线性空间练习题参考答案

第六章 线性空间练习题参考答案

一、填空题

1.已知0000,,00V a b

c a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪

=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭

是33R ⨯的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

.

2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,

,}n i W a x x x P i n =∈=

是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n

4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.

5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123

,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)

x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

.

6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上

(1)

2

n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上

(1)

2

n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩

阵全体构成数域P 上

(1)

2

n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.

二、判断题

1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.

错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）

2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .

3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A

＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.

正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX

＝0，即满足0A X B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2

V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.

4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组

12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.

正确.根据定理1.

5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有

.W αβ+∉

错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.

正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.

8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.

9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题

1.求所有与A 可交换的矩阵组成的n

n P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其

中

100020003A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

.

解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即

1112

131112

132122232122

233132

33313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪

⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

11

121311121321222321

222331

32

3331

32

33232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此

1122

330

0()00

00b C A b b ⎧⎫

⎛⎫⎪⎪

⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝

⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .