江苏高一数学任意角练习(原卷版)

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5.1.1 任意角(原卷版)

5.1.1《任意角》分层练习考查题型一任意角的概念及应用1．下列说法中正确的是（）A．锐角是第一象限角B．终边相等的角必相等C．小于90的角一定在第一象限D．第二象限角必大于第一象限角2．下列命题中正确的是（）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差2πD．终边相同的角的弧度都相同3．时针走了1h 20min，则分针转过的角是．4．如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45︒到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120︒到达OC位置，则∠=．AOC考查题型二终边相同的角的表示及应用1．1000-︒的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中，下列与角420终边相同的角是（）A．20B．60C．120D．1503.与457-角终边相同的角的集合是．4.在0~360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：(1)5418'-；(4)1563．-；(2)3958'；(3)119030'5.写出终边在下图所示的直线上的角的集合．考查题型三确定已知角所在象限（多选题）1．下列选项不正确的是（）A．终边落在第一象限的角为锐角B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角为钝角D．小于90的角一定为锐角A．B．C．D．0~360范围内，与1000角终边相同的是考查题型四由已知角所在象限确定某角所在的范围24.用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）。

苏教版数学高一必修四练习1.1.1任意角

双基达标(限时15分钟)1．把－1 485°化成α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式为________________________．答案315°－5×360° (k∈Z)2．下列角中终边与330°相同的角是________(写出正确的所有序号)．①30°；②－30°；③630°；④－630°.答案②3．写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合____________________．答案{－708°，－348°，12°，372°}4．－2 012°是第________象限角解析－2 012°＝148°－6×360°，故－2 012°与148°终边相同是第二象限角．答案二5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．解析－495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.答案－135°225°6．(1)写出终边落在x轴负半轴的角的集合．(2)写出终边落在y轴上的角的集合．(3)写出终边落在坐标轴上的角的集合．(4)写出终边落在直线y＝x上的角的集合．解(1)在0°～360°内终边落在x轴负半轴的角为180°，故终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}．(2)终边落在y轴上的角在0°～360°内有90°和270°两个角，实际上，每旋转半圈就有一个终边在y轴上的角，因此，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．(3)终边落在坐标轴上的角每间隔90°就有一个，因此终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(4)终边落在直线y ＝x 上的角在0°～360°内有45°和225°两个角，实际上，每旋转180°就有一个，因此终边落在直线y ＝x 上的角的集合为{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z }．综合提高 (限时30分钟)7．若α是第一象限角，则180°－α是第________象限角．解析 ∵α是第一象限角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°∴－90°－k ·360°<－α<－k ·360°90°－k ·360°<180°－α<－k ·360°＋180°∴180°－α是第二象限角．答案二8．若α是第三象限的角，则α2是第__________象限的角．解析因为α是第三象限的角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z .可得k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，k ∈Z . 若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，n ∈Z ，α2是第二象限的角．若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，n ∈Z ，α2是第四象限的角．故α2是第二或第四象限的角．答案二或四9．在0°到360°范围内，与－60°的终边在同一条直线上的角为________．答案 120°与300°10．已知角θ的终边与角168°的终边相同，则在0°，360°)内，θ＝56°，176°，296°.3答案56°176°296°11．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：(1)－210°；(2)－1 484°37′.解(1)∵－210°＝－360°＋150°，∴与－210°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．其中最小正角为150°，最大负角为－210°.(2)∵－1 484°37′＝－5×360°＋315°23′，∴与－1 484°37′终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋315°23′，k∈Z}，其中最小正角为315°23′，最大负角为－44°37′.12．找出与下列各角终边相同的最小正角，并判断它们分别在第几象限．(1)430°；(2)909°；(3)1 442°；(4)－60°；(5)－560°26′；(6)－1 550°.解(1)∵430°＝70°＋360°，∴与430°终边相同的最小正角为70°，它是第一象限角．(2)∵909°＝189°＋2×360°，∴与909°终边相同的最小正角为189°，它是第三象限角．(3)∵1 442°＝2°＋4×360°，∴与1 442°终边相同的最小正角为2°，它是第一象限角．(4)∵－60°＝300°＋(－1)×360°，∴与－60°终边相同的最小正角为300°，它是第四象限角．(5)∵－560°26′＝159°34′＋(－2)×360°，∴与－560°26′终边相同的最小正角为159°34′，它是第二象限角．(6)∵－1 550°＝250°＋(－5)×360°，∴与－1 550°终边相同的最小正角为250°，它是第三象限角．13．(创新拓展)已知α为第一象限角，求2α、α2、α3终边所在的位置．解∵α是第一象限角，∴k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z.①2k·360°<2α<2k·360°＋180°，k∈Z.则2α是第一或第二象限角，或是终边在y轴的正半轴上的角．②k·180°<α2<k·180°＋45°当k＝2n时(n∈Z)n·360°<α2<n·360°＋45°当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋180°<α2<n·360°＋225°∴α2是第一或第三象限角．③k·120°<α3<k·120°＋30°，k∈Z.当k＝3n(n∈Z)时，n·360°<α3<n·360°＋30°，n∈Z，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°<α3<n·360°＋150°，n∈Z，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°<α3<n·360°＋270°，n∈Z，∴α3是第三象限角．∴α3为第一或第二或第三象限角．。

