高中数学算术平均数与几何平均数
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典型例题一
例1 已知R c b a ∈,,，求证.2
2
2
ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 22
2
≥+， bc c b 222
≥+，
ca a c 22
2
≥+， 三式相加，得
)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++
说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．
典型例题二
例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，
求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(2
22222>+++++ 证明：∵022
2
>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22
>+
同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2
2
2
2
>+>+，． 三个同向不等式相加，得
abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①
说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．
典型例题三
例3 求证)(22
2
2
2
2
2
c b a a c c b b a ++≥
+++++．
分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 22
2
≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 22
2
≥+进行变形，进行创造”．
证明：∵ab b a 22
2
≥+，
两边同加2
2
b a +得2
22)()(2b a b a +≥+．
即2
)(22
2
b a b a +≥+．
∴)(222
12
2b a b a b a +≥+≥
+．
同理可得：)(2
2
2
2
c b c b +≥
+，
)(2
2
22a c a c +≥
+． 三式相加即得)(22
2
2
2
2
2
c b a a c c b b a ++≥+++++．
典型例题四
例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+
∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，
∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．
∴92
≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞
说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2
y 视为ab ． 因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．
典型例题五
例5 （1）求4
1
62
2++=x x y 的最大值． （2）求函数1
4
2
2
++
=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求2
2
y x +的最小值．
解：（1）4
1
622++=
x x y 1
3163)1(1622
22++
+=+++=x x x x .33
26=≤
即y 的最大值为.3
当且仅当1
3122
+=
+x x 时，即22
=x 2±=x 时，取得此最大值．
（2）11
41142
2
22
-+++=++
=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11
4
22+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1
±=x 时取得此最小值．
（3）∴ xy y x 22
2
≥+ ∴2
2
2
)()(2y x y x +≥+即2
)(2
2
2
y x y x +≥+
∵2=+y x ∴222≥+y x 即2
2y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．
说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．
典型例题六
例6 求函数x
x y 3
21-
-=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：
0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：
∵ 6213
221)32(1321-=⋅-≤+-=-
-=x
x x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,
02>>x x ，又63
2=⋅x
x ， 当且仅当x x 32=
，即26=x 时，函数x
x 3
2+有最小值.62
∴ .621max -=y 当0
>-x x ，又6)3
()2(=-⋅-x
x ， 当且仅当x x 32-
=-，即26+=x 时，函数)32(x
x +-最小值.62
∴ .621min +=y
典型例题七
例7 求函数9
102
2++=
x x y 的最值．