状态空间模型

若表示为
f ( x, x ) x
则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们 为相变量。 称 x和 x
如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动 状态就完全被确定了。
作为平面的直角坐标轴，则系统在 若采用x和 x 每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变 化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该 轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹。
y(t)
在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实 际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统
x1 ( t ) a11 a12 x1 b1 u( t ) x2 ( t ) a21 a22 x2 b2 y( t ) c c x1 1 2 x 2
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
定义：由系统的n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状 态空间。 引入状态空间后，即可把n个状态变量用矢量 形式表示出来，称为状态矢量。 记为：
x1 ( t ) x (t ) x( t ) 2 xn ( t ) n1
但因
uc1+uc2+uc3=0
显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立 的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t) ﹡状态变量具有非唯一性的：
如上例中，最小变量组是2个独立变量， 可在 uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。 2. 状态空间：
M
ia
La
Ea

J:电动机轴上的转动惯量
J, f
f:负载为阻尼摩擦性质
解：由基本规律列写原始方程：
反电势方程:
d Ea C e dt
电枢回路方程：
dia d u Ra ia La Ce dt dt
转矩平衡方程:
d 2 d C m ia J 2 f dt dt
选状态变量:
第 2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。 经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x3
x30
t0
t1
t2
t3
x10
x1
x20
x2
可见，状态向量的状态空间表示，将向 量的代数结构和几何概念联系起来。
二.状态空间表达式 是一组一阶微分方程组和代数方程组成，它 们分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描 述。 1. 建立方法： 例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式. k u ( t) y(t) f
﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。
例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量 R C2 i1 u ( t) i2 i3 y(t)
C1
C3
在t=t0时，若已知u(t)及uc1(t0), uc2(t0), uc3(t0) 。 则由克希霍夫定律,可求得电路的解。 故uc1(t), uc2(t), uc3(t)均可选作状态变量。
m
弹簧-质量-阻尼器系统
解：由牛顿第二定律：
F ma
d2 y dy m 2 u t f ky 列基本方程： dt dt d2 y dy m f ky u t 即： 2 dt dt
选择状态变量： x1 (t ) y(t ) x2 (t ) y(t ) 故得：
x1 ia , x2 , x3
Ra ce 1 x1 ia ia u La La La Ra Ce 1 x1 x3 u La La La x2 x3
Cm f d C m f x3 ia x1 x3 J J dt J J 故得状态方程：
§1-1.状空间表达式
一.状态及状态空间 所谓“状态”是指描述系统动态行为的基本变量 的集合，这些必要且充分的变量，足以完全描述系 统的动态行为。
相平面法：用来求解二阶常微分方程的图解方法
设二阶系统的常微分方程为：
f ( x, x ) 0 x
的线性或非线性函数。 ) 是 x和 x 式中 f ( x, x
两种描述对比：
输入-输出描述（微分方程描述或传递函数描述）：将系统看成一个“黑箱”，只 反映系统外部输入变量与输出变量之间的因果关系，不去表征系统的内部结构和 内部变量。它是一种不完全的描述，具有完全不同内部结构的两个系统也可能具 有机同的外部特性。
内部描述（状态空间描述）：是一种对系统的完全的描述，能完全表征系统的所 有动力学特征。它实现了各种不同的系统（单变量，多变量，时变，时不变，线 性，非线性等）描述形式的统一。适合描述复杂的动态系统。它的出现，推动了 控制理论的发展，实现了由古典控制理论向现代控制理论的过渡。
0 b1 m 21
C 1 012
对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个 输入，m个输出）
u1 u2 ur
x1 x2 对象 xn 多输入多输出系统
输出
元件
y1 y2 ym
Hale Waihona Puke x( t ) A x( t ) B u( t ) n n n1 n r r 1 n1 y( t ) C x( t ) D u( t ) m1 mn n1 mr r 1
一阶微分方程组 代数方程
其中： x(t ) 状 态 矢 量
u1 控制矢量; u( t ) ur
y1 y m维输出矢量 ym
A 系统矩阵 n n阶常数矩阵
B 控制矩阵(输入矩阵) , n r阶常数矩阵.