第5章培优练习：5.1.1 任意角(原卷版)

5.1.1 任意角知识讲解一、角的分类及加减运算1.角的分类正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。

负角：按顺时针方向旋转形成的角。

零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。

2.角的加、减法(1)两角相等：如果(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α=β。

(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.(3)角的减法①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α.①角的减法α-β=α+(-β).二、象限角1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角。

2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。

3.终边相同的角(1)前提：α表示任意角。

(2)表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k①Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

一、选择题1.下面与-850°12′终边相同的角是( )。

A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′2.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )。

A.90°-αB.90°+αC.360°-αD.180°+α3.α=k·180°-60°，k①Z 的终边落在( )。

A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限4.下列说法正确的是( )。

A.钝角是第二象限角B.第二象限角比第一象限角大C.大于90°的角是钝角D.-165°是第二象限角5.若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )。

高中数学任意角与弧度制(原卷版)

5.1 任意角和弧度制考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：（根据旋转方向）名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角与轴线角（根据终边所在位置）把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就说这个角是轴线角．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化利用弧度与角度换算公式考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则（1）弧长公式：l ＝αR .（2）扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.（3）扇形的周长公式：r lC 2+=. （4）弓形的面积公式：∆-=s s s 扇弓考点九：象限角与轴线角10.017451801801801(57.30rad rad radrad ππππ⎧=≈⎪⎪=⎨⎪=≈⎪⎩）考点十.成特殊关系的两角：1.若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：，Z k ∈2.若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：,Z k ∈3.若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：,Z k ∈4.若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：,Z k ∈5.与终边反向的角：6.终边在y=x 轴上的角的集合：7. 终边在轴上的角的集合：αβαββα-=k 360αβαββα-+= 180360k αβαβ 90360±+=βαk αβαββα+=k 180α{(21)180,}k k Z ββα︒=++⨯∈{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββx y -={}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ题型一：任意角的概念1．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的非负半轴，下列说法正确的是（）A ．第一象限角一定不是负角B ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C ．第二象限角必大于第一象限角D ．钝角的终边在第二象限 2．下列说法中，正确的是（） A ．锐角是第一象限的角 B ．终边相同的角必相等C ．小于90︒的角一定为锐角D ．第二象限的角必大于第一象限的角3．下列命题中正确的是（） A ．第一象限角是锐角 B ．锐角是第一象限角C ．终边相同的角必相等D ．第二象限角必大于第一象限角题型二：终边相同的角4．终边落在直线y =上的角α的集合为（） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈ZD ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈5．把375-︒表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ的值可以是（） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-6．下列与角23π的终边一定相同的角是（） A ．53π B ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈题型三：象限角7．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（） A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角8．下列说法中，正确的是（） A ．第二象限的角是钝角 B ．第二象限的角必大于第一象限的角 C ．150-︒是第二象限的角 D ．25216,46744,118744'''-︒︒︒是终边相同的角9．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：确定n 倍角所在象限10．若α是第一象限角，则2α-是（） A ．第一象限角 B ．第一、四象限角 C ．第二象限角 D ．第二、四象限角11．下列有4个命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，2α一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角；其中正确的命题有（） A ．（1）（2）B ．（3）（4）C ．（2）D ．（1）（2）（3）（4）12．角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）13．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-14．现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（）A ．π2B ．7π8C ．34π D ．16π315．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（） A ．23π B ．2336πC ．1118πD ．712π 变式.下列说法中正确的是（） A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位题型六：角度与弧度的互化16．下列结论错误的是（） A ．－150°化成弧度是7rad 6π- B ．10rad 3π-化成度是－600° C ．6730︒'化成弧度是3rad 8π D ．rad 12π化成度是15°17．把下列各角从弧度化为度： (1)2π-； (2)103π； (3) 1.5-； (4)25．18．把下列各角从度化为弧度：(1)15° (2)36° (3)105-︒ (4)145°题型七：、与扇形的弧长、面积有关的计算19．已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或520．已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（） A．32B ．24C ．D ．21．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据： 3.14 1.73π≈）A ．572m 2B ．1448m 2C ．1828m 2D ．2028m 2【双基达标】一、单选题22．2022°是第（）象限角． A ．一B ．二C ．三D ．四23．下列选项中与角30α︒=-终边相同的角是（） A ．30B ．240C ．390D ．33024．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（） A ．4sin1B ．2sin1C ．2sin1D ．4sin125．给出下列四个命题:①-75°是第四象限角； ①小于90的角是锐角；①第二象限角比第一象限角大； ①一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. 其中正确的命题有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm27．如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l 上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（） A ．563πB ．14πC ．24πD ．10π28．设α是第三象限角，且sin sin22αα=-，则2α的终边所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限29．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1) (2)30．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【高分突破】一、单选题31．若角α的终边与函数()1f x x =-的图象相交，则角α的集合为（） A ．π5π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．3π7π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭ C ．3ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．5ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭32．已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（）A ．B ．C ．D ．33．一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（） A ．53B ．23C ．35D ．3234．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（）（参考数据： 3.14π≈，3 1.73≈） A ．0.01 B ．0.05 C ．0.13 D ．0.53二、多选题35．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（） A ．1B ．2C ．3D ．436．下列给出的各角中，与53π-的终边相同的角有（） A ．3π B ．133πC ．23π-D ．53π37．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：5 2.236≈）（） A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035- 38．若α是第二象限角，则（） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角39．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为1S ，圆心角为1α，天坛中剩余部分扇形的面积为2S ，圆心角为2α，()12αα<当1S 与2S 的比值为510.6182-≈时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（）A ．1137.5α︒≈B ．1127.5α︒≈C ．2(51)απ=-D ．12512αα-=40．下列说法正确的是（） A ．150-化成弧度是76π-B ．103π-化成角度是600- C ．若角2rad α=，则角α为第二象限角D ．若一扇形的圆心角为30，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 2π41．下列说法错误的是（） A ．与735°终边相同的角是15°B ．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 4πC ．设α是锐角，则角2α为第一或第二象限角D ．设α是第一象限，则2α为第一或第三象限角三、填空题42．一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度． 43．若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．44．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．45．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．46．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______. 四、解答题47．已知α是第二象限角． (1)指出2α所在的象限，并用图形表示其变化范围； (2)若24α+≤，求α的取值范围．48．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大并求出最大值．49．集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭，,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭，[]10,10D =-，分别求A B ⋂，A C ，A D ．。

