三角形最值问题典型题
三角形中的最值问题
三角形中的最值问题三角形中的最值问题一、利用三角函数有界性求最值 例1.1．在△ABC 中，2222a c b ac +=(1)求B 的大小； (2)2cos A ＋cos C 的最大值． 二、利用均值不等式求最值 例2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 例3.3．已知ABC 中，30C =︒，2AB =，则ABC 面积的最大值为__________． 三、利用有限与无限思想求最值 例4.4．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．例5.5．已知ABC 中，302C AB AC =︒==，，点P 满足34PA PB ⋅=−,则PC 的最小值为_______．例6.6．已知ABC ∆中，3AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________． 四、利用解析法求最值 例7.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______． 五、利用向量法求最值 例8.8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果． 六、与其它知识点交汇的最值问题研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理． 例9.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量n ，m 分别满足：()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，且98m n ⋅=．（1）求tan tan A B 的值； （2）求222sin ab Ca b c +−的最大值．综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论． 同步练习10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A 5B 25C 35D 511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos b C c B =，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为__________．12．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−，则ABC 面积的最大值为____________.13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB −=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________14．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若cos 0A >，且cos23sin 10A A −+=，求()()31sin 2cos 2C A A B C −+−+的最大值． 15．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 16．在ABC ，若33A a π==，，求ABC 面积的最大值．17．已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．18．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____． 19．已知ABC 中，2AB =，3AC BC =，则ABC 面积的最大值是__________．三角形中的最值问题三角形中的最值问题一、利用三角函数有界性求最值 例1.1．在△ABC 中，222a c b +=+(1)求B 的大小； (2)＋cos C 的最大值． 二、利用均值不等式求最值 例2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 例3.3．已知ABC 中，30C =︒，2AB =，则ABC 面积的最大值为__________． 三、利用有限与无限思想求最值 例4.4．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．例5.5．已知ABC 中，302C AB AC =︒==，，点P 满足34PA PB ⋅=−,则PC 的最小值为_______．例6.6．已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________． 四、利用解析法求最值 例7.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______． 五、利用向量法求最值 例8.8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果． 六、与其它知识点交汇的最值问题研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理． 例9.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量n ，m 分别满足：()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，且98m n ⋅=．（1）求tan tan A B 的值； （2）求222sin ab Ca b c +−的最大值．综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论． 同步练习10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ） A 5B ．55C ．355D 511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos b C c B =，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为__________．12．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−，则ABC 面积的最大值为____________.13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB −=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________14．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若cos 0A >，且cos23sin 10A A −+=，求()()1sin 2cos 2C A A B C −−+的最大值． 15．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 16．在ABC ，若33A a π==，，求ABC 面积的最大值．17．已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．18．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．19．已知ABC 中，2AB =，AC =，则ABC 面积的最大值是__________．参考答案：1．（1）π4（2）1【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得222cos 222a cb B ac ac +−===⇒4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=⇒3cos cos()4A C A A π+=+−cos()4A π=−⇒当4A π∠=cos A C +取得最大值1．试题解析： （1）由余弦定理及题设得222cos 2a c b B ac +−===又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=，3cos cos()4A C A A π+=+−cos sin 22A A A =−+cos()4A A A π+=−，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=cos A C +取得最大值1．考点：1、解三角形；2、函数的最值.2．（1）见解析；（2）12．【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 试题解析：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=−=， 从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知，2a b c +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++−+−===+−≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.3．22．【分析】利用余弦定理和基本不等式求出(42ab ≤，利用ABC 面积公式即可求出ABC 面积的最大值.【详解】设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理，得2222222cos302a b ab a b ab =+−︒=+≥．所以(42ab ≤=，当且仅当a b =时等号成立．所以11sin 224ABCSab C ab ==≤所以ABC 面积的最大值为2故答案为：24．【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得AB .考点：正余弦定理；数形结合思想512##12−【分析】以BC 中点为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得2211224x y ⎛⎛⎫++−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．进而根据圆的几何性质即可求出结果.【详解】以BC 中点为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()01A ，，()B ，．设()P x y ，，则()(),1,3,PA x y PB x y =−−−−−，由34PA PB ⋅=−,得221124x y ⎛⎛⎫+−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是圆心为12M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为12的圆，MC =．由圆的几何性质可知，PC 12．12．6【详解】设||2BC a=，以BC所在直线为x轴、其中垂线OA所在直线为y轴建立直角坐标系（如图所示），则(,0),(,0),B aC a A−，设(,)P x y，由22233PB PC PA+==，得222222()()3(1x a y x a yx y⎧+++−+=⎪⎨+=⎪⎩，即2222223231x y ax y a⎧+=−⎪⎨⎪+−+−=⎩，则272211ay⎧−=⎪≤≤，则222(3)2(3)a a−−≤≤−+即22272(3)22(3)2a a a−−≤−≤−+解得a≤122ABCS a∆=⨯≤即ABC∆面积的最大值为16.7【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得1244cD a c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解.【详解】如图所示，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则点()102A c C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 因为D 为AC 边的中点，所以点124c D a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2221244c BD a c ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2214a c ac =++， 21()4a c ac ⎡⎤=+−⎣⎦， 144ac =−≥214342a c +⎛⎫−= ⎪⎝⎭． 当且仅当2a c ==时取等号，所以线段BD8【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得1244c D a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【详解】如图所示，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则点()102A c C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 因为D 为AC 边的中点，所以点124c D a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2221244c BD a c ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2214a c ac =++， 21()4a c ac ⎡⎤=+−⎣⎦， 144ac =−≥214342a c +⎛⎫−= ⎪⎝⎭． 当且仅当2a c ==时取等号，所以线段BD9．（1）19；（2）38−．【分析】（1）根据()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，利用数量积的坐标运算化简求解；（2）根据余弦定理化简得到222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+−，再结合（1）1tan tan 9A B =，利用两角和的正切公式结合基本不等式求解.【详解】（1）因为()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，由数量积的坐标运算可得：()()()255191991cos cos 1cos 1cos cos cos sin sin 82828888A B A B A B A B A B A B −⎡⎤⎡⎤⎡⎤−++=−+++−=−+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简整理得：cos cos 9sin sin A B A B =， 因为cos cos 0A B ≠， 所以1tan tan 9A B =． （2）由余弦定理得2222cos a b c ab C +−=， 所以222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+−，又因为（1）知1tan tan 9A B =， 所以A ，B 皆为锐角，即tan 0A >，tan 0B >，所以()()tan tan 993tan tan tan 1tan tan 884A B A B A B A B ++==+≥⨯=−，所以()222sin 113tan tan 228ab C C A B a b c ==−+≤−+−， 即222sin 38ab C a b c ≤−+−， 所以222sin ab Ca b c +−的最大值为38−．10．B【解析】根据a 2+b 2+2c 2＝8，得到22282a b c +=−，由余弦定理得到22cos 83ab C c =−，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =−+，而222822a b c ab +=−≥，两式结合有()()()()222222248283165S c c c c ≤−−−=−，再用基本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2＝8， 所以22282a b c +=−，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab +−−==， 即22cos 83ab C c =−① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =②由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =−+≤+=−，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫−+≤−−−=−≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤， 当且仅当22a b =且221655c c −=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．3【分析】根据cos 2cos b C c B =，利用正弦定理得sin cos 2cos sin B C B C =，再利用两角和的正弦，有sin 3cos sin =A B C ，再根据2c =，表示：2sin sin Aa C=，2sin sin B b C =，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.【详解】由cos 2cos b C c B =得sin cos 2cos sin B C B C =， 所以sin sin()sin cos cos sin 3cos sin A B C B C B C B C =+=+=， 由2c =可得2sin sin sin a bC A B==， 所以2sin sin Aa C=，2sin sin B b C =，所以2114sin sin sin sin sin 2sin 22sin sin ∆=⋅==⋅ABC A B Aab C C B C S C 6sin cos 3sin 23==B B B 当4B π=时，ABC ∆面积取得最大值3.【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +−=−中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +−=−， 所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +−=−，化简可得:222b c a bc +−=， 即2221cos 22b c a A bc +−==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +−=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.13．【解析】利用正弦定理得出,,a b c 的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得sin B ，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解.【详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B −=+，3sin sin sin cos cos sin sin sin B A A B A B A C =++=+，∴由正弦定理可得：36b a c =+=， ∴解得2b =.6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立）， 2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +−+−−−∴===，可得sin B ===11csin 22S a B ac ∴==⨯=≤=3a c ==时等号成立）.故答案为：【点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题. 14【分析】由cos23sin 10A A −+=结合二倍角余弦公式求得sin A ，进而得到角A ，然后利用将()()1sin 2cos 2C A A B C −−+，转化为关于角C 的三角函数求解. 【详解】由cos23sin 10A A −+=得212sin 3sin 10A A −−+=，即22sin 3sin 20A A +−=， 解得1sin 2A =或sin 2A =−（舍去）， 又因为0A π<<， 所以6A π=或56A π=， 由cos 0A >，则6A π=，所以56B C π+=，从而()()1sin 2cos 22C A A B C −+−+，1sin cos 632C B C ππ⎛⎫⎛⎫=−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11cos cos 2222C C C C =−++，C ，又因为506C π<<， 所以(]sin 01C ∈，，C ≤ 故当2C π=15．（1）23π；（2）3+ 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +−⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB −−=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +−∴==−⋅，()0,A π∈，23A π∴=.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+−⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +−⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+−⋅≥+−=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=−B C ，则66ππα−<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.16【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解.【详解】由余弦定理得：2222232cos3b c bc b c bc π=+−=+−∵222b c bc +≥， ∴229b c bc bc =+−≥∴9bc ≤，当且仅当b c =时等号成立∴1sin 244ABCSbc A ==≤所以ABC 17．3【分析】设AC x =，则2BC x =，根据余弦定理及面积公式可得ABC S ∆，再由二次函数的性质即可求得ABC S ∆的最大值；或利用坐标法求出点C 的轨迹方程，即求. 【详解】解法一： 设AC x =，由12CA CB =，得2BC x =． 由余弦定理，得22223(2)3cos 232x x x A x x+−−==⨯．所以sin A ==所以13333sin 22222ABCx SAC AB A =⋅===．由2323x x x x +>⎧⎨−<⎩，，得13x <<．所以当25x =时，ABC 面积的最大值为3．解法二：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,0,3,0A B ，设(),C x y ．由12CACB =12=． 即22(1)4x y ++=．所以点C 的轨迹是圆心为()1,0M −，半径为2的圆（不含与AB 共线的两点）． 所以13322ABCc c SAB y y =⋅=≤． 即ABC 面积的最大值为3． 故答案为：3 18．6【详解】设1,2AB AC x AD x ===，由题设可得222219554cos 4x x A x x +−==−，则22255sin 1()4A x=−−，故2222422115()sin [(9)]244S x A x x ∆==−−，即242242151945[(9)][81]444162S x x x x ∆=−−=−+−，则当24522098x =−=−时，2max 19451()[4002081]1443641624S ∆=−⨯+⨯−=⨯=，即max ()6S ∆=，应填答案6．点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得等腰三角形的顶角的余弦值，再运用三角函数中的平方关系求出其正弦值，然后依据三角形的面积公式，建立关于三角形的边长的函数关系，进而借助二次函数的图像和性质，分析探求出其最大值使得问题获解． 19【详解】依题意，设BC a =，则AC =，又2AB =，由余弦定理得：)2222cos a AB a AB B =+−⋅，即224cos 40a a B +−=，∴2421cos 42a aB a a −==−，∴2221cos 14a B a =+−，∴22221sin 1cos 24a B B a =−=−−，∵11sin 2sin sin 22ABC S AB BC B a B a B =⋅=⨯=，∴()24222222211sin 22143444ABCa a Sa B a a a a ⎛⎫==−−=−+−=−−+ ⎪⎝⎭，当24a =，即2a =时，∴23max S=，∴max S点睛：本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题；设BC a =，则AC =，利用余弦定理可求得2221cos 14a B a =+−，再利用三角形的面积公式可求得sin ABCSa B =，继而可求()221434ABC S a =−−+，从而可得ABC 面积的最大值.。
专题03 三角形中的最值、范围问题-
一、选择题1．在△ABC中，sin A＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. (10，＋∞)C. (0,10)D.400,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由正弦定理得sin104040sin sin0,3sin334a Cc C CA⎛⎤===∈ ⎥⎝⎦,选D.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为3a，则c bb c+的最大值是( ) A. 8B. 6C. 32D. 4【答案】D3．在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c，若32sin242Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c+=，则ABC∆周长的取值范围是( )A. (]2,3B. [)3,4C. (]4,5D. [)5,6【答案】B【解析】由0＜B ＜π得，4π ＜324B π+ 74π< ， ∵32sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴324B π+= 34π 解得B =3π，又∵a +c =2， ∴由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2-2accosB =（a +c ）2-2ac -ac =4-3ac ，∵a +c =2，a +c ≥2ac ，当且仅当a =c 时取等号，∴0＜ac ≤1，则-3≤-3ac ＜0， 则1≤b 2＜4，即1≤b ＜2．∴△ABC 周长L =a +b +c =b +2∈[3，4）． 故选B4．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A .32 B . 22 C . 12 D . 12- 【答案】C5．已知ABC ∆ 是锐角三角形，若2A B = ，则ab的取值范围是（ ） A .()2,3 B .()2,2 C . ()1,3 D . ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为2A B = ，所以 2cos a B b = ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ππ,2cos 2,364B B <<∈故选A ．6.已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A.B. C.D.【答案】D∵是锐角三角形，∴，解得，∴， ∴．即的值范围是．二、填空题7.在ABC 中， 60ACB ∠=︒， 1BC >， 12AC AB =+，当ABC 的周长最短时， BC 的长是__________． 【答案】21+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12{1 60b c a C =+>=︒，由余弦定理，得： 2222cos c a b ab C =+-，即2221122 c a c a c⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a aca-+=-，ABC的周长：122a b c a c++=++2121212a aaa-+=++-()26321a aa-=-．令1t a=-，则三角形周长为：()()2613139993222222t ttt t+-+=++≥+，当332tt=，即22t=，212a=+时ABC的周长最短．8．设,m n R∈，若直线:10l mx ny+-=与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆224x y+=相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB∆面积的最小值为_________.【答案】3整理得：2213m n+=，令直线l解析式中0y=，解得：1xm=，1Am∴（，），即1OAm=，令0x=，解得11y Bn n=∴：，（，），即1OBn=，222m n mn+≥，当且仅当m n=时取等号，222m nmn+∴≤，又AOB为直角三角形，22111322ABCS OA OBmn m n∴=⋅=≥=+，当且仅当2216m n==时取等号，则AOB 面积的最小值为3．9．已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,a b c 其中2c = ， 3cos cos 2sin ca Bb A C+=则ABC 周长的取值范围为___________.【答案】（23+2，6].=433 (sinA +sin (23π-A ))+2=433 (sinA +32cosA +12sinA )+2 =4sin (A +6π)+2. ∵C =3π，△ABC 是锐角三角形， ∴A ，B ∈（6π， 2π），∴A +6π∈（3π， 23π），∴sin (A +6π)∈（32，1]，∴a +b +c =4sin (A +6π)+2∈（23+2，6].10．在ABC ∆中， ,2,45BC x AC B ===︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是______. 【答案】222x << 【解析】∵在△ABC 中, ,2,45BC x AC B ===︒，且三角形有两解， ∴如图： 452xsin x ︒<<， 解得222x <<， ∴x 的取值范围是(2,22， 故答案为： (2,22).11.设锐角ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为____． 【答案】()2,312.在钝角中，内角的对边分别为，若，，则的取值范围是__________.【答案】【解析】三条边能组成三角形 ，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得：1<c<7，①若∠C 为钝角，则：，解得：c>5，②若∠A 为钝角，则：，解得：，③结合①②③可得c 的取值范围是.13.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2C B =，则cb的取值范围是________． 【答案】(2,3【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos 2cos ,2cos cC B B B c b B B b==∴== 因为锐角ABC ∆，所以0,02,03,222B C B A C B B πππππ<<<=<<=--=-<()23cos ,,2,3642cB B b ππ⎛⎫∴<<∴∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭14.若的面积为,且∠C 为钝角，则∠B =_________；的取值范围是_________.【答案】15.在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，，则面积的取值范围是__________． 【答案】【解析】 ∵中、、成等差数列， ∴．由正弦定理得，∴，∴，∵为锐角三角形，∴，解得．∴， ∴，∴， 故面积的取值范围是．三、解答题16.已知函数()233sin sin cos 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()32f A =， 4b c +=，求a 的取值范围.【答案】(1) ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[)2,4a ∈【解析】（1）函数变形()1cos2133sin2sin 2223x f x x x π-⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()3sin 23f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 0,2A π<< 22333A πππ-<-<所以233A ππ-= 解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中， ()()22222344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈。
与三角形有关的范围最值问题（解析版）
与三角形有关的范围最值问题模型1 已知三角形的一角及其对边如图，已知ABC ∆的三个内角为A ，B ，C ，及其对应边分别为,,a b c ，且60,2A a ==（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ①23B C A ππ+=-=②正弦定理：2432sinB sinC sin sin 603b c a R A ︒=====（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）（实现了边角的相互转化）③余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-（可看作,b c 的方程） 变形：24()3b c bc =+-以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法．例如，在上述条件下可求： （1）B C +；（2）ABC ∆外接圆的半径；（3）sin sin B C +的取值范围（拓展到求1212sin sin (0)t B t C t t +≠的最值）； 类似还有：sin sin ,cos cos ,cos cos B C B C B C +（4）b c +的取值范围（拓展到求(0)b c λμλμ+≠的最值）； （5）bc 的取值范围（6）ABC ∆周长的最大值（即求a b c ++的最大值）； （7）ABC ∆面积的最大值 （8）22b c +已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 （口诀：正弦定理化角，三角函数求最值） 基本步骤：（1）利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 （2）将所求式子化简为)sin(ϕω+=x A y 的形式或二次函数型（3）确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果ABC ∆是锐角三角形，则需要满足 20π<<A ，20π<<B ，20π<<C（4）根据角的范围求最值（范围）②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。
完整版)解三角形中的最值问题
完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。
解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。
解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。
设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。
（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。
解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。
由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。
三角形中的最值或范围问题
三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =， 由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=， 由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-， 所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===， 所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<， 所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤， 故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值． 即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α）， 另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-， 即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>． 由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到． （2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（ ）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增， 则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。
专题03 解三角形之最值、范围问题(解析版)
解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（ ） A ．(123，） B ．(112，）C ．[45D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BCD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）4.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B C b a B +=； 并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值； （2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1（2.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =b =（214．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2。
