量．统计数据的数字特征1．用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差：经典精讲知识点睛乙班甲班98822388900191716159865311822．数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述：⑴极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；⑵样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根．一般地，设样本的元素为12n x x x ，，，，样本的平均数为x ，定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，样本标准差22212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，简化公式：22222121()n s x x x nx n ⎡⎤=+++-⎣⎦．<教师备案>这部分其实没有真正的考察，现在最多也就是通过样本的特征直接套用在整体数据上．寒假班对方差只需要初步理解它存在的意义即可，对方差的直观理解放在春季同步班讲解．【例4】方差甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表1s ，2s ，3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数5555频数6446频数4664A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>【解析】 B ；根据题中数据计算()()12117585951058.57684941068.52020x x =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=，，()317486961048.520x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴123x x x ==；()()()()22221178.5588.5598.55108.55 1.2520s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，同理得231.45 1.05s s ==， ∴213s s s >>．<教师备案>概率的定义是一个漫长的过程，最开始就是根据经验，对统计事实的认识．历史上对概率的理解可以分为三个阶段：第一阶段：大量统计中发生的几率有多大．比如很多数学家都玩过“扔硬币”这个游戏，而且还统计了结果，如图．大家发现，扔了很多很多次之后，结果都差不多是正反面各占一半，所以大家认为硬币出正面的概率是50%．可能有人觉得这个做法很无聊，但是这只是概率的现象，是一个经典精讲6.3随机事件概率结果层面的东西，并不是概率的本质．不过现在计算机在估计概率的时候也是用这样的方法进行多次的实验，最终估计出一个结果．第二阶段：人们开始想一些复杂的问题．这里面著名的问题有两个，一个是赌徒分金问题（注：两个赌徒玩掷硬币，规定正面则甲加一分，反面则乙加一分，谁先得到16分谁就可以赢得一袋金币，现在进行到甲:乙=15:12，警察来了，说不让赌了，那么这些金币该怎么分．（【解析】按照15:1的比例分；假设警察没有来，则乙赢的概率为：11111222216⨯⨯⨯=，甲赢的概率为：111111111115222222222216+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴应该按照15:1的比例分金币），另一个问题是掷两个骰子，至少有一个6的概率（【解析】：1136）．这些问题基本上是很难通过实验来得出结论，毕竟情景比较复杂，这就促使人们要从概率的理论角度入手解决．费马在概率的定义方面做出了杰出的贡献，因为他引入了“等可能”这个概念．就是我们需要先认同一些基本的“等可能”的条件，然后再由此出发考虑复杂情况．第三阶段：古典概型有弊端，因为古典概型的必然要求是要把一个事件分解成若干等可能的基本事件，不过有些问题中这件事是做不到的．比如打靶问题．所以才有了几何概型这个概念．之后随着函数论的发展，我们用函数基础定义概率的时候我们就有了新的概率理论．后续的离散型随机变量说的就是这个阶段的问题．建议老师在一开始教学的时候强化概率的直观解释．比如：掷硬币模型，再比如：猜黑白（俗称手心手背）．其实这就是利用了概率均等的原理进行的．我们可以想一想，手心手背其实是很有效的一个等概率选取方式．另外，猜拳也是一个非常有效的等概率选取方式．这些概率其实挺难算的，不过我们可以让学生直观的理解概率的意义．同样的问题还有：【趣题】1．甲乙两个人去公园，公园有10个景点，在这10个景点中两个人各自独立的选取5个，假定甲和乙同时出发，游览每一个景点的时间都是相同的，那么他们在最后一个景点相遇的概率是多少？【解析】下面有三种方法，老师在给学生讲本讲的时候可以讲法一，法二和法三供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，考虑甲最后在的一个景点，乙最后在任何一个景点的可能性相同，恰好在甲所在的景点的概率为110．法二：甲最后一个景点为i 号景点的概率都为110，乙最后一个景点为i 号景点的概率也为110()12310i =，，，，故他们最后一个景点为同一个景点的概率为11110101010⨯⨯=．法三：他们参观景点的所有顺序有551010A A 种，每种参观景点的顺序出现的可能性相同，故在最后一个景点相遇的情况有1441099C A A ，故所求概率为1441099551010C A A 1A A 10=． 2．华约的自招考题：4个人传球，每个人都等概率的传给其他人，由甲开始第一次传球，设n 为传球次数，n 次传球后球在甲手里的概率记为n p ，问当n 趋向于无穷的时候，n p 趋向于多少？【解析】下面有两种方法，老师在给学生讲本题的时候可以讲法一，法二供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，因为每个人都等可能的传给其他人，所以球在甲手里的概率为14，传n 次球后球在甲手里的概率依然为14．法二：记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，12n =⋅⋅⋅，，则有()10P A =，()()()111n n n n n P A P A A P A A +++=+()()1113n n n P A A p +==-．所以1n p +与n p 的关系式为()1113n n p p +=-，12n =⋅⋅⋅，，① 设11()3n n p p λλ++=-+，对比得14λ=-．于是①式可以变形为1111434n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，从而14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13-的等比数列，其首项为11144p -=-．故有1111443n n p -⎛⎫⎛⎫-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111143n n p -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12n =⋅⋅⋅，， ② 由②可得1111lim lim 1434n n n n p -→∞→∞⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．另外还可以介绍一些概率不能直观解释的例子：比如生日悖论：世界上任取50个人，他们至少有两个人生日在同一天的概率是多少？请见下图（转自维基百科）由此可见，当取到23个人的时候，概率已经超过了50%，选取50人的时候，概率应该在95%左右．还有一个例子：乒乓球体育比赛中规定：如果双方得分是10:10，那么一方至少要得12分才能获胜，也就是至少比对方多两分．那么这种“延球”制相对于没有延球制度，到底是对强者更有利，还是帮助弱者有更大的机会翻身呢？（【解析】延球制度对强者更有利；假设强者很强，则再比赛一局有可能强者胜也有可能弱者胜，但是再比赛两局或者比赛无穷多局，肯定是强者赢的概率更大），这些其实都是通过直观解释概率比较复杂的问题．接下来我们可以定义事件：考点5：随机事件的概率一．事件1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．例子：判断以下现象是否为随机现象知识点睛。