高一数学苏教版必修4同步练习：1.1 任意角、弧度

1.1 任意角、弧度1、手表时针走过1小时,时针转过的角度( )A. 60B. 60-C. 30D. 30-︒2、已知()23sin πα-=-,且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则()tan 2απ-= () A. 25B. 25-C. 52D. 52-3、若角α和β的终边关于y 轴对称,则下列各式中正确的是() A. sin sin αβ=B. cos cos αβ=C. tan tan αβ=D. ()cos 2πcos αβ-=4、把化为角度是( )A.B.C.D.5、若4α=-,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6、将分针拨慢10分钟,则分针转过的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C.π6- D.π3- 7、1920︒的角化为弧度数( )A.163B.323C.16π3D.32π38、已知两角,()αβαβ>之差为1°,其和为1弧度,则,αβ的大小为( )A.π90和π180B.28︒和27︒C.0.505和0.495D.180π360+和180π360- 9、如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长 3VA =，点C 在母线长VB 上，且 1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是( )13743 33 10、已知扇形的周长是6cm ,面积是22cm ,则扇形的中心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.2或411、若α为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是__________(填序号) ①2sin α;②2cos α;③tan 2α;④cos2α12、如图,扇形AOB 的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为__________.13、已知扇形的周长是8cm ,圆心角为2rad ,则扇形的弧长为__________cm 。

14、如图所示,点,,A B C 是圆O 上的点,且4AB =,π6ACB ∠=,则劣弧AB 的长为___________.15、已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r .(1)若120,6r α=︒=，求扇形的弧长.(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S 最大？并求出最大面积.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：解析：由已知得()2ππZ k k αβ+=+∈,则()()sin sin 2ππsin πsin k αβββ=+-=-=。

苏教版数学高一苏教版必修4第1章任意角的三角函数作业

[学业水平训练]1．若角θ的终边过点P (－3，4)则sin θ＝________，cos θ＝________．解析：OP ＝（－3）2＋42＝5，∴sin θ＝45，cos θ＝－35. 答案：45 －352．设θ是三角形的内角且θ≠π2，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号) ①tan θ与cos θ；②cos θ与sin θ；③sin θ与tan θ；④tan θ2与sin θ. 解析：∵θ是三角形的内角且θ≠π2，∴0＜θ＜π且θ≠π2，∴sin θ＞0，tan θ2＞0. 答案：④3．若α＝5π6，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是________．解析：可设P 点坐标为(x ，y )，则sin α＝y r ＝y 1＝12， cos α＝x r ＝x 1＝－32. ∴⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝12. 答案：(－32，12) 4．已知角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α＋cos α的值为________．解析：设角α的终边上任一点P (k ，－2k )(k ≠0)，则r ＝k 2＋（－2k ）2＝5k 2＝5|k |. 当k >0时，r ＝5|k |＝5k ，所以sin α＝y r ＝－2k 5k＝－255， cos α＝x r ＝k 5k ＝55，所以sin α＋cos α＝－55；当k <0时， r ＝5|k |＝－5k ，所以sin α＝y r ＝－2k －5k ＝255， cos α＝x r ＝k －5k ＝－55，所以sin α＋cos α＝55. 综上所述，可得sin α＋cos α＝±55. 答案：±555．下列说法中，正确的个数为________．①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上的一点，则cos α＝－xx 2＋y 2 .