解三角形(周长(边长)问题(含定值,最值,范围问题))(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题））(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 利用基本不等式2a bab +≤，在结合余弦定理求周长取值范围； 核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.二、典型例题例题1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222ab a b c =+-． (1)求角C ； (2)若ABC ∆的面积534S =，且21c =，求ABC ∆的周长．【答案】(1)π3(2)621+第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求周长，只需求出，再由的面积且，联立求出解答过程：由（1）知且，的面积将代入，联立则周长=将代入已知条件(1)因为222ab a b c =+-，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，所以π3C =； (2)因为△ABC 的面积534S =，且21c =，π3C =所以有221353sin 21244S ab C ab ab a b ====+-，， 联立22526ab a b =⎧⎨+=⎩，则()22226a b a b a b ab +=+=++=，所以△ABC 的周长为621a b c ++=+例题2．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin b B a A b c C -=-． (1)求角A 的大小； (2)若ABC 的面积2534ABCS =，且5a =，求b c +的值．【答案】(1)3π(2)10 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求，可利用面积公式求出，再由余弦定理求出，联立，可求出解答过程：由（1）知且将代入，联立则将代入已知条件(1)解：因为sin sin ()sin b B a A b c C -=-，由正弦定理可得22()b a b c c -=-，即222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为()0,A π∈，所以3A π=．(2)解：因为n 2534113si 222ABCbc SA b c ==⨯=⨯⨯，所以25bc =， 再由222a b c bc =+-，即2225=+-b c bc ，所以2250b c +=， 所以()222210b c b c b c bc +=+=++=.例题3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,3a A π==．(1)若5sin 13B =，求sinC ； (2)求b c +的最大值．【答案】(1)123526+(2)23 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的最大值，可优先考虑余弦定理+基本不等式解答过程：由（1）知且，由余弦定理对使用基本不等式两边同时加上2()b c +2223()3()()4b c bc b c b c +-≥+-+⇒213()4b c ≥+23b c +≤，当且仅当3b c ==时，等号成立(1)∵3sin 2A =∵5sin sin 13B A =<，∴2B A π<<，∴3os 1c 12B =所以312151235sin sin()21321326C A B +=+=⨯+⨯=． (2)在ABC 中由余弦定理可知2222232cos a b c bc A b c bc ==+-=+-∴223()()333234b c b c bc b c ++=+≤+⇒+≤当且仅当3b c ==时，b c +的最大值为23．例题4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.【答案】(1)3π(2)()8,4- (1)解：因为22cos cos 2cos b a A C c A =+，第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的取值范围，注意到连接符号是“”，并且，前系数不一致，基本不等式不能直接解决问题，考虑利用正弦定理化角.解答过程：由（1）知且，由正弦定理.，化角，求范围先拆，后合（辅助角公式）因为，所以由正弦定理得2sin 2sin cos cos 2sin cos B A A C C A =+， 即()sin 2cos sin cos sin cos B A A C C A =+， 即()sin 2cos sin B A A C =+，因为πA B C ++=，所以πA C B +=-， 所以sin 2cos sin B A B =.因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以3A π=.(2)解：由正弦定理得sin a A =所以)2sin 2sin sin 2s ππin 3c b C B B B ⎤⎛⎫--=--- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦3ππsin 8cos cos cos sin 233B B B B ⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π28cos 3c b B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,ππ33πB ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 1,32πB ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()28,4c b -∈-.例题5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin 2B Cb a B +=. (1)求A 角的值；(2)若ABC 为锐角三角形，利用（1）所求的A 角值求a cb-的取值范围.【答案】(1)3A π=(2)3132,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(1)因为sinsin 2B C b a B +=，所以sin cos sin sin 2AB A B =， 第（2）问思路点拨：由（1）知，且为锐角三角形，要求的取值范围，不适合直接利用基本不等式解决问题，当涉及到有约束条件的三角形（锐角三角形）优先考虑利用正弦定理化角.解答过程：直接化角由（1）知，（注意到，统一化成一个角）（注意到此时分子分母都含有角，不容易直接求范围）先拆，后合（辅助角公式），化简化半角，继续化简，直到角，函数名统一，即，∴∴的取值范围是.（角，函数名统一，问题转化为求的取值范围）求取值范围 求取值范围因为()0,B π∈，∵sin 0B ≠， ∴cos2sin cos 222A A A =，∵(0,)A π∈，∴cos 02A ≠，∴1sin 22A =，因为022A π<<，∴26A π=，∴3A π=. (2)由正弦定理，2sinsin sin sin 33sin sin B a c A Cb BBππ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==331cos sin 31cos 1222sin s2in 2B BB B B ---==⋅- 2112sin 31312tan 222222sin cos 22B B B B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⋅-=-，∵ABC 为锐角三角形，∴62B ππ<<，即1224B ππ<<，23tan 12B-<<， ∴313132tan 2222B --<-<} ∴a cb -的取值范围是3132,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.例题6．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，()()()sin sin sin a b A B a c C +-=-． (1)求角B ；(2)若ABC ∆外接圆的周长为23π，求ABC ∆周长的最大值．第（2）问思路点拨：由（1）知，且外接圆的周长为，可求出外接圆直径要求周长的最大值，由于三角形不受约束，可优先考虑基本不等式.【答案】(1)3B π=(2)9(1)由正弦定理可得()()()a b a b a c c +-=-，即222ac a c b =+-．由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==． 又()0,B π∈，所以3B π=．(2)因为△ABC 外接圆的周长为，所以△ABC 外接圆的直径为由正弦定理得sin b B =3b ==．由余弦定理得2292cos a c ac B =+-． 因为()()223934a c ac a c +=+-≤⨯，所以()2194a c +≤，即6a c +≤，由三角形性质知36a c <+≤，当且仅当a c =时，等号成立．所以69a b c <++≤故△ABC 周长的最大值9． 例题7．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(cos cos )a b c B A -=-． (1)判断ABC 的形状；(2)若a b ≠，4c =，求ABC 周长的取值范围．【答案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)(8,442)+ (1)ABC 为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由()cos cos a b c B A -=-及正弦定理得，()sin sin sin cos cos A B C B A -=-， 即()()()sin sin sin cos cos B C A C C B A +-+=-，第（2）问思路点拨：由（1）知，由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，要求周长的取值范围，有约束条件下，建议优先考虑利用正弦定理化角求范围.解答过程：由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且周长可表示为：利用余弦定理化角；根据的取值范围，求出的范围因为，故，得，所以，所以周长的取值范围为．即sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos B C B C A C A C C B C A +--=-， 整理得sin cos sin cos 0B C A C -=，所以()cos sin sin 0C B A -=， 故sin sin A B =或cos 0C =，又A 、B 、C 为ABC 的内角，所以a b =或2C π=，因此ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由（1）及a b ≠知ABC 为直角三角形且不是等腰三角形， 且2A B π+=，2C π=故2A B π=-，且4B π≠，ABC周长44(cos sin )444a b c a b B B B π⎛⎫=++=++=++=++ ⎪⎝⎭，因为0,,442B πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3,,44224B πππππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得sin 4B π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()48,44B π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 所以ABC 周长的取值范围为()8,4．三、题型归类练1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=． (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围． 【答案】(1)π3B =；(2)(3+.(1)在ABC 中，由正弦定理及(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得：222a cb ac +-=，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0πB <<，解得π3B =，所以π3B =.(2)由（1）知2π3A C +=，即2π3A C =-，因ABC 为锐角三角形，即2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62C <<，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得：sin sin sin sina b c c A BC C++=++， 则22π23sin()sin ]sin )sin 3sin 2a b c C C C C C C ++=-+=+)22cos1cos2333sin2sin cos tan222CCC CC+=+=+=，当ππ62C<<时，ππ1224C<<，ππtan tan tan1224C<<，而tan tanπ34tan tan()212341tan tan34ππππππ-=-===+即2tan12C<，因此，112tan2C<<36a b c++<+，所以ABC周长的取值范围是(3+.2．请从下面的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①3cos22cos()02C A B+++=；②ABC的面积为1(sin sin sin)2c a A b B c C+-；③221cos2a c Bbc b⎛⎫-=-⎪⎝⎭. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若___________.(1)求角C；(2)若0c AB BC=⋅≥，求a b+的取值范围.【答案】(1)π3C=(2)(1)选①，3cos22cos()02C A B+++=，得232cos12cos02C C--+=得1cos2C=，而C为三角形内角，故π3C=，选②，11sin(sin sin sin)22ABCS ab C c a A b B c C==+-，由正弦定理化简得223abc ca b c c=+-，得2221cos22a b cCab+-==，而C为三角形内角，故π3C=，选③，由221cos2ac B ab c b-=-，即2222211()22a cb abc b+--=-，得2221cos22a b cCab+-==，而C为三角形内角，故π3C=，(2)由（1）知π3C=，故2sin sin sina b cA B C===，故2ππ2sin2sin2sin()2sin3sin)36a b A B B B B B B+=+=-+=+=+，而0AB BC⋅≥，故cos0B≤，π2π[,)23B ∈，π2π5π[,)636B +∈，a b +∈3．在△ABC 中，内角A B C 、、的对边分別为1cos 2a b c b C a c -=-，，， ，(1)求B ；(2)设b =△ABC 的周长的取值范围；.【答案】(1)π3B =(2)((1)由余弦定理知222cos 2a b c C ab +-=，所以222122a b c b a c ab +-⨯-=-，整理得222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =；(2)由（1）知()()()22222223324a c a c b a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当a c =时，等号成立．因为b =()212a c +≤，即a c +≤又因为a c b +>=a c <+≤所以a b c <++≤所以ABC 的周长的取值范围是(；综上，π3B =，ABC 的周长的取值范围是(.4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()cos cos cos A A B A B =+. (1)求角B 的大小；(2)若1a c +=，求b 的取值范围. 【答案】(1)3π(2)1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1)∵()()cos cos cos A A B A B =+， ∴cos cos cos cos()A B A B A B -=+，即cos cos cos cos cos sin sin A B A B A B A B =-， ∵sin 0A ≠， ∴tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=.(2)由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a c ==时取等号，∴12b ≥，又1b ac <+=， ∴b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.5．记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2πcos3cos 4cos 1,3a Bb A B B =-<． (1)求AB的值； (2)求ab的取值范围．【答案】(1)3AB=(2)()1 (1)由题意得2sin cos3sin cos (cos 22cos )A B B A B B =+cos (sin cos 2cos sin 2)cos sin3A B B B B A B =+=，得sin cos3cos sin3sin(3)0A B A B A B -=-=， 因为A ，B 都是三角形内角，3B π<，所以3A B =，即3AB=； (2)由（1）得24cos 1aB b=-， 因为△ABC 为锐角三角形，所以03203042A B B C B ππππ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得86B ππ<<， 因为2cos2cos 148ππ=-，所以24cos 2cos2284ππ=+=所以2224cos124cos 14cos 1168B ππ-=-<=<-，故ab的取值范围为()1； 综上，3,A B = ab的取值范围为()1. 6．设ABC 是锐角三角形，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且π,3A a ==(1)求证：bc 的最大值是3； (2)求b c +的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)(3,. (1)由余弦定理知：22221322b c bc b c bc =+-⋅=+-， 所以223b c bc =+-2bc bc bc ≥-=即3bc ≤，当且仅当b c ==且此时ABC 是锐角三角形，所以bc 的最大值是3； (2)由正弦定理得2sin b B =，2π12sin 2sin()sin )32c C B B B ==-=+31π2(sin )cos )sin()226b c B B B B B +=+=+=+ABC 是锐角三角形π0ππ22ππ62032B B C B ⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪<=-<⎪⎩ππ2πππsin()13)36366B B B ⇔<+<⇒<+≤⇔<+≤， 所以b c +的取值范围是(3,.7．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()1,m a =，()3sin ,cos n C b a C =-，//m n .(1)求角A ； (2)求bc 的取值范围.【答案】(1)6A π=(2)b c ∈⎝⎭(1)由//m n 得到cos sin ba C C -， ∴sin sin cos sinB AC A C -=， ∴sin()sin cos sin A CA C A C +-=，即sin cos cos sin sin cos sin A C A CA C A C +-=， ∴cos sin sin A C A C ，又C 为三角形内角，故sin 0C ≠，∴cos A A =，故tan A =，∴6A π=.(2)sin sin b Bc C=，∵6A π=，∴51sin cos sin 1622sin sin sin 2tan C C Cb Bc C C C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭====， 又∵ABC 是锐角三角形，∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即5062C ππ<-<且02C <<π，∴32C ππ<<，∴tan C >∴12tan C <<b c ∈⎝⎭. 8．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，()(),,1,cos m a b c n C C =+=，且m n ∥， (1)求A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2)(]4,8(1)由题意得：cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=， 因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以ππ66A -=，π3A =(2)因为4a =，所以由正弦定理得：4πsin sin sin sin3b c a B C A ====，)πsin sin sin sin 3b c B C C C ⎤⎛⎫+=+=++ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦1πsin sin 8sin 26C C C C ⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(]π8sin 4,86C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，b c +的取值范围是(]4,89．ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、ccos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c =22a b +的取值范围． 【答案】(1)3C π=(2)(5,6](1)cos sin B b C +及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B C +==+cos sin B C B C =，所以sin sin cos B C B C =，因为B 、(0,)C π∈，则sin 0B >sin 0C C =>，则tan C =3C π=．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c =2sin sin sin a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin 2sin()2sin 3b B A C A π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A π⎛⎫-+ ⎪π-⎛⎫⎝⎭+=++=⨯+⨯⎪⎝⎭142cos 2222cos 222c 2cos 222os 23A A A A A ⎛⎫=---π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭2c 42co os 242sin 246s 2cos 22A A A A A A π⎛⎫=-+=-=- ⎝+⎪⎭+，由于23A B π+=，所以022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以23A ππ<<，52666A πππ<-<，所以1sin 2,162A π， 所以2sin 2(1,2]6A π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以2sin 24(5,6]6A π⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．所以22a b +的取值范围是(5,6]．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 222cos a b C A bc--=(1)求角B 的大小；(2)若B为钝角，ABC 为等腰三角形，且BC ABC 的周长.【答案】(1)3B π=或23π(2)4+(1)2222222b c a a b C bc bc +---⨯=cC b=，sin sin CC B=，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以sin B =，0B π<<，即3B π=或23π(2)设等腰三角形腰长为x ， 即==AB BC x ，12CM x =，且由于6A C π==，23B π=，在ABC 中，222cos 2x x AC B x x+-=⨯⨯，解得AC =，在ACM △中，由余弦定理得：2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅，即)22213742x x =+-，解得：2x =，所以2AB BC ==，AC =则ABC 的周长：4+11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，cos 2cos()B A C =+. (1)求B ；(2)求ABC 周长的取值范围. 【答案】(1)π3；(2)(6,9].(1)在ABC 中，22cos 1cos(π)B B -=-，即22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =，而0πB <<， 所以π3B =.(2)在ABC 中，由余弦定理得：2222222192cos ()3()3()()24a cb ac ac B a c ac a c a c +==+-=+-≥+-=+， 当且仅当a c =时取“=”，即有06a c <+≤，因此，当3a c ==时，max ()6a c +=，而3a c b +>=，即36a c <+≤，69a b c <++≤， 所以ABC 周长的取值范围是(6,9].12．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin b B a A b A c C +=+. (1)求角C ；(2)若c =，求a b +的取值范围.【答案】(1)3C π=(2)((1)解：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及sin sin sin sin b B a A b A c C +=+，所以222b a ab c +=+.所以由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=.(2)解：因为c =，3C π=，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，可得()2212a b ab ab +--=，所以()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，()2124a b +≤，可得a b +≤a b =时取等号，又由三角形三边关系得a b c +>=所以a b +的取值范围是(.13．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12.(1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B ，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)663(1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABCSab C a ===，解得a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos a B A =． (1)求角A ；(2)若a =1b =，求ABC 的周长．【答案】(1)3A π=(2)3(1)由正弦定理得：sin sin cos A B B A =，()0,B π∈，sin 0B ∴≠，sin A A ∴=，则tan A = 又()0,A π∈，3A π∴=. (2)由余弦定理得：22222cos 12cos33a b c bc A c c π=+-=+-=，即220c c --=，解得：1c =-（舍）或2c =，ABC ∴的周长为3a b c ++=16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．在①2cos cos c b aB A-=；②cos 2cos cos c A b A a C =-；③cos cos 2cos cos b C c B a A A -=cos cos 2cos cos b C c Ba A A-=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答． (1)若 ，求A ；(2)在第（1）问的前提下，若1a =，求△ABC 的周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，3A π=(2)(]2,3(1)选①． 由2cos cos c b a B A -=及正弦定理得2sin sin sin cos cos C B A B A-=， ∴()2sin sin cos sin cos C B A A B -⋅=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B C =+=+=， 由于△ABC 中，sin 0C ≠，()0,A π∈，∴2cos 1A =，即1cos 2A =， ∴3A π=．选②．由cos 2cos cos c A b A a C =-及正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos C A B A A C =-， ∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C A A C A C B =+=+=， 由于△ABC 中，sin 0B ≠，()0,A π∈， ∴2cos 1A =，即1cos 2A =， ∴3A π=．选③． 由cos cos 2cos cos b C c Ba A A -=及正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos cos B C C B A A A-=， ∴2sin cos sin cos sin cos A A B C C B -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A C B B C B C A =+=+=， 由于△ABC 中，()0,A π∈，sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，即1cos 2A =， ∴3A π=．(2)由将3A π=，1a =代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得221b c bc =+-，∴()213b c bc +=+，即2()13b c bc +-=，由于2b c +()24b c bc +≤， ∴()()22134b c b c +-+≤，解得2b c +≤，（当且仅当1b c ==时取等）又1b c a +>=，∴12b c <+≤，即23a b c <++≤， ∴求△ABC 的周长的取值范围是(]2,3．17．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =-- (1)求sin A ，cos A 的值(2)求2b c的取值范围 【答案】(1)4sin 5A =；3cos 5A =；(2)35,106⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)∵()222S a b c =--，1sin 2S bc A = ∴()22sin bc A a b c =--， ∴2222sin 2cos b c a A A bc+-=-=， ∴1cos 1sin 2A A =-， 又∵22sin cos 1A A +=， ∴221sin 1sin 12A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ∴5sin sin 104A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴sin 0A =（舍），4sin 5A =， 又∵ABC 为锐角三角形，∴3cos 5A =． (2)∵πA B C ++=，∴()sin sin B A C =+， ∴sin sin cos cos sin 22sin 2sin b B A C A C c C C+== 432cos sin 35552sin tan 10C C C C +==+ ∵ABC 为锐角三角形，∴90C <︒，90A C +>︒，∴90C A >︒-，()cos 3tan tan 90sin 4A C A A >︒-==， ∴140tan 3C <<，2850tan 15C <<， ∴35,2106b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对边，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．(1)求cos C 的值；(2)若sin A =，求b c 的值．【答案】(1)12(2)21 (1)由sin sin tan cos cos A B C A B+=+，可得sin sin sin cos cos cos C A B C A B +=+ 则()()sin cos cos cos sin sin C A B C A B +=+， 由正弦定理得()()cos cos cos c A B a b C +=+ 由余弦定理得()222222222222b c a a c b a b c c a b bc ac ab ⎛⎫+-+-+-+=+ ⎪⎝⎭整理得()()2220a b a b c ab ++--=，又0a b +>，则2220a b c ab +--= 则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， (2)由（1）可知1cos 2C =，又0πC <<，则π3C =，由sin 1A =≠，可知角A 为钝角或锐角若A 为钝角，则2π2πsin sin ,π33A A A C =<=⇒>∴+> 这与ABC 内角和为π矛盾，即A 不能为钝角，A ∴为锐角，由sin A =，可得cos A =()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C ∴=+=+==sinsin b B c C ∴==。
(完整版)解三角形中的最值问题
5、在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （1）求A的大小；（2）求sinsinBC的最大值. 解： 6、在ABC中，角ABC、、的对边分别为,,abc，且满足(2)acBABCcCBCAuuuruuuruuuruuur。（1）求角B的大小；（2）若||6BABCuuuruuur，求ABC面积的最大值。 答案：（1）(2)coscosacBbC，由正弦定理得(2sinsin)cossincos,ACBBC
解三角形之最值型【题集】-讲义(教师版)
解三角形之最值型【题集】转化为正弦型（1）（2）1.在中，，，分别为角，，的对边，且．求．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2） ，则，则，可得，因为，所以．由，得，其中，．由得，所以得最大值为，所以得最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦；正弦定理；正余弦定理综合求解边角2.在平面四边形中，已知，，，．（1）（2）求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由条件即求的长，在中，设，，则，∵，∴，∴，整理得：，解得或，当时，可得，与矛盾，故舍去，∴．在中，设，则，∴，，∴，∴周长最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．若，求．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得：．因为的内角和，，所以，因为，所以，因为，所以，当即时，面积取得最大值．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）4.的内角，，的对边分别为，，，已知，且满足．求角的大小．求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，由正弦定理可得，，又由余弦定理，∴，即，又，则．由正弦定理可得，∴，又，即，，，∴原式，其中，由，，∴一定存在使得，此时，此时最大为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求边长相关最值或范围问题均值不等式（1）（2）5.的内角，，的对边分别为，，，若，且外接圆的半径为．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理，有，∴，，，代入，得，则，即，由余弦定理得，∵，∴．由正弦定理得，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角；正弦定理（1）（2）6.在中，内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，∵，∴，由正弦定理，得，整理，得，∴，∴，又，∴．∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）7.如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为，．求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及，得，由，得，∴，∵，∴，∴．∵，∴．又外接圆的半径，∴，∴．∵，∴，由，得，∴，当且仅当时，等号成立．又∵，∴周长的最大值为．【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角（1）（2）8.在平面四边形中，，，．求的面积．设为的中点，且，求四边形周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）连接，在中，由余弦定理得，设，则，即，解得或（舍去），所以，因此的面积．由为的中点，得为的边的中线，又，得，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，即四边形的周长的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题9.如图，在平面四边形中，，，．（1）（2）求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，均为锐角，∴，，∴，为直角三角形，∴，∴．由（）知，，在中，由余弦定理得，∴，，，∴四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）10.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得，所以，所以．，因为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理11.在中，内角，，所对的边分别为，，，是边的中点，若，且，求面积的最大值．【答案】．【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，又，，又因为是的中点，所以，故，则，则，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值是．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）12.在中，内角、、所对的边长分别为，，，．求角．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．面积的最大值为．【解析】（1）（2）由，可得：，，因为，所以，．由，得，，，所以，当时，面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）13.的内角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由题意得，即，所以，因为，∴．由余弦定理得：，，故，则，当时，的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，．求的余弦值．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）由已知条件得：，由正弦定理得，则，即，由，整理得：，即，即，由，故．（2）由（）知，则，由余弦定理得：，而，则，由得，即，所以，当时取等号．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）15.设，，分别为锐角内角，，的对边，且满足，．求角的大小．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，则即，所以有，又因为锐角，则．由（Ⅰ）可知，且有，由余弦定理可得：，则，．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）16.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．求角的值．若的外接圆半径为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．当时取最大值．．【解析】（1）方法一：方法二：（2）∵，，，∵，则．由题：，，，，，，当时取最大值．由题：，∵，，则（当，取“”），．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角（1）（2）17.在中，，，分别是角，，的对边，．