由xx 所组成的平面坐标系称为相平面 过去，用解析法求二 阶微分方程不很方便， 在工程上出现了作图求 解的方法。即先用几何 作图法画出x与 x 的相 轨迹图，再利用图形分 析系统或求近似解。 令 x1 x, x2 x
x
( x0 , x0 )
x
则由x1与x2张成的平面即为状态平面。
1.状态： 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小 变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变 量组中的每个变量称为系统的状态变量。 注意： ﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
2）选择系统的状态变量；（按状态定义选）
3）列写系统的状态方程和输出方程，即得状 态空间表达式。
2.一般形式： 上例中二阶系统的状态空间表达式又可表示成 矩阵矢量方程形式
x Ax Bu 21 y C x 21 11
1 f m 22
其中：
0 A k m
Ra L a X 0 Cm J 而输出方程为：
di L Ri uc u(t ) dt
这个方程有两个独立的未知变量i和uc,只要求 出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。
本例中，根据电路知识，只要知道了电感上 的初始电流 i(0) 和电容的初始电压uc(0)以及输入 u(t) ，就可确定电路的全部状态。 故根据状态的定义，可选 i 和 uc为本系统的 状态变量。
x1 y(t ) 1 0 x2
即
Ax Bu x y Cx
完整描述
系统的完整描述，必须具有两部分内容，前 者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统 内部运动与外部的联系。 结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法
1）首先根据基本规则列基本方程；
x Ax Bu y Cx Du
按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性 系统可用这种图形象的表达出来。
1、结构图：
D(t) u ( t)
B(t)
++
x
dt
A(t)
x
C(t)
y(t + + )
2、信号流图 D(t)
u ( t)
B(t) x( t ) ∫dt A(t)
x(t) C(t)
例：RLC网络如下图所示，试选择系统的状态变量 L R i u (t ) C
y(t)
按以前的方法，令电路初始条件为零，用传递 函数求解系统的行为，即：Y(s)=G(s)U(s)，只能求 出输入—输出关系。这只是求出了零状态下的单个 输出解，是一种外部描述，对于二阶系统来说不是 完整描述。
在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有 关，且与初始状态有关，此时，要确定系统的完全 行为，必须先知道这两方面的信息。 写出网络的回路方程:
又表示为：x(t) ∈Rn [x(t)属于n维状态空间 ]
引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了 系统在某时刻的状态。 换一种说法即状态空间是由所有状态矢量x组成 的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。
3.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所 移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态 随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是 x10, x20, x30 。在u(t)作用下 ，系统的状态开始变 化，运动规律如下：
6.线性系统状态空间表达式的简便写法： 由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示: ∑(A, B, C, D)——定常 ∑[A(t), B(t), C(t), D(t)]——时变
三 .线性系统的结构图和信号流图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ：
x ( t ) f x ( t ) u( t ) y( t ) g x ( t ) u( t )
5.非线性时变系统：
x( t ) f x( t ), u( t ), t y( t ) g x( t ), u( t ), t
a11 u b1
+ x1 + +
a12
∫dt
x1
c1 + + y
a21
b2
+ x2 + +
∫dt a22
x2
c2
由图可见，无论系统阶次多高，按图都可方便 的进行模拟。且图中只有加法器和积分器。完全可 用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。 例1-2 ： 试建立电枢控制的直流电动机的状态 空间表达式，并画出其结构图。 Ra ua Uf=const
C-输出矩阵 m×n阶常数矩阵 D-直连矩阵 m×r阶常数矩阵 3.一般线性时变系统：
x( t ) A( t ) x( t ) B( t )u( t ) y( t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分 方程) 4. 非线性定常系统:
1 (t ) x2 (t ) x k f 1 x2 (t ) x1 x2 u m m m y(t ) x1
而
将以上方程组写成矢量矩阵形式
0 x1 x k x2 m 1 0 x1 f 1 u x2 m m