解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y 轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝x x 2＋y2，故④也是不正确的．因此只有2个正确．答案：26．若A 是第三象限角，且|sin A 2|＝－sin A 2，则A 2是第________象限角．解析：∵A 是第三象限角，∴2k π＋π＜A ＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2＜A 2＜k π＋3π4(k ∈Z )， ∴A 2是第二、四象限角．又∵|sin A 2|＝－sin A 2， ∴sin A 2＜0，∴A 2是第四象限角．答案：四7．已知角α的终边与函数y ＝32x 的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．解：函数y ＝32x 的图象是过原点和第一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．当α的终边在第一象限时，在终边上取点P (2，3)，则r ＝22＋32＝13，于是sin α＝313＝31313，cos α＝213＝21313，tan α＝32；当α的终边在第三象限时，在终边上取点P ′(－2，－3)，则r ′＝（－2）2＋（－3）2＝13，于是sin α＝－313＝－31313，cos α＝－213＝－21313，tan α＝－3－2＝32. 8．求下列函数的定义域：(1)y ＝tan x sin x；(2)y ＝sin x ·tan x ； (3)y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2.解：(1)要使函数有意义，则tan x 有意义且sin x ≠0. 由tan x 有意义，得x ≠π2＋k π(k ∈Z )，① 由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z ), ②由①②，得x ≠k π2(k ∈Z )．故原函数的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z }． (2)要使函数有意义，则sin x ·tan x ≥0，有sin x 和tan x 同号或sin x ＝0或tan x ＝0.当sin x 与tan x 同正，则x 为第一象限角，即2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )．当sin x 与tan x 同负，则x 为第四象限角，即－π2＋2k π＜x ＜2k π(k ∈Z )．当sin x ＝0或tan x ＝0，则x ＝k π(k ∈Z )．故原函数的定义域为{x |－π2＋2k π＜x ＜π2＋2k π或x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，①9－x 2≥0.②由①，得2k π＜2x ＜π＋2k π(k ∈Z )，即k π ＜x ＜π2＋k π(k ∈Z )．由②，得－3≤x ≤3.故原函数的定义域为{x |－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2}． [高考水平训练]1．已知MP ，OM ，AT 分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)①MP ＜OM ＜AT ；②OM ＜MP ＜AT ；③AT ＜OM ＜MP ；④OM ＜AT ＜MP .解析：sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝ 3. 答案：②2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限．答案：二3．张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，问能否求出sin θ，cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题，百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？解：由题意，得r ＝OP ＝x 2＋9，则cos θ＝x r ＝x x 2＋9. ∵cos θ＝1010x ， ∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，点P 的坐标为(1，3)，角θ为第一象限角，此时，sin θ＝310＝31010，cos θ＝1010；当x ＝－1时，点P 的坐标为(－1，3)，角θ为第二象限角，此时，sin θ＝31010，cos θ＝－1010. 4．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小．解：如图，在单位圆中，sin α＝MP ，sin β＝NQ ，弧AP ︵的长为α，弧AQ ︵的长为β，则弧PQ ︵的长为β－α.过P 作P R ⊥QN 于R ，连结PQ ，则MP ＝N R.所以R Q ＝sin β－sin α<PQ <PQ ︵＝β－α.所以β－sin β>α－sin α.。