求角的大小；若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）因为．可得，即，，．，（2），．由余弦定理得：，．即，当且仅当时取等号．，那么：的面积．的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）18.已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，若．求角的大小．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及得由余弦定理，又，则．由（）得，又，得，又可得，∴，当时取得等号，所以的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求的值．若，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由以及正弦定理可知，，即，因为，所以，所以．∵，∴．由余弦定理，可得：，又，可得，当且仅当时等号成立，即存在的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）20.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，当角最大时，求的面积．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由知，，∴由余弦定理得，，即，且．根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．∴当角取最大值时，，．∴的面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）21.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由（I ）知，，∴由余弦定理得，，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．由，得，且，∴的面积．∵，∴．∴．∴的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；正余弦定理综合求解边角（1）22.已知的内角，，满足．求角．（2）若的外接圆半径为，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）设内角，，所对的边分别为，，．根据及正弦定理，可得，得，所以，又因为，所以．设的外接圆半径为，则．因为，所以，所以，所以（当且仅当时取等号）．故的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角（1）（2）23.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角；若点在边上，且，，求的最大值．【答案】（1）（2）．的最大值．【解析】（1）（2）∵，由正弦定理可得，，即，∵，∴，∵，∴．令，，，∵，，∴，中，由余弦定理可得，∴，整理可得，，解不等式可得，，即的最大值．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题；边角互化（利用余弦定理）；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）24.如图，在平面四边形中，，，，．若，求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，（2）所以，又，所以为等腰三角形，作于，则，在中，，所以，所以．由题意知，在中，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以．所以．故四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；多个三角形拼接的解三角形问题；三角形面积公式（1）（2）25.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角的大小．若的面积为，是钝角，求的最小值．【答案】（1）（2）或．的最小值为．【解析】方法一：（1）由已知得：，由正弦定理得：，∴，又在中，，∴，方法二：（2）∴或．∵，∴，∴，∴，∴，∴或．由，，可得：，又， ，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）26.已知，，分别是三个内角，，所对的边，且．求角的大小．已知，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，分别是三个内角，，所对的边，且，∴，即，解得（舍）或，解得．由（）知，又，根据余弦定理得，把，，代入得，∴，解得，∴面积，∴的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；SAS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）27.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角；若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理可知：，，，，由，则，∴，由，，，，则；由，则，由，∴，当且仅当时取等号，∴，故的最小值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）28.已知的内角，，的对边分别为，，，．求角；若，求的周长的最大值．【答案】（1）（2）.周长的最大值为.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而．∵，∴．（2）由()和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立)．所以，周长的最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）29.在中，角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）根据正弦定理得，即，则，即，由于，所以．根据余弦定理，，由于，即，所以面积，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求面积最值或范围问题（1）（2）30.已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．求角．若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．【答案】（1）（2）．，．【解析】（1）由己知．所以：，（2）由余弦定理得，所以，即，，，所以：，即：．由己知，当有且只有一解时，或，所以；当，．由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立．∴三角形面积为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）31.已知内角、、的对边分别为，，，若且．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，故，．由，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，“”成立，从而，故面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）32.的内角，，的对边分别为，，，且满足，．角的大小．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）依题意：，，，由正弦定理，得，，∵，∴，．依题意，，，，∴，∵，∴，，，∴，当且仅当时取等号．【标注】【知识点】余弦定理的其他应用（1）（2）33.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）已知．正弦定理化简可得：．即．∵，．∴．即．∴．∵，．余弦定理：．可得：．∴，当且仅当时取等号．解得：．那么三角形面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）34.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．若，求和．求的最小值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）因为，代入，得，所以，，得，所以，．把余弦定理代入，得，解得，，当且仅当，即时，取最小值．【标注】【知识点】三角形面积公式；AAS 类三角形（利用正弦定理）；SSS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）35.如图，在三角形中，，，，平面内的动点与点位于直线的异侧，且满足．求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．四边形面积的最大值为．【解析】（1）（2）在中，因，，，由余弦定理得：，所以，再由正弦定理得：，所以．由()知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，．方法：设，，则，于是，即，当且仅当时等号成立．故的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．方法：设，则，，所以，当时，的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）36.在中，角、、所对的边分别为、、，已知．求的值．当角取最大值时，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，∴，∴，化为，∴，∴．由于，则，，又，当且仅当，即时，取等号，可得的最大值为，可得，由正弦定理可得．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用。
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．
高中数学专题：解三角形中的最值问题
解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题有两种解题思路：1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法：（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.（2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值.2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值.一．转化为三角函数求最值问题.例1.（2016年北京卷理科15题）在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+.（1）求B 的大小；（2）求C A cos cos 2+的最大值.解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得：22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4π=B ， （2）)4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π+-=+-=+A A B A A C AA A A A A sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4sin(≤+=πA 当24ππ=+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1.例2.（2011年全国卷理科16题）在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =， 由正弦定理得：2233sin sin sin ====C c B b A a ， 则A a sin 2=，C c sin 2=，所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+AA A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=ϕA ；（其中53tan =ϕ）， 当1)sin(=+ϕA 时，BC AB 2+取最大值，为72.例3.（2018年北京卷文科14题）若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；ac 的取值范围是 .解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+， 所以B ac B ac S cos 243sin 21⨯==，则3tan =B ，所以3π=B ， 由正弦定理得：AA A A A C A A C a c tan 12321sin cos 23sin 21sin )sin(sin sin +=+=+==， 由于C 为钝角，3π=B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈33,0tan A ， ()+∞∈,3tan 1A ，所以()+∞∈,2a c . 二．转化为利用均值不等式求最值问题.例4.（2013年全国二卷理科17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.（1）求B ；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.解：（1）由C B A c b a sin :sin :sin ::=得B C C B A sin sin cos sin sin +=，则B C C B C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin )sin(+=+=+， 所以B C C B sin sin sin cos =，因为0sin ≠C ，所以B B sin cos =， 1tan =B ，所以4π=B ，（2）由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即ac ac c a )22(2422-≥-+=，所以224224+=-≤ac ， 当且仅当c a =时，等号成立， 故1242sin 21+≤==ac B ac S ， 所以ABC ∆面积的最大值为12+.例5.（2016年山东理科16题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+. （1）证明：c b a 2=+；（2）求C cos 的最小值.（1）证明：BA B A B B A A cos cos sin sin )cos sin cos sin (2+=+， B A B A B A C B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos sin 2cos cos )sin(2cos cos sin cos cos sin 2+==+=+所以B A C sin sin sin 2+=，则b a c +=2.（2）由余弦定理得：abb a b a abc b a C 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= 21221243221)(4322=-⨯≥-+=ab ab ab ab ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立，所以C cos 的最小值为21. 小结：解三角形中的最值问题或者转化为三角函数求最值，或者利用不等式求最值.。
三角形周长最值问题典型例题
解三角形专题练：周长最值与范围问题（含答案解析）求周长的最值或取值范围的问题，通常有两种途径，其一是运用余弦定理结合基本不等式求解，其二是运用正弦定理、辅助角公式结合三角函数求解.一、知识点1.基本不等式：ab b a 2≥+；2.正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==，余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等；3.和差公式：()βαβαβα±=±sin sin cos cos sin ；()βαβαβα cos cos cos cos cos =±4.二倍角公式：αααcos sin 22sin =，ααα22sin cos 2cos -=，ααα2tan 1tan 22tan -=.5.辅助角公式：),sin(cos sin )(22ϕ++=+=x b a x b x a x f （其中ab =ϕtan ）.二、典型例题【例1】:△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且满足a=2，cos (2)cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的范围．【解析】:（1）解法一：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．即sin()2sin cos A B C A +=，因为sin()sin A B C +=．所以sin 2sin cos C C A =．因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=．解法二：结合余弦定理222222(2)22a c b b c a a c b ac bc +-+-⨯=-⨯，即222b c a bc +-=．所以2221cos 22b c a A bc +-==．因为0A π<<，所以3A π=．（2）解法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+,即2()34b c bc +=+．因为22⎪⎭⎫⎝⎛+≤c b bc ,所以()()44322++≤+c b c b ．即4≤+c b （当且仅当2b c ==时等号成立）．又因为a c b >+，所以64≤++<c b a ．解法二：sin sin sin a b c A B C ==，且2a =，3A π=，所以43sin 3b B =，433c C =，所以22sin )2[sin sin()]24sin()3336a b c B C B B B ππ++=++=++-=++,因为203B π<<，所以64≤++<c b a ,【例2】:已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos sin 0a C C b c +--=.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．【解析】:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+,即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理()()()()222222414333cos249c b c b c b bc c b bc c b +=+-+≥-+=-+=π，当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,所以2()449b c +≤⨯,又因为b ＋c ＞a,所以7＜b ＋c ≤14,从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．三、巩固练习1.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．2．已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足sin (sin )A B B C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a=3，求△ABC 周长的取值范围．3．锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且(cos )0c a B B -+=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 周长的取值范围．4．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b=4，()sin ()(sin sin )a c A b c B C -=-+．（1）求角B ；（2）求△ABC 周长的最大值．5.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2,3==a A π.(1)求△ABC 的周长的取值范围；(2)求22c b +的取值范围.6．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =，7cos14CBD ∠=-．（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求△ABD 周长的最大值．7.(2020·理2)ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.8．已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，且)sin (sin sin 2sin C A A B +=，求△ABC 的周长的取值范围．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =- ，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n.（1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC ∆的周长的取值范围.10.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，请在①(2)cos cos 0a c B b A ++=；②22cos cos sin (sin sin )A B C C A -=+中选择一个作为已知条件，解答下列问题.我选择__________.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，求△ABC 周长的取值范围．11．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、,且满足A b B a cos 3sin =.（1）求角A 的大小；（2）若4=a ,求△ABC 周长的最大值.12．已知在△ABC 2)12sin2C A B +=+．（1）求角C 的大小；（2）若BAC ∠与ABC ∠的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．13.(2021•上海浦东新区三模)已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（ω＞0，20πϕ<<）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，a ＝2，求△ABC 周长的取值范围．四、答案与解析1.【解析】:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，由2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++⇒22(2)(2)a b c b c b c =+++,整理得222a b c bc =++,即bc a c b -=-+222,所以2122cos 222-=-=-+=bc bc bc a c b A ,因为1800<<A ,所以120=A ;(2)由正弦定理得334sin sin ==C c B b ，所以[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B-+=)60sin(334cos 23sin 21334 +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，因为120=A ，所以()60,0∈B ⇒()120,6060∈+B ,⇒⎥⎦⎤⎝⎛∈+1,23)60sin(B ⇒⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ，所以周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a .2.【解析】:（1）由A B C π++=，得sin sin()C A B =+，代入已知条件得：sin sin cos cos sin A B A B A B A B +=⇒sin sin sin A B A B =，因为0sin ≠B，由此得tan A =，因为π<<A 0，所以3π=A ．（2）由上可知：23B C π+=，所以B C -=32π．由正弦定理得：32sin sin 3a R A π===所以232(sin sin )sin()]sin )6sin()326b c R B C B B B B B ππ+=+=+-=+=+，因为由203B π<<得：16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ，所以63≤+<c b ，且3a =，故△ABC 周长的取值范围为(6，9]．3.【解析】:（1）因为锐角△ABC 中(cos )0c a B B -+=，所以由正弦定理可得sin sin (cos )0C A B B -+=，所以sin sin cos sin C A B A B ∴-=，所以sin()sin cos sin A B A B A B ∴+-=，所以3sin cos sin cos sin cos sin sin 3A B A B A B A B ∴+-=，即3sin cos sin 3A B A B =，约掉sin A 变形可得sin tan cos B B B ==，3A π=；（2）因为3=a ，3A π=，所以32π=+C B ，所以由正弦定理可得sin 2sin sin a B b B A ==，sin 2sin sin a Cc C A==，所以△ABC 周长为2sin 2sin a b c B C ++=++22sin 2sin()3B B π=++-312sin 2(sin )22B B B =++2sin sin B B B =+3sin B B =+1cos )22B B =+)6B π=++，因为320π<<B ⇒5666B πππ<+<⇒16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ⇒326sin 323≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ，所以336sin 32332≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++<πB ，所以△ABC 周长的取值范围为.4.【解析】:（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，因为()()()C B c b A c a sin sin sin +-=-，所以()()()c b c b a c a +-=-，整理得222a c b ac +-=，由余弦定理知，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()π,0∈B ，所以3π=B ．（2）由（1）知，3B π=，所以32π=+C A ，由正弦定理知，4sin sin sin sin 3a cb A C B π====A a sin 38=，c C =，所以()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+A A A A A C A c a sin 21cos 23sin 3832sin sin 38sin sin 38π3(sin ))8sin(266A A A A ππ=+=+=+，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πA ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππA ，当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值8，所以1248=+≤++c b a ，故△ABC 周长的最大值为12．5.【解析】:（1）由正弦定理得，k A a C c B b =====334232sin sin sin ,易得：C B C k c B k b -===π32,sin ,sin ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+6sin 4)sin (sin πC C B k c b 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π32,0C ,得⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,66πππC ，则有：]4,2(∈+c b 又2=a ，则].6,4(∈++=∆c b a l ABC （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+)62sin(211sin )32(sin sin sin 222222222ππC k C C k C B k c b 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π32,0C ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-67,662πππC ，则]21,41(62sin 21-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πC ,所以23,43(62sin 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πC 又3162=k ，则].8,4(22∈+c b 6.【解析】:（1）在BCD ∆中，7cos 14CBD ∠=-，所以321sin 14CBD ∠===，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，所以321sin 114sin 2BC CBD BDC CD ⋅∠∠===，又因为CBD ∠为钝角，所以BDC ∠为锐角，故6BDC π∠=；（2）在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos214BC BD CD CBD BC BD +-∠===-⋅，解得4BD =或5BD =-（舍去），在△ABD 中，3A π∠=，设AB x =，AD y =，由余弦定理得22222161cos 222AB AD BD x y A AB AD xy +-+-===⋅⇒2216x y xy +-=⇒2()163x y xy +-=，又0x >，0y >，利用基本不等式得()()4331622y x xy y x +≤=-+，即()642≤+y x ，当且仅当4x y ==时，等号成立，所以x y +的最大值为8，所以AB AD BD ++的最大值为8412+=，所以△ABD 周长的最大值为12．7.【解析】：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，所以2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，因为()0,A π∈ ，所以23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.因为22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），所以()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），所以△ABC 周长3L AC AB BC =++≤+ABC 周长的最大值为3+.8.【解析】:因为a ＝2，且)sin (sin sin 2sin C A A B +=，所以由正弦定理可得b 2＝a 2+ac ，由余弦定理可得bac bc ac c bc a b c A 222cos 2222+=+=-+=，同理可得：b ac B 2cos -=，即⎩⎨⎧=-=+Ba a c Ab ac cos 2cos 2，消去c ，可得B a A b a cos 2cos 22-=，由正弦定理可得B A A B A cos sin 2cos sin 2sin 2-=，即)sin(2sin 2A B A -=，可得B ＝2A ，由正弦定理B b A a sin sin =，可得AbA 2sin sin 2=，可得A b cos 4=，因为△ABC 为锐角三角形，且π=++C B A ，所以220π<<A ⇒46ππ<<A ⇒23cos 22<<A ⇒3222<<b ．又因为a ＝2，即b 2＝4+2c ，所以△ABC 的周长为b b b b c b a +=-++=++2221242，由二次函数性质可得，△ABC 的周长的取值范围为：（326,224++）．9.【解析】:（1）由//m n得22cos 2cos cos a C c A C b +=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=；（2）解法一：在△ABC 中，因为c =，23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=，即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b <+≤，则2a b c <++≤+，即ABC ∆的周长的取值范围为(.解法二：由正弦定理知：2233sin sin sin ====CcB b A a ，则A a sin 2=，B b sin 2=3sin 2sin 2++=∆B A l ABC 332sin 2sin 23)sin(2sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=πA A C A A 33sin 23cos 3sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πA A A 因为0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故sin ,132A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()32,32+=∆ABC l .10.【解析】:（1）若选①，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=．则：(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ++=，整理得：sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C B ++=，解得：1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=．若选②，因为()A C C B A sin sin sin cos cos 22+=-．所以()C A C B A sin sin sin sin 1sin 1222+=---，所以C A B C A sin sin sin sin sin 222-=-+，所以ac b c a -=-+222，所以212cos 222-=-+=ac b c a B ，又0B π<<，所以32π=B .（2）解法一：因为23B π=，3b =，所以由余弦定理知，()()()2222222432cos 29c a c a c a ac c a B ac c a b +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+=-+==，当且仅当3==c a 时，等号成立，所以32≤+c a ，又因为b c a >+，所以3326+≤++<c b a .解法二：因为sin sin sin a b c A B C ===，所以A a sin 32=，c C =，则△ABC 的周长()33sin sin 323sin sin 32+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=++=A A C A c b a lπ1sin )32A A A =+-+)33A π=++，因为30π<<A ，2333A πππ<+<，所以13sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πA ，即33233sin 326+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πA ，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3]+．11.【解析】:（1）依正弦定理Bb A a sin sin =可将A b B a cos 3sin =化为A B B A cos sin 3sin sin =又因为在△ABC 中,0sin >B ,所以A A cos 3sin =,即3tan =A ,因为π<<A 0，所以3π=A .（2）因为△ABC 的周长c b c b a ++=++=4,所以当c b +最大时,△ABC 的周长最大．解法一：因为bc c b A bc c b a 3)(cos 2162222-+=-+==，所以316)(2-+=c b bc 4)(2c b bc +≤且，所以()()431622c b c b +≤-+，所以()642≤+c b ，所以8≤+c b （当且仅当4==c b 时等号成立）所以△ABC 周长的最大值12.解法二:因为sin sin sin 332a b c A B C ====,所以()83832sin sin sin sin 8sin 3336b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,20,3B π⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当且仅当3B π=时,b c +取到最大值8所以△ABC 周长的最大值1212.【解析】:（1）因为2)12sin 2C A B +=+，且A B C π++=，11cos 2cos C C C =+-=-cos 2C C +=⇒26sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πC ．因为()π,0∈C ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+67,66πππC ⇒26ππ=+C ，即3C π=．（2）因为△ABC 的外接圆半径为2，所以由正弦定理知，4223sin sin =⨯==∠πAB ACB AB ，所以32=AB ，因为3π=∠ACB ，所以32π=∠+∠BAC ABC ，因为BAC ∠与ABC ∠的内角平分线交于点Ⅰ，所以3π=∠+∠BAI ABI ，所以32π=∠ABI ，设ABI θ∠=，则3BAI πθ∠=-，且03πθ<<，在△ABI中，由正弦定理得，42sin sin sin()sin 33BI AI AB AIB ππθθ====∠-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπ3sin 4BI ，θsin 4=AI ，所以△ABI的周长为314sin()4sin 4(cos sin )4sin 322πθθθθθ+-+=-+2sin 4sin(3πθθθ=+=++，因为30πθ<<，所以2333πππθ<+<，所以当32ππθ+=，即6πθ=时，△ABI的周长取得最大值为4+，故△ABI的周长的最大值为4+．13.【解析】:（1）根据函数的图象，函数的周期πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=12512112T ,故ω＝2．由于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,125π满足函数的图象，所以01252sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπA ，由于20πϕ<<，所以6πϕ=．由于点（0，1）在函数的图象上，所以A ＝2．故函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2)(πx x f ．（2）由于26sin 2)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ，所以3π=A ．由正弦定理：34sin sin ==A a B b ，整理得B b sin 34=,同理⎪⎭⎫ ⎝⎛-==B C c 32sin 34sin 34π，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πB ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++=∆6sin 4232sin 34sin 342ππB B B c b a l ABC ，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πB ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππB ⇒⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,216sin πB ．所以：l △ABC ∈（4，6]．。
