线性空间练习题参考答案

第六章 线性空间练习题参考答案
一、填空题
1.已知0000,,00V a b
c a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪
=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭
是33R ⨯的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,
,}n i W a x x x P i n =∈=
是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n
4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.
5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123
,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)
x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上
(1)
2
n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上
(1)
2
n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩
阵全体构成数域P 上
(1)
2
n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.
二、判断题
1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.
错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）
2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .
3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A
＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.
正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX
＝0，即满足0A X B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2
V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.
4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组
12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.
正确.根据定理1.
5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有
.W αβ+∉
错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.
正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.
8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.
9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题
1.求所有与A 可交换的矩阵组成的n
n P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其
中
100020003A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即
1112
131112
132122232122
233132
33313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
11
121311121321222321
222331
32
3331
32
33232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此
1122
330
0()00
00b C A b b ⎧⎫
⎛⎫⎪⎪
⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .
2.在线性空间P 4
中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中
1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有
10111
43213140
12387610
0123
2210
001T --⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
- ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪
- ⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭
因此
1
1
43210112379801231314633100128761232100
132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--
⎪ ⎪ ⎪
==
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. 令
123411432401232001230
1x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
1234143211411361101012340127421001220012240
0013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3） 四、证明题
为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
12{()(),()()},{()(),()()}
W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--
证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕
证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.
()()()()
(),()22
f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+
. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所
以12.V W W =⊕
2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，
或者120n a a a ==
==，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.
证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设
1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==
是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量
11112112121211(,,
,)(,,
,)(0,,
,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.
由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -=
=-=，即有12
12n n
a a a
b b b =
==.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。