高一数学任意角(原卷版)

专题44 任意角1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA ，(2)终边：射线的终止位置OB ，(3)顶点：射线的端点O . 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角4．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法：确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)αn 所在象限的判断方法：已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．(5)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.题型一角的有关概念的判断1．下列说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角2．给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．3．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．4．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边与始边重合的角是零角D．钟表的时针旋转而成的角是负角5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C6．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有() A．B C A B．B A C C．D(A∩C) D．C∩D＝B7．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列说法正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是负角C．60°角与600°角是终边相同的角D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°9．下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角10．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.题型二终边相同的角的表示及应用1．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．2．下列各个角中与2 019°终边相同的是()A．－149°B．679°C．319°D．219°3．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．5．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°7．与600°角终边相同的角可表示为()A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z)8．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．9．与2019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．10．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.11．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．12．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°.13．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.14．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.15．已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.16．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．17．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．18．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角和最小的正角；(2)[360°，720°)内的角．19．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．22．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是__________．23．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴24．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝___________.25．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z26．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.27．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．28．终边在第一或第三象限的角的集合是________．29．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}30．终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．31. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s 时回到A 点，并且在第2 s 时均位于第二象限，求α，β的值．题型三象限角的判定(任意角终边位置的确定和表示)1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α2．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．3．若角α的终边在y 轴的负半轴上，则角α－150°的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．y 轴的正半轴上D ．x 轴的负半轴上4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限5．若β是第二象限角，则270°＋β是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？7．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限8．若α是第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？9．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限．10．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角11．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角12．已知θ为第二象限角，那么θ3是( )A ．第一或第二象限角B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角13．已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限题型四区域角的表示1．已知，如图所示．分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．3．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}5．写出终边落在阴影部分的角的集合．6．写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．7．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．8．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．9．如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.1112。