解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习
∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b， 由三角形三边关系可得ab＋ ＋bc>>ac， ，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1， 令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于 正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等 变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的 范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、 三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此 类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
微专题5 三角形中的范围(最值)问题
微专题5 三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数．本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.1.(2018·江苏卷)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，∠ABC ＝120°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，且BD ＝1，求4a ＋c 的最小值．2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量m ＝(2a ＋c ，b ),n ＝(cos B ，cos C )，且m ，n 垂直．(1)求角B 的大小；(2)若∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且BD ＝1，设BC ＝x ，BA ＝y ，试确定y 关于x 的函数关系式，并求边AC 的取值范围．3.如图，某水域有两条直线型岸边l 1和l 2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A 相距1 km 的D 处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B ，C 分别在l 1和l 2上)围出三角形ABC 的养殖区，且AB 和AC 的长都不超过5 km ，设AB ＝x km ，AC ＝y km ，(1)将y 表示成x 的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？4.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b a =，ABC ∆周长为7，求BC 边上的中线AD 的最小值．5. 在等腰直角OPQ ∆中，∠POQ ＝2π,22=OP ,点M 在线段PQ 上,点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝6π. (1)设∠POM ＝α，试用α表示ON OM ,,并写出α的范围；(2)当α取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．6. (2018·全国大联考)已知ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量m ＝(c ＋a ，b ),n ＝(c －a ，b ＋c ),且a ＝3,m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值；(2)求b ＋c 的取值范围．7.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,设△ABC 的面积为S ,且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A ),n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]． 解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分 则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分 (2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin )42(π-A －3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈)1213,4(ππ-.10分 所以sin )42(π-A ∈]1,22(-.12分 所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分。
高考数学热点必会题型第12讲-解三角形中的最值问题(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第12讲解三角形中的最值问题——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求三角形中的边长有关的最值【题型】二、求三角形中的周长有关的最值【题型】三、求三角形中的面积有关的最值【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值【题型】五、化角为边判断三角形的形状【题型】六、化边为角判断三角形的形状【题型】七、利用不等式求范围问题【题型】八、利用三角函数值域求范围问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值A B C所对的三边分别为例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC中，角,,，若ABC的面积为1，则BC的最小值是（）,,,2a b c c bDA．2 B．3 C例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ）A ．7B ．C ．D ．5【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ）AB ．C ．D ．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1BC ．2D ．例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B C D ．例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B C ．D ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（ ）A 43B C 43D 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．D ．【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）A B ．32C ．D ．2+例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD 由ACD 与等边ABC 拼接而成，其中22AD CD ==，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________. 第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（ ） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．9D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．24例28．（2023·全国·高三专题练习）设()2πsin cos cos 4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A BC D 例29．（2023·全国·高三专题练习）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE 的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A 与湖对岸B ，F 点，设宝塔底部E 点和这三个点在同一直线上，无人机从A 点沿AD 直线飞行200米到达宝塔顶部D 点后，然后再飞到F 点的正上方，对山脚的江天禅寺EB 区域进行拍照.现测得从A 处看宝塔顶部D 的仰角为60°，sin ABD ∠=100BF =米.若无人机在C 点处获得最佳拍照角度时（即BCE ∠最大），该无人机离地面的高度为（ ）A ．B ．C ．D ．200米例30．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1B C ．2D ．例31．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，cos B =2AC =，AB k =，则（ ）A ．△ABC 外接圆面积为定值，且定值为9πB ．△ABC 的面积有最大值，最大值为3+C ．若k =60C =︒D ．当且仅当02k <≤或6k =时，△ABC 有一解例32．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）A ．若A ＝30°，3a =，4b =，则△ABC 有两解B ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 最大值为30° C ．若222a b c +>，则△ABC 为锐角三角形D ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过△ABC 内心 【题型】八、利用三角函数值域求范围问题例33．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1例34．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，cos cos ()sin sin A CA B C a c+=，cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(4⎤⎦B ．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4例35．（2022·全国·高三专题练习）已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60B ︒=，ABC b 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．C ．)D ．[)2,6例36．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为36π，球心为O ，则（ ） A ．1OA BC ⊥B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥O ABC -的体积是该三棱柱的体积的16答案第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】C【分析】由三角形面积公式得到21sin b A=，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A -=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=， 设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44AA A A -=--表示点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PA k APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC ，所以||3BC ，即BC故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．【答案】C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB ACAC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033BB B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B BB B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++ 236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max 1AD =. 故选：C.【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ） A ．7B ．C ．D ．5【答案】B【分析】设A θ=，结合正弦定理得22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ2sin BC θ=，然后结合化简整理得到关于θ的函数，进而结合函数的图象与性质即可求出结果.【详解】设A θ=，由正弦定理知22sin sin 3AB BC ===⎛⎫- ⎪⎝⎭θπθ，因此22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ 2sin BC θ=，故222sin 4sin 3AB BC ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭πθθ222sin cos cos sin 4sin 33⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πθπθθsin 4sin =++θθθ5sin =+θθ()=+θϕ，其中tan ϕ 所以当()sin 1θϕ+=时，，取得最大值，且最大值为 故选：B.【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3B π∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+， 三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =∴a b c ++≤ABC的周长最大值为故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A．8+B．8+C．16+D．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===， 因为ABCABDCBDSSS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠， 所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4ac a c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立， 由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12， 故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+， 即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c=，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max 996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max 142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=， 所以222b bc c a -+=， 所以1cos 2A =， 又()0,A π∈， 所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b bc ab ac+-+-+=， 所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）ABCD．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得12cos 0B +=，进而可得角B ，应用正弦定理有033c A A ππ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形面积公式、三角恒等变换得26ABCSA π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC 面积的最大值. 【详解】由sin()2sin cos 0B C A B ++=，得sin 2sin cos 0A A B +=， ∴sin (12cos )0A B ⋅+=，又sin 0A ≠， ∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴2,33B C A B A πππ==--=-，又sin sin c bC B=，∴2sin sin 302sin 33sin3A b C c A A B ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 211sin sin sin sin 2sin cos sin 2232ABCSbc A A A A A A A A A A π⎫⎛⎫==-=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2226A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由03A π<<，有52666A πππ<+<，则sin 2sin 162A ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC故选：A.【点睛】关键点点睛：由已知等量关系求角，利用三角形内角性质、正弦定理及三角形面积公式得到ABC 面积关于内角A 的函数式，根据内角的范围求最值.例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，则2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，则由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，则2AB x =，则211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，则()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦， 当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =， 故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，则AB BDAC CD= 例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD ，从而找到角A ，C 的关系，将四边形的面积用角A ，C 表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在ABD △中， 有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积， 故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 8A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤=故选：A.【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（ ） A43BC43D【答案】C【分析】建立直角坐标系，设(,)D x y ，写出,,A B C 的坐标，利用:2:1DB DC =列式得关于,x y的等式，可得点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算AB和点D 距离直线AB 的最大距离d r +，代入三角形面积公式计算.【详解】以BC 的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B C -，设(,)D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()22221414++=-+x y x y ，得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，已知直线AB0y -=，2AB =，点D 距离直线AB 的最大距离为：4433+=d r ，所以ABD △面积的最大值为1442233⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ABD S △. 故选：C【点睛】解答本题的关键在于建立直角坐标系，设点(,)D x y ，通过:2:1DB DC =得关于,x y 的等式，从而判断出点D 的轨迹，数形结合分析得当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．D ．【答案】D【解析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=.若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinc A=，λ=b a，则实数λ的最大值是（）AB．32C．D．2+【答案】D【分析】根据余弦定理和sinc A=得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，进而得22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cosa cb b A=+-，结合sinc A=，得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，解得22212sin12aA Ab=+-，即22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则当12Aπ=时，222max(2ba⎛⎫=⎪⎝⎭．max max()2baλ==故选：D．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD由ACD与等边ABC拼接而成，其中22AD CD==，则平面四边形ABCD面积的最大值为______.【答案】2【解析】设D θ∠=，利用余弦定理求出AC ，利用面积公式将ACD 与等边ABC 的面积用θ表示，利用三角函数的性质即可求解.【详解】设D θ∠=，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⨯=- ，所以)21sin 54cos 23ABCSAC πθ=⨯=-， 因为1sin sin 2ACDSAD CD θθ=⨯⨯=，所以)sin 54cos ABC ACDS SSθθ=+=+-sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 2S =，故答案为：2【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，求面积的最值，考查余弦定理、辅助角公式，属于中档题.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________.【分析】设AGP θ∠=，在,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公式，将11GP GQ+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【详解】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，如下图所示：因为G是重心，所以22233AG AD AC =⋅=⨯=. 在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AGPAG APG=∠∠，所以sin165sin sin 66AG GP πππθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理在AGQ △中，由正弦定理得1sin 6GQ πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=++-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2πθ=时，max112GP GQ π⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【分析】利用余弦定理进行边化角222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理可得()()2220a b c a b ab +--+=即2220c a b ab --+=，再用余弦定理可得1cos 2C =． 【详解】因为()2cos cos a b c A B +=+，则222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理得()()2220a b c a b ab +--+=，所以2220c a b ab --+=即222a b c ab +-=， 则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵()0,πC ∈，所以π3C =. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ， 法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+． 于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形， （1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，()22a abc a ca c c==+++⋅，a a c =+， 上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 法二： 利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=． （1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+． 变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=， 即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形． （2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形． 故选：B例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案. 【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-= 所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（ ） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形 【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A ；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B ； 由已知得022A B ππ>>->，结合正弦函数性质可判断C ；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202a B =<=⨯=，即sin a Bb a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确； 对于C ，ABC 是锐角三角形，2A B π∴+>，即022A B ππ>>->，由正弦函数性质结合诱导公式得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD【分析】对于A ，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简判断，对于B ，利用余弦定理统一成边化简进行判断，对于C ，先利用余弦定理求出cos A ，从而可求出sin A ，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆半径，对于D ，利用三角函数的性质结合三角形内角进行判断 【详解】解：对于A ，因为a b >，所以由正弦定理得sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，所以1cos 21cos 222A B-->，所以cos2cos2A B <，所以A 正确， 对于B ，因为cos cos a B b A c -=，所以22222222a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，即22222222a c b b c a c +---+=，所以222a b c =+，所以ABC 一定为直角三角形，所以B 正确，对于C ，由余弦定理得2222536163cos 22564+-+-===⨯⨯b c a A bc ，因为(0,)A π∈，所以sin A ==2sin a R A ===ABCC 错误， 对于D ，因为在ABC 中，()()()cos ,cos ,cos (1,1]A B B C C A ---∈-，()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，所以D 正确，故选：ABD【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】因为2cos22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B A C= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠， 所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形.故选：B例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理得到A B =或2A B π+=，即可判断.【详解】在ABC 中，对于 cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π+= 即A B =或2A B π+=.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式、结合诱导公式求出sin B 的值，结合角B 的范求得角B ，即可求解.【详解】因为cos sin cos b A c B a B =-由正弦定理化边为角可得：sin cos sin sin sin cos B A C B A B =-， 所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin πsin C B A B B A A B C C =+=+=-=， 因为sin 0C ≠，所以sin 1B =， 因为0πB <<，所以π2B =， 所以ABC 是直角三角形， 故选：C.例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 【答案】ACD【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．【详解】解：因为A ，0πB ∈（，），且cos y x =在0π（，）上单调递减，故由cos cos A B >，得A B <，故a b <，结合正弦定理得sin sin A B <,故A 正确；sin cos sin cos A A B B =⇒ sin 2sin 2A B =,故22A B =，或22πA B +=，即=A B ，或π2A B +=，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 若三角形ABC 为锐角三角形，则π2A B +>π02A B ⇒>->，故πsin sin()cos 2A B B >-=， 同理可得sin cos B C >,sin cos C A >，三式相加得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，故C 正确；ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tan tan[π()]tan()C B C B C =-+=-+=tan tan tan tan 1A BA B +⋅-,整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，故D 正确． 故选：ACD ．第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．9D ．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到tan =2tan B C ，画出图形，作出辅助线，设,AD h BD x ==，得到22+=4x h ，利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】法一：由正弦定理得：=3cos =6cos a c B B ， ()11=sin =6cos 2sin =3sin2322ABCSac B B B B ⋅⋅≤ 法二：由正弦定理得：sin cos +cos sin =3sin cos B C B C C B ， 所以sin cos =2cos sin B C B C故tan =2tan B C ，如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 设,AD h BD x ==，则2CD x =， 由勾股定理得：22+=4x h ， 所以()2213313=3=+=4=322224ABCSx h xh x h ⋅⋅⋅≤⨯当且仅当=x h 故选：A.例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =， 由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯224362n n +-=⨯=，。
三角形中的范围(最值)问题专题
(2)由正弦定理得c＝2RsinC＝ .
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，故a2＋b2＝ ＋ab.
因为a>0，b>0，所以a2＋b2> .又ab≤ ，故a2＋b2≤ ＋ ，得a2＋b2≤ .因此， <a2＋b2≤ .则a2＋b2的取值范围为 .
7．答案：(1) ；(2) .
解析：(1)由sin(2A－ )＝1，得2A－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即A＝kπ＋ (k∈Z)，又A∈(0，π)，所以A＝ .
(2)由正弦定理得
＝ ＝
＝
＝
＝
2sin(B＋ )，又△ABC是锐角三角形，所以
解得 <B< ， <B＋ < ，故有 <2sin(B＋ )≤2，所以 < ≤2.即 的取值范围为 .
三角形中的范围
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是________．
2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是________．
3．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈ 都成立，则a2－a1的最小值为________．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0，当A为锐角时，则m的取值范围是________．
4．答案： .
解析：由正弦定理及sinB＋sinC＝msinA得，b＋c＝ma，又cosA＝ ＝ ＝ ＝2m2－3，因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈(0，1)，所以 <m2<2，又由b＋c＝ma得m>0，所以 <m< .
5．答案：(3，2 ]．
中考压轴题之相似三角形、三角形面积最值问题
一、中考压轴题之相似三角形、三角形面积最值问题例1、如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A (2, m )． （1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又经过点B (n , 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．图一解、（1）将点A (2, m )代入y ＝x ＋2，得m ＝4．所以点A 的坐标为(2, 4)．将点A (2, 4)代入ky x=，得k ＝8．（2）将点B (n , 2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4, 2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2． 所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝BC ＝ABC ＝90°． 图2所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯8．（3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝AC ＝ 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE ＝AD ＝ 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD ==CE ＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．例2、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1解、（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
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P为边长等于1的正△ABC内任意一点，设L=PA+PB+PC,求L的最值。
几何最值问题归结为以下三个定理
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
分析：求最值则涉及最小值以及最大值.
先求最小值，如下
一、射影法
过点P分别作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F.
过点A作AD’⊥BC于D’,过B作BE’⊥AC，过C作CF’⊥AB。
AP+PD>AD’①
BP+PE>BE’②
CP+PF>CF’③
①+②+③,得，
AP+BP+CP+PD+PE+PF≥AD’+BE’+ CF’=3√3
2
a
即AP+BP+CP+√3
2
a≥3√3
2
a
∴AP+BP+CP≥√3a
二、旋转法
顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上，
即如上图：∠ABF’=120°，可得最小L=a；
C
三、面积法
作如图所示辅助线，则∆DEF的面积为√3a2,
又∵S∆PDE≤1
2
ED•PB
S∆PDF≤1
2
FD•PC
S∆EDF≤1
2
EF•PA
∴√3a2≤1
2
•6a•(PA+PB+PC)
∴最小L= a
下面求其最大值，这要考虑到三角形的三边关系，如下图
过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F．
由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，
推出AD＞AP ①
又∵BD+DP＞BP ②
和PF+FC＞PC ③
又∵DF=AF ④
由①②③④可得：最大L＜2；
相关知识链接：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。
即A
F
在ABC内求一点P,使PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。