江苏专版2023_2024学年新教材高中数学任意角分层作业课件苏教版必修第一册

[解析] 小于的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确;钝角是第二象限的角，B正确；第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：是第二象限角，是第一象限角，故C不正确；若角与角的终边相同，则，，所以D不正确．故选B.
9.如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是( )
01
分层作业
A层基础达标练
1.[2023宿迁月考] “ 是锐角”是“ 是第一象限角”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 因为是锐角，故，则一定是第一象限角.若是第一象限角，不妨取，则不是锐角.所以“ 是锐角”是“ 是第一象限角”的充分不必要条件．故选A.
解先写出终边在到的范围内角的范围,则 .所以终边落在阴影区域的角的范围是，所以的集合是 .
C层拓展探究练
14.（多选题）已知集合，，，，则集合与之间的关系为 ( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 因为， , ， , , ，所以， .故选 .[解析] 由题意设，则，源自当，1，2时，，， .故选 .
11. 角的始边与轴的正半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是_ ________.
[解析] 把的角的终边按顺时针方向旋转3周所得的角为 .
12.若角和的终边关于直线对称，且，则的集合为____________________________.
2.已知角，则的终边在( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为，而，所以的终边在第三象限.故选C.
3.下列各个角中与角终边相同的角是( )

任意角(原卷版)2021-2022学年高一数学系列(苏教版2019必修第一册)

7.1.1任意角一．单选题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是() A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．36．以下命题正确的是()A．第二象限角比第一象限角大B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A BC．若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z)7．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅二．填空题8．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.11．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z}，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝________________.12．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．13．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.三、解答题14.如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．15．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．16.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.17．已知角α的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题：(1)集合M 有几类终边不相同的角？(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．。

任意角的三角函数(原卷版)2021-2022学年高一数学系列(苏教版2019必修第一册)

7.2.1任意角的三角函数一．单选题1．已知角α终边经过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于() A.12B.32C.33D ．±122．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是() A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是() A.⎝⎛⎭⎫12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32 4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为()A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为() A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π66．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域为() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π3，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－5π6，k ∈Z 7．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b8．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是() A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D ．(0，π3)∪(5π3，2π) 9．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．010．若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是()A ．{x |2k π－34π<x <2k π＋34π，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π4<x <k π＋54π，k ∈Z } C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |k π＋π4<x <k π＋34π，k ∈Z } 二．填空题11．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．12．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为．13．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是． 15．函数y ＝lg cos x 的定义域为________________．16．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝______________.17．不等式tan α＋33>0的解集是_______________________________________． 18．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________________．三、解答题19．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．20．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)． 21．在单位圆中，画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35. 22．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sin α≥22；(2)cos α≤12. 23．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．。

苏教版新教材高中数学必修第一册课时练习-任意角

课时练习(二十九) 任意角(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题正确的是( ) A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．始边相同而终边不同的角一定不相等 C ．第四象限角一定是负角 D ．钝角比第三象限角小B [只有B 正确．对于A ，如90°角不在任何象限；对于C ，如330°角在第四象限但不是负角；对于D ，钝角不一定比第三象限角小．]2．若α与γ终边关于x 轴对称，则α＋γ的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上A [∵α与γ终边关于x 轴对称，设α＝β＋k 1·360°，k 1∈Z ，γ＝－β＋k 2·360°，k 2∈Z ，∴α＋γ＝(k 1＋k 2)·360°＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上．故选A ．] 3．下列说法中不正确的是( ) A ．－75°是第四象限的角 B ．225°是第三象限的角 C ．415°是第二象限的角 D ．－315°是第一象限的角C [先把角写成k ·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再由α判断角所在的象限．] 4．若α是第四象限角，则180°－α所在象限是( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限B [如图所示，∵α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]5．若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边所在象限是( )A ．第二或第四象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限A [角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α2⎪⎪⎪α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2终边落在第二象限或第四象限．]二、填空题6．已知角α的终边与－100°角的终边关于y 轴对称，则α的取值集合为．{α|α＝k ·360°－80°，k ∈Z } [如图，－80°角与－100°角的终边关于y 轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k ·360°－80°，k ∈Z }．]7．(一题两空)钟表经过4小时，时针转过的度数为，分针转过的度数为．－120° －1 440° [分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．]8．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝．{－126°，－36°，54°，144°} [当k ＝－1时，α＝－126°；当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°．∴A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}．]三、解答题9．写出终边在如图所示直线上的角的集合．[解] (1)在0°～360°范围内，终边在x 轴上的角有两个，即0°和180°，因此所有与0°角的终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边落在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°．因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，于是所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．10．已知角x的终边落在如图阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合．[解](1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．1．下列说法中正确的是( )A．120°角与420°角的终边相同B．若α是锐角，则2α是第二象限的角C．－240°角与480°角都是第三象限的角D．60°角与－420°角的终边关于x轴对称D[对于A,420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以A不正确；对于B，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以B不正确；对于C,480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C不正确；对于D，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故D正确．]2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(下图阴影部分)正确的是( )C [令k ＝0得，45°≤α≤90°，排除B 、D ，令k ＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A ．故选C ．]3．已知集合M ＝{第一象限角}，N ＝{锐角}，P ＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是．(填序号)①MP ；②M ∩P ＝N ；③N ∪P ⊆P ．③ [对于①：390°是第一象限角，但390°>90°．对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．对于③：锐角一定小于90°，所以NP ，故N ∪P ⊆P ．]4．如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，22出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P 在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒后又恰好回到出发点A ．则θ在第象限．一或二 [根据题意知，14秒后，点P 在角14θ＋45°的终边上， ∴45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z ，即θ＝k ·180°7，k ∈Z ．又180°＜2θ＋45°＜270°，即67．5°＜θ＜112．5°， ∴67．5°＜k ·180°7＜112．5°，k ∈Z ，∴k ＝3或k ＝4，∴所求θ的值为540°7或720°7．∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°7＜180°，∴θ在第一象限或第二象限．]5．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？[解] ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上．(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。

江苏省13市高一(上)期末试题汇编(新高考)：任意角的三角函数、诱导公式(原卷版)

江苏省13市2020-2021学年高一（上）期末试题汇编（新高考）：任意角的三角函数、诱导公式一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡（2020-2021·徐州·上期末）3．小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（）A．B．C．D．（2020-2021·无锡·上期末）2. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm（2020-2021·南通·上期末）5. 若sinα+cosα=√22，则sinαcosα=（）A. −12B. −14C. √22D. 2（2020-2021·南通·上期末）1. 在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα=（）A. −√55B. √55C. 2√55D. −2√55（2020-2021·常州·上期末）3. 学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）A. 0.6rad B. 6rad C. 60rad D. 600rad （2020-2021·扬州·上期末）7．计算器是如何计算sin x，cos x，e x，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x和cos x 的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（）A．0.50B．0.52C．0.54D．0.56（2020-2021·扬州·上期末）3．已知，，则cosα＝（）A．B．C．D．（2020-2021·盐城·上期末）3．已知角α的终边经过点P（3，4），则5sinα+10cosα的值为（）A．11B．10C．12D．13（2020-2021·苏州·上期末）7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣（2020-2021·苏州·上期末）2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．（2020-2021·南京·上期末）1．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0（2020-2021·连云港·上期末）3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡（2020-2021·南通·上期末）10. 已知函数f (x )=cos x +2cos x ，则（） A. f (x )的图像关于y 轴对称B. f (x )的最大值为3C. 2π是f (x )的一个周期D. f (x )在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为2√2 （2020-2021·常州·上期末）8. 已知f (x )是定义在[−1,1]上的奇函数，且f (−1)=−1，当a,b ∈[−1,1]且a +b ≠0时f (a )+f (b )a+b>0.已知,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，若f (x )<4+3sin θ−2cos 2θ对∀x ∈[−1,1]恒成立，则θ的取值范围是（） A. (−π6,π2) B. (−π2,−π3) C. (−π3,π2) D. (−π2,π6)（2020-2021·镇江·上期末）10．已知点P （1，t ）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（）A ．如果，B ．如果，则t ＝2C ．如果t ＝3，则sin 2θ+sin θcos θ+8cos 2θ＝2D ．如果sin θ+cos θ＝a （a 为常数，0＜a ＜1），则（2020-2021·苏州·上期末）11．已知实数a ，b ，c 满足0＜a ＜1＜b ＜c ，则（） A ．b a ＜c a B ．log b a ＞log c a C ．＜D ．sin b ＜sin c（2020-2021·淮安·上期末）12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为（x ，y ），它与原点的距离是r ．我们规定：比值，，分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cot α，csc α，sec α，把y ＝cot x ，y＝csc x ，y ＝sec x 分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（）A ．B ．sin α•sec α＝1C ．y ＝sec x 的定义域为D ．sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥5三、填空题：（2020-2021·徐州·上期末）13.已知扇形的圆心角为2,3π半径为2,则该扇形的面积为_____. （2020-2021·南通·上期末）16. 若632sin cos cos cos 10x x x x ---+≥，则cos x 的最大值为______.（2020-2021·南通·上期末）13. 已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为______. （2020-2021·常州·上期末）13. 若角α的终边经过点P (−3,4)，则sin (α+2021π)=_______. （2020-2021·扬州·上期末）14．已知扇形的半径为6cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为．（2020-2021·南京·上期末）15．已知sin(α＋π6)＝13，则sin(5π6－α)＋sin 2(π3－α)的值为 ▲ ．（2020-2021·淮安·上期末）15．已知α是第三象限角，且时，则tan α＝；＝．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2020-2021·无锡·上期末）17. 已知角α是第二象限角，且tan α=-（1）求sin 2α+2sin αcos α的值；（2）求sin(α−5π4)的值.（2020-2021·泰州·上期末）19. 已知θ锐角，在以下三个条件中任选一个：①cos(2π−θ)sin(3π+θ)sin(π2+θ)tan(π−θ)=12；②22sin cos 10θθ--=；③cos(θ−π)sin(π+θ)⋅sin(θ−π2)⋅cos(π2+θ)=14；并解答以下问题：（1）若选______(填序号)，求θ的值；（2）在（1）的条件下，求函数y = tan(2x +θ)的定义域､周期和单调区间｡（2020-2021·南通·上期末）18. 已知()()()()25sin tan sin 2cos cos tan 32f ππαπαααπαααπ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭. （1）化简f (α)；（2）若锐角α满足f (α)=√63，求222sincos cos tan ααααα-+的值（2020-2021·常州·上期末）19. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−x2（1）求f(x)的解析式；（2）求不等式f(sin x)>f(cos x)的解集.（2020-2021·常州·上期末）18. （1）已知cos(π+α)=2cos(π2−α)求1−2cos2αsin2α−sinαcosα的值（2）已知sinβ+cosβ=23，且β为第四象限角，求sinβ−cosβ的值.（2020-2021·盐城·上期末）18．在①4sin（2021π﹣α）＝3cos（2021π+α），②，③α，β的终边关于x轴对称，并且4sinβ＝3cosβ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知第四象限角α满足_______，求下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）sin2α+3sinαcosα．（2020-2021·苏州·上期末）17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．（2020-2021·南京·上期末）20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x |x －a |为R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）若不等式f (sin 2x )＋f (t －2cos x )≥0对任意x ∈[π3，7π6]恒成立，求实数t 的最小值．（2020-2021·南京·上期末）18．（本小题满分12分）已知sin(π＋α)cos(π－α)＝18，且0＜α＜π4．（1）求cos α＋cos(π2＋α)的值；（2）求tan α的值．（2020-2021·宿迁·上期末）18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．（1）求的值；（2）求的值．（2020-2021·连云港·上期末）20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．（2020-2021·连云港·上期末）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．（2020-2021·徐州·上期末）18.(本小题满分12分)在①tan(π+α)=2,②sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α),③2sin(π2+α)=cos(3π2+α)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题｡问题:已知_______.(1)求3sin2cossin cosαααα+-的值;(2)当a为第三象限角时,求sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)的值